Что такое вычислительная математика

Вычислительная математика

Полезное

Смотреть что такое «Вычислительная математика» в других словарях:

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством вычислений и использованием ЭВМ. В более узком понимании вычислительная математика теория численных методов решения типовых математических задач … Большой Энциклопедический словарь

Вычислительная математика — [calculus mathematics] математическая дисциплина, изучающая методы численного решения математических задач путем нахождения алгоритма точного или приближенного получения результата с помощью конечной последовательности элементарных арифметических … Экономико-математический словарь

вычислительная математика — Математическая дисциплина, изучающая методы численного решения математических задач путем нахождения алгоритма точного или приближенного получения результата с помощью конечной последовательности элементарных арифметических операций. В более… … Справочник технического переводчика

Вычислительная математика — Имеется викиучебник по теме «Вычислительная математика» … Википедия

вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством вычислений и использованием ЭВМ. В более узком понимании вычислительная математика теория численных методов решения типовых математических задач. * * * ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ… … Энциклопедический словарь

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ. Содержание термина В. м. нельзя считать установившимся, так как эта область математики интенсивно развивается в связи с быстро растущими применениями ЭВМ в новых… … Математическая энциклопедия

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ. В более узком смысле под В. м. понимается теория численных методов и алгоритмов решения типовых матем. задач … Большой энциклопедический политехнический словарь

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством вычислений и использованием ЭВМ. В более узком понимании В.м. теория численных методов решения типовых матем. задач … Естествознание. Энциклопедический словарь

Вычислительная математика и математическая физика — «Вычислительная математика и математическая физика» периодический научный журнал, издаваемый Российской академией наук. Выходит 12 номеров в год. Публикуются обзоры и оригинальные исследования в области вычислительной математики, численных… … Википедия

GAP (вычислительная математика) — GAP Тип Программы математического моделирования Разработчик Независимая группа разработчиков ОС Кроссплатформенное программное обеспечение Версия 4.4.12 декабрь, 2008 Лицензия GPL … Википедия

Источник

Вычислительная математика

Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством разнообразных вычислений. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач. Современная вычислительная математика включает в круг своих проблем изучение особенностей вычисления с применением компьютеров.

Вычислительная математика обладает широким кругом прикладных применений для проведения научных и инженерных расчётов. На её основе в последнее десятилетие образовались такие новые области естественных наук, как вычислительная химия, вычислительная биология и так далее.

Содержание

История

Вычислительная математика возникла довольно давно. Ещё в Месопотамии были разработаны методы получения квадратного корня. В эпоху научной революции вычислительная математика развивалась быстрыми темпами из практических применений параллельно с математическим анализом. Помимо этого, подобные вычисления широко применялись в небесной механике для предсказания траектории движения небесных тел. Это привело к появлению таких важнейших составляющих физики, как теория о гелиоцентрической системе устройства мира, законы Кеплера и законы Ньютона. XVII и XVIII век стали временем разработки значительного количества численных методов и алгоритмов.

Применение большого количества инженерных вычислений в XIX и XX веках потребовало создания соответствующих приборов. Одним из таких приборов стала логарифмическая линейка, также появились таблицы значений функций с точностью до 16 знаков после запятой, помогавшие проводить вычисления. Также существовали механические устройства для выполнения математических операций, называвшиеся арифмометрами. В первой половине XX века для решения дифференциальных уравнений стали активно использоваться аналоговые ЭВМ.

Изобретение компьютера в середине XX века означало создание универсального инструмента для математических вычислений. Совместно с мейнфреймами в распоряжении инженеров и учёных для выполнения ручных операций были только калькуляторы, которые активно использовались вплоть до начала массового производства персональных компьютеров.

Основные направления

Методы и алгоритмы решения типовых математических задач с применением вычислительной техники носят название численных методов. К типовым задачам относят [2] :

Особенности представления чисел в компьютере

Основное отличие вычислительной математики заключается в том, что при решении вычислительных задач человек оперирует машинными числами, которые являются дискретной проекцией вещественных чисел на конкретную архитектуру компьютера. Так например если взять машинное число длиной в 8 байт, то в нём можно запомнить только 2 64 разных чисел, поэтому важную роль в вычислительной математике играют оценки точности алгоритмов и их устойчивость к представлениям машинных чисел в компьютере. Именно поэтому, например, для решения линейной системы алгебраических уравнений очень редко используется вычисление обратной матрицы, так как этот метод может привести к ошибочному решению в случае с сингулярной матрицей, а очень распространённый в линейной алгебре метод, основанный на вычислении определителя матрицы и её дополнения требует гораздо больше арифметических операций, чем любой устойчивый метод решения линейной системы уравнений.

Программное обеспечение

Многие системы компьютерной алгебры, такие как Mathematica, имеют возможность задавать необходимую арифметическую точность, что позволяет получить результаты более высокой точности. Также, большинство электронных таблиц могут быть использованы для решения простых задач вычислительной математики.

Источник

ВЫЧИСЛИ́ТЕЛЬНАЯ МАТЕМА́ТИКА

Том 6. Москва, 2006, стр. 155-156

Скопировать библиографическую ссылку:

ВЫЧИСЛИ́ТЕЛЬНАЯ МАТЕМА́ТИКА, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, вклю­чаю­щий круг во­п­ро­сов, свя­зан­ных с ис­поль­зо­ва­ни­ем элек­трон­но-вы­чис­лит. ма­шин (ЭВМ, ком­пью­те­ров). Со­дер­жа­ние тер­ми­на «В. м.» нель­зя счи­тать ус­та­но­вив­шим­ся, т. к. эта об­ласть ма­те­ма­ти­ки ин­тен­сив­но раз­ви­ва­ет­ся в свя­зи с со­вер­шен­ст­во­ва­ни­ем вы­чис­лит. тех­ни­ки и при­ме­не­ния­ми ЭВМ в но­вых на­прав­ле­ни­ях. На на­чаль­ном эта­пе ис­поль­зо­ва­ния ЭВМ тер­мин «В. м.» по­ни­мал­ся как тео­рия чис­лен­ных ме­то­дов и ал­го­рит­мов ре­ше­ния ти­по­вых ма­те­ма­тич. за­дач. Впо­след­ст­вии тер­мин «В. м.» стал по­ни­мать­ся в ука­зан­ном вы­ше бо­лее ши­ро­ком смыс­ле. В В. м. мож­но вы­де­лить сле­дую­щие три осн. раз­де­ла. Пер­вый свя­зан с при­ме­не­ни­ем ЭВМ в разл. об­лас­тях на­уч­ной и прак­тич. дея­тель­но­сти и мо­жет быть ха­рак­те­ри­зо­ван как по­строе­ние и ана­лиз ма­те­ма­тич. мо­де­лей. Вто­рой свя­зан с раз­ра­бот­кой ме­то­дов и ал­го­рит­мов ре­ше­ния ти­по­вых ма­те­ма­тич. за­дач, воз­ни­каю­щих при ис­сле­до­ва­нии ма­те­ма­тич. мо­де­лей. Тре­тий раз­дел свя­зан с во­про­сом об уп­ро­ще­нии взаи­мо­отно­ше­ний че­ло­ве­ка с ЭВМ. Боль­шой вклад в раз­ви­тие В. м. внес­ли Н. С. Бахва­лов­, В. В. Вое­во­дин, В. М. Глуш­ков, С. К. Году­нов­, А. А. Дород­ни­цын­, А. П. Ершов­, Ю. И. Журав­лёв­, М. В. Келдыш­, М. М. Лавренть­ев­, Г. И. Марчук­, Н. Н. Мои­се­ев, А. Н. Тихо­нов­, А. А. Са­мар­ский.

Источник

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Анализ математич. моделей включает в себя изучение постановки задачи, выбор модели, анализ и обработку входной информации, численное решение математич. задач, возникающих при исследовании модели, анализ результатов вычислений и, наконец, вопросы, связанные с реализацией полученных результатов.

Задача выбора модели должна решаться с учетом следующего требования. Степень достоверности, с к-рой результаты анализа модели позволяют исследовать конкретное явление (или класс явлений), должна соответствовать точности исходной информации. При этом с появлением возможности получать более точную информацию обычно возникает необходимость совершенствования построенной модели, а в ряде случаев даже коренной ее замены. Для этих задач приобретает существенное значение обработка исходной информации, что в большинстве случаев требует привлечения методов математич. статистики.

Математич. модели сыграли важную роль в развитии естествознания; в настоящее время использование математич. моделей является существенным фактором в широком диапазоне человеческой деятельности (в том числе в вопросах планирования, управления, прогнозирования и т. д.).

Изучение реальных явлений на основе анализа построенных моделей, как правило, требует развития численных методов и привлечения ЭВМ. Таким образом, в В. м. важное место занимают численные методы решения поставленных математич. задач и в первую очередь типовых математич. задач (В. м. в узком смысле слова).

Быстро развивающимся направлением В. м. являются численные методы оптимизации. Задача оптимизации состоит в изучении экстремальных (наибольших или наименьших) значений функционалов на множествах, как правило, весьма сложной структуры (см., напр., Экстремальные задачи;численные методы решения). В первую очередь следует упомянуть задачи математического программирования (в том числе линейного и динамического), к к-рым сводятся многие задачи экономики. К задачам оптимизации примыкают минимаксные задачи (и соответствующие численные методы), возникающие при решении задач исследования операций (см. Исследование операций).и теории игр (см. Игр теория). Особенно сложные задачи типа minmaxminmax возникают при решении многошаговых (динамически развивающихся) игр. Здесь даже математич. эксперимент (проигрывание вариантов поведения играющих) невозможен без использования мощных ЭВМ.

Обратные задачи, напр, задача определения элемента хиз уравнения Ах=b при известной информации об операторе Аи элементе b, часто являются неустойчивыми (некорректно поставленными) задачами (малым погрешностям во входных данных могут соответствовать большие погрешности в х). Более того, обратные задачи часто имеют решение не для всех b, поэтому, задавая приближенное значение b, следует учитывать, что формально решение этой задачи может не существовать. Неустойчивые задачи потребовали специального определения понятия приближенных решений и развития соответствующих методов для их нахождения. К неустойчивым задачам относится широкий класс задач, связанных с проблемами автоматизации обработки результатов экспериментов (см. Некорректные задачи;численные методы решения).

В большинстве разделов В. м. важное место занимают вопросы оптимизации методов решения задач. Особенно это существенно для задач большого объема (напр., с большим числом переменных).

Применение ЭВМ непрерывно расширяет круг пользователей и поэтому возникает тенденция такой степени автоматизации, при к-рой становится менее существенным знакомство пользователей с численными методами. Это предъявляет новые требования к алгоритмам, их классификации и к стандартным программам решения типовых задач.

В настоящее время выделился ряд направлений прикладной науки, где современные темпы научно-технич. прогресса были бы немыслимы без развития численных методов и применения ЭВМ (см., напр., Газовой динамики численные методы).

Основной задачей теории программирования можно считать облегчение отношений человека с машиной, хотя этот взгляд и конкретные направления исследований претерпевают радикальные изменения с развитием вычислительной техники. Смена ряда поколений вычислительных машин обусловила смену этапов в развитии программирования.

От составления программ на внутреннем языке машин программирование быстро перешло к составлению стандартных программ решения типовых задач и комплексов таких программ. При их употреблении для широкого класса задач отпадает необходимость в программировании метода решения; достаточно лишь ограничиться заданием исходной информации. Однако задание такой информации, а также написание нестандартных блоков все равно требуют существенного объема программирования на языке машины (см. Машинно-ориентированный язык).

Наряду с созданием универсальных алгоритмич. языков (алгол, фортран) был разработан ряд проблемно-ориентированных языков для определенного круга пользователей, цапр. связанных с задачами обработки эко-номич. информации (кобол). Создание специализированных языков вызвано следующим: универсальные языки и трансляторы, предназначенные для решения широкого класса задач, иногда слабо учитывают специфику отдельных важных классов задач, что снижает эффективность использования всех возможностей машины.

Развитие применения ЭВМ характерно также организацией работы комплексов, включающих большое число машин, в том числе машин различных типов, вводные устройства, каналы связи между машинами и пользователем, а зачастую и физич. установки. Такие высокопроизводительные системы создаются, напр., для решения задач экономики и обработки физич. экспериментов, требующих ввода и обработки большого количества информации.

Задача развития вычислительных систем, в частности информационных систем и автоматизированных систем управления, является одной из наиболее актуальных

научных проблем. А. Н. Тихонов.

Источник

Учебное пособие: Вычислительная математика

Содержание

Тема 1. Решение задач вычислительными методами. Основные понятия

1.3 Вычислительные методы

Тема 2. Решение нелинейных уравнений

2.1 Постановка задачи

2.2 Основные этапы отыскания решения

2.3 Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии, метод бисекции)

2.4 Метод простых итераций

2.5 Метод Ньютона (метод касательных)

2.6 Метод секущих (метод хорд)

2.7 Метод ложного положения

Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

3.1 Постановка задачи

3.2 Метод исключения Гаусса. Схема единственного деления

3.3 Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

3.4 Вычисление определителя методом исключения Гаусса

3.5 Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса

3.6 Метод простой итерации Якоби

Тема 4. Приближение функций

4.1 Постановка задачи

4.2 Приближение функции многочленами Тейлора

4.3 Интерполяция функции многочленами Лагранжа

4.4 Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов

Тема 5. Численное интегрирование функций одной переменной

5.1 Постановка задачи численного интегрирования

5.2 Метод средних прямоугольников

5.4 Метод Симпсона (метод парабол)

5.5 Правило Рунге практической оценки погрешности

Тема 6. Численное решение дифференциальных уравнений

6.1 Постановка задачи Коши

6.3 Модифицированные методы Эйлера

6.4 Метод Рунге – Кутты

Контрольные задания по курсу “Вычислительные методы”

Указания к выполнению лабораторных работ

Указания к выполнению курсовых работ

Краткие сведения о математиках

Исследование различных явлений или процессов математическими методами осуществляется с помощью математической модели. Математическая модель представляет собой формализованное описание на языке математики исследуемого объекта. Таким формализованным описанием может быть система линейных, нелинейных или дифференциальных уравнений, система неравенств, определенный интеграл, многочлен с неизвестными коэффициентами и т. д. Математическая модель должна охватывать важнейшие характеристики исследуемого объекта и отражать связи между ними.

На следующем этапе выбирается метод решения задачи. Во многих конкретных случаях найти решение задачи в явном виде не представляется возможным, так как оно не выражается через элементарные функции. Такие задачи можно решить лишь приближенно. Под вычислительными (численными) методами подразумеваются приближенные процедуры, позволяющие получать решение в виде конкретных числовых значений. Вычислительные методы, как правило, реализуются на ЭВМ. Для решения одной и той же задачи могут быть использованы различные вычислительные методы, поэтому нужно уметь оценивать качество различных методов и эффективность их применения для данной задачи.

Затем для реализации выбранного вычислительного метода составляется алгоритм и программа для ЭВМ. Современному инженеру важно уметь преобразовать задачу к виду, удобному для реализации на ЭВМ и построить алгоритм решения такой задачи.

В настоящее время на рынке программного обеспечения широко представлены как пакеты, реализующие наиболее общие методы решения широкого круга задач (например, Maple, Mathcad, MatLAB), так и пакеты, реализующие методы решения специальных задач (например, задач газовой динамики).

Результаты расчета анализируются и интерпретируются. При необходимости корректируются параметры метода, а иногда математическая модель, и начинается новый цикл решения задачи.

Тема 1. Решение задач вычислительными методами.

Существуют четыре источника погрешностей, возникающих в результате численного решения задачи.

1. Математическая модель. Погрешность математической модели связана с ее приближенным описанием реального объекта. Например, если при моделировании экономической системы не учитывать инфляции, а считать цены постоянными, трудно рассчитывать на достоверность результатов. Погрешность математической модели называется неустранимой. Будем в дальнейшем предполагать, что математическая модель фиксирована и ее погрешность учитывать не будем.

2. Исходные данные. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, так как они либо неточно измерены, либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач. Например, масса снаряда, производительность оборудования, предполагаемая цена товара и др. Во многих физических и технических задачах погрешность измерений составляет 1 – 10%. Погрешность исходных данных так же, как и погрешность математической модели, считается неустранимой и в дальнейшем учитываться не будет.

3. Метод вычислений. Применяемые для решения задачи методы как правило являются приближенными. Например, заменяют интеграл суммой, функцию – многочленом, производную – разностью и т. д. Погрешность метода необходимо определять для конкретного метода. Обычно ее можно оценить и проконтролировать. Следует выбирать погрешность метода так, чтобы она была не более, чем на порядок меньше неустранимой погрешности. Большая погрешность снижает точность решения, а меньшая требует значительного увеличения объема вычислений.

4. Округление в вычислениях. Погрешность округления возникает из-за того, что вычисления производятся с конечным числом значащих цифр (для ЭВМ это 10 – 12 знаков). Округление производят по следующему правилу: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов не изменяется; в противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа. При решении больших задач производятся миллиарды вычислений, но так как погрешности имеют разные знаки, то они частично взаимокомпенсируются.

d (а * ) =

– его относительной погрешностью.

При сложении и вычитании складываются абсолютные погрешности, а при делении и умножении – относительные погрешности.

Определим вначале понятие устойчивости решения.

D(I ) = |I – I * | = || £ (b – a )D(f * ),

то для любого e > 0 неравенство D(I ) * ) * устойчиво. Все три условия корректности задачи выполнены.

Покажем, что задача вычисления производной u (x ) = f ‘ (x ) приближенно заданной функции некорректна.

Возьмем, например, f * (x ) = f (x ) + a sin (x/ a 2 ), где 0 * (x ) = u (x ) + a — 1 cos (x/ a 2 ), D(u * ) = a — 1 , т. е. погрешность задания функции равна a , а погрешность производной равна a — 1 . Таким образом, сколь угодно малой погрешности задания функции f может отвечать сколь угодно большая погрешность производной f ‘.

1.3 Вычислительные методы

Под вычислительными методами будем понимать методы, которые используются в вычислительной математике для преобразования задач к виду, удобному для реализации на ЭВМ. Подробнее с различными классами вычислительных методов можно познакомиться, например, в [1]. Мы же рассмотрим два класса методов, используемых в нашем курсе.

1. Прямые методы. Метод решения задачи называется прямым, если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций. Наименование элементарной операции здесь условно. Это может быть, например, вычисление интеграла, решение системы уравнений, вычисление значений функции и т. д. Важно то, что ее сложность существенно меньше, чем сложность основной задачи. Иногда прямые методы называют точными, имея в виду, что при отсутствии ошибок в исходных данных и при выполнении элементарных операций результат будет точным. Однако, при реализации метода на ЭВМ неизбежны ошибки округления и, как следствие, наличие вычислительной погрешности.

2. Итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательных приближений к решению задачи. Вначале выбирают одно или несколько начальных приближений, а затем последовательно, используя найденные ранее приближения и однотипную процедуру расчета, строят новые приближения. В результате такого итерационного процесса можно теоретически построить бесконечную последовательность приближений к решению. Если эта последовательность сходится (что бывает не всегда), то говорят, что итерационный метод сходится. Отдельный шаг итерационного процесса называется итерацией.

Практически вычисления не могут продолжаться бесконечно долго. Поэтому необходимо выбрать критерий окончания итерационного процесса. Критерий окончания связан с требуемой точностью вычислений, а именно: вычисления заканчиваются, когда погрешность приближения не превышает заданной величины.

Оценки погрешности приближения, полученные до вычислений, называют априорными оценками (от лат. a’priori – «до опыта»), а соответствующие оценки, полученные в ходе вычислений называют апостериорными оценками (от лат. a’posteriori – «после опыта»).

Тема 2. Решение нелинейных уравнений

2.1 Постановка задачи

Относительно функции f (x ) часто предполагается, что f (x ) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности корня.

Геометрически корень уравнения (2.1) есть точка пересечения графика функции y = f (x ) с осью абсцисс. На рис. 2.1 изображен график функции y = f (x ), имеющей четыре корня: два простых (x и x ) и два кратных (x и x ).

Большинство методов решения уравнения (2.1) ориентировано на отыскание простых корней уравнения (2.1).

2.2 Основные этапы отыскания решения

2.3 Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии, метод бисекции)

Метод деления отрезка пополам является самым простым и надежным способом решения нелинейного уравнения.

| x _n – x * | £ £ . (2.3)

Погрешность метода. Оценка (2.3) характеризует погрешность метода деления отрезка пополам и указывает на скорость сходимости: метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой q = 1/2. Заметим, что оценка (2.3) является априорной.

Найдем число n делений отрезка [1, 2], необходимых для достижения требуемой точности. Имеем:

n6.

Следовательно, не позднее 6-го деления найдем с требуемой точностью, » 1.1484. Результаты вычислений представлены в таблице 2.1.

1.0000 1.0000 1.0000 1.1250 1.1250 1.1406 1.1406

Источник

• ← Что такое вычислимая функция
• Что такое вычислительная ошибка →