Два вида физических величин: скалярные величины и векторные величины

«Что-то я не помню такой темы в физике» — первое, что, наверное, пришло вам в голову. Да, вы правы — тема незаметная, но в некоторых учебниках она присутствует. «А нужна она мне для ЕГЭ?» Нужна. Точно нужна. Очень нужна. Постоянно нужна.

Давайте приступим. Надо запомнить, что в физике (школьной) есть два типа физических величин:

Векторная величина. Что это такое? Давайте вспомним (а для тех, кто не знал — узнаем), что

Направление вектора изображается на картинке. Куда показывает вектор — туда он и направлен. Например, бывает так, что вектор направлен вверх, вниз и т.д. Вектор может быть направлен вдоль какой-то плоскости. Примеры можете видеть на картинках.

Ну, самое простое — это опыт. Решая задачи, читая теоретический материал, вы со временем запомните, какие величины векторные, а какие скалярные. Физических величин не так много, как может показаться.

А способ чуть посложнее — это представить эти величины и решить для себя: могут они иметь направление? Если да — то это вектор, если нет — скаляр.

Например: заряд конденсатора. Если заряд имеет направление, то куда он направлен? Непонятно — поэтому, скорее всего, заряд — это скалярная величина.

Другой пример: длина отрезка. Если эта физическая величина имеет направление, то откуда куда она направлена: от точки 1 до точки 2? Или от точки 2 до точки 1? Трудно выбрать — поэтому, скорее всего, длина отрезка — это скаляр.

Какие из представленных на рисунках величин являются скалярными, а какие — векторными?

Источник

Скалярные и векторные величины

Скалярная величина – это физическая величина, которая имеет только одну характеристику – численное значение.

Скалярная величина может быть положительной или отрицательной.

Примеры скалярных величин: температура, масса, объем, время, плотность. Математические действия со скалярными величинами – это алгебраические действия.

Векторная величина – это физическая величина, которая имеет две характеристики:

1) численное значение, которое всегда положительно (модуль вектора);

Примеры векторных физических величин: скорость, ускорение, сила.

Векторная величина обозначается латинской буквой и стрелкой над этой буквой. Например:

— вектор скорости обозначается символом ,

— вектор ускорения обозначается символом ,

— вектор силы обозначается символом .

Модуль вектора обозначается так:

На рисунке (графически) вектор изображается направленным отрезком прямой линии. Модуль вектора равен длине направленного отрезка в заданном масштабе.

Действия с векторами

Математические действия с векторными величинами – это геометрические действия.

Сравнение векторов

Равные векторы. Два вектора равны, если они имеют:

Противоположные векторы. Два вектора противоположны, если они имеют:

Сложение векторов

Мы можем сложить два вектора геометрически по правилу параллелограмма и по правилу треугольника.

Пусть заданы два вектора и (см. рис.). Найдем сумму этих векторов + = . Величины и — это составляющие векторы, вектор — это результирующий вектор.

Правило параллелограмма для сложения двух векторов:

1. Нарисуем вектор .

2. Нарисуем вектор так, что его начало совпадает с началом вектора ; угол между векторами равен (см. рисунок).

3. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору .

4. Через конец вектора проведем прямую линию, параллельную вектору .

Мы построили параллелограмм. Стороны этого параллелограмма – составляющие векторы и .

5. Проведем диагональ параллелограмма из общей точки начала вектора и начала вектора .

6. Модуль результирующего вектора равен длине диагонали параллелограмма и определяется по формуле:

;

начало вектора совпадает с началом вектора и началом вектора (направление вектора показано на рисунке).

Правило треугольника для сложения двух векторов:

1. Нарисуем составляющие векторы и так, что начало вектора совпадает с концом вектора . При этом угол между векторами равен .

2. Результирующий вектор направлен так, что его начало совпадает с началом вектора , а конец совпадает с концом вектора .

3. Модуль результирующего вектора находим по формуле:

Вычитание векторов

Вычитание векторов – это действие, обратное сложению:

Найти разность вектора и вектора — это тоже самое, что найти сумму вектора и вектора , противоположного вектору . Мы можем найти вектор разности геометрически по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (см. рис.).

Источник

Скалярные и векторные величины в физике и математике

Особенности скалярных величин

Скалярные величины характеризуются только одним параметром — числовым значением. Они разделяются на 2 вида:

В физике в список скалярных величин входят:

Если скаляры выражают одно единственное свойство физического тела, то они называются однородными. Величины, описывающие несколько свойств объекта, именуются разнородными. Однородные скаляры сравнимы: они либо равны, либо одна из них больше или меньше другой. Но скалярные величины разного рода не могут сравниваться друг с другом.

Определение положительного скаляра и его измерения

Понятие положительной скалярной величины и ее измерения позволяет сравнивать между собой однородные скаляры. Положительная скалярная величина способна принимать значения строго выше 0. Она обозначается знаком «+». Если величина может принимать значения меньше 0, то она называется отрицательной и обозначается символом «-«. Большинство скаляров могут быть только положительными. Для их расчета используют единицы измерения — фиксированного размера объекта.

Чтобы получить скалярную величину, достаточно умножить ее числовое значение на ее единицу измерения. Для структуризации и стандартизации вычислений физических параметров тела была разработана Международная система СИ. Она устанавливает единицы измерения для каждой величины. Во время проведения расчетов скалярных величин применяют алгебраические действия — сложение, вычитание, деление и умножение (отдельный подвид — возведение в степень).

Особенности векторных величин

Их определение: «В физике векторными величинами называются свойства материи, характеризующиеся несколькими параметрами: модулем и направлением». Модулем вектора будет являться числовое значение величины, никогда не принимающее отрицательных значений. Он обозначается символом «||». Для обозначения направления используется стрелка, располагающаяся над символом вектора.

В физике и математике примерами векторных величин являются:

На графиках функции векторные величины изображаются в виде прямой линии, имеющей направление и свои собственные координаты в заданном масштабе.

Свойства векторов

Вектор — математический элемент, представляющий собой прямой отрезок с направлением. Он обозначается либо 2 заглавными латинскими буквами, либо одной прописной. Длиной вектора является его модуль. Если длина вектора равняется 0, то он называется нулевым. Вектор, имеющий длину 1 см, именуется единичным. Длина ненулевого вектора выражается в виде расстояния между началом и концом направленного отрезка. Проекцией вектора на ось является строго положительный отрезок, сонаправленный с исходной осью. Свойства проекции:

Коллинеарные векторы — отрезки, располагающиеся либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен всегда. Если коллинеарные векторы направлены в одну сторону, то они называются сонаправленными. Если отрезки направлены в диаметрально противоположные стороны, то они называются противоположно направленными. Коллинеарные векторы являются равными, если они одинаковы по модулю и направлению.

Построение отрезков с направлением на плоскости осуществляется при помощи его координат для осей абсцисса и ордината. Для изображения направленного отрезка необходимо построить точки, координаты которых соответствуют началу и концу вектора, и соединить их.

С векторами также можно производить операции сложения, деления, вычитания и умножения. Чтобы сложить два вектора, необходимо от произвольной точки на плоскости отложить первый направленный отрезок и от него отложить второй вектор. Отрезок, соединяющий начало первого вектора и конец второго, будет считаться их суммой. Этот способ сложения именуется методом треугольника.

Вторым способом нахождения суммы векторов является метод параллелограмма. От произвольной точки откладываются оба направленных отрезка. Полученный рисунок нужно достроить до параллелограмма. Диагональ фигуры будет являться суммой векторов.

Для осуществления вычитания необходимо отложить от произвольной точки первый вектор. От полученного отрезка откладывается следующий вектор. Второй отрезок нужно направить в противоположную сторону. Линия, соединяющая отрезки, будет являться разностью векторов.

С векторами также можно проводить операцию умножения. Произведение длин направленных отрезков на косинус угла между ними называется скалярным. В результате вычислений получается число — скаляр. Скалярное произведение равно 0 в случае, когда отрезки пересекаются под углом 90°. Зная скалярное произведение, человек сможет найти косинус угла между построенными векторами.

Полученные в результате выполнения алгебраических операций выражения применяются для исследования перемещения тел вокруг оси вращения и изучения элементов высшей математики. Также направленные отрезки нашли широкое применение в геометрии и астрономии.

Источник

Что такое векторная и скалярная величина в физике на простом

В физике существуют скалярные величины (скаляры) и векторные величины (векторы). Хотя, правильнее в последнем случае все-таки говорить векторная величина, часто говорят, например, «вектор скорости».

Чтобы совсем запутаться, рекомендую обратиться к Википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Векторная_величина.

Для нас важно понять два момента:

1) Примерами скаляров являются: длина, площадь, время, масса, плотность, температура и т.п.

Для наших задач достаточно понимания скаляра, как величины (числа с размерностью) без направления.

2) Под вектором мы будем понимать направленный отрезок. То есть три числа (мы ведь живем в трехмерном пространстве), которые преобразуются по определенным правилам при переходе от одной системы координат к другой.

Попробуем обойтись без математических формул этих правил. Просто представим в нашем трехмерном пространстве направленный отрезок. Некую стрелку, которая, для простоты, неподвижна, неизменна, и имеет направление от одного конца к другому. Или даже представим, что у нас есть определенная операция перемещения в пространстве. У нее есть величина (расстояние перемещения по прямой из начальной точки в конечную) и направление.

И представим систему координат (например, прямоугольную), которая неподвижна относительно нас, и начало отсчета которой совпадает с началом нашего направленного отрезка.

Отлично! Тогда координаты «заостренного» конца нашего «направленного» отрезка с началом в точке (0,0,0) в этой системе координат будут выражаться тремя числами (А_х, А_y, А_z). Будет ли эта тройка чисел вектором?

Теперь мы берем и поворачиваем произвольно нашу систему координат (но пока не сдвигаем начало координат). Тогда в новой системе координат координаты нашего вектора будут (А_x’, А_y’, А_z’). Заметьте, сам наш вектор (направленный отрезок в трехмерном пространстве) не изменился. Как бы мы не вращали систему координат, тройка чисел будет меняться, но вектор (в смысле направленного отрезка) останется на своем месте. Он смотрит в одну и ту же «точку вселенной». О как! И длина его не меняется из-за вращения системы координат.

А теперь вывод. То, что важно для физики!

Формулы можно посмотреть у Фейнмана или еще где-нибудь. Они пока для понимания не столь важны. А важно следующее!

Теперь посмотрим, что есть что.

Путь вектор или скаляр? Скаляр. Почему?

Далее сами перебираем физические величины и определяем, что есть скаляр, а что вектор!

Источник

Физические величины и параметры, скалярные и векторные величины, скалярные и векторные поля

Скалярные и векторные физические величины

Одной из основных целей физики является установление закономерностей наблюдаемых явлений. Для этого при рассмотрении различных случаев вводятся характеристики, определяющие течение физических явлений, а также свойства и состояние веществ и сред. Из этих характеристик можно выделить собственно физические величины и параметрические величины. Последние определяются так называемыми параметрами или постоянными.

Под собственно величинами подразумевают те характеристики явлений, которые определяют явления и процессы и могут существовать независимо от состояния среды и условий.

К таким, например, относятся электрический заряд, напряженность поля, индукция, электрический ток и т. д. Среда и условия, в которых протекают явления, определяемые данными величинами, могут изменить эти величины в основном только количественно.

Под параметрами будем подразумевать такие характеристики явлений, которые определяют свойства сред и веществ и влияют на соотношение между собственно величинами. Они не могут существовать самостоятельно и проявляются лишь в их действии на собственно величины.

К параметрам относятся, например, электрическая и магнитная постоянные, удельное электрическое сопротивление, коэрцитивная сила, остаточная индукция, параметры электрических цепей (сопротивление, проводимость, емкость, индуктивность на единицу длины или объема в данном устройстве) и др.

Значения параметров обычно зависят от условий, в которых протекает данное явление (от температуры, давления, влажности и т. п.), но при постоянстве этих условий параметры сохраняют свои значения неизменными и поэтому называются также постоянными.

Количественные (числовые) выражения величин или параметров называются их значениями.

Физические величины могут определяться двояко: одни — только числовым значением, а другие — как числовым значением, так и направлением (положением) в пространстве.

К первым относятся такие величины как масса, температура, сила электрического тока, электрический заряд, работа и т. д. Эти величины называются скалярными (или скалярами). Скалярная величина может быть выражена только в виде одного именованного числового значения.

Ко вторым величинам, называемым векторными, относятся длина, площадь, сила, скорость, ускорение и т. д. Длина вектора в определенном масштабе равна числовому значению физической величины, которую данный вектор представляет, а стрелка показывает направление действия ее в пространстве.

Скалярные величины и абсолютные значения векторных величин обычно обозначаются прописными буквами латинского алфавита, векторные же величины пишутся с черточкой или стрелкой над символом величины.

Скалярные и векторные поля

Поля в зависимости от вида физического явления, характеризующего поле, бывают скалярные или векторные.

В математическом представлении поле — это пространство, каждую точку которого можно охарактеризовать числовыми значениями.

Такое понятие поля может быть применено и при рассмотрении физических явлений. Тогда любое поле можно представлять как пространство, в каждой точке которого обнаруживается обусловленное данным явлением (источником поля) воздействие на некоторую физическую величину. Полю в таком случае присваивают название этой величины.

Так, нагретое тело, излучающее тепло, окружено полем, точки которого характеризуются температурой, поэтому такое поле называется температурным полем. Поле, окружающее тело, заряженное электричеством, в котором обнаруживается силовое воздействие на неподвижные электрические заряды, называется электрическим полем и т. п.

В соответствии с этим температурное поле вокруг нагретого тела, поскольку температура может быть представлена только как скаляр, является скалярным полем, а электрическое поле, характеризующееся действующими на заряды силами, имеющими определенное направление в пространстве, называется векторным.

Примеры скалярных и векторных полей

В качестве характерного примера скалярного поля можно привести температурное поле вокруг нагретого тела. Чтобы оценить количественно такое поле, у отдельных точек картины этого поля можно поставить цифры, равные температуре в этих точках.

Однако такой способ представления поля неудобен. Поэтому обычно поступают так: предполагают, что точки пространства, в которых температура одинакова, принадлежат одной поверхности. Подобные поверхности в данном случае можно назвать равнотемпературными. Линии, получающиеся при пересечении такой поверхности другой поверхностью, называются равнотемпературными линиями, или изотермами.

Обычно, если пользуются такими графиками, изотермы проводят через равные интервалы температуры (например, через каждые 100 град). Тогда густота линий у данной точки дает наглядное представление о характере поля (скорости изменения температуры).

Пример скалярного поля (результаты расчета освещенности в программе Dialux):

В качестве примеров скалярного поля можно еще привести гравитационное поле (поле силы притяжения Земли), а также электростатическое поле вокруг тела, которому сообщен электрический заряд, если каждую точку этих полей характеризовать скалярной величиной, называющейся потенциалом.

Для образования любого поля приходится затрачивать некоторое количество энергии. Эта энергия не исчезает, а накапливается в поле, распределяясь во всем его объеме. Она является потенциальной и может быть возвращена полем в виде работы сил поля при перемещении в нем масс или заряженных тел. Поэтому поле может быть оценено также потенциальной характеристикой, определяющей возможность поля совершать работу.

Поскольку обычно энергия в объеме поля распределена неравномерно, эту характеристику относят к отдельным точкам поля. Величину, представляющую собой потенциальную характеристику точек поля, называют потенциалом, или потенциальной функцией.

В применении к электростатическому полю наибольшее распространение получил термин «потенциал», а к магнитному полю — «потенциальная функция». Иногда последняя называется также энергетической функцией.

Потенциал отличается такой особенностью: значение его в поле непрерывно, без скачков, изменяется от точки к точке.

Потенциал точки поля определяют величиной работы, которую совершают силы поля при перемещении единичной массы или единичного заряда из данной точки в точку, где данное поле отсутствует (данная характеристика поля равна нулю), или которую нужно затратить, действуя против сил поля, чтобы перенести единичную массу или заряд в данную точку поля из точки, где действие данного поля равно нулю.

Работа — скалярная величина, поэтому и потенциал является скаляром.

Поля, точки которых могут быть охарактеризованы значениями потенциала, называются потенциальными полями. Поскольку все потенциальные поля являются скалярными, то термины «потенциальный» и «скалярный» синонимичны.

Как и в случае рассмотренного выше температурного поля, в любом потенциальном поле можно найти много точек с одинаковыми потенциалами. Поверхности, на которых располагаются точки равного потенциала, называются эквипотенциальными, а пересечение их с плоскостью чертежа — эквипотенциальными линиями, или эквипотенциалями.

В векторном поле величина, характеризующая это поле в отдельных точках, может быть представлена вектором, начало которого помещается в данную точку. Для наглядного изображения векторного поля прибегают к построению линий, которые проводят так, чтобы касательная в каждой ее точке сов падала с вектором, характеризующим эту точку.

Линии поля, проведенные одна от другой на определенном расстоянии, дают представление о характере распределения поля в пространстве (в области, где линии гуще, значение векторной величины больше, а где линии реже, значение ее меньше).

Безвихревые и вихревые поля

Поля различаются не только по виду физических величин, которые определяют их, но и по характеру, т. е. могут быть либо безвихревыми, состоящими из несмешивающихся параллельных струй (иногда эти поля, называют ламинарными, т. е. слоистыми), либо вихревыми (турбулентными).

Одно и то же безвихревое поле в зависимости от характеризующих его величин может быть как скалярно-потенциальным, так и векторно-безвихревым.

Скалярно-потенциальными будут электростатическое, магнитное и гравитационное поля, если их определять по энергии, распределенной в поле. Однако то же поле (электростатическое, магнитное, гравитационное) является векторным, если характеризуется силами, действующими в нем.

Безвихревое, или потенциальное, поле всегда обладает скалярным потенциалом. Важной особенностью функции скалярного потенциала является ее непрерывность.

Примером безвихревого поля в области электрических явлений является электростатическое поле. Примером вихревого поля является магнитное поле в толще проводника с током.

Существуют так называемые смешанные векторные поля. Примером смешанного поля является магнитное поле вне проводников с током (магнитное поле внутри этих проводников представляет собой вихревое поле).

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Подписывайтесь на наш канал в Telegram!

Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Источник