Что такое график функции одной переменной определение 10 класс

Что такое функция?

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 2. Функции и графики. Линейная и квадратичная функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни. 2016.

Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.2016.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Существует 3 способа задания функции:

— аналитический (с помощью формул);

Самая простая функция – прямая пропорциональность. Выражается формулой у = kx, где коэффициент пропорциональности k ≠ 0.

Обратная пропорциональность выражается формулой у .

Рассмотрим следующие функции:

— линейная функция: y= kx+b;

— квадратичная функция: , где a≠0.

Графиком квадратичной функции является парабола. Точка А – вершина параболы имеет абсциссу.

Графиком функции является гипербола.

Понятие «функция» встречается и в других науках: физике, химии, экономике, медицине и других. Рассмотрим примеры:

2. В экономике изучается график спроса и предложения в зависимости от цены. Как правило, чем выше цена, тем меньше спрос. Это тоже функция.

Линейная и квадратичная функции.

Рассмотрим свойства линейной и квадратичной функции.

Зависимость положения графиков данных функции от ее коэффициентов определятся положением точки при х=0.

Если коэффициенты k одинаковые, графики линейной функции параллельны, если разные пересекаются. Если k =0 прямая параллельна оси ОХ.

Если старшие коэффициенты квадратичной функции одинаковы, то графики можно получить сдвигом.

Зависимость свойств квадратичной функции от дискриминанта определяет наличие корней или точек пересечения графика с осью абсцисс.

Если дискриминант больше нуля два корня, то есть две точки на оси абсцисс. Если равен нулю один корень или одна точка. Если меньше нуля график не пересекает ось абсцисс.

Пусть – координаты вершины параболы. Если , то a и b разных знаков, если , то a и b одинаковых знаков.

Рассмотрим схему исследования свойств функции: находим ООФ, ОЗФ, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности.

Парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения направленны параллельно его оси. Это свойство используется при изготовлении оптических устройств: линз, прожекторов, фар, фонариков.

Лучи солнца приходят на Землю в виде пучка параллельных лучей, двигающихся вдоль оси параболы, отражаясь, собираются в его фокусе. Это свойство – основа создания телескопов, антенн, локаторов, зеркала которых имеют параболическую форму.

Задания тренировочного модуля с разбором.

При каких значениях х значения функции положительны?

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
y=(x-3)^2 на отрезке [-2,5].

Наибольшее или наименьшее значение квадратичная функция достигает в вершине параболы. Найдем .

Найдем значение функции на концах отрезка: у(-2) =25, у(5) = 4.

Источник

Тема 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1. Определение функции одной переменной

Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f ( x ) с областью определения X = D( f ) и областью изменения Y = E ( f ). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

Частным значением функции y = f ( x ) при фиксированном значении аргумента x = x₀ называют y ₀ = f ( x ₀ ).

1.2. Способы задания функции

1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.

Различают несколько способов аналитического задания функции:

а) Функция задана явно формулой y = f ( x ).

б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y : F( x ; y ) = 0.

Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:

3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

1.3. Сложная и обратная функции

1.4. Элементарные функции

Основные элементарные функции:

Обратные тригонометрические функции :

Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

Например: – элементарная функция.

Графики обратных тригонометрических функций:

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Глоссарий по теме урока

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).

Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).

Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:

Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:

для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).

Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х₁, х₂ из этого промежутка, таких, что х₁ у₂.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.

Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции на примере функции

1) Область определения функции

Знаменатель дроби не равен нулю:

Получили область определения

D(y)=

Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).

Получили

D(y)= — симметрична относительно нуля

,

следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение

Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ

у>0 при

у 2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?

1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.

Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x 2 у.е.

Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.

3 этап. Перевод на язык задачи

Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.

24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.

Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.

Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.

Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Исследуйте функции на четность.

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

Данная функция одновременно четна и нечетна.

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x

у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная

логарифмируемое выражение должно быть положительным

Найдем область определения D(f)

Проверим второе условие

Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.

домножим на сопряженное

Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.

и четная, и нечетная

2.

Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.

Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.

В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.

Источник

Алгебра

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Понятие функции

Понятие функции в школьной программе впервые встречается в 7 классе, поэтому настоятельно рекомендуем перечитать посвященный этой теме урок. Напомним, что функцией (в учебной литературе может использоваться сокращение ф-ция) называется соответствие между элементами двух множеств или, другими словами, зависимость между двумя величинами. Чаще всего в алгебре рассматриваются числовые ф-ции, которые заданы аналитически, то есть формулой. В качестве примера можно привести запись

Здесь х – это независимая переменная, или аргумент, а у – зависимая величина, или просто функция. Принципиально важно, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение зависимой величины. Часто в математике используют запись

Она читается как «игрек равен эф от икс» и означает, что величина у как-то зависит от х. По сути, она равноценна записи

Если в скобках стоит конкретное число, то запись означает значение ф-ции при этом значении аргумента.

У каждой ф-ции есть область допустимых значений (используется сокращение ОДЗ), или область определения функции. Это те значения аргумента, при которых ф-ция определена. Здесь возможны два случая. В первом область определения указывается прямо. Например, если рассматривается функция у = х 4 при значениях х от 1 до 3, то и областью определения будет всё множество чисел от 1 до 3. Для обозначения области определения используется запись D(y) или D(f). При изучении неравенств мы уже познакомились с такими объектами, как числовые промежутки. Именно с их помощью указывают ОДЗ.

Пример. Постройте график функции у = х, если D(y) = [– 3; 4].

Решение. Ф-ция у = х – это линейная функция, мы уже умеем строить их графики (они представляют собой прямую линию). Выглядеть он будет так:

Однако в условии также есть запись D (y) = [– 3; 4], которая означает, что ф-ция определена только при х от – 3 до 4. С учетом этого условия график несколько преобразится:

Грубо говоря, часть графика, которая не входит в область определения, просто «отрезана».

Значительно чаще область определения явно не указывается. В этом случае предполагается, что ф-ция определена во всех точках числовой прямой, в которых ее вообще возможно вычислить. Например, ф-цию у = 9х 3 – 47 можно вычислить при любом значении х, поэтому ее область определения – вся числовая прямая, то есть D(y) = (– ∞; + ∞).

А когда же вычислить функцию невозможно? К этому уроку нам известны две таких ситуации:

Например, вычислить ф-цию у = 5/х при х = 0 невозможно, поэтому ее область определения – вся числовая прямая, кроме нуля, то есть

имеет область определения D(y) = [5; + ∞), так как при х 2 при D(y) = [– 2; 2] областью значений будет промежуток [0; 4], то есть Е(у) = [0; 4]. Это видно из графика функции:

Ещё раз напомним, что область определения и область значения функции указываются с помощью числовых промежутков.

Теперь перейдем к тем понятиям, которые не изучались ранее. Первое из них – это нули функции. Так называют те значения аргумента, при которых функция обращается в ноль.

есть два нуля, х = 4 и х = 5. Убедиться в этом можно подстановкой:

у(4) = 4 2 – 9•4 + 20 = 0

у (5) = 5 2 – 9•5 + 20 = 0

Для нахождения нулей ф-ции у = f(x) надо просто решить уравнение

Например, чтобы найти нули приведенной выше функции

надо решить уравнение

Сделаем это, ведь мы уже умеем решать квадратные уравнения:

На графике нули ф-ции – это те точки, в которых график пересекает ось Ох:

Ещё одно новое понятие – промежутки знакопостоянства. Так называют промежутки числовой прямой, на которых ф-ция либо только положительна, либо только отрицательна. Для наглядности покажем их на графике:

Пусть есть ф-ция у = f(x). Для нахождения промежутков знакопостоянства необходимо решить неравенства f(x)>0 и у = f(x) 0:

Получаем, что функция положительна на промежутке (12; + ∞).

Аналогично решив неравенство 3х – 36 2 – 5х. Найдите такое значение величины а, для которого выполняется условие у(а) = у(а + 2).

Решение. Очевидно, что у(а) = а 2 – 5а. Теперь вычислим у(а + 2):

у(а + 2) = (а + 2) 2 – 5(а + 2) = а 2 + 4а + 4 – 5а – 10 = а 2 – а – 6.

Теперь приравняем значения у(а) и у(а + 2):

а 2 – 5а = а 2 – а – 6

а 2 – 5а – а 2 + а = – 6

Убедимся, что мы нашли требуемое значение а:

у(1,5) = 1,5 2 – 5•1,5 = 2,25 – 7,5 = – 5,25

у(1,5 + 2) = у(3,5) = 3,5 2 – 5•3,5 = 12,25 – 17,5 = – 5,25

Растяжение и сжатие графиков функций

Пусть на координатной плоскости есть точка А с координатами (х₀; у₀). Куда переместится эта точка, если ее ордината (то есть у₀) увеличится, например, в два или в три раза? Она отодвинется от оси Ох. Если же ее ордината уменьшится, то точка приблизится к оси. Наконец, если ордината поменяет знак, то точка, изначально, лежащая выше оси, окажется ниже её. Проиллюстрируем это на картинке:

Пусть есть пара функций у(х) и g = k•у(х), где k– какое-то постоянное число (константа), не равная нулю. Примерами таких пар являются:

Посмотрим, как связаны графики таких функций. На рисунке красным цветом показана функция у(х), а синим g = 2у(x):

При любом значении аргумента выполняется условие g(х) = 2у(х). Это значит, что ордината (координата у) каждой точки графика g(х) вдвое больше, чем ордината соответствующей точки графика у(х). В частности, отрезок АА₂ вдвое длиннее отрезка АА₁:

Аналогично можно записать, что

Таким образом, график g(x) выглядит так, будто бы график у(х) «растянули» в 2 раза. Каждая точка «переезжает» на новое место, сдвигаясь по вертикали. Так, если точка А₁ имела координаты (– 6; 2), то при растяжении графика функции она получит координаты (– 6; 4), то есть ее координата у увеличится вдвое. Точка B₁ имела координаты (2; – 2), а в графике g(х) занимает позицию (2; – 4).

Убедимся в этом на примере ф-ций у = х 2 и g = 2х 2 :

В общем случае говорят, что график функции g(х) = ky(x) получается растяжением графика у(х) в k раз.

Пример. Функция у(х) задана графически:

Постройте график функции g(х) = 3у(х).

Решение. Каждую точку отодвинем от оси Ох, увеличив координату у точек в 3 раза:

При сжатии графика каждая точка параболы приближается к оси Ох, при этом ордината точек уменьшается вдвое. Так, точка А₂ с координатами (3; 9) переходит в точку А₁ с координатами (3; 4,5).

Отдельно стоит рассмотреть случай, при котором коэффициент k является отрицательным. В этом случае график отображается симметрично относительно оси Ох. Те точки, которые имели изначально положительную ординату и находились выше Ох, в результате получают отрицательную ординату и оказываются ниже оси Ох. Покажем на рисунке графики ф-ций у = х 2 и у = – х 2 (то есть k =– 1):

Если же, например, коэффициент k = – 2, то надо и растянуть график, и перевернуть его относительно оси Ох. В частности, так выглядит график у = – 2х 2 :

Параллельный перенос графиков функций

Теперь посмотрим, как передвинется отдельная точка на координатной плоскости, если к ее ординате добавить какое-нибудь число. Если это число положительное, то точка поднимется выше, а если отрицательное, то она опустится:

Это означает, что если к какой-нибудь функции добавить некоторое число, то график функции переместится вверх или вниз. Для примера построим графики функций у = х 2 + 2 и у = х 2 – 5:

Параллельный перенос возможен не только в вертикальном, но и в горизонтальном направлении. Для такого перемещения надо изменить абсциссу точки, а не ординату:

Аналогично может сдвинуться не только точка, но и целый график функции. Если вместо аргумента х подставить в ф-цию величину (х +n), то график сместится на n единиц влево.

у(0) = 0 2 = 0 и g(– 3) = g(– 3 + 3) 2 = 0 2 = 0

у(– 1) = (– 1) 2 = 1 и g(– 4) = g(– 4 + 3) 2 = (– 1) 2 = 1

у(– 2) = (– 2) 2 = 4 и g(– 5) = g(– 5 + 3) 2 = (– 2) 2 = 4

Точка А₁ сдвинулась влево на 3 единицы и перешла в точку А₂. Аналогично точка В₁ отобразилась в точку В₂.

Пусть в общем случае есть функции у = у(х) и g(x) = у(х +n), где n – некоторое постоянное число. Значение у(х) в точке х₀ обозначается как у₀. Теперь найдем значение g(x) в точке (х₀ – n):

Получили, то же самое значение, что и у у(х). Покажем это на рисунке:

Рассмотрим теперь случай, когда график сдвигается вправо. Для этого из аргумента исходной функции надо вычесть какое-то число. На рисунке показаны графики функций у = 2х и у = 2(х – 4):

Каждая точка исходного графика (например, А₁) «переехала» на 4 единицы вправо.

Надо понимать, что иногда один график можно получить из другого в несколько переходов. Пусть надо построить график у = – (х – 4) 2 + 5. Его можно получить из обычной параболы у = х 2 в три шага.

Последний шаг – это построение графика у = – (х – 4) 2 + 5. Его можно получить, подняв предыдущий график на 5 единиц вверх:

Гипербола и обратная пропорциональность

Найдем область определения функции у = 1/х. Ясно, что аргумент не может равняться нулю, так как иначе получим деление на ноль:

При любых других значениях х значение у вычислить можно, а потому областью определения будет промежуток (– ∞; 0)⋃(0;+ ∞).

При положительных значениях аргумента ф-ция также будет положительной:

При отрицательных х величина у будет становиться отрицательной:

Это означает, что график ф-ции будет располагаться в I и III четвертях.

Можно заметить, что чем больше х, тем ближе у к нулю:

И наоборот, чем ближе х к нулю, тем больше у:

При этом у не может равняться нулю. Действительно, дробь равна нулю только тогда, когда ее числитель равен нулю. Однако варьируя х, мы меняем только знаменатель, а в числителе остается единица. Поэтому областью значений функции у = х – 1 является промежуток (– ∞; 0)⋃(0;+ ∞).

Для построения графика найдем некоторые точки графика и занесем их в таблицу. Мы построим две таблицы – одну для положительных х, другую для отрицательных:

Теперь можно посмотреть и на сам график:

Первое, что бросается в глаза – это то, что график не представляет собой единую, непрерывную линию. Он разбит на две ветви, одна из которых располагается в III четверти, а другая – в I четверти. Такой «разрыв» связан с тем, что ноль не входит в область определения ф-ции.

Также можно заметить симметричность графика. Действительно, одна из ветвей является симметричным отображением второй ветви.

Построенный нами график называется гиперболой.

На координатной плоскости есть две прямые линии, к которым гипербола приближается, но при этом он не касается их. Это оси Ох и Оу. Для наглядности покажем их штриховой линией:

В математике подобные линии называют асимптотами функции. Горизонтальная асимптота прямая соответствует линии х = 0, а вертикальная асимптота линии у = 0.

Зная, как выглядит график у = 1/х, мы можем построить и другие, схожие с ним графики для ф-ций у = k/х, где k– это некоторое число. Их можно получить из гиперболы, используя сжатие и растяжение графиков. Если коэффициент k больше единицы, то график «отдаляется» от осей Ох и Оу:

Все эти линии являются примерами гипербол. Если коэффициент k отрицательный, то графики переворачиваются относительно оси Ох и занимают II и IV четверти:

Все приведенные зависимости вида у = k/х называют обратными пропорциональностями.

Примерами обратной пропорциональности являются ф-ции:

Обратная пропорциональность очень часто встречается в жизни. Так, время, затрачиваемое на поездку на автомобиле, обратно пропорционально средней скорости движения. Количество товара, которое можно купить на одну зарплату, обратно пропорционально стоимости этого товара.

Дробно-линейная функция

Теперь рассмотрим несколько более сложные ф-ции, чьи графики, однако, также представляют собой гиперболу. Пусть есть ф-ция вида

Как будет выглядеть ее график? Для ответа на этот вопрос выполним преобразование:

Здесь мы в числителе и знаменателе добавили и сразу вычли слагаемое 2.Этот прием помог нам выделить целую часть из дроби. В результате мы получили ф-цию, график которой можно получить с помощью двух параллельных переносов графика у = 6/х. Сначала график сместится на две единицы вправо:

На следующем шаге график поднимется на единицу вверх:

Стоит обратить внимание, что при таком передвижении гиперболы передвигаются и асимптоты графика гиперболы:

представляет собой дробь, являющуюся отношением двух линейных многочленов, х + 3 и х – 2. В математике подобные ф-ции называют дробно-линейными функциями. В качестве примеров дробно-линейных функций можно привести:

Из любой дробно-линейной функции можно выделить целую часть. Покажем это на нескольких примерах:

Во всех этих случаях график дробно-линейной функции можно построить с помощью двух параллельных переносов гиперболы.

Однако есть одно исключение. Иногда при выделении из дроби целой части дробной части не остается вовсе, то есть линейные полиномы можно сразу сократить. Например:

Графиком таких функций являются прямые горизонтальные линии. Однако на них должна быть одна «исключенная». Действительно, пусть надо построить график ф-ции

Проведя преобразования, получим

то есть у = 2. Однако в знаменателе дроби не может стоять ноль. Если же подставить в дробь х = – 2, то получим деление на ноль:

Поэтому график ф-ции будет выглядеть так:

Итак, по итогам урока мы узнали:

Источник