Что такое верхний и нижний предел

Верхний и нижний пределы последовательности

Верхний и нижний пределы последовательности

Верхний и нижний пределы последовательности. В разделе 4.6 показано, что числовая последовательность всегда имеет по крайней мере 1 частичный предел, либо конечный, либо бесконечный. Максимум и минимум из них (учитывая ниже, что они всегда присутствуют) это играОн играет особую роль в теории последовательностей. Здесь понятия «максимум» и «минимум» понимаются в смысле расширенного набора действительных чисел K (см.§ 3.1).То есть наибольший (наименьший) элемент множества X ^ K в частности равен+ then (соответственно), что делается при+€€ € (—это€X).в данном случае это означает, что бесконечность соответствующего знака является частичным ограничением рассматриваемой последовательности. Не все наборы расширенных числовых строк имеют максимальный (минимальный) элемент.

Множество его конечных пределов, обозначенных через а, не является пустым или пустым. Людмила Фирмаль

Для любого числа n, например n’N и xn’A-e, существует число n ’(зависящее от e и n). Условие 1 означает, что для любого фиксированного e в последовательности существует только конечное число членов xn, таких как xn a + e (эти числа не больше ne). Условие 2 означает, что для любого фиксированного e в последовательности существует бесконечно много таких членов xn. Доказательство необходимости. Давайте попробуем это исправить. Если в полупериоде существует бесконечно много членов последовательности [a + e,+ then), то существует подпоследовательность, элементы которой принадлежат этому полупериоду и имеют конечные или бесконечные пределы. очевидно, что b A + e A противоречит тому факту, что a является максимальным частичным ограничением последовательности. Условие 1 доказано.

Здесь мы указываем, что число a является самым большим частичным пределом. Людмила Фирмаль

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Подпоследовательности и частичные пределы последовательностей

Определение подпоследовательности

Свойства подпоследовательностей

Свойство 3 является следствием свойств 1 и 2.

Частичный предел последовательности

Произвольная последовательность может иметь конечное или бесконечное число частичных пределов ⇑.

5. Свойство частичного предела последовательности
Точка является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.
Доказательство ⇓

Верхний и нижний частичные пределы

Рассмотрим множество частичных пределов последовательности. Эта теорема утверждает, что верхняя и нижняя грани этого множества являются ее элементами. То есть множество частичных пределов последовательности замкнуто, оно содержит свою границу. Для произвольного множества это может не выполняться. Например, для открытого интервала не существует наибольшего и наименьшего элемента, поскольку и верхняя грань b и нижняя a не принадлежит этому множеству.

Если последовательность не ограничена сверху, то ее верхний частичный предел равен плюс бесконечности:
.
Соответственно, если последовательность не ограничена снизу, то
.

Если последовательность ограничена, то ее верхний и нижний частичные пределы конечны.

8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами
Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Частичные пределы равны друг другу тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
.
Доказательство ⇓

9. Связь верхних и нижних пределов между последовательностями n> и <–x_n>.
Имеет место очевидное равенство:
.

10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей
Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
;
,
где последовательности и ограничены.
Доказательство ⇓

11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей
Пусть последовательность сходится к конечному положительному числу:
.
И пусть – любая последовательность. Тогда
.
Отсюда
.
Доказательство ⇓

Применяя равенство
,
можно получить другие подобные соотношения.

Доказательство свойств и теорем

Далее перечислены определения и свойства, которые мы будем использовать при доказательстве свойств подпоследовательностей.

1. Свойство подпоследовательностей сходящейся последовательности

2. Свойство последовательности, все подпоследовательности которой сходятся к одному числу

5. Свойство частичного предела последовательности

Все свойства ⇑ Точка является частичным пределом последовательности тогда и только тогда, когда в любой окрестности точки a содержится бесконечное число членов последовательности.

Возьмем произвольную окрестность точки a : ⇑. В качестве первого члена подпоследовательности возьмем любой член последовательности, принадлежащий этой окрестности.

6. Теорема о существовании верхнего и нижнего частичных пределов

В этом случае точка является верхним частичным пределом последовательности.

Пусть последовательность ограничена сверху и при этом любой отрезок содержит только конечное число членов последовательности.

Поскольку мы выбирали самые правые отрезки с бесконечным числом членов, то точка c является верхним частичным пределом последовательности.

7. Свойство верхнего и нижнего частичных пределов

8. Теорема о неравенстве между верхним и нижним частичными пределами

Все свойства ⇑ Верхний и нижний частичные пределы последовательности удовлетворяют неравенству:
.
Частичные пределы равны друг другу тогда и только тогда, когда существует предел последовательности:
.

10. Свойства верхних и нижних пределов суммы последовательностей

Все свойства ⇑ Верхний и нижний частичные пределы от суммы последовательностей удовлетворяют следующим неравенствам:
;
,
где последовательности и ограничены.

Докажем второе неравенство:
.
Умножим первое неравенство на – 1 :
.
Применим свойство 8 ⇑:
.

11. Свойство верхних пределов произведения последовательностей

Все свойства ⇑ Пусть последовательность сходится к конечному положительному числу:
.
И пусть – любая последовательность. Тогда
.
Отсюда
.

Из (10.1) и (10.2) следует, что
.
Свойство доказано.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник

Верхний предел

Нижним пределом последовательности (обозначается или ) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом ( или ) — наибольший элемент.

Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть s — верхняя грань множества A частичных пределов. Тогда заметим, что , а это означает, что в любой окрестности точки a₁ находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого , мы можем сказать, что в любой окрестности точки s содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку a₁ ). Значит, s по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

Последовательность <x_n> сходится к a тогда и только тогда, когда , так как получается, что a — единственная предельная точка множества элементов последовательности.

Полезное

Смотреть что такое «Верхний предел» в других словарях:

верхний предел — Пороговое значение [http://www.dunwoodypress.com/148/PDF/Biotech Eng Rus.pdf] Тематики биотехнологии EN ceiling limit … Справочник технического переводчика

верхний предел — viršutinė riba statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. super limit; superior limit vok. obere Grenze, f; oberer Grenzwert, m; Obergrenze, f rus. верхний предел, m pranc. limite supérieure, f … Automatikos terminų žodynas

верхний предел — viršutinė riba statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. superior limit; upper limit vok. obere Grenze, f; oberer Grenzwert, m rus. верхний предел, m; верхняя граница, f pranc. limite supérieure, f … Fizikos terminų žodynas

верхний предел измерений тензорезисторного датчика силы — верхний предел измерений датчика Значение измеряемой силы, соответствующее верхней границе измерений тензорезисторного датчика силы, для которого нормированы допускаемые погрешности. [ГОСТ 16217 83] Тематики датчики и преобразователи физических… … Справочник технического переводчика

верхний предел критической температуры фазового перехода или превращения — верхний предел критической точки фазового перехода или превращения — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом Синонимы верхний предел критической точки фазового перехода или превращения EN… … Справочник технического переводчика

Верхний предел воспламенения — максимальная концентрация вещества в паровом облаке, при которой еще возможно инициирование самоподдерживающейся реакции горения. При концентрации выше В. п. в. реакция горения уже невозможна … Российская энциклопедия по охране труда

верхний предел воспламеняемости — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN upper flammable limitUFL … Справочник технического переводчика

верхний предел для передачи значений измеряемой величины. — верхний предел для передачи значений измеряемой величины. — [ГОСТ Р МЭК 60870 5 104 2004] Тематики телемеханика, телеметрия EN high limit for transmission of measured value … Справочник технического переводчика

верхний предел измерений — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN full scale value … Справочник технического переводчика

верхний предел измерений (прибора) — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN full scale value … Справочник технического переводчика

Источник

Частичный предел последовательности

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

Содержание

Определение

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно или .

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую. [1] Очевидно, что эти определения эквивалентны.

Обозначения

Нижний предел последовательности :

Верхний предел последовательности :

Примеры

Свойства

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Частичный предел последовательности» в других словарях:

Частичный предел — Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности. Частичным пределом последовательности называется предел какой либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что… … Википедия

ЧАСТИЧНЫЙ ПРЕДЕЛ — данной последовательности предел нек рой ее подпоследовательности. У всяком числовой последовательности (а также у всякой последовательности точек конечномерного евклидова пространства) существует, по крайней мере, один Ч. п. (конечный или… … Математическая энциклопедия

Предел числовой последовательности — Предел числовой последовательности предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, предел … Википедия

Предел — объект, представляющий собой воображаемую или реальную границу для другого объекта. В математическом анализе см. Предел (математика), а также: Предел последовательности Предел функции Предел категории Частичный предел Проективный предел Банаховы… … Википедия

ПРЕДЕЛ — одно из основных понятий математики, означающее, что какая то переменная, зависящая от другой переменной, при определенном изменении последней, неограниченно приближается к нек рому постоянному значению. Основным при определении П. является… … Математическая энциклопедия

Предел (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Предел. Предел одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции. Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине… … Википедия

Предел — одно из основных понятий математики. П. постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие П. числовой … Большая советская энциклопедия

Числовая последовательность — Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия

Асимптотическая плотность — В теории чисел асимптотическая плотность это одна из характеристик, помогающих оценить, насколько велико подмножество множества натуральных чисел … Википедия

Источник

Предельные точки, верхний и нижний пределы последовательности

Предельные точки, верхний и нижний пределы последовательности

Давайте сначала докажем это утверждение до 1°. Зафиксируйте любое Людмила Фирмаль

положительное число e, используйте сходимость последовательностидля ограничения a и выберите число N этого e так, чтобы|CP—a / ) бесконечной прямой называется точкой последовательности. Давайте убедимся, что определения 1 и 2 эквивалентны. 1) окрестность e x содержит бесконечно много элементов последовательности. Рассмотрим множество e-окружностей точки X. 1 Лл»»» • • • ‘» > • • • • 2 3 П В первой из этих областей выделяют элементы последовательности xy1 из нескольких кг,во второй из этих областей-элементы последовательности x*2 из

последовательностис бесконечным числом точек разрыва. Выше (Глава 3, Глава 7, Раздел 2) мы установили, что множество всех рациональных чисел из отрезка[0,1]может быть пронумеровано в последовательности. Докажите, что любой вещественный x из отрезка [0,1]является точкой разрыва данной последовательности. Заметим, что даже если число сегментов[0,1]x равно 0 О п р ЕД е л я Е4. Минимальная точка поля последовательностиназывается самой нижней точкой этой последовательности, обозначаемой символом x=PT CP. п — > Возникает вопрос о существовании хотя бы одного предела и верхнего и нижнего пределов любого ограниченного массива.96

канал 3. Теория пределов Следующие замечательные теоремы справедливы. О С Н О В Н А я т е О Р Е М А3. 16. Все граничные последовательности имеют верхний и нижний предел, особенно по крайней мере одну предельную точку. Д О К а з а т е л ь с т в о. рассмотрим доказательство существования хотя бы одной предельной точки и верхнего предела любого ограниченного массива. (Существование нижнего предела было доказано как well.It является ограниченным массивом произвольных. Из-за условия ограничения существуют два действительных числа PG и M, так что любой элемент последовательности XPудовлетворяет неравенству t^XPсправа*,

или такие элементы являются просто конечным числом. * Напомним, что термин «Y находится справа от x» означает, что x n y связано неравенством y>x. Другими словами, действительное число x принадлежит множеству, если правая часть x не превышает конечного числа последовательностейи не принадлежит множеству, а правая часть этого числа x является числом последовательностей. Заметим, что множество, конечно, не пусто: оно принадлежит любому вещественному числу x, удовлетворяющему неравенству x>L1 (точка последовательностисправа от такого x, далее ясно, что множествоможет иметь границу снизу, а любое число, меньшее t, может быть взято в качестве нижней стороны (число, если вы хотите, чтобы оно было Согласно основной теореме главы 2.1, множествоимеет точную нижнюю границу, обозначаемую символом X.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник