Что такое величина угла и как ее найти 6 класс

Величина угла

Плоский у́гол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой — внешним.

Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Содержание

Угловая мера

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ принято использовать радианы.

В морской терминологии углы обозначаются румбами.

Углы на тригонометрической окружности

В математике в качестве начала отсчёта углов принято направление оси абсцисс (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления направо), и отсчитывается против часовой стрелки.

В географии в качестве начала отсчёта углов принято направление оси ординат (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления север (вперёд)), и отсчитывается по часовой стрелке.

Типы углов

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и не имеют общих сторон. Два вертикальных угла равны.

В зависимости от величины углы разделяются на:

Вариации и обобщения

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла: в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы, рассматривают углы, большие 360°, углы, равные 0°, и т. д. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается также на различные объекты, рассматриваемые в стереометрии (двугранный угол, многогранный угол, телесный угол).

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Полезное

Смотреть что такое «Величина угла» в других словарях:

величина, обратная тангенсу угла наклона — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN reciprocal slope … Справочник технического переводчика

ДИСПЕРСИЯ УГЛА ОПТИЧЕСКИХ ОСЕЙ (ДИСПЕРСИЯ ОПТИЧЕСКИХ ОСЕЙ) — разл. величина угла опт. осей в к ле для света разных длин воли. Различают два вида Д. у. о. о.: 1) угол опт. о. для более длинных (красных) волн больше, чем для коротких (фиолетовых); этот вид дисп. обозначается r>V или ρ>V; 2) угол… … Геологическая энциклопедия

радиус закругления угла — 3.17 радиус закругления угла: Величина допускаемого отклонения от формы угла. Источник: ГОСТ Р 52597 2006: Прутки латунные для обработки резанием на автоматах. Технические условия … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Определение угла конуса и прямолинейности образующей калибров-пробок и калибров-втулок — 3.6. Определение угла конуса и прямолинейности образующей калибров пробок и калибров втулок Черт. 7 3.6.1. Угол конуса и прямолинейности образующей конусных калибров определяют с помощью специальных приборов моделей БВ 6166, БВ 7312, БВ 7319, БВ… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Трисекция угла — Трисекция угла задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла лучи, делящие угол на три равные части. Наряду с задачами о квадратуре круга и… … Википедия

Диоптрика — часть общего учения о световых явлениях оптики и говорит о явлениях, сопровождающих переход световых лучей из одной (обычно однородной, или изотропной) среды в другую, отличную от первой. Свет, как предполагают, есть волнообразное распространение … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

испытание — 3.10 испытание: Техническая операция, заключающаяся в определении одной или нескольких характеристик данной продукции, процесса или услуги в соответствии с установленной процедурой. Источник: ГОСТ Р 51000.4 2008: Общие требования к аккредитации… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

НОГА — НОГА. Нога как целое и кости как рычаги. Тело человека при стоянии и передвижении опирается на каудальные конечности и своим вертикальным положением резко отличается от положения прочих млекопитающих. В процессе установления двуногой формы… … Большая медицинская энциклопедия

Тригонометрия — (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как… … Википедия

Радиан — 1 радиан центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Радиан (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. r … Википедия

Источник

Величина угла и ее измерение

Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в геометрии нет.

Определение. Величиной угла называется положительная величина, определенная для каждого угла так, что: 1) равные углы имеют равные величины; 2) если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.

Эти свойства лежат в основе измерения величины угла. Оно аналогично измерению длины отрезка и состоит в сравнении измеряемой величины угла с величиной угла, принятой за единицу. Единичный угол, а если нужно и его доли, откладываются на угле, величина кото­рого измеряется. В результате получается численное значение величины угла или мера величины угла при данной единице измерения.

Градус делится на 60 минут, а минута на 60 секунд. Одну минуту обозначают 1′, одну секунду – 1». Так, если мера величины угла равна 5 градусам 3 минутам и 12 секундам, то пишут 5°3’12». Если нужна большая точность в измерении величин углов, используют и доли секунды. Заметим, что часто вместо «величина угла» говорят «угол». Например, вместо «величина угла равна 45 градусам» говорят, что «угол равен 45 градусам».

На практике величины углов измеряют с помощью транспортира. Для более точных измерений пользуются и другими приборами.

Понятие площади фигуры и ее измерение

Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, площадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить. Он также понимает, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что площадь квартиры складывается из площади комнат и площади других ее помещений.

Это обыденное представление о площади используется при ее определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят о площади, выделяют определенный класс фигур. Например, рассматривают площадь многоугольника, площадь произвольной плоской фигуры, площадь поверхности многогранника и др. В нашем курсе речь будет идти только о площади многоугольника и произвольной плоской фигуры.

Так же, как и при рассмотрении длины отрезка и величины угла, будем использовать понятие «состоять из», определяя его следующим образом: фигура F состоит (составлена) из фигур F₁ и F₂, если она является их объединением и у них нет общих внутренних точек.

В этой же ситуации можно говорить, что фигура F разбита на фигуры F₁ и F₂. Например, о фигуре F, изображенной на рисунке 2, а, можно сказать, что она состоит из фигур F₁ и F₂, поскольку они не имеют общих внутренних точек. Фигуры F₁ и F₂ на рисунке 2, b имеют общие внутренние точки, поэтому нельзя утверждать, что фигура F состоит из фигур F₁ и F₂. Если фигура F состоит из фигур F₁ и F₂, то пишут: F=F₁ Å F₂.

Определение.Площадью фигуры называется положительная величина, определенная для каждой фигуры так, что: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2) если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е, а число, которое получается в результате изме­рения площади фигуры – S(F). Это число называют численным значе­нием площади фигуры F при выбранной единице площади Е. Оно должно удовлетворять условиям:

2. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

3. Если фигура F состоит из фигур F₁ и F₂, то численное значение площади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур F₁ и F₂.

4. При замене единицы площади численное значение площади данной фигуры F увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

5. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. S(F) = 1.

В геометрии доказано, что для многоугольников и произвольных плоских фигур такое число всегда существует и единственно для каждой фигуры.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

Площадь многоугольника

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон.

Приведем данные дроби к общему знаменателю: а = , b = . Разобьем сторону единичного квадрата Е на nq равных частей. Если через точки деления провести прямые, параллельные сторонам, то квадрат Е разделится на (пq) 2 более мелких квадратов. Обозначим площадь каждого такого квадрата Е₁. Тогда S(Е) = (пq) 2 ∙ S(E₁), а по­скольку S(Е)=1, то S(E₁) =

S(F) = mq ∙ np ∙ S(E₁) = mq ∙ np ∙ = = = a ∙ b

Таким образом доказано, что если длины сторон прямоугольника выражены положительными рациональными числами а и b, то пло­щадь этого прямоугольника вычисляется по формуле S(Р) = а ∙ b.

Случай, когда длины сторон прямоугольника выражаются поло­жительными действительными числами, мы опускаем.

Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Опустим перпендикуляр ВF из вершины В на прямую АD. Тогда S(АВСЕ) = S(ВСЕF) + S(АВF).

Так как треугольники АВF и СDЕ равны, то равны и их площади.

Отсюда следует, что S(АВСD) = S(ВСЕF), т.е. площадь параллелограмма АВСD равна площади прямоугольника ВСЕF и равна ВС∙ВF, а так как ВС = АD, то S(АВСD) = АD∙ВF.

Из этой теоремы вытекает следствие: площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.

Заметим, что слова «сторона» и «высота» в данных утверждениях обозначают численные значения длин соответствующих отрезков.

Теорема. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Доказательство. Разобьем правильный n-угольник на п треугольников, соединяя отрезками вершины n-угольника с центром вписанной окружности (рис.5). Эти

Если F — произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на треугольники (или другие фигуры, для которых известны правила вычисления площади). В связи с этим возникает вопрос: если один и тот же многоугольник по-разному разбить на части и найти их площади, то будут ли получен­ные суммы площадей частей многоугольника одинаковыми? Доказа­но, что условиями, сформулированными в определении площади, площадь всякого многоугольника определена однозначно.

Кроме равенства и равновеликости фигур в геометрии рассматривают отношение равносоставленности. С ним связаны важные свойства фигур.

Многоугольники F₁ и F₂ называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.

Нетрудно убедиться в том, что равносоставленные фигуры равно­велики.

Венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким любителем мате­матики П.Гервином была доказана теорема: любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.Другими словами, если два многоугольника имеют равные площади, то их всегда можно представить состоящими из попарно равных частей.

Теорема Бойяи-Гервина служит теоретической базой для решения задач на перекраивание фигур: одну разрезать на части и сложить из нее другую. Оказывается, что если данные фигуры многоугольные и имеют одинаковые площади, то задача непременно разрешима.

Доказательство теоремы Бойяи-Гервина достаточно сложное. Мы докажем только утверждение о том, что всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником, т.е. всякий треугольник можно перекроить в равно­великий ему прямоугольник.

Пусть дан треугольник АВС (рис. 6). Проведем в нем высоту BD и среднюю линию KL. Построим прямоугольник, одной стороной которо­го является АС, a другая лежит на прямой KL. Так как пары треугольников АРК и КВТ, а также СLМ и ТВL равны, то треугольник АВС и прямоугольник АРМС равносоставлены.

5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение

Мы выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые можно разбить этот многоугольник. А как находить площадь произвольной плоской фигуры? И что представляет собой число, выражающее эту площадь?

Если разность площадей объемлющей и входящей фигур может стать как угодно малой, то, как установлено в математике, существует единственное число S(F), удовлетворяющее неравенству для любых многоугольных фигур P и Q. Данное число и считают площадью фигуры F.

Этими теоретическими положениями пользуются, например, когда выводят формулу площади круга. Для этого в круг F радиуса r вписы­вают правильный n-угольник Р, а около окружности описывают правильный n-угольник Q. Если обозначить символами S(Q) и S(P) площади этих многоугольников, то будем иметь, что , причем при возрастании числа сторон вписанных и описанных много­угольников площади S(Р) будут увеличиваться, оставаясь при этом меньше площади круга, а площади S(Q) будут уменьшаться, но оставаться больше площади круга.

Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы в частности, палетку.

Палетка — это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.

Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые целиком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Р; квадраты, имеющие с фигурой F общие точки и целиком лежащие внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру Q (рис. 8). Площади S(Р) и S(Q) находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры F принимается среднее арифметическое найденных площадей:

S(F) = .

В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.

И значит, S(F) = = =

Палетка позволяет измерить площадь фигуры F с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять палетку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: наложить одну и ту же палетку на фигуру по-разному и найти несколько приближенных значений площади фигуры F. Их среднее арифметическое может быть лучшим приближением к численному значению площади фигуры F.

Источник

Урок-обобщение по теме «Угол». Геометрия, 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Пояснительная записка

Я работаю по экспериментальной программе «Геометрия для младших школьников» (вводный курс геометрии) в течение четырех лет, автором данного курса является В.А. Панчищина. Эта программа основана на активной деятельности детей, направленной на зарождение, накопление, осмысление и некоторую систематизацию геометрической информации.
Тема «Углы» рассматривается во втором полугодии 5 класса и продолжаем знакомство с углами на втором году обучения, а это 6 класс. В главе «Начальные понятия геометрии» рассматриваются углы их виды, построение и обозначение угла на плоскости, сравнение углов с помощью модели, нахождение градусной меры углов, построение угла с помощью транспортира, свойства углов, решение задач: на нахождение градусных мер углов, изображенных на рисунке; определение величин углов с помощью основных свойств градусных мер.
Каждый учитель решает для себя сам, как найти оптимальный подход к обучению геометрии, при этом постараться по максимуму развить творческие способности, поддержать интерес детей к предмету. Современное обучение направлено на признание индивидуальности ученика. Поэтому для меня главная задача урока – это создать психологический комфорт умственной деятельности. На уроке нужно дать возможность каждому ученику высказать свое мнение, не торопить, не перебивать; тон общения должен быть доброжелательным.

Урок-обобщение по теме угол.

Геометрия 6 класс.

Задача: Подготовить учащихся к восприятию систематического курса геометрии 7-го класса.

І этап: Проверка знаний.

На доске изображены углы (острый, тупой, прямой, развёрнутый, смежные углы, вертикальные углы, соответственные углы).

1) Проводим игру «Угадай-ка»: Дети выбирают ведущего, по считалке, он загадывает слово и говорит его соседу на ухо. Дети, задавая наводящие вопросы, отгадывают его.
Пример:

Ведущий загадал «тупой угол».

По ходу игры на доске под рисунками подписываем градусную меру углов и их названия.
(Можно провести это этап урока, используя мяч. Тогда вопросы лучше задавать самому учителю, кидая мяч ребенку который должен на него ответить. В этом случае вопросы подбираются таким образом, что на него нужно отвечать однозначно. Пример: «Как называются углы, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами?»).

3) Вспоминаем свойства смежных, вертикальных углов и соответственных углов.

Работаем по рисунку 1 на доске:

1) Как называются углы АОВ и СОД?
2) Чему равна градусная мера угла ДОС?
3) Как называются углы АОВ и ВОД? Почему?
4) Чему равна градусная мера угла ВОД? Почему?

Работаем по рисунку 2 на доске:

1) Как называются углы 1 и 2?
2) Какое свойство этих углов вы знаете?

ІІ этап. Решение задач

Для решения задач лучше использовать рисунки на листах ватмана, можно использовать задачи которые придумали и нарисовали дети на предыдущих уроках.
Пример: Определить величину угла АОВ.

ІІІ этап. Самостоятельная работа по вариантам

1. Найти все остальные углы: угол 1, угол 2, угол 3.

1. Найти все остальные углы: угол 1, угол 2, угол 3.

После выполнения работы дети обмениваются листочками с соседом по парте и проверяют друг друга. Карандашом ставят оценки и сдают их учителю.

ІV этап. Детям предлагается просмотреть презентацию (Приложение) с помощью медиапроектора на тему «Углы».

Во время просмотра еще раз повторяются все виды углов, проговариваются их свойства и предлагается детям решить еще несколько задач на нахождение градусных мер углов.
Выставляются оценки за решение задач у доски и за самостоятельную работу. У ребят учитель спрашивает, что им понравилось на уроке.

V этап. Домашнее задание

Источник

Величина угла и её измерение

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Величина угла и её измерение Выполнила студентка 401 группы Гущина Татьяна.

Величиной угла называется неотрицательная величина, определенная для каждого угла так, что: 1) равные углы имеют равные величины; 2) если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей. Эти свойства лежат в основе измерения величины угла.

Измерение величины угла состоит в сравнении измеряемой величины угла с величиной угла, принятой за единицу. Единичный угол, а если нужно и его доли, откладываются на угле, величина которого измеряется. В результате получается численное значение величины угла или мера величины угла при данной единице измерения.

На практике за единицу измерения величины угла принимают градус- 1/90 часть прямого угла. Один градус записывают так: 1. Величина прямого угла равна 90 , величина развернутого- 180.

Градус делится на 60 минут, а минута на 60 секунд. Одну минуту обозначают так 1, одну секунду- 1. Так если мера величины угла равна 5 градусам 3 минутам и 12 секундам, то пишут так 5312. Если нужна большая точность в измерении величин углов используются и доли секунды.

Для численных значений величины угла выполняются свойства, аналогичные свойствам численных значений длин отрезков. 1) Если 2 угла равны, то меры их величин также равны, и обратно: если меры величин углов равны, то равны и сами углы. 2) Больший угол имеет большую меру, и обратно: если мера величины одного угла больше меры величины другого, то первый угол больше второго. 3) При сложении величин углов меры их складываются, а при вычитании вычитаются.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДВ-552601

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

В Оренбурге школьников переведут на дистанционное обучение с 9 декабря

Время чтения: 1 минута

В МГПУ сформулировали новые принципы повышения квалификации

Время чтения: 4 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Время чтения: 1 минута

МГУ откроет первую в России магистерскую программу по биоэтике

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник