Что такое внешнее касание окружностей

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям

Формулы для длин общих касательных и общей хорды

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r₁ – r₂ лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r₁ и r₂ с центрами O₁ и O₂ определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Фигура	Рисунок	Свойства
Две окружности на плоскости
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внешнее касание двух окружностей
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Каждая из окружностей лежит вне другой
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Внешнее касание двух окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Окружности пересекаются в двух точках
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Внутреннее касание двух окружностей

Окружности пересекаются в двух точках

Внешнее касание двух окружностей

Каждая из окружностей лежит вне другой

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Фигура	Рисунок	Формула
Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внешняя касательная к двум окружностям

Внутренняя касательная к двум окружностям

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Общая хорда двух пересекающихся окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей что и требовалось доказать. что и требовалось доказать. Источник Свойства внешне касающихся окружностей. Свойство 3 Если две окружности касаются внешним образом, то хорды, соединяющие точку касания этих окружностей с точками касания окружностей с их общей внешней касательной, пересекаются под прямым углом: Внешне касающиеся окружности. Свойство Доказательство свойства внешне касающихся окружностей Шаг 1 Рассмотрим две окружности с центрами в точках О и О1 и радиусами R и r. Пусть эти окружности касаются внешне в точке С. Проведем к ним касательную a. Точки касания прямой с окружностями обозначим буквами А и В. Докажем, что образовавшийся угол АСВ – прямой. Доказательство свойства внешне касающихся окружностей. Шаг 1 Шаг 2 Проведем радиусы ОА и О1В. Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то: Доказательство свойства внешне касающихся окружностей. Шаг 2 Шаг 3 Так как точки О1, О и С лежат на одной прямой, то прямая ОО1 является секущей при параллельных ОА и О1В. Доказательство свойства внешне касающихся окружностей. Шаг 3 Шаг 4 Рассмотрим треугольник АОС. ОА = ОС как радиусы окружности. Следовательно, треугольник АОС – равнобедренный. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то: Доказательство свойства внешне касающихся окружностей. Шаг 4 Шаг 5 Рассмотрим треугольник СО1В. О1С = О1В как радиусы окружности. Следовательно, треугольник СО1В – равнобедренный. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника: Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то: Доказательство свойства внешне касающихся окружностей. Шаг 5 Источник Общие внешние касательные Если две окружности с равными радиусами касаются внешним образом, то их общие внешние касательные параллельны. Если две окружности с различными радиусами касаются внешним образом, то их центры и точка касания лежат на биссектрисе угла, образованного общими внешними касательными. (как радиусы, проведённые в точки касания). Прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны: O1A∥O2B (по признаку параллельности прямых). O1A=O2B (по условию). Следовательно, четырёхугольник ABO2O1 — параллелограмм (по признаку). А так как у него есть прямой угол, то ABO2O1 — прямоугольник (по признаку). Значит, O1O2∥AB и расстояние между прямыми равно радиусу. Аналогично, O1O2∥CD и расстояние между прямыми равно радиусу. Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то AB∥CD. Прямая O1O2 равноудалена от прямых AB и CD. 2) Если две окружности с различными радиусами касаются внешне, то общие внешние касательные образуют угол, в который обе окружности вписаны. Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, то центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла CMK. Так как при внешнем касании O2D+O1D=O1O2, точка D лежит на прямой O1O2 между точками O1 и O2. Источник Построение касательной к окружности Построение касательной к окружности Касательную из точки А к окружности можно провести следующим образом: 1. На отрезке ОА как на диаметре строят окружность радиуса R=0,5[OA]; 2. Точки 1 и 2 пересечения полученной окружности с заданной определяют положение точек касания; 3. Отрезки [1A] и [2A] определяют положение касательных t1 и t2 проведенных из точки А к окружности.

Построение внешней касательной к двум дугам окружности

Внешнее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:

1. Проводят окружность радиусом R-r из центра О дуги большего радиуса;

2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;

3. На продолжении луча ОМ отмечаем точку касания 1;

4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ до пересечения с дугой и отмечаем точку касания 2;

5. Через точки 1 и 2 проводим искомую касательную t.

Построение внутренней касательной к двум дугам окружности

Внутреннее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:

1. Проводят окружность радиусом R+r из центра О дуги большего радиуса;

2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;

4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ до пересечения с дугой радиуса r и отмечаем точку касания 2;

Источник

Подборка задач для работы на уроке по теме «Касание окружностей»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Материал по теме «Касание окружностей»

Подборка задач для работы на уроке и самоподготовке по теме

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

«окружности касаются внешним образом ».

«окружности касаются внутренним образом».

Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.

Концентрическими окружностями называются окружности с общим центром.

Если — расстояние между центрами окружностей радиусов и общая внешняя касательная касается окружностей в точках и общая внутренняя в точках и то

Если две окружности внешне касаются в точке С и их общая внутренняя касательная, проведённая через С, пересекается в точке D с другой общей внешней касательной АВ (А и В –точки касания), то АВ=2С D

Равенство отрезков касательных,

Вписанный прямоугольный треугольник.

а) Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.

б) Докажите, что углы AKB и O ₁ MO ₂ — прямые ( O ₁ и O ₂ — центры окружностей).

Решение

Поэтому AB = O ₁ P = 2 .

NM = 2 MK = AB = 2 .

Поэтому AB = O ₁ P = 2 .

NM = 2 MK = AB = 2 .

Поэтому AB = O ₁ P = 2 .

NM = 2 MK = AB = 2 .

Теорема Пифагора (прямая и обратная)

Решение

В окружности радиуса R проведён диаметр и на нём взята точка A на расстоянии a от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке A и изнутри касается данной окружности.

Решение

Пусть O и O ₁ — центры данных окружностей, x — искомый радиус. В треугольнике OO ₁ A известно, что

По теореме Пифагора

Отсюда находим, что x = .

Решение

Обозначим через S точку пересечения XO ₁ и YO ₁ (см. рис.). Пусть r ₁ и r ₂ – радиусы соответствующих окружностей. Тогда . Значит, SO || O ₂ Y и .

Вспомогательные подобные треугольники

Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках

4. Даны четыре окружности S 1, S 2, S 3 и S 4, причём окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 ( S 5 = S 1). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Источник

• ← Что такое внешнее и внутреннее торможение условных рефлексов
• Что такое внешнее конусное расстояние →