Что такое доверительная вероятность

Доверительная вероятность и доверительный интервал.

Вероятность того, что истинное значение измеряемой величины лежит внутри некоторого интервала, называется доверительной вероятностью, или коэффициентом надежности,а сам интервал — доверительным интервалом.

.

на так называемый коэффициент Стьюдента. Коэффициенты Стьюдента для ряда значений и n приведены в таблице.

Окончательно, для измеряемой величины y при заданной доверительной вероятности y и числе измерений n получается условие

Величину мы будем называть случайной погрешностьювеличины y.

Пример: см. лекцию №5 – ряд чисел.

При числе измерений – 45 и доверительной вероятности – 0,95 получим, что коэффициент Стьюдента приблизительно равен 2,15. Тогда доверительный интервал для данного ряда измерений равен 62,6.

Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором:

— неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;

— неправильная запись результата наблюдений, значений отдельных мер использованного набора, например, гирь;

— хаотические изменения параметров напряжения, питающего средства измерения, например, его амплитуды или частоты.

Источник

Доверительные интервалы и доверительная вероятность

Точечные оценки имеют тот недостаток, что по ним нельзя судить о точности полученных оценок. Поэтому возникает задача определения на основании выборочных значений такого интервала, который покрывал бы неизвестной значение параметра с заданной вероятностью.

В отличие от точечной оценки, интервальная оценка позволяет получить вероятностную характеристику точности оцениваемого параметра.

Выборочные параметры являются случайными величинами, их отклонения от генеральных (т.е. погрешности их определения) также будут случайными. Оценка этих отклонений носит вероятностный характер – можно лишь указать вероятность той или иной погрешности. Для этого в математической статистике пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Доверительный интервал – интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.

Доверительная вероятность – вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

Оценивание с помощью доверительного интервала – способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.

Пусть для генерального параметра a получена из опыта несмещенная оценка a*. Нужно оценить возможную при этом ошибку. Назначим достаточно большую вероятность β – такую, что событие с этой вероятностью можно считать практически достоверным, и найдем такое значение ε для которого

(5.8.1)

называемой уровнем значимости или риском. Уровень значимости часто выражают в процентах. Иначе формулу ( (5.8.1* ) можно интерпретировать как вероятность того, что истинное значение параметра а лежит в пределах

Вероятность β называется доверительной вероятностью, доверительным уровнем или надежностью, т.к. она характеризует надежность полученной оценки.

Интервал называется доверительным интервалом. Границы интервала и доверительными границами. Доверительный интервал при данной доверительной вероятности определяет точность оценки параметра.

При этом отметим следующее. Ранее мы рассматривали вероятность попадания случайной величины на заданный (неслучайный) интервал. В данном случае дело обстоит иначе: величина ане случайна, зато случаен интервал I _b . Случайно его положение на числовой прямой, определяемое его центром а * , случайна и длина интервала 2 e, так как величина e вычисляется, как правило, по опытным данным, т.е. по результатам эксперимента. Поэтому в рассматриваемом случае удобно толковать интервал I как вероятность того, что случайный интервал I _b накроет величину а.

Величина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности, с которой гарантируется нахождение параметра внутри доверительного интервала: чем больше величина β, тем больше и ε (т.е. с чем большей вероятностью мы хотим гарантировать полученный результат, тем в большем интервале он должен находиться).

Увеличение числа опытов проявляется в сокращении доверительного интервала при постоянной доверительной вероятности или в повышении доверительной вероятности при сохранении доверительного интервала.

ППри построении доверительного интервала решается задача об абсолютном отклонении:

(5.8.2.)

Таким образом, если известен закон распределения оценки a*, то задача определения доверительного интервала решается довольно просто.

Рассмотрим построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины с известным генеральным стандартом σ_х.

Понятие генерального стандарта тесно связано с понятием точности прибора. Класс точности прибора – это выраженная в процентах относительная предельная погрешность измерения величины, равной пределу измерения прибора. В измерительной технике в большинстве отраслей промышленности под предельной погрешностью понимается величина, равная двум среднеквадратическим отклонениям

Пусть имеется выборка объема n значений случайной величины. Оценкой m_x является среднее выборки:

Для построения доверительного интервала необходимо знать распределение этой оценки. Для выборок из генеральной совокупности, распределенной нормально можно показать, что также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием m_x и средним квадратическим отклонением . Тогда

. (5.8.3.)

Задавшись доверительной вероятностью, определим по таблице значение функции Лапласа . Тогда доверительный интервал для математического ожидания будет иметь вид

или

Из оценки видно, что уменьшение доверительного интервала обратно пропорционально квадратному корню из числа наблюдений. Следовательно, если надо уменьшить возможную ошибку в два раза надо увеличить число наблюдений в 4 раза.

Если закон распределения оценки не известен, то в математической статистике применяют обычно два метода:

1) приближенный – при n более 50 заменяют неизвестные параметры их оценками;

2) от случайной величины a * переходят к другой случайной величине, закон распределения которой не зависит от оцениваемого параметра а, а зависит только от объема выборки n и от вида распределения величины Х. Такого рода величины наиболее подробно изучены для нормального закона. В качестве доверительных границ берут симметричные квантили

,

Если выразить через р,

.

На практике, как правило, число измерений конечно и не превышает 10…30. При малом числе измерений фактическая дисперсия неизвестна, поэтому для построения доверительного интервала математического ожидания используют выборочную дисперсию и приведенную случайную величину:

t – случайная величина, имеющая распределение, отличное от нормального, зависящее от числа степеней свободы(t – распределение или распределение Стьюдента). При больших значениях n распределение Стьюдента приближается к стандартному нормальному распределению. И, по аналогии, получаем построение доверительного интервала

Дата добавления: 2020-12-22 ; просмотров: 712 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Доверительная вероятность

3.3 доверительная вероятность: Вероятность того, что доверительный интервал накроет неизвестное истинное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

* Вероятность того, что доверительный интервал накроет истинное значение оцениваемого параметра.

Величина, показывающая вероятность того, что действительное значение исследуемой переменной находится в принятом диапазоне значений

2.40. Доверительная вероятность

2.59. доверительная вероятность; уровень доверия

Полезное

Смотреть что такое «Доверительная вероятность» в других словарях:

доверительная вероятность — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN confidence coefficient … Справочник технического переводчика

ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ — см. Доверительное оценивание … Математическая энциклопедия

доверительная вероятность, уровень доверия — 3.9 доверительная вероятность, уровень доверия (confidence coefficient, confidence level): Величина (1 a) вероятность, связанная с доверительным интервалом или со статистически накрывающим интервалом. Примечание Величину (1 a) часто выражают в… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Односторонняя доверительная вероятность — вероятность того, что неизвестное истинное значение параметра не выйдет за пределы нижней (или верхней) границы доверительного интервала. Источник: ГОСТ 20522 96: Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

доверительная граница — 2.60. доверительная граница Каждая из границ, нижняя T1, верхняя T2 для двустороннего доверительного интервала или граница Т для одностороннего интервала Источник: ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики.… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Доверительная зона — Теорема Колмогорова в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу. Содержание 1 Формулировка 1.1 Замечание 2 … Википедия

ГОСТ Р 50779.10-2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения — Терминология ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения оригинал документа: 2.3. (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых единиц. Примечание Для случайной величины… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ 20522-96: Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний — Терминология ГОСТ 20522 96: Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний оригинал документа: Вероятность числовая характеристика степени возможности появления какого либо определенного события в тех или иных определенных условиях … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ГОСТ 20522-2012: Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний — Терминология ГОСТ 20522 2012: Грунты. Методы статистической обработки результатов испытаний оригинал документа: 3.1 вероятность: Числовая характеристика возможности появления какого либо определенного события в тех или иных определенных условиях … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Для подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса), выведенный из следующих эмпирических положений.

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2) при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

3) чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

, (2)

где — функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки , σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

, (3)

где — результат i-го измерения; — среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде .

Интервал значений от до , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

. (4)

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Таблица 1.

Пользуясь данными таблицы, можно:

1) определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

2) выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле

. (5)

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Источник

Теория выборочного метода

Главная > Учебные материалы > Математика: Теория выборочного метода

1.Выборочный метод. 2.Оценка параметров выборочной совокупности. 3.Доверительная вероятность. Предельная ошибка выборки.

1.Выборочный метод.

Одним из недостатков, который возникает при использовании выборочного метода, является ошибка репрезентативности. Данная ошибка возникает по причине того, что исследуется не вся совокупность, а выборочная.

Критерий, который должен соблюдаться при отборе объектов для изучения, является случайность. Иными словами, все объекты, отобранные для обследования, должны случайным образом попасть в выборочную совокупность. В противном случае результаты могут оказаться ложными.

Для отбора объектов, которые должны будут подвергнуты изучению, обычно используют один из двух способов образования выборки. Первый способ предусматривает возвращение объекта обследования в общую совокупность после его изучения. Второй способ предусматривает, что отобранный объект не будет возвращен в общую совокупность после его изучения.

Числовые характеристики выборочной совокупности называются соответственно выборочными. Основные характеристики:

Основной задачей выборочного метода наблюдений заключается в том, что бы оценить характеристики генеральной совокупности объектов исследования по данным выборочной совокупности.

2.Оценка параметров выборочной совокупности.

Пусть задана генеральная совокупность объектов исследования. Число объектов генеральной совокупности равно N. Число N имеет большое значение и исследовать всю совокупность не представляется возможным. По этой причине исследуют выборочную совокупность. И параметр , который расчитывается по этой совокупности, представляет собой оценку параметра θ генеральной совокупности. Отсюда можно дать следующее определение: оценкой параметра генеральной совокупности называется величина или функция, расчтитанная по значениям случайной величины Х выборочной совокупности. Т.е.

Например, пусть параметр θ является математическим ожиданием случайной величины Х. Тогда оценкой этого параметра будет являться выборочная средняя арифметическая.

Свойства оценок. Основными свойствами оценок является несмещенность, состоятельность и эффективность.

Несмещенность оценки означает ее отклонение от этого же параметра генеральной совокупности, т.е. математическое ожидание этой оценки равно оцениваемому параметру.

Если это равенство не выполняется, то полученная оценка является завышенной или заниженной.

Состоятельность означает приближение оценки к оцениваемому параметру при стремлении n к бесконечности. Или сходимость по вероятности к параметру генеральной совокупности.

Отсюда можно сделать вывод, что чем больше выборка n, тем точнее оцениваемый параметр.

Эффективной оценкой параметра θ называется такая несмещенная оценка , которая имеет наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок параметра θ, и вычисленную по выборке одного и того же объема n. Эффективность оценки рассчитывается из соотношения:

3.Доверительная вероятность. Предельная ошибка выборки.

При исследовании выборочной совокупности рассчитанная средняя арифметическая может иметь некоторое отклонение от средней арифметической генеральной совокупности. Это отклонение называется ошибкой репрезентативности, которая возникает по причине исследования не всей, а выборочной совокупности. Наибольшее отклонение выборочной средней от средней арифметической генеральной совокупности, которое возможно при заданной доверительной вероятности называется предельной ошибкой выборки.

Построение доверительного интервала для генеральной средней по большой выборке.

Доверительный интервал для генеральной средней при n порядка нескольких сотен рассчитывается по следующей формуле:

переменная t равна:

Отсюда следует, что при заданной доверительной вероятности γ предельная ошибка выборочной средней равна произведению t (значение функции Лапласа) и средней квадратической ошибки.

Доверительный интервал генеральной средней рассчитывается по формуле:

Для нахождения предельной ошибки Δ необходимо найти среднюю квадратическую ошибку. Средняя квадратическая ошибка рассчитывается по следующей формуле:

При достаточно большом объеме выборки n выборочная дисперсия приближается к генеральной дисперсии, поэтому чем больше n, тем точнее значение средней квадратической ошибки.

Построение доверительного интервала для генеральной доли по большой выборке.

Если распределение выборочной доли w считать приблизительно нормальным, то для нахождения доверительного интервала для генеральной доли используем формулу предельную ошибки:

Из графика (рис.2) можно увидеть, что доверительный интервал находится внутри эллипса между значениями p1 и p2. И чем больше объем выборки n, тем эллипс становится более вытянутым и доверительный интервал становится более узким.

Можно вспомнить, что и дисперсия случайной величины, которая равна D(X) = npq для биномиального распределения, так же имеет максимальное значение в этой точке.

Пример.

В коммерческом банке из 5000 вкладов отобраны 792, которые распределены по группам в зависимости от их величины. Распределение вкладов имеет показательный закон распределения. Данные представлены в таблице.

Необходимо найти вероятность того, что средний размер вклада отличается от выборочной средней не более, чем 20 д.е. по абсолютной величине и найти так же границы, в которых с вероятностью 0.99 заключен средний размер вклада. Данные величины найти для повторной и бесповторной выборки. Найти вероятность того, что размер вклада будет заключен в пределах от 600 до 1000 д.е.

Решение.

Найдем выборочную среднюю арифметическую и выборочную дисперсию и построим гистограмму распределения частот.

Найдем границы, в которых с вероятностью 0.99 заключен средний размер вклада.

Найдем вероятность того, что размер вклада будет заключен в пределах от 600 до 1000 д.е.

Источник