Что такое верные записи

Понятие равенства, знак равенства, связанные определения

Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.

Что такое равенство

Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.

Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.

Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например: и . Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.

Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.

Запись равенств, знак равно

Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).

Верные и неверные равенства

Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.

Свойства равенств

Запишем три основных свойства равенств:

Буквенно сформулированные свойства запишем так:

Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.

Двойные, тройные и т.д. равенства

При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.

Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.

Источник

Понятие равенства, знак равенства, связанные определения.

В этой статье собрана информация, формирующая представление о равенстве в контексте математики. Здесь мы выясним, что такое равенство с математической точки зрения, и какие они бывают. Также поговорим о записи равенств и знаке равно. Наконец, перечислим основные свойства равенств и для наглядности приведем примеры.

Навигация по странице.

Что такое равенство?

Понятие равенства неразрывно связано со сравнением – сопоставлением свойств и признаков с целью выявлением схожих черт. А сравнение в свою очередь предполагает наличие двух предметов или объектов, один из которых сравнивается с другим. Если, конечно, не проводить сравнение предмета с самим собой, и то, это можно рассматривать как частный случай сравнения двух предметов: самого предмета и его «точной копии».

Из приведенных рассуждений понятно, что равенство не может существовать без наличия, по крайней мере, двух объектов, иначе нам просто нечего будет сравнивать. Понятно, что можно взять три, четыре и большее число объектов для сравнения. Но оно естественным образом сводится к сравнению всевозможных пар, составленных из этих объектов. Иными словами, оно сводится к сравнению двух объектов. Итак, равенство требует два объекта.

Суть понятия равенства в самом общем смысле наиболее отчетливо передается словом «одинаковые». Если взять два одинаковых объекта, то о них можно сказать, что они равные. В качестве примера приведем два равных квадрата и . Отличающиеся объекты, в свою очередь, называют неравными.

Из предыдущего примера для себя отметим, что нужно наперед знать, о равенстве чего именно мы говорим.

Все приведенные рассуждения применяются и к равенствам в математике, только здесь равенство относится к математическим объектам. То есть, изучая математику, мы будем говорить о равенстве чисел, равенстве значений выражений, равенстве каких-либо величин, например, длин, площадей, температур, производительностей труда и т.п.

Запись равенств, знак равно

Пришло время остановиться на правилах записи равенств. Для этого используется знак равно (его также называют знаком равенства), который имеет вид =, то есть, представляет собой две одинаковые черточки, расположенные горизонтально одна над другой. Знак равно = считается общепринятым.

Стоит отметить, что в математике рассмотренные записи равенств часто используют как определение равенства.

Записи, в которых используется знак равно, разделяющий два математических объекта (два числа, выражения и т.п.), называют равенствами.

Верные и неверные равенства

Записанные равенства могут отвечать смыслу понятия равенства, а могут и противоречить ему. В зависимости от этого равенства подразделяются на верные равенства и неверные равенства. Разберемся с этим на примерах.

Свойства равенств

Отдельно стоит отметить заслугу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – в том, что они позволяют говорить о равенстве трех и большего числа объектов через их попарное равенство.

Двойные, тройные равенства и т.д.

В виде таких цепочек равенств удобно оформлять пошаговое решение примеров и задач, при этом решение выглядит кратко и видны промежуточные этапы преобразования исходного выражения.

Источник

Верные и сомнительные цифры приближенного значения числа.

Значащие цифры приближенного значения числа

При вычислениях часто трудно указать наряду с приближенными значениями их погрешности. А в различных справочниках указывать погрешности приближенных данных неудобно, неэкономично. Поэтому при записи приближенных значений чисел требуют, чтобы по этой записи можно было определить границу абсолютной погрешности приближения. Для этого вводится понятие верной и сомнительной цифр приближенного значения числа.

Определение: Цифра называется верной, если граница абсолютной погрешности данного приближенного значения числа не превосходит (£) единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В противном случае цифра называется сомнительной.

Пример: Определить верные и сомнительные цифры в приближенном значении числа:

1. х = 35,4 ± 0,08

Вывод: Если в записи приближенного значения числа какая-то цифра – верная, то и все предшествующие ей цифры так же являются верными.

2. х = 9,846 ± 0,04

Цифра 4 в 0,01; h = 0,04 £ 0,01; 4 – сомнительная цифра;

Цифра 8 в 0,1; h = 0,04 £ 0,1; 8 – верная цифра;

Следовательно, 9 – верная цифра.

3. х = 945,673 ± 0,03

Цифра 3 в 0,001; h = 0,03 £ 0,001; 3 – сомнительная цифра;

Цифра 7 в 0,01; h = 0,03 £ 0,01; 7 – сомнительная цифра;

Цифра 6 в 0,1; h = 0,03 £ 0,1; 6 – верная цифра;

Следовательно, 5, 4, 9 – верные цифры.

При записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила.

Правила записи приближенных чисел:

Пример: Записать правильно приближенное значение числа:

1. х = 950,031 ± 0,04

Следовательно, 0, 5, 9 – верные цифры.

х » 950,0 (правила 1, 2)

2. х = 0,075 ± 0,000005

х » 0,07500 (правила 1, 2)

3. х = 746000000 ± 5000

Следовательно, 0, 6, 4, 7 – в. ц.

х » 74600 × 10 4 (правила 1, 3)

Если приближенное значение числа дано без указания границы абсолютной погрешности, то ее можно определить по записи этого приближенного значения, используя определение верной и сомнительной цифр приближенного значения числа.

Пример:

1. Указать абсолютную погрешность приближенного числа а = 3,14.

Решение:

Дата добавления: 2017-01-29 ; просмотров: 40182 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Верные и неверные равенства и неравенства

Презентация к уроку

Планируемые результаты (универсальные учебные действия).

(96) Неявное сравнение. Выделение существенных признаков понятий “верное равенство”, “неверное равенство”.

(97) Составление новых объектов (свободное конструирование). Нахождение значений выражений.

(94) Сравнение текстов с целью подведения под понятие “задача”. Решение задачи.

1. Организационный момент.

Долгожданный дан звонок,
Начинается урок!
Начинаем мы опять:
Решать, отгадывать, считать!
Пожелаем всем удачи –
За работу, в добрый час!

Встанем, повернёмся, наклоном головы поприветствуем наших гостей.

Введение в тему урока.

Учитель.

— Ребята, чтобы в очередной раз нам попасть в страну математика, мы должны отгадать загадку:

Стоит трёхглавый великан
Он правила расскажет нам,
Кому куда идти и ехать,
Чтоб не создать затор, помехи.
Если загорелся красный,
Стой! Движение опасно!
Загорелся жёлтый свет,
Ожидай, движенья нет!
Свет зелёный на табло,
Движение разрешено.
— Что это? ( Светофор).

-Светофор задаёт вопрос: На какой свет разрешено переходить дорогу?

— Переходим, когда загорается зелёный свет, дорогу переходим аккуратно, особенно в зимний период. Зимой на дорогах очень скользко.

— Но загорелся красный свет, светофор не пропускает нас в страну математика, он хочет проверить, как мы знаем таблицу сложения, как мы умеем считать устно. Давайте покажем светофору. Готовы? Да.

2. Актуализация знаний. Повторение пройденного материала.

— В стране математика на небе появились тучки, они мешают нам познакомиться с новыми жителями страны. Чтобы их разогнать, нужно выполнить задание – найти значения выражений, а поможет вам знание таблицы сложения. Готовы? Да.

— Посмотрите ребята на доску, кто нас встречает в стране математика? Как называются эти знаки? (больше, меньше, равно)

— Как мы называем математические записи с такими знаками? (РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА)

— Так какую математическую запись называем равенством или неравенством? (Математическую запись, в которой есть знаки = называем равенством или неравенством).

— Ребята, посмотрите, загорелся зелёный свет, мы верно выполнили задание, правильно ответили на вопросы. Смело отправляемся в страну математика.

— Все ваши умения пригодятся сегодня на уроке, а внимание – особенно. Скажите, какое сегодня число? ( 25 февраля)

— Вспомним всё, что знаем о числах 2 и 5.Какие это числа – однозначные или двузначные?

– Это числа однозначные, т.к. при их записи используется одна цифра.

— Какие это числа: натуральные или ненатуральные?

– Эти числа натуральные, т.к. стоят в натуральном ряду чисел.

— О каком числе мы говорим, что оно ненатуральное? Почему?

— Число 0 ненатуральное число. Число ноль ничего не обозначает.

— Правильно. В переводе с латинского слово “нулус” означало ничто, а в Древней Индии отсутствие чего-либо обозначали пустым кругом.

— Какие числа являются предшествующими для чисел 2 и 5? (1 и 4)

— Какие следующие за числами 2 и 5. (3 и 6)

— Какое из этих чисел (2 и 5) больше, и на сколько? (3)

— Как узнал? Как узнать на сколько одно число больше или меньше другого?

(Чтобы узнать, насколько одно число больше или меньше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее.)

— Пропишем числа “в воздухе”.

— Молодцы! Закрываю презентацию, открываю доску.

– Запишем сначала предшествующие числа в соседних клеточках 1 4, запишем следующие числа 3 6 в соседних клеточках (показываю указкой всё на доске).

— Кому трудно, можно поработать фломастером на волшебной страничке.

— Запишите все числа, которые встретились нам в чистописании в порядке возрастания, на новой строчке, через клеточку.

— Что у вас получилось? Прочитай (Учитель записывает на доске). Можем мы назвать эту запись натуральным рядом чисел? Нет, почему? 0 – не натуральное число.

— Пойти к доске, составить с числами 2 и 5 равенства и неравенства. Где нужно вставь число два, где нужно, число 5!

— Какую математическую запись мы называем равенством или неравенством?

— Почему записи на доске мы не можем назвать выражением? Что такое выражение?

— Правильно. Выражение – запись, в которой числа соединены знаками действий. Знаков сравнения в выражениях нет. Садись, молодец.

ЗАКРЫВАЮ ДОСКУ, ОТКРЫВАЮ ПРЕЗЕНТАЦИЮ

Работа над новым материалом. Проблема: Неявное сравнение.

-Ребята, внимание на доску. Сегодня в страну математика с нами отправились Саша и Катя. Посмотрите на задания, которые они выполняли. Как называются такие математические записи?

— Равенства и неравенства.

— Верно, мы видим знаки сравнения. Прочитайте задание.

— Хочу обратить ваше внимание, вам было сделано предупреждение ещё в начале урока, чтобы вы были предельно внимательными. Катя и Саша выполняли ОДИНАКОВЫЕ задания, но знаки сравнения (показываю указкой на доске) в первой и второй строчках у них разные. Значения выражений не совпадают. Почему так произошло?

— Исправьте у себя на листочках Катину ошибку.

— Вторая строчка, кто допустил ошибку? (Ошибку допустил Саша, 8-5=3, а 3 больше двух)

— Исправим. Проверим. Слайд.

— Третья строчка, кто допустил ошибку? Ошибку допустила Катя. 7-2=5, а 5 больше четырёх на один. Исправим. Проверим. Слайд.

— Четвёртая строка – ошибку допустил Саша. 4+4=8, а 8 больше 7. Проверим.

— Посмотрите внимательно, что у нас получилось. Равенства и неравенства у нас остались? (да)

— Но какие-то из них верные, а какие-то нет! Выпишите в тетрадь ВЕРНЫЕ равенства и ВЕРНЫЕ неравенства – т.е. те, в которых ребята не допустили ошибок.

3. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА в тетрадях

СЛАЙД с выполненным заданием.

— Встаньте те, у кого запись совпадает с записью на доске. Какие равенства и неравенства вы выписывали? Верные.

— Без ошибок, без несоответствий, то есть ВЕРНЫЕ! А почему не записали остальные равенства и неравенства? Там есть ошибки.

— Т.е. мы не выписывали те, которые ребята выполнили неверно!

— Верные мы выписали, неверные нет (показываю на доске). Так какие бывают равенства и неравенства?

Вывод: Равенства и неравенства бывают верные и неверные.

— Правильно. Равенства и неравенства без ошибок, без несоответствий называют ВЕРНЫМИ, а равенства и неравенства, где левая часть не соответствует правой (или её значение), о таких неравенствах говорят, что это неравенства неверные.

Вы молодцы, вы хорошо поработали, давайте отдохнём.

4. ФИЗМИНУТКА (СЛАЙД).

5. Закрепление материала. Работа по учебнику:

— Ребята откройте учебники на странице 38, найдите номер 94 ( Сравнение текстов с целью подведения под понятие “задача”. Решение задачи.).

— Сравните тексты. Какой из них является задачей? Вспомним, какой текст мы называем задачей?

— Текст, в котором есть условие, вопрос, числовые данные для ответа на него, мы называем задачей.

— Так какой из текстов является задачей, докажи?

— Второй текст является задачей, так как в нём есть вопрос, есть числовые данные для ответа на него.

— Прочитай вслух ещё раз ЗАДАЧУ. (СЛАЙД С ЗАДАЧЕЙ)

— О чём говорится в задаче? (О игрушках на полке – куклах и мишках).

ЧИТАЕТ УЧЕНИК: Сколько игрушек на полке?

— Сможем ли мы ответить на вопрос в задаче? (да)

— Докажи. Что мы должны знать, чтобы ответить на вопрос в задаче?

(Количество мишек, количество кукол)

— Известно сколько плюшевых мишек стояло на полке? (да, 3)

— Известно сколько кукол стояло на полке? (да, 3)

— Нас просят решить задачу, записав выражение. После найти его значение.

— Какое действие запишем в выражении, чтобы узнать, сколько всего игрушек стояло на полке? (действие сложения)

— Выйди к доске и запиши выражение, с помощью которого мы ответим на вопрос в задаче.

ЗАКРЫВАЮ ПРЕЗЕНТАЦИЮ, ОТКРЫВАЮ ДОСКУ

ВЫХОД УЧЕНИКА К ДОСКЕ

— Эти числа обозначают количество мишек и количество кукол. Складываем эти числа. Действие сложения записываем с помощью знака +.

— Найдите значение этого выражения: 3+3=6.

— Что обозначает число 6? (количество всех игрушек, сколько игрушек всего)

— Давайте проверим себя, правильно ли мы ответили на вопрос в задаче – пересчитаем все игрушки на рисунке. Поставили пальчики в учебник – считаем. Мы решили верно. 6=6

— Запиши на доску, а вы ребята в тетрадь это равенство: 6=6.

— Ребята, посмотрите внимательно на нашу запись – там, где записано решение задачи. Мы записали выражение, нашли его значение, что у нас получилось? Как называется такая математическая запись? РАВЕНСТВО

— Какое это равенство? ВЕРНОЕ РАВЕНСТВО

ЗАКРЫВАЮ ДОСКУ И ОТКРЫВАЮ ПРЕЗЕНТАЦИЮ: 3+3=6

— Поменяйте значение выражения так, чтобы получилось неверное равенство. Перечислите свои неверные равенства ( дети называют с мест).

— Поменяйте знак сравнения так, чтобы получилось верное неравенство. Назовите своё неравенство. Сверим с доской:

— Так какие бывают равенства и неравенства? (Полный ответ: равенства и неравенства бывают верные и неверные.)

— Там, где есть несоответствия между сравниваемыми записями слева и справа, мы говорим о неверном сравнении – неверных равенствах и неравенствах.

— В нашей стране математика давно закончился дождь. А после дождя, что мы обычно видим на небе? Красивую радугу. Если будете внимательно следить за жителем страны Математика – Котёнком Квадратиком – глазками – вы увидите красивую радугу.

6. ФИЗМИНУТКА для глаз.

7. Составление новых объектов, свободное конструирование.

— Найдите в учебнике номер 97. СЛАЙД

— Кроме млекопитающих животных на рисунке изображены насекомые и птицы. Относим ли мы их к царству животных или мы их относим к царству растений или грибов?

— Да, мы их относим к царству животных. Значит все объекты на рисунке – это животные.

Читаю по учебнику задание: запиши столько сумм, сколько на рисунке животных обитающих в воде. Запиши столько разностей, сколько животных обитающих на суше. Мы разделимся, задание будем выполнять по вариантам.

— Первый вариант запишет столько сумм, сколько на рисунке животных, обитающих в воде. Второй вариант запишет столько разностей, сколько животных, обитающих на суше. Хочу обратить ваше внимание на животное – гусь. Где он может находиться? И в воде, и на суше. Значит и первый, и второй вариант будут его учитывать.

— Давайте определим, сколько животных, обитающих в воде?

Первый вариант?(4) Перечисли – МОРЖ, ДЕЛЬФИН, КИТ, ГУСЬ. Проверим! Слайд.

— Давайте определим, сколько животных, обитающих на суше? Второй вариант?(5) Перечисли – БЕЛКА, БАБОЧКА, ГУСЬ, ЁЖИК, ОСА. Проверим! Слайд.

— Следовательно первый вариант самостоятельно записывать 4 суммы, не находя их значение. Второй – 5 разностей, не вычисляя их. Помните, что вы записываете выражения, не находя их значений. Найдите на листочках номер 97 – подписан. Вставьте в окошки нужные числа, любые.

8. Оценка и самооценка.

— Обменяйтесь листочками, проверьте, правильно ли выполнил задание ваш сосед по парте. Найдите значения выражений вашего соседа, запишите их простым карандашом. Обменяйтесь, проверьте. Можно стереть ластиком, записать свой вариант ответа, если нашли ошибку.

— Прочитаем, что у вас получилось. Первый вариант. Второй вариант.

— Ребята, вы записали выражения, нашли их значения, что у вас получилось, как мы называем такие математические записи? РАВЕНСТВА

— Равенства, в которых мы не допустили ошибок, какие они – верные или неверные? ВЕРНЫЕ.

— Надеюсь, что неверных равенств у нас в этом задании нет, или если есть, то очень мало. Листочки вложите в тетрадь, а я проверю, как справились с заданием.

9. Итог урока: Вывод. Самооценка универсальных учебных умений, действий. Презентация.

— Ребята, какие математические записи называем равенством и неравенством? Записи, в которых есть знаки сравнения, называем равенствами и неравенствами.

— Какие бывают равенства и неравенства? Равенства и неравенства бывают верными и неверными.

— Какие равенства и неравенства называем неверными? Это математические записи, где знаки сравнения поставлены неверно.

— Ребята, у вас на партах у каждого есть по два билета. Вам нужно выбрать и один из них взять в руки. Возьмите в руки цветной билет, если вы поняли, что такое верные и неверные равенства и неравенства. С этим билетом вы можете смело дальше путешествовать по стране Математика. Если вы не поняли, как различить верные и неверные равенства и неравенства, возьмите в руки черно-белый билет. С этим билетом на следующих уроках математики нужно быть внимательнее. Поднимите, покажите, все ли у нас с билетами. Молодцы! Урок закончен, идите отдыхать.

Источник

Понятие неравенства, связанные определения.

Обратной стороной равенства выступает неравенство. В этой статье мы введем понятие неравенства, и дадим начальную информацию о них в контексте математики.

Сначала разберем, что такое неравенство, введем понятия не равно, больше, меньше. Дальше поговорим о записи неравенств с помощью знаков не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно. После этого затронем основные типы неравенств, дадим определения строгих и нестрогих, верных и неверных неравенств. Дальше мимоходом перечислим основные свойства неравенств. Наконец, остановимся на двойных, тройных и т.д. неравенствах, и разберем, какой смысл они несут в себе.

Навигация по странице.

Что такое неравенство?

Понятие неравенства, как и понятие равенства, связано со сравнением двух объектов. И если равенство характеризуется словом «одинаковые», то неравенство, напротив, говорит о различии сравниваемых объектов. Например, объекты и — одинаковые, про них можно сказать, что они равные. А вот два объекта и отличаются, то есть, они не равны или неравные.

Неравенство сравниваемых объектов познается вместе со смыслом таких слов, как выше, ниже (неравенство по высоте), толще, тоньше (неравенство по толщине), дальше, ближе (неравенство по удаленности от чего-либо), длиннее, короче (неравенство по длине), тяжелее, легче (неравенство по весу), ярче, тусклее (неравенство по яркости), теплее, холоднее и т.п.

Как мы уже отмечали при знакомстве с равенствами, можно говорить как о равенстве двух объектов в целом, так и о равенстве их некоторых характеристик. Это же относится и к неравенствам. В качестве примера приведем два объекта и . Очевидно, они не одинаковые, то есть, в целом они неравные. Они не равны по размеру, также они не равны по цвету, однако, можно говорить о равенстве их форм – они оба являются кругами.

В математике общий смысл неравенства сохраняется. Но в ее контексте речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений каких-либо величин (длин, весов, площадей, температур и т.п.), фигур, векторов и т.п.

Не равно, больше, меньше

Иногда ценность представляет именно сам факт неравенства двух объектов. А когда сравниваются значения каких-либо величин, то, выяснив их неравенство, обычно идут дальше, и выясняют, какая величина больше, а какая – меньше.

Смысл слов «больше» и «меньше» мы познаем практически с первых дней нашей жизни. На интуитивном уровне мы воспринимаем понятие больше и меньше в плане размера, количества и т.п. А дальше постепенно начинаем осознавать, что при этом фактически речь идет о сравнении чисел, отвечающим количеству некоторых предметов или значениям некоторых величин. То есть, в этих случаях мы выясняем, какое из чисел больше, а какое – меньше.

Запись неравенств с помощью знаков

Также широко в ходу знак больше или равно вида ≥, а также знак меньше или равно ≤. Подробнее об их смысле и назначении поговорим в следующем пункте.

Еще заметим, что алгебраические записи со знаками не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно, аналогичные рассмотренным выше, называют неравенствами. Более того, имеет место определение неравенств в смысле вида их записи:

Источник