Что такое возвести в квадрат
Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора
Сегодня мы научимся быстро без калькулятора возводить большие выражения в квадрат. Под большими я подразумеваю числа в пределах от десяти до ста. Большие выражения крайне редко встречаются в настоящих задачах, а значения меньше десяти вы и так умеете считать, потому что это обычная таблица умножения. Материал сегодняшнего урока будет полезен достаточно опытным ученикам, потому что начинающие ученики просто не оценят скорость и эффективность этого приема.
Для начала давайте разберемся вообще, о чем идет речь. Предлагаю для примера сделать возведение произвольного числового выражения, как мы обычно это делаем. Скажем, 34. Возводим его, умножив само на себя столбиком:
1156 — это и есть квадрат 34.
Проблему данного способа можно описать двумя пунктами:
1) он требует письменного оформления;
2) в процессе вычисления очень легко допустить ошибку.
Сегодня мы научимся быстрому умножению без калькулятора, устно и практически без ошибок.
Итак, приступим. Для работы нам потребуется формула квадрата суммы и разности. Давайте запишем их:
Например, 28 можно представить в следующем виде:
Аналогично представляем оставшиеся примеры:
Аналогично выбираем варианты и для остальных примеров:
Можете самостоятельно попробовать рассчитать оба разложения, и вы убедитесь, что разложение с наименьшим вторым слагаемым считается проще. А мы перейдем к примерам, которые посчитаем без калькулятора:
Вот так за три минуты мы сделали умножение восьми примеров. Это меньше 25 секунд на каждое выражение. В реальности после небольшой тренировки вы будете считать еще быстрее. На подсчет любого двухзначного выражения у вас будет уходить не более пяти-шести секунд.
Но и это еще не все. Для тех, кому показанный прием кажется недостаточно быстрым и недостаточно крутым, предлагаю еще более быстрый способ умножения, который однако работает не для всех заданий, а лишь для тех, которые на единицу отличаются от кратных 10. В нашем уроке таких значений четыре: 51, 21, 81 и 39.
Казалось бы, куда уж быстрее, мы и так считаем их буквально в пару строчек. Но, на самом деле, ускориться можно, и делается это следующим образом. Записываем значение, кратное десяти, которое наиболее близкое нужному. Например, возьмем 51. Поэтому для начала возведем пятьдесят:
Значения, кратные десяти, поддаются возведению в квадрат намного проще. А теперь к исходному выражению просто добавляем пятьдесят и 51. Ответ получится тот же самый:
И так со всеми числами, отличающимися на единицу.
Если значение, которое мы ищем, больше, чем то, которое мы считаем, то к полученному квадрату мы прибавляем числа. Если же искомое число меньше, как в случае с 39, то при выполнении действия, из квадрата нужно вычесть значение. Давайте потренируемся без использования калькулятора:
Как видите, во всех случаях ответы получаются одинаковыми. Более того, данный прием применим к любым смежным значениям. Например:
При этом нам совсем не нужно вспоминать выкладки квадратов суммы и разности и использовать калькулятор. Скорость работы выше всяких похвал. Поэтому запоминайте, тренируйтесь и используйте на практике.
Ключевые моменты
С помощью этого приема вы сможете легко делать умножение любых натуральных чисел в пределах от 10 до 100. Причем все расчеты выполняются устно, без калькулятора и даже без бумаги!
Для начала запомните квадраты значений, кратных 10:
Далее — выкладки квадрата суммы или разности, в зависимости от того, к какому опорному значению ближе наше искомое выражение. Например:
Как считать еще быстрее
Но это еще не все! С помощью данных выражений моментально можно сделать возведение в квадрат чисел, «смежных» с опорными. Например, мы знаем 152 (опорное значение), а надо найти 142 (смежное число, которое на единицу меньше опорного). Давайте запишем:
Обратите внимание: никакой мистики! Квадраты чисел, отличающиеся на 1, действительно получаются из умножения самих на себя опорных чисел, если вычесть или добавить два значения:
— это и есть формула.
— аналогичная формула для чисел, больших на 1.
Надеюсь, данный прием сэкономит вам время на всех ответственных контрольных и экзаменах по математике. А у меня на этом все. До встречи!
Быстрое возведение чисел от 1 до 100 в квадрат
Вдохновленный этой статьей, решил поделиться с вами способом быстрого возведения в квадрат. Возведение в квадрат более редкая операция, нежели умножение чисел, но под нее существуют довольно интересные правила.
*квадраты до сотни
Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.
Правило 1 (отсекает 10 чисел)
Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.
В таблице отмечены красным.
Правило 2 (отсекает 10 чисел)
Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.
В таблице отмечены зеленым.
Правило 3 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 40 до 50.
Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:
В таблице отмечены светло-оранжевым.
Правило 4 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 50 до 60.
Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:
В таблице отмечены темно-оранжевым.
Правило 5 (отсекает 8 чисел)
Для чисел от 90 до 100.
Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:
В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.
Правило №6 (отсекает 32 числа)
Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения 🙂
В таблице отмечены синим.
Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:
Формулы (осталось 24 числа)
Для чисел от 25 до 50
Для чисел от 50 до 100
Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
UPDATE
Произведения чисел, близких к 100, и, в частности, их квадраты, также можно вычислять по принципу «недостатков до 100»:
Словами: из первого числа вычитаем «недостаток» второго до сотни и приписываем двузначное произведение «недостатков».
Для квадратов, соответственно, еще проще.
Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга.
Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.
Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.
Если тема быстрого счета интересна — буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.
Таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 100
Таблица квадратов и таблица степеней.
Таблица квадратов представляет собой числа, которые возведены во вторую степень. Она используется для упрощения расчетов при возведении чисел во вторую степень.
Как пользоваться таблицей квадратов по схеме:
Чтобы возвести число в квадрат, нужно выбрать десятку и единицу числа, которое необходимо возвести во вторую степень, и на их пересечении будет число, которое получается за счет умножения этого числа на себя.
Например: рассмотрим на картинке ниже число 1849. Оно получилось за счет умножения числа 43 на 43 (43 во второй степени), в котором “4”- это десятка, а “3” – единица.
Или другой пример: число 4356 получилось за счет умножения числа 66 на 66 (66 во второй степени), в котором “6” сбоку – это десятка, а “6” сверху – единица.
Таблица квадратов:
Вторую степень называют “квадратом числа”. При этом умножение числа самого на себя происходит один раз (a · a).
Возведение в степень:
Возведение в степень – алгебраическое действие, при котором происходит умножение числа самого на себя столько раз, сколько указано в показателе.
Пример: 3 2 (три во второй степени) = 3 · 3 = 9, или
3 3 (три в третьей степени) = 3 · 3 · 3 = 27.
Таблица степеней:
Свойства степеней:
Произведение степеней. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
6 2 · 6 4 = 6 2+4 = 6 6
Частное степеней. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
6 4 / 6 2 = 6 4 – 2 = 6 2
Возведение степени в степень. При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
(6 4 ) 6 = 6 4 · 6 = 6 24
Степень произведения. При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
Степень частного (дроби). Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй. При возведении в степень дроби нужно возвести в степень и числитель, и знаменатель.
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
Мировая экономика
Справочники
Востребованные технологии
Поиск технологий
О чём данный сайт?
Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.
Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.
Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!
Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.
О Второй индустриализации
Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.
Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.
Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.
Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.
Свойства степеней. Действия со степенями
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
a — основание степени;
n — показатель степени.
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).
Что такое возвести в квадрат
Введение.
Математика – очень древняя наука. Многие понятия, правила, законы, формулы уже известны давно, и открыть что-то новое, просто невозможно. Всё равно на уроке математики мы открываем для себя новые знания. Из года в год наши знания увеличиваются. Например, при изучении темы «Степень» узнали, что произведение одинаковых множителей можно записать, как степень данного числа. Так мы познакомились с квадратом и кубом числа.
Устно возводить в квадрат однозначное число легко, для этого надо знать всего лишь таблицу умножения. А как устно возвести в квадрат двузначное число, меня очень заинтересовало.
Умея это выполнять, мы откажемся от письменного умножения. Конечно, можно посмотреть в таблицу квадратов, но она не всегда под руками.
Цель проекта: Поиск приёмов быстрого возведения чисел в квадрат.
Задачи: 1) Познакомиться с историей возникновения степени числа.
2) Изучить приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
3) Вывести свой способ возведения чисел в квадрат.
4) Выбрать из всех самый оптимальный способ.
Гипотеза: Применение приёмов быстрого возведения чисел в квадрат облегчает вычисления, повышает вычислительную культуру учащихся. Возводить в квадрат легко и просто.
Объект исследования: приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
Методы исследования: Анализ литературы. Поисковый метод. Сравнение.
Актуальность проекта: Во все времена умение производить в уме различные вычисления вызывает восхищение, это отличное упражнение, позволяющее поддержать мозг в состоянии «боевой готовности»[1]. Освоение способов устного возведения чисел в квадрат усиливает интерес к математике, развивает внимание, мышление, память, эрудицию и математические способности.
История возникновения квадрата числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней[5].
В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский [2] описывает первые натуральные степени чисел так:
«Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».
Прошло много времени и у Рене Декарта[3] в его «Геометрии» (1637) мы находим современное обозначение степеней а?, а. Любопытно, что Декарт считал, что а*а не занимает больше места, чем а 2 и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей.
Немецкий ученый Лейбниц[4] считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей и применял знак а 2 [5].
Приёмы быстрого возведения чисел в квадрат.
Учись считать быстро! Для овладения этим навыком любому человеку нужны:
Давайте познакомимся с некоторыми приёмами возведения в квадрат двузначных чисел, которые выполняются почти мгновенно[1].
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5.
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо умножить количество его десятков на следующее за ним число и приписать к произведению 25.
Возведение в квадрат числа, первая цифра которого равна 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, первая цифра которого равна 5, надо к 25 прибавить число единиц и приписать квадрат числа единиц.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 1.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно округлить число до десятков, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное при округлении.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 9.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 4.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 6.
При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат, и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.
Возведение в квадрат числа, близкого к 50.
а) Для чисел от 40 до 50 (числа пятого десятка). Опорное число – 15.
1) 44 2 = (15 + 4) · 100 + (50 – 44) 2 = 1900 + 36 = 1936.
2) 43 2 = 18 · 100 + 7 2 = 1800 + 49 = 1849.
3) 48 2 = 2300 + 4 = 2304.
б) Для чисел от 25 до 40 и до 50. Опорное число – 25.
1) 37 2 = (37 – 25) · 100 + (50 – 37) 2 = 12 · 100 + 13 2 = 1200 + 169 = 1369.
Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.
2) 28 2 = 3 · 100 + 22 2 = 300 + 484 = 784.
3) 46 2 = 2100 + 16 = 2116.
4) 39 2 = 1400 + 121 = 1521.
в) Для чисел от 50 до 60 (числа шестого десятка). Опорное число – 25.
1) 57 2 = (25 +7) · 100 + (57 – 50) 2 = 32 · 100 + 7 2 = 3200 + 49 = 3249.
2) 52 2 = 2700 + 4 = 2704.
г) Для чисел от 50 до 60 и до 75. Опорное слово – 25.
Для этого приёма надо знать квадраты чисел от 1 до 25.
1) 58 2 = (58 – 25) · 100 + (58 – 50) 2 = 33 · 100 + 8 2 = 3300 + 64 = 3364.
2) 71 2 = 46 · 100 + 21 2 = 4600 + 441 = 5041.
Возведение в квадрат числа, близкого к 100.
97 2 = (97 – 3) · 100 + 3 2 = 9400 + 9 = 9409, где 3 – дополнение 97 до 100.
94 2 = (94 – 6) · 100 + 6 2 = 8800 + 36 = 8836.
Возведение в квадрат любого двузначного числа.
38 2 = (30 + 8) 2 = (30 + 8) · (30 + 8) = (30 + 8) · 30 + (30 + 8) · 8 = 30 · 30 + 8 · 30 +
+ 30 · 8 + 8 · 8 = 3 · 3 · 100 + 3 · 8 · 10 + 3 · 8 · 10 + 8 · 8 = 3 2 · 100 + 3 · 8 · 2 · 10 + + 8 2 = 9 · 100 + 48 · 10 + 64 = 964 + 480 = 1444.
Можно оформить решение так:
27 2 = 449 + 280 = 729.
84 2 = 6416 + 640 = 7056.
42 2 = 42 · 42 = (42 + 2) · 40 + 2 2 = 44 · 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764
78 2 = (78 + 8) · 70 + 64 = 86 · 70 + 64 = 6020 + 64 = 6084.
в) Метод «округления».
1) Для чисел, у которых цифра единиц больше 5:
47 2 = 47 · 47 = 50 · (47 – 3) + 3 2 = 50 · 44 + 9 = 2200 + 9 = 2209.
26 2 = 30 · 22 + 16 = 660 + 16 = 676.
1) Для чисел, у которых цифра единиц меньше 5:
73 2 = 73 · 73 = 70 · (73 + 3) + 3 2 = 70 · 76 + 9 = 5320 + 9 = 5329.
82 2 = 80 · 84 + 4 = 6720 + 4 = 6724.
г) Метод замены квадрата числа произведением.
29 2 = (29 – 9) · (29 + 9) + 9 2 = 20 · 38 + 81 = 760 + 81 = 841.
86 2 = (86 – 6) · (86 + 6) + 6 2 = 80 · 92 + 36 = 7360 + 36 = 7396.
54 2 = 50 · 58 + 16 = 2900 + 16 = 2916.
д) Метод понижения числа на единицу.
28 2 = (28 – 1) 2 + 28 + (28 – 1) = 27 2 + 28 + 27 = 729 + 55 = 784.
56 2 = 55 2 + 56 + 55 = 3025 + 111 = 3136.
Минус этого приёма в том, что квадрат данного двузначного числа выражаем через квадрат числа на единицу меньше, который надо либо вычислять, либо снова понижать, и так до бесконечности.
Возведение в квадрат любого двузначного числа по методу Алины.
Приёмов возведения двузначных чисел в квадрат много и все они разные. Для каждой группы чисел надо знать своё правило, а удержать все правила в уме иногда невозможно.
Собирая материал для проекта, мне захотелось вывести свой приём быстрого возведения двузначного числа в квадрат.
Очень понравился приём возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Он быстрый и понятный. А можно ли этот приём применить для любого числа? Изучая литературу, я нигде этого способа не увидела. Применяя его для любых двузначных чисел, вот что у меня получилось.
Напомню: 35 2 = 3 · (3 + 1) · 100 + 5 2 = 1200 + 25 = 1225.
Возведём по этому способу в квадрат число 36.
Мы знаем, что 36 2 = 1296.
3 · (3 + 1) · 100 + 6 2 = 1200 + 36 = 1236, но 1236 1296. Число 1236 2 = 3 · 4 · 100 + 6 2 + 30 · 2 = 1236 + 60 = 1296.
Рассмотрим другие примеры.
56 2 = 5 · 6 · 100 + 6 2 + 50 · 2 = 3000 + 36 + 100 = 3036 + 100 = 3136.
46 2 = 2036 + 40 · 2 = 2036 + 80 = 2116.
Я много раз возводила числа в квадрат и увидела такую закономерность:
Пусть, например, надо возвести в квадрат число 39. Цифра 9 стоит на четвёртом месте от цифры 5, число 4 удваиваем, это будет 8, а теперь применяем приём:
39 2 = 3 · 4 · 100 + 9 2 + 30 · 8 = 1200 + 81 + 240 = 1281 + 240 = 1521.
240 можно представить так: 30 · 2 · 4, то есть десятки числа удвоить и умножить на номер места цифры единиц от цифры 5.
73 2 = 5609 – применяя приём возведения в квадрат для числа, оканчивающегося на 5. Но 5329 ≠ 5609.
х = 280, где 280 = 70 · 2 · 2, первая двойка удваивает число десятков в числе; вторая двойка обозначает номер места цифры 3 от цифры 5.
Эврика! Способ найден!
73 2 = 7 · 8 ·100 + 3 · 3 – 70 · 2 · 2 = 5609 – 280 = 5329.
Можно оформить решение и так:
Какой приём возведения двузначного числа в квадрат наиболее простой? Для себя я выбрала два приёма. Мне они оба понятные и несложные.
Какой приём выберите вы, думайте сами. Вам решать.
Заключение.
Владение приёмами быстрого возведения двузначного числа в квадрат даёт возможность выбрать в каждом отдельном случае наиболее рациональные и эффективные пути вычислений, что приводит:
Считаю, что возводить двузначные числа в квадрат легко и просто. Гипотеза доказана.
Умение считать в уме остаётся полезным навыком для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него.
Возможность обходиться без калькулятора и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это здорово[1]!