Что такое в квадрате в физике
Что на самом деле означает знаменитая формула Эйнштейна?
Уравнение E=mc² мелькает везде: от кепок до наклеек на бамперах. В 2008 году Мэрайя Кэри даже назвала так свой альбом. Но что, в сущности, означает знаменитое уравнение относительности, выведенное Альбертом Эйнштейном?
Для начала, E — это энергия, M — это масса, измерение количества вещества. Энергия и материя взаимозаменяемы. Кроме того, важно помнить, что во Вселенной есть установленное количество энергии и материи. Энергия постоянно перетекает в материю и обратно. Ничего не исчезает бесследно.
Теперь поговорим о c². Это часть уравнения, которая обозначает скорость света в квадрате. Получается, что энергия равна количеству массы, умноженной на скорость света в квадрате.
Почему нам нужно умножать материю на скорость света, чтобы получить энергию? Причина в том, что энергия, будь это световые волны или радиация, движется со скоростью света. Это 300 000 километров в секунду. Когда мы разбиваем атомы в ядерном реакторе или атомной бомбе, энергия вырывается со скоростью света.
Но почему скорость света в квадрате? Причина в том, что кинетическая энергия или энергия движения пропорциональна массе. Когда вы ускоряете объект, кинетическая энергия увеличивается на сумму скорости в квадрате. Вот отличный пример, с которым сталкивается любой водитель: если вы увеличите скорость в два раза, тормозной путь будет в четыре раза дольше, потому что тормозной путь равен квадрату скорости.
Уравнение Эйнштейна открыло двери для многочисленных технологических достижений в разных сферах, от ядерной энергетики и ядерной медицины до «одомашнивания солнца». Не так давно мы писали, что NASA планирует оснастить небольшим термоядерным реактором каждый дом и автомобиль, только основан он будет не на энергии распада, а на энергии синтеза. Дело очень непростое, но только подумайте: небольшое количество вещества может обеспечить вас энергией до конца ваших дней. Эйнштейн был весьма незаурядным физиком, и многие склонны искать причину его гениальности в мозге.
Читайте подробнее о «сером веществе» автора теории относительности.
E = mc²: Самое знаменитое уравнение Эйнштейна
Это гораздо больше, чем взаимосвязь массы-энергии, это ключ к пониманию квантовой Вселенной.
В течение сотен лет существовал непреложный закон физики, который никогда не оспаривался: при любой реакции, происходящей во Вселенной, масса вещества сохранялась. Независимо от того, что с чем реагирует, масса исходных веществ и масса получившихся будет равна. Но, по законам специальной теории относительности, масса просто не может быть конечной сохраненной величиной, так как разные наблюдатели не соглашались бы с тем, что такое энергия системы. Вместо этого Эйнштейн смог получить закон, который мы используем сегодня, управляемый одним из самых простых, но самых мощных и изящных уравнений из всех существующих:
В самом известном уравнении Эйнштейна есть только три составляющих:
Это уравнение полностью меняет мир. Как выразился сам Эйнштейн:
Из специальной теории относительности следует, что масса и энергия — это одновременно разные проявления одного и того же — несколько необычная концепция для среднего ума.
Вот три самых важных по значимости вывода, которые следуют из этого простого уравнения:
Факт эквивалентности массы-энергии привел Эйнштейна к его величайшему достижению: Общей теории относительности. Представьте, что у вас есть частица материи и частица антивещества, каждая из которых имеет одинаковую массу покоя. Вы можете уничтожить их, и они будут производить фотоны определенного количества энергии, точного количества, заданного формулой E=mc². Теперь представьте, что пара частиц/античастиц движется очень быстро, как будто они падают из космоса, а затем самоуничтожаются вблизи поверхности Земли. Эти фотоны теперь будут иметь дополнительную энергию: не только E от E = mc², но и дополнительную E от количества кинетической энергии, которую они получили при падении.
Если мы хотим сохранить энергию, мы должны понять, что гравитационное красное смещение (а также синее смещение) должно быть реальным. Теория всемирного тяготения Ньютона не может объяснить этого, но в Общей теории относительности Эйнштейна кривизна пространства означает, что попадание в гравитационное поле заставляет вас получать энергию, а выход из гравитационного поля заставляет вас терять энергию. Тогда полное и общее отношение для любого движущегося объекта — это не только E=mc², но и E²=m²c⁴+ p²c² (где p — импульс.) Только обобщая вещи, включающие энергию, импульс и гравитацию, мы можем действительно описать Вселенную.
Пи в квадрате равно ускорению свободного падения
ПИ В КВАДРАТЕ РАВНО УСКОРЕНИЮ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ.
Часть 1.
Если вы хорошо учились в школе, то должны знать, что число пи равно 3.1415, ну плюс–минус. Чему равно пи в квадрате? Как водится, спрашиваем у Гугла: 9.86. Так вот, если вы хорошо учились в школе, то это число вам что–то должно напоминать аж до боли в животе. Правильно, это g, ускорение свободного падения. Правда не совсем, чуть–чуть мимо. Может ли это быть совпадением? Какая может быть связь между соотношением длины окружности к радиусу где угодно во Вселенной и ускорением свободного падения на Земле?
Попробуйте пораскинуть неокортексом прежде чем гуглить ответ. А ответы прикольные.
Комментарии:
Число Пи на экваторе и на полюсах разное, %.
Написал voldemarGGG ·
voldemarGGG: А в военное время может доходить до четырёх!
Написал Akula ·
Akula: а на уроках в школе g может достигать 10 и 11.5 (+/ — 0.2) во время лабораторных работ
Написал phazotron ·
phazotron: В универе на первом курсе (1998 год) так и было. Для того чтобы сдать лабу по физике пришлось фальсифицировать результаты эксперимента. С честно посчитанными по результатам эксперимента 8,5 м/с^2 (ну или что–то типа того) препод принимать не хотел.
Написал dezza ·
voldemarGGG: на экваторе круг круглее?
Написал rork ·
rork: скорее метр более метровый.
Написал voldemarGGG ·
voldemarGGG: На святое ни–ни! Метр сделан из эталона.
Написал leve ·
А все уже в курсе, что в метр укладывается ровно тысяча миллиметров?
Написал Constantine ·
Constantine: Не доказано. Собрать в одном месте столько миллиметров еще не удалось никому.
Написал Navookhodonosor ·
Navookhodonosor: можно собрать и больше, рулетка вам в помощь.
Написал Bugzzz ·
Ну ладно, чтоб предотвратить разброд и шатания, ответ:
В 1668–ом году, в самой родине имперской системы мер, философ Джон Уилкинс публикует эссе, в котором предлагает новую «стандартную» систему мер. Правда с названиями у него не склеилось, но тем не менее он предложил в качестве стандартной меры длины ввести длину маятника с периодом в 2 секунды.
Берем формулу маятника:
T = 2;(L/g)1/2
подставляем L=1 и T=2 и получаем ;2=g! Таким образом, посольку g определяется через метр, а в метре (по крайней мере исторически) «сидит» число пи, оттуда и связь между этими константами.
Но. Равенство не точное, ведь g=9.81 (немного варьирует в разных местах на поверхности Земли), а пи в квадрате = 9.87. Причина в том, что позже определение метра было изменено комиссией в составе с Лагранжем и другими товарищами на одну десятимиллионную расстояния от Северного полюса до экватора. Всем понравилось, что такой метр не сильно отличается от уилконсоновского. В таком виде он и был разнесен на, так сказать, наполеоновских штыках по всей Европе, победив имперщину.
А самое современное определение метра, хоть и лишено всякой элегантности и романтики, является самым практичным: длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299,792,458 секунды, где 299,792,458 — это скорость света в ваккуме в. кхм, метрах в секунду. Облом какой–то, но что поделаешь, комиссия–с!
Написал crontab ·
crontab: Скорость света в м/с — целое значение и не может быть дробным.
Написал RedrikShukhart ·
RedrikShukhart: Всплывает история про какого–то нашего академика, который лежал в санатории и каждое утро их обходила медсестра и измеряла давление и пульс. И как–то, пока она обследовала его соседа по палате, он измерил свой пульс по часам, получилось 75. Когда он сказал медсестре, что у него пульс 75, она сказала: «Не может быть, вы неправильно измерили.» — «Как так, почему?» — «Пульс всегда четный». Выяснилось, она считала количество ударов за 15 секунд и умножала на 4.
Написал Baca6u ·
Baca6u: С академиком–то, что случилось?
Написал Autodafe ·
Baca6u: Наблюдательная какая! Я бы на ней женился. Жалко академик меня опередил.
Написал leve ·
crontab: Но. Равенство не точное, ведь g=9.81 (немного варьирует в разных местах на поверхности Земли), а пи в квадрате = 9.87.
Все верно. Между Пи и g промежуток должен быть!
Написал на пальцах™ sly2m ·
sly2m: вот он, скрытый смысл песни.
Написал yvanko ·
теперь–то хоть кто–нибудь оценит КДПВ?
Написал crontab ·
crontab: + за кдпв
Написал Jabbewack ·
crontab: v12 = gлуны*Rлуны
gлуны=1.6
Rлуны=1.66
v12 = 1.66 * 1.6
v1=1.63 км/с
(Отсюда 1.68 км/с)
Написал RCanywhere ·
RCanywhere: 1.66 это не то же самое что 1.6*106(!)
Написал Adverte ·
crontab: я догадался!
Правда прикидки на салфетке не сошлись, все равно. Формулу маятника нашел в гугле правильную, а вот почему–то считал, что период маятника метровой длины — 1 секунда.
Написал vis ·
vis: полупериод. У этого Уилкинса так и написано — полупериод = 1с.
Написал crontab ·
crontab:
//А самое современное определение метра,
(и наиболее клёвое в нашей юмористической системе выражение): «РУССКИЙ МЕТР ДЛИННЕЕ ЛАНГРАНЖЕВСКОГО».
Что значит m в формуле E = mc^2
Атом водорода имеет меньшую массу, чем сумма масс отдельно взятых протона и электрона. Мы знаем это точно, иначе бы в нашей Вселенной не было бы звёзд, потому что именно благодаря этому «дефекту массы» и возможны ядерные и термоядерные реакции, однако, как может что-то иметь массу меньшую, чем сумма масс его составных частей?
Разумеется, из за этого:
Давайте посмотрим, что же на самом деле означает самое знаменитое уравнение в истории физики.
Это уравнение было опубликовано А. Эйнштейном 27 апреля 1905 года в работе под названием «Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии?», где заключается: « … если тело отдаёт энергию L в виде излучения, его масса уменьшается на L/c² ». Иными словами, в оригинале, уравнение имело вид:
(в оригинальной работе Эйнштейи использовал для энергии обозначение L)
Русский перевод здесь, всего 3 странички, можно осилить.
Эйнштейн использовал такую запись, потому что краеугольным камнем современной физики является понимание того, что такое масса.
Мы часто слышим утверждения вроде масса – одна из форм энергии, или масса – «замороженная» энергия, или (в наихудшем виде) масса может быть преобразована в энергию. На самом деле ни одно из данных утверждений не верно на 100%.
Чтобы понять, что же именно значит E = mc², давайте рассмотрим явления, которые не укладываются в наше повседневное и обыденное представление о массе.
Вот, к примеру, одно из них: если два объекта состоят из абсолютно идентичных составных частей, данные объекты не обладают идентичной массой.
Масса чего-либо созданного из более мелких составных частей не является суммой масс этих частей:
m1 ≠ ma + mb + mc
m2 ≠ ma + mb + mc
Общая масса составного объекта зависит во-первых, от того, как составные части расположены по отношению друг к другу, во-вторых – от того, как они двигаются внутри данного объекта.
Вот конкретный пример: представьте себе пару заводных механических часов, чьё строение идентично до атомной структуры. Единственная разница между ними – то, что пружина в одних часах взведена, и часы идут, а пружина вторых часов расслаблена, и часы стоят. Согласно Эйнштейну, масса тикающих часов больше, потому что шестерёнки и стрелки находятся в движении и их кинетическая энергия больше. Кроме того, пружина в этих часах заведена и имеет большую потенциальную энергию. Между движущимися деталями этих часов возникает трение, которое их слегка нагревает, и атомы, из которых состоят эти часы, двигаются более интенсивно. Тепловая энергия – это та же кинетическая энергия атомов, из которых состоят наши часы.
Так что же говорит нам уравнение E = mc²? То, что вся тепловая, кинетическая и потенциальная энергия часов добавляется к их массе. Мы просто складываем всю эту энергию, делим на скорость света в квадрате и получаем ту «лишнюю» массу, которая добавилась к идущим часам.
Так как величина скорости света в квадрате – астрономически огромное число, полученное нами значение даст прибавку порядка атто-грамм или 1×10⁻¹⁸ доли процента (0,000000000000000001%), однако эта разница в массах присутствует и может быть объективно-измерена в лабораториях.
Этот пример показывает нам, что масса – это не характеристика количества материи в объекте. В повседневной жизни мы просто не замечаем разницы.
Для того, чтобы среди физиков не возникало недопониманий, современная наука оперирует понятием «масса покоя» или «инвариантная масса», то есть – масса недвижимого объекта. Само слово «покоя» часто не произносят, но когда говорят о массе, всегда подразумевают «массу покоя», так как только о данной величине все независимые наблюдатели из любой системы отсчёта смогут договориться (по аналогии с тем, как пространственно-временные интервалы между событиями являются единственной объективной характеристикой, о которой могут договориться независимые наблюдатели).
Из классической ньютоновской механики мы знаем, что полная энергия движущегося объекта растёт, что выражается формулой кинетической энергии E = mv²/2, путём нехитрых преобразований мы можем получить понятие релятивистской массы – массы движущегося тела:
Таким образом, релятивистская масса является коэффициентом пропорциональности между импульсом и скоростью тела:
Поскольку импульс тела так же вносит свой вклад в полную энергию (и релятивистскую массу), полная версия уравнения Эйнштейна выглядит следующим образом:
Определённая таким образом масса является релятивистским инвариантом, то есть она одна и та же в любой системе отсчёта. Если мы согласимся считать скорость в единицах скорости света, то данную формулу в специальной теории относительности можно упросить до:
Как видно из приведённых формул, релятивистская масса тела растёт с увеличением скорости. Как следствие — по мере приближения к скорости света потребуется всё большая и большая сила для дальнейшего увеличения скорости. Релятивистская масса стала бы бесконечно большой при достижении этого порога, что так же означает, что до придания телу такой скорости, потребуется бесконечно большое усилие.
В общей теории относительности всё ещё больше усложняется, но для нас сегодня m в формуле E = mc² означает массу покоя. Полную же массу можно считать индикатором того, насколько сложно будет придать объекту ускорение, либо какое гравитационное воздействие будет испытывать данный объект.
Вернёмся к примерам, вот ещё один: как только вы включите фонарь, его масса немедленно начнёт уменьшаться. Свет, который исходит от фонаря, уносит энергию, которая ранее была запасена электрохимическим образом в батарее и добавлялась к полной массе фонаря. Наше солнце – в принципе, тот же фонарь, только огромных размеров. Оно теряет около 4 миллионов тонн массы каждую секунду и только его огромные размеры спасают нас от гибели в холоде и тьме, потому что эта масса – лишь 1×10⁻²¹ доля полной массы Солнца (за почти десять миллиардов лет своего существования, Солнце истратило лишь 0,07% своей массы).
Так что же означают слова, что солнце преобразует массу в энергию? Речь не идёт ни о какой алхимии. Вся энергия солнечного света – результат преобразования иной формы энергии – кинетической и потенциальной энергии частиц, из которых состоит наше Солнце. Те 4 миллиона тонн, которые теряет наше Солнце – лишь результат уменьшения потениальной и кинетической энергии частиц, из которых оно состоит.
Всё, что мы взвешиваем на весах – лишь энергия частиц, мы просто никогда этого не замечали.
Ещё пример: представьте, что вы стоите с фонариком в руке внутри закрытого ящика с зеркальными стенками, который, в свою очередь, стоит на больших весах. Уменьшится ли показание весов, если включить фонарик? Ответ – нет, не уменьшится. Хотя масса фонаря и уменьшится, масса всего ящика останется неизменной, так как энергия фотонов, которые покинули фонарик, не покинет пределы ящика, и хотя у фотонов масса покоя отсутствует, их энергия включается в массу покоя ящика.
В каждом из рассмотренных примеров целый объект имел большую массу, чем масса его составных частей, но в начале этого поста было сказано, что масса атома водорода меньше, чем сумма масс протона и электрона, из которых он состоит. Почему так?
Потому что потенциальная энергия может быть и отрицательной. Давайте обозначим потенциальную энергию протона и электрона, находящихся бесконечно далеко друг от друга за нулевую. В силу того, что они притягиваются друг к другу, чем меньше между ними расстояние, тем меньше будет их потенциальная энергия (точно так же, как потенциальная гравитационная энергия уменьшается по мере приближения к поверхности земли). Если они сблизятся до размеров атома водорода, их потенциальная энергия меньше нуля. Хотя электрон в атоме водорода и обладает ещё кинетической энергией, так как он движется вокруг протона, суммарная энергия системы протон-электрон всё равно будет отрицательной, а следовательно, согласно нашей формуле m = E/c² будет так же меньше нуля.
Именно поэтому масса атома водорода меньше, чем сумма масс его составных частей. На самом деле, масса любого атома в периодической таблице будет меньше, чем сумма масс протонов, нейтронов и электронов, из которых они состоят.
То же самое касается и молекул. Молекула кислорода O₂ весит меньше, чем два отдельных его атома, так как суммарная потенциальная и кинетическая энергия этих атомов становится меньше нуля, когда они образуют химическую связь друг с другом.
А что насчёт самих протонов? Они состоят из частиц, называемых кварки, и их суммарные массы примерно в 100 раз меньше массы протона. Так откуда же у протона масса? Она «добирается» из глюонов (или, если упрощённо – потенциальной энергии кварков).
Откуда же берётся масса элементарных частиц (электронов или кварков)? По крайней мере в стандартной модели физики частиц, у них нет составных частей (поэтому они и называются элементарными). С определёной точки зрения (и точки зрения до-Эйнштейновской физики), их массы элементарны, однако, и об их массе можно судить, как о некоей форме потенциальной энергии. Например, можно рассматривать их массу, как потенциальную энергию взаимодействия электронов и кварков с полем Хиггса, а так же с электрическими полями, которые они сами же и порождают, либо, в случае с кварками – потенциальная энергия взаимодейтсвия с их глюонными полями.
Даже классический пример так называемого «преобразования массы в энергию» – аннигиляцию материи и антиматерии концептуально сводится к тому же преобразованию одного вида энергии к другому, и вам не требуется алхимия по преобразованию массы в энергию для его объяснения.
Основная идея данного поста в том, что масса – понятие виртуальное. Это всего лишь свойство, свойство, которое проявляет энергия, поэтому некорректно думать, что масса может являться мерой количества материала в том или ином объекте, на самом деле, это характеристика количества энергии, которой данный объект обладает. Значение именно этой характеристики мы получаем, когда взвешиваем тот или иной объект.
Возведение в степень. Физический смысл
В каких случаях мы используем операцию возведения в степень? Например, при расчете площади, объема. В физике часто используется квадрат скорости.
В любом из этих случаев мы пытаемся выразить свойство высшего порядка через свойство низшего порядка. Например, площадь – через длины сторон, объем – через площадь основания и высоту. Насколько такая операция обоснована? Не происходит ли при этом утрата какой-то важной информации? Давайте попробуем ответить на этот вопрос.
Начнем с самого простого – измерения площади. Для расчета площади мы умножаем длину на ширину. При этом мы не учитываем угол между ними, т.е. теряем информацию о пространственном расположении, о форме. Поэтому мы вынуждены ограничить себя тем, что можем вычислить лишь площадь прямоугольной фигуры.
При вычислении площади для нас не имеет значения, какую сторону считать длиной, а какую шириной. Обычно за длину мы принимаем бОльшую сторону, а за ширину – меньшую. Но при этом мы совершенно не учитываем свойства пространства в разных направлениях. Хотя для физического объекта есть понятия «верх», «низ», «право», «лево», именно они влияют на пространственное расположение тел и их взаимодействие.
При вычислении же площади квадрата или куба, мы совершенно теряем различие между длиной, шириной и высотой. Мы просто записываем «а в квадрате» или «а в кубе».
В самой популярной физической формуле энергия выражается через произведение массы и квадрата скорости света (Е=mc^2). Не означает ли это, что мы просто не различаем некие важные физические характеристики скорости света (электромагнитной волны)? Разумеется! И эти характеристики есть не что иное, как частота и длина волны. Их произведение есть величина постоянная.
Такое умножение является афинным преобразованием, когда множители (внутренние пропорции) меняются, а произведение остается постоянным. Именно такое постоянство в природе обеспечивает существование законов сохранения и познаваемость мира, способность вычислять одни значения через другие.