Что такое высказывание в математике 6 класс
MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)
Определение высказываний
Высказывание — утверждение, относительно которого можно сказать истинно (1, истина, true) оно или ложно (0, ложь, false).
Примеры
Следующие предложения являются высказываниями:
%%A_1%%: «Лондон — столица Австрии».
%%A_2%%: «Число 8 больше числа 3».
%%A_3%%: «Число 8 больше числа 13».
%%A_4%%: «Луна — спутник планеты Земля».
Причем высказывания %%A_1, A_3%% — ложные, а %%A_2, A_4%% — истинные.
Следующие предложения не являются высказываниями:
%%B_1%%: «Какой сегодня день недели?».
%%B_2%%: «%%2 + 3%%».
%%B_3%%: «Число %%x%% больше 3».
Мы не можем сказать о любом из высказываний %%B_1, B_2, B_3%% истинно оно или ложно. Например, в предложении %%B_3%% буква %%x%% — переменная. Если поставить какое либо значение вместо нее, например 8, то получим истинное высказывание.
Операции над высказываниями
Пусть %%A%% и %%B%% — некоторые высказывания.
Конъюнкция
Конъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%
называется новое высказывание, обозначаемое %%A \land B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% истины. Читается как %%A%% и %%B%%.
Рассмотрим конъюнкцию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \land A_2%% и читается как «Генуя — столица Австрии и число 8 больше числа 3». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_1%% ложно. Другими словами, конъюнкция является ложной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний ложно.
Рассмотрим произвольные высказывания %%A%% и %%B%% и полученное из них высказывание %%A \land B%%. Высказывания %%A, B%% могут быть как ложными, так и истинными. Возможны следующие варианты:
В каждом их этих случаев, вычислив значение конъюнкции высказываний %%A \land B%%, получим следующую таблицу, которая называется таблицей истинности.
| %%A%% | %%B%% | %%A \land B%% |
|---|---|---|
| %%0%% | %%0%% | %%0%% |
| %%0%% | %%1%% | %%0%% |
| %%1%% | %%0%% | %%0%% |
| %%1%% | %%1%% | %%1%% |
Где %%1%% обозначает истинное высказывание, %%0%% — ложное высказывание.
Дизъюнкция
Дизъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%
называется новое высказывание, обозначаемое %%A \lor B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% ложны. Читается как %%A%% или %%B%%.
Рассмотрим дизъюнкцию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \lor A_2%% и читается как «Москва — столица Австрии или число 8 больше числа 3». Это высказывание истинно, так как высказывание %%A_2%% истинно. Другими словами, дизъюнкция является истинной тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истино.
Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом.
| %%A%% | %%B%% | %%A \lor B%% |
|---|---|---|
| %%0%% | %%0%% | %%0%% |
| %%0%% | %%1%% | %%1%% |
| %%1%% | %%0%% | %%1%% |
| %%1%% | %%1%% | %%1%% |
Импликация
Импликацией высказываний %%A%% и %%B%% называется
новое высказывание, обозначаемое %%A \rightarrow B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывание %%A%% истинно, %%B%% ложно. Читается как: «Если %%A%%, то %%B%%»; «%%A%% влечет %%B%%»; «из %%A%% следует %%B%%»; «%%A%% достаточно для %%B%%»; %%B%% необходимо для %%A%%».
Рассмотрим импликацию высказывний %%A_2%% и %%A_1%%, которая записывается как %%A_2 \rightarrow A_1%% и читается как «Если число %%8%% больше числа %%3%%, то Москва — столица Австрии». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_2%% истинно, а %%A_1%% ложно.
Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом.
| %%A%% | %%B%% | %%A \rightarrow B%% |
|---|---|---|
| %%0%% | %%0%% | %%1%% |
| %%0%% | %%1%% | %%1%% |
| %%1%% | %%0%% | %%0%% |
| %%1%% | %%1%% | %%1%% |
Эквиваленция
Эквиваленцией высказываний %%A%% и %%B%%
называется новое высказывание, обозначаемое %%A \leftrightarrow B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывание %%A%% и %%B%% одновременно истинны или ложны. Читается как: «%%A%% равносильно %%B%%»; «%%A%% необходимо и достаточно для %%B%%»; «%%A%% тогда и только тогда, когда %%B%%».
Рассмотрим импликацию высказывний %%A_1%% и %%A_2%%, которая записывается как %%A_1 \leftrightarrow A_2%% и читается как «Москва — столица Австрии тогда и только тогда, когда число %%8%% больше числа %%3%%». Это высказывание ложно, так как высказывание %%A_2%% истинно, а %%A_1%% ложно.
Таблица истинности для эквиваленции выглядит следующим образом.
| %%A%% | %%B%% | %%A \leftrightarrow B%% |
|---|---|---|
| %%0%% | %%0%% | %%1%% |
| %%0%% | %%1%% | %%0%% |
| %%1%% | %%0%% | %%0%% |
| %%1%% | %%1%% | %%1%% |
Также эквиваленцию можно выразить через импликацию и конъюнкцию, тогда
Покажем это, используя таблицы истинности.
| %%A%% | %%B%% | %%A \leftrightarrow B%% | %%A \rightarrow B%% | %%B \rightarrow A%% | %%(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)%% |
|---|---|---|---|---|---|
| %%0%% | %%0%% | %%1%% | %%1%% | %%1%% | %%1%% |
| %%0%% | %%1%% | %%0%% | %%1%% | %%0%% | %%0%% |
| %%1%% | %%0%% | %%0%% | %%0%% | %%1%% | %%0%% |
| %%1%% | %%1%% | %%1%% | %%1%% | %%1%% | %%1%% |
Как видно из таблицы истинности столбцы %%A \leftrightarrow B%% и %%(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)%% имеют одни и те же значения при одинаковых наборах значений %%A%% и %%B%%, что говорит о равенстве этих двух формул.
Отрицание
Отрицанием высказывания %%A%%
Рассмотрим отрицание высказывния %%A_1%%, которое записывается как %%\overline
Таблица истинности для отрицания выглядит следующим образом.
Высказывания и предикаты. Кванторы
п.1. Высказывания
Например:
«Число 13 – нечётное» – высказывание, истинное
«2 + 2 = 5» – высказывание, ложное
«Мы живём в XXI веке» – высказывание, истинное
«Который час?» – не высказывание, т.к. вопросительное предложение
«Вася Пупкин – хороший человек» – не высказывание, т.к. неоднозначно. Но, если определить множество людей, которые оцениваются, и правила их оценки так, что предложение приобретёт однозначность, оно станет высказыванием.
Например:
A: натуральное число a делится на 2;
B: натуральное число a чётное.
Заметим, немного забегая наперёд, что в данном случае из А следует В, и из В следует А. Говорят, что эти высказывания эквивалентны: A ⇔ B.
п.2. Предикаты
Например:
P(x): x – объект с четырьмя ногами
При x = слон – предикат становится истинным высказыванием, P(«слон» )=1
При x = муравей – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у муравья 6 ног, P(муравей)=0
При x = стол – предикат становится истинным высказыванием, P(«стол» )=1
При x = человек – предикат становится ложным высказыванием, т.к. у человека 2 ноги, P(человек)=0
Например:
P(x):|x| ≥ 0 – выполняется при любом значении x, это тождественный предикат.
\(\mathrm
Например:
P(x, y): x делится на y – двуместный предикат, который становится истинным высказыванием на парах значений переменных (15;5), (14;7), (16;4) и т.д.
P(a, b):(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – является тождественным двуместным предикатом, т.к. выполняется для любых a и b.
п.3. Кванторы
«для любого…», «для всех…», «любой…»
Единственности и существования
«существует точно одно такое, что…», «существует и единственно…»
Существуют натуральные числа, которые делятся на 13
Существуют треугольники, у которых все углы равны
Например, равносторонний треугольник со стороной 1
Любое натуральное число делится на 5
Например x = 6 на 5 не делится
У любого выпуклого четырехугольника диагонали перпендикулярны
Например, у прямоугольника со сторонами 3 и 4 угол между диагоналями ≈ 74° ≠ 90°
Разность квадратов двух любых выражений равна произведению суммы и разности
Сумма углов любого треугольника равна 180°.
Третий класс задач (теорема) – самый сложный, т.к. требует не просто одного примера, а доказательства в общем случае.
п.4. Примеры
Пример 1. Запишите по два высказывания (A – истинное, B – ложное), относящиеся к
а) физике
A: Плотность равна отношению массы тела к его объему.
B: КПД механизма может быть больше 1.
б) химии
A: Гидроксид натрия – сильное основание.
B: Сульфат натрия – нерастворимая соль.
в) географии
A: На Земле шесть материков.
B: На Земле три океана.
Пример 3. С каким из кванторов предикат x 2 + 4 = 12 станет истинным высказыванием?
Если запишем (∀x) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.к., например, при x=0 оно не выполняется.
Если запишем (∃x) x 2 + 4 = 12 – это истинное высказывание, т.к., например, при \(\mathrm
Если запишем (∃x!) x 2 + 4 = 12 – это ложное высказывание, т.е. решений у данного уравнения не одно, а два: \(\mathrm
Ответ: квантор существования ∃.
Урок по математике : «Высказывание.»
1. Помочь детям уяснить, что называют переменной и значениями переменной.
2. Закреплять умение выделять высказывание, различать истинные и ложные высказывания.
3. Закреплять умение находить неизвестное число через выполнение обратного действия, а также на основании взаимосвязи между целым и частями.
4. Повторять табличные случаи сложения и вычитания в пределах 20.
5. Закреплять умение решать задачи различных видов.
6. Повторять и закреплять знания детей об изученных ранее геометрических фигурах.
(технология оценивания учебных успехов)
Ι. Актуализация знаний.
II . Формулирова-ние темы и цели урока.
III. Повторение изученного.
V. Предполагаемая домашняя работа (с уровнями инварианта и варианта).
а) Запишите предложения на языке математики.
– Первое слагаемое 7, второе слагаемое 8, сумма 15.
– Уменьшаемое 12, вычитаемое 3, разность 7.
– Один дециметр меньше 9 сантиметров.
– Из числа у вычли 7 и получили 8.
б) – Какое предложение здесь лишнее? (Последнее, потому что это не высказывание, а все остальные предложения высказывания, про них можно сказать, истинные они или ложные.)
– Окиньте взглядом разворот. Как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься? (Повторять и обобщать изученное.)
– Давайте составим план повторения темы (примерный).
Что такое высказывание?
Чем отличается высказывание от математического предложения?
Как определить истинность высказывания?
Как ложное высказывание превратить в истинное?
– 
Что мы сейчас делали? (Планировали свою деятельность.)
– Какой кружок обозначает это умение?
– Давайте выберем задания (№1–5), которые нам помогут ответить на поставленные вопросы.
1. Работа строится по заданиям №1–5 . П.
– На все вопросы мы смогли ответить? Поднимите руки те, кто понял эту тему.
2. Решение задач. Более сложная задача №6 (б), поэтому её лучше решить в классе . Н.
– Назовите числовые данные.
– Найдите слова-помощники для объяснения этих данных.
– Расскажите по записанным на доске величинам всю задачу.
– Давайте попробуем изобразить эти данные в виде схемы.
Возможные схемы к задаче :
Намечаем план решения. Один ученик решает у доски. Решение сверяется с решением учеников класса.
Вопросы к ученику, выполнявшему работу (начало формирования алгоритма самооценки):
– Что тебе нужно было сделать?
– Удалось тебе правильно решить задачу?
– Ты сделал всё правильно или были ошибки, недочёты?
– Ты решил всё сам или с чьей-то помощью?
– Сейчас мы вместе с … (имя ученика) учились оценивать свою работу.
3. Дополнительный материал к уроку. №8* М.
Рассматриваем рисунок на с. 19 и вспоминаем, что нового узнали на уроке.
П. Задание №7, с. 19. Перед тем как дать это задание на дом, надо выяснить, как связано движение самолёта с примерами. Решаются три первых примера, выясняется, что в каждом следующем пункте движения самолёта значение выражения увеличивается на 1.
Познавательные УУД
Развиваем умения:
1) самостоятельно «читать» и объяснять информацию, заданную с помощью схематических рисунков, схем, кратких записей;
2) составлять, понимать и объяснять простейшие алгоритмы (план действий) при работе с конкретным заданием;
3) строить вспомогательные модели к задачам в виде рисунков, схематических рисунков, схем;
4) анализировать тексты простых и составных задач с опорой на краткую запись, схематический рисунок, схему.
1) работать в команде разного наполнения (паре, малой группе, целым классом);
2) вносить свой вклад в работу для достижения общих результатов;
3) активно участвовать в обсуждениях, возникающих на уроке;
4) ясно формулировать вопросы и задания к пройденному на уроках материалу;
5) ясно формулировать ответы на вопросы других учеников и педагога;
6) участвовать в обсуждениях, работая в паре;
7) ясно формулировать свои затруднения, возникшие при выполнении задания;
8) не бояться собственных ошибок и участвовать в их обсуждении;
9) работать консультантом и помощником для других ребят;
10) работать с консультантами и помощниками в своей группе.
1) принимать участие в обсуждении и формулировании цели конкретного задания;
2) принимать участие в обсуждении и формулировании алгоритма выполнения конкретного задания (составление плана действий);
3) выполнять работу в соответствии с заданным планом;
4) участвовать в оценке и обсуждении полученного результата.
Развиваем умения:
1) понимать и оценивать свой вклад в решение общих задач;
2) быть толерантным к чужим ошибкам и другому мнению;
3) не бояться собственных ошибок и понимать, что ошибки – обязательная часть решения любой задачи.
ТОУУ
Тема: Выражения с переменной.
1. Помочь детям уяснить, что такое выражение с переменной, как его читать, записывать и находить значения при определённых значениях переменной.
2. Закреплять умение выделять высказывание, различать истинные и ложные высказывания.
3. Повторять и закреплять знание табличных случаев сложения и вычитания в пределах 20.
4. Закреплять умение решать задачи различных видов.
5. Повторять и закреплять знания детей об изученных ранее геометрических фигурах.
(технология оценивания учебных успехов)
Ι. Актуализация знаний.
1. Проверка домашнего задания. (№7 – назвать города по порядку. №6 а), с. 18 – проверка решения задачи, и если нужно – объяснение).
2. Индивидуальная работа. Н. Карточки с заданиями. Например:
Составь выражение к задаче.
«У Кати 9 конфет, а у Пети на 5 конфет меньше. Сколько конфет у Пети? У Кати 9 печений. Это на 5 печений больше, чем у Пети. Сколько печений у Пети?»
3. Фронтальная работа.
а) Задание № 9, с. 21 П.
Найдите и назовите числа, которые должны быть записаны на «ягодках» (находится сумма чисел двух соседних ягод верхнего ряда).
б) Прочитайте числа: 16, 6, 7, 13, 8, 14, 9, 15, 17.
– Назовите среди этих чисел три числа, из которых можно составить сумму. (6, 7, 13.)
– Какую ещё сумму можно составить из этих же чисел?
– Составьте из этих чисел две разности.
– Подберите сами такую тройку чисел и запишите с ней четыре равенства. (8, 9, 17; 8, 7, 15 и т.д.)
Запись полученных равенств.
в) Проверка индивидуальных заданий. Чтение задач и запись решения на доске.
Вопросы к ученику, выполнявшему работу (начало формирования алгоритма самооценки):
– Что тебе нужно было сделать?
– Удалось тебе правильно выполнить задание?
– Ты сделал всё правильно или были ошибки, недочёты?
– Ты решил всё сам или с чьей-то помощью?
– Сейчас мы вместе с … (имя ученика) учились оценивать свою работу.
Познавательные УУД
Развиваем умения:
1) самостоятельно «читать» и объяснять информацию, заданную с помощью схематических рисунков, схем, кратких записей;
2) составлять, понимать и объяснять простейшие алгоритмы (план действий) при работе с конкретным заданием;
3) строить вспомогательные модели к задачам в виде рисунков, схематических рисунков, схем;
4) анализировать тексты простых и составных задач с опорой на краткую запись, схематический рисунок, схему.
Развиваем умения:
1) понимать и оценивать свой вклад в решение общих задач;
2) быть толерантным к чужим ошибкам и другому мнению;
3) не бояться собственных ошибок и понимать, что ошибки – обязательная часть решения любой задачи.
II. Открытие нового знания (знакомимся с основным вопросом
III. Первичное закрепление и самостоятельная работа (применяем
2. Задание №2, с. 20 (плашка «Узнаём новое»).
Читаем текст. Выполняем в парах задание с зелёной точкой. Обсуждаем полученные ответы. Сравниваем их с текстом в оранжевой рамке.
Работаем по вариантам (по рядам). Выполняем сначала задание под первой зелёной точкой. Выслушиваем ответы и оцениваем их. После этого так же по рядам и в парах выполняем задание под второй зелёной точкой.
Дополнительно задание №4.
Выполнение можно проверить записью решения на доске и обсуждением правильности получения результата.
1) работать в команде разного наполнения (паре, малой группе, целым классом);
2) вносить свой вклад в работу для достижения общих результатов;
3) активно участвовать в обсуж-дениях, возникающих на уроке;
4) ясно формулировать вопросы и задания к пройденному на уроках материалу;
5) ясно формулировать ответы на вопросы других учеников и педагога;
6) участвовать в обсуждениях, работая в паре;
7) ясно формулировать свои затруднения, возникшие при выполнении задания;
8) не бояться собственных ошибок и участвовать в их обсуждении;
9) работать консультантом и помощником для других ребят;
10) работать с консультантами и помощниками в своей группе.
IV. Систематизация и повторение.
Обсуждаем, какие задания выполняем для тренировки в классе, а какие дома.
Задание №6 ( Н ), 8 ( П ). Выполнение можно предложить по вариантам. Решение представить на доске.
Вопросы к ученику, выполнявшему работу (начало формирования алгоритма самооценки):
– Что тебе нужно было сделать?
– Удалось тебе правильно решить задачу?
– Ты сделал всё правильно или были ошибки, недочёты?
– Ты решил всё сам или с чьей-то помощью?
– Сейчас мы вместе с … (имя ученика) учились оценивать свою работу.
1) принимать участие в обсуждении и формулировании цели конкретного задания;
2) принимать участие в обсуждении и формулировании алгоритма выполнения конкретного задания (составление плана действий);
3) выполнять работу в соответствии с заданным планом;
4) участвовать в оценке и обсуждении полученного результата.
– Рассматриваем рисунок на с. 21 и вспоминаем, что нового узнали на уроке.
VI. Предполагаемая домашняя работа.
Задание №5, с. 20 (инвариант) Н. № 7, с. 21 (вариант) П.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-316651
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
НИУ ВШЭ откроет первую в России магистратуру по управлению низкоуглеродным развитием
Время чтения: 2 минуты
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Костромская область разработала программу привлечения педагогических кадров
Время чтения: 2 минуты
ЕГЭ в 2022 году пройдет в доковидном формате
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.