Что такое дифференциальное уравнение простым языком

Дифференциальные уравнения. Что это?

Вы уже имеете находить производные и интегралы? Тогда настало самое время, чтобы перейти к более сложной теме, а именно, решению дифференциальных уравнений (ДУ, в простонародье диффуров). Но не все так страшно, как кажется на первый взгляд.

Дифференциальное уравнение: что это такое?

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, которое вместе с самой функцией (и ее аргументами), содержит еще и ее производную или несколько производных.

Дифференциальное уравнение: что нужно знать еще?

Первое (и главное), что понадобится, это умение правильно определять тип дифференциального уравнения. Второе, но не менее важное, это умение хорошо интегрировать и дифференцировать.

Не секрет, что дифференциальные уравнения бывают разных типов. Но… для начала отметим, что ДУ бывают разных порядков. Порядок ДУ — это порядок высшей производной, входящей в дифференциальное уравнение. Классификацию ДУ согласно порядку уравнения можно посмотреть в следующей таблице:

Порядок уравнения	Вид уравнения	Пример
I
II
…	…	…
n

Наиболее часто приходится иметь дело с ДУ первого и второго порядка, реже третьего. В 99% случаев в задачах встречаются три типа ДУ первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и линейные неоднородные уравнения. Иногда еще встречаются более редкие типы ДУ: уравнения в полных дифференциалах, уравнения Бернулли и др. Среди ДУ второго порядка часто встречаются уравнения, приводящиеся к ДУ первого порядка, линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Дифференциальное уравнение: решение – что это значит и как его найти?

При решении ДУ нам предлагается найти либо общее решение (общий интеграл), либо частное решение. Общее решение y = f(x, C) зависит от некоторой постоянной ( С — const), а частное решение не зависит: y = f(x, C₀).

С геометрической точки зрения общее решение – это семейство кривых на координатной плоскости, а частное решение – это одна прямая этого семейства, проходящая через некоторую точку.

Давайте рассмотрим примеры решения некоторых ДУ. Начнем с ДУ первого порядка с разделяющимися переменными:

Здесь все очень просто как на уроке физкультуры, когда ученики класса делятся на две команды, в одну из которых входят только мальчики, а в другую – только девочки. Применительно к уравнению делаем следующее: в левую часть от знака равенства переносим все то, что содержит переменную y, а в правую часть – переменную x.
Получаем:

Далее интегрируем обе части:

Итоговое общее решение выглядит следующим образом: y = C(x-1) — 2. Все оказалось очень просто, не правда ли?

Не сложнее и решение однородных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Здесь всего-то и нужно знать из курса школьной алгебры, как решаются квадратные уравнения, а из курса по ДУ, как правильно записать общее решение.

Для наглядности рассмотрим пример:

Составляем характеристическое уравнение, заменяя переменную y на переменную k, а количество штрихов соответствующей степенью (два штриха – степень 2, один штрих – степень 1, нет штрихов – степень 0). Получаем квадратное уравнение, решить которое можно с помощью дискриминанта или теоремы Виета:

После того, как корни характеристического уравнения найдены, вспоминаем правила записи общего решения однородного ДУ:

Вспоминаем, что наше уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, общее решение запишем в виде:

Решение линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами выполняется в два этапа:

Выполнение первого этапа рассмотрено на примере чуть раньше. То, в каком виде мы будем искать частное решение неоднородного ДУ, зависит от того, что стоит в уравнении справа от знака равенства. Все возможные случаи подробно рассматривают в учебной литературе.

Итак, тема «Решение задач по дифференциальным уравнениям» изучается в ВУЗах, но, как было показано выше, решить некоторые ДУ может и школьник.

Дифференциальные уравнения и методы их решения рассматриваются практически в каждом учебнике по высшей математике и математическому анализу. Особенно хорошо данная тема рассмотрена в учебнике автора Пискунов Н.С., а называется он «Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. Для втузов. В 2-х т. Т. II». С помощью данного учебника можно самостоятельно изучить методы решения тех типов ДУ, которые не были рассмотрены в данной статье.

Решение дифференциальных уравнений на заказ

У нас вы можете выгодно заказать решение задач с дифференциальными уравнениями. Нами накоплен большой опыт решения заданий по данной дисциплине, которым мы готовы поделиться с вами. Работа будет оформлена очень подробно. При заказе большого количества задач действует скидка. Купить решение можно, сделав заказ у нас на сайте.

Источник

Что такое дифференциальное уравнение и зачем оно нужно?

На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений – без этого не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д. Ниже мы приведем пример использования дифференциальных уравнений в экономике, но перед этим кратко расскажем об основных типах уравнений.

Дифференциальные уравнения – простейшие виды

Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны на математическом языке. Конечно, в алгебре есть много примеров различных уравнений, но это, большей частью, учебные примеры, неприменимые на практике. По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, протекающие в реальной жизни. Но как отразить фактор времени, которому подчиняются реальные процессы – инфляция, выработка продукции или демографические показатели?

Вспомним одно важное определение из курса математики, касающееся производной функции. Производная является скоростью изменения функции, следовательно, она может помочь нам отразить фактор времени в уравнении.

То есть, мы составляем уравнение с функцией, которая описывает интересующий нас показатель и добавляем в уравнение производную этой функции. Это и есть дифференциальное уравнение. А теперь перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений для чайников.

Есть более сложные виды уравнений – уравнения второго, третьего и вообще произвольного порядка, однородные и неоднородные уравнения, а также системы дифференциальных уравнений. Для их решения нужна предварительная подготовка и опыт решения более простых задач.

Большое значение для физики и, что неожиданно, финансов имеют так называемые дифференциальные уравнения в частных производных. Это значит, что искомая функция зависит от нескольких переменных одновременно. Например, уравнение Блека-Шоулса из области финансового инжиниринга описывает стоимость опциона (вид ценной бумаги) в зависимости от его доходности, размера выплат, а также сроков начала и конца выплат. Решение дифференциального уравнения в частных производных довольно сложное, обычно нужно использовать специальные программы, такие как Matlab или Maple.

Пример применения дифференциального уравнения в экономике

Приведем, как и было обещано, простой пример решения дифференциального уравнения. Вначале поставим задачу.

Как видно из задачи, это прикладной пример из микроэкономики. Множество фирм и предприятий постоянно сталкивается с подобными расчетами в ходе своей деятельности.

Приступаем к решению. Как известно из микроэкономики, маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж.

Другие примеры по разным типам ДУ собраны на странице: Дифференциальные уравнения с решениями онлайн.

Источник

Виды дифференциальных уравнений

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )

Начнем с примеров таких уравнений.

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )

Приведем примеры таких уравнений.

Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a

Приведем примеры подобных уравнений.

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y

Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y

частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y

нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y

целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Источник

Дифференциальные уравнения для «чайников». Примеры решения

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Определения и понятия теории дифференциальных уравнений

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.

Источник