Что такое градиент скалярной функции
СОДЕРЖАНИЕ
Мотивация
Обозначение
Определение
Когда функция также зависит от параметра, такого как время, градиент часто относится просто к вектору только его пространственных производных (см. Пространственный градиент ).
Декартовы координаты
В трехмерной декартовой системе координат с евклидовой метрикой градиент, если он существует, задается следующим образом:
Цилиндрические и сферические координаты
В цилиндрических координатах с евклидовой метрикой градиент задается следующим образом:
В сферических координатах градиент определяется как:
Общие координаты
Последнее выражение соответствует приведенным выше выражениям для цилиндрических и сферических координат.
Связь с производной
Связь с полной производной
С вычислительной точки зрения, учитывая касательный вектор, вектор можно умножить на производную (в виде матриц), что равносильно взятию скалярного произведения с градиентом:
( d f p ) ( v ) = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) ⋯ ∂ f ∂ x n ( p ) ] [ v 1 ⋮ v n ] = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) v i = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) ⋮ ∂ f ∂ x n ( p ) ] ⋅ [ v 1 ⋮ v n ] = ∇ f ( p ) ⋅ v <\displaystyle (df_
)(v)=<\begin
Дифференциальная или (внешняя) производная
Наилучшее линейное приближение дифференцируемой функции
Градиент связан с дифференциалом формулой
Если R n рассматривается как пространство векторов-столбцов (размерности n ) (действительных чисел), то можно рассматривать df как вектор-строку с компонентами
Линейное приближение к функции
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + ( ∇ f ) x 0 ⋅ ( x − x 0 ) <\displaystyle f(x)\approx f(x_<0>)+(\nabla f)_
Связь с производной Фреше
Как следствие, обычные свойства производной сохраняются для градиента, хотя градиент сам по себе не является производной, а скорее двойственен производной:
Другие свойства и применения
Наборы уровней
В более общем смысле, любая вложенная гиперповерхность в римановом многообразии может быть вырезана уравнением вида F ( P ) = 0 таким, что dF нигде не равно нулю. Тогда градиент F нормален к гиперповерхности.
Консервативные векторные поля и градиентная теорема
Градиент функции называется градиентным полем. (Непрерывное) поле градиента всегда является консервативным векторным полем : его линейный интеграл вдоль любого пути зависит только от конечных точек пути и может быть вычислен с помощью градиентной теоремы (основная теорема исчисления для линейных интегралов). И наоборот, (непрерывное) консервативное векторное поле всегда является градиентом функции.
Обобщения
Якобиан
Градиент векторного поля
Поскольку полная производная векторного поля является линейным отображением векторов в векторы, это тензорная величина.
(где используется обозначение суммирования Эйнштейна, а тензорное произведение векторов e i и e k является диадическим тензором типа (2,0)). В целом это выражение равно транспонированной матрице Якоби:
В криволинейных координатах или, в более общем смысле, на изогнутом многообразии градиент включает символы Кристоффеля :
Выражаясь более инвариантно, градиент векторного поля f может быть определен связностью Леви-Чивиты и метрическим тензором:
Римановы многообразия
где X j обозначает j- й компонент X в этой координатной карте.
Итак, локальная форма градиента принимает вид:
Градиент
Содержание
Мотивация [ править ]
Обозначение [ править ]
Определение [ править ]
Когда функция также зависит от параметра, такого как время, градиент часто относится просто к вектору только его пространственных производных (см. Пространственный градиент ).
Декартовы координаты [ править ]
В трехмерной декартовой системе координат с евклидовой метрикой градиент, если он существует, задается следующим образом:
Цилиндрические и сферические координаты [ править ]
В цилиндрических координатах с евклидовой метрикой градиент задается следующим образом: [19]
В сферических координатах градиент определяется как: [19]
Общие координаты [ править ]
Последнее выражение соответствует приведенным выше выражениям для цилиндрических и сферических координат.
Градиент и производная или дифференциал [ редактировать ]
∇ f ( p ) = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) ⋮ ∂ f ∂ x n ( p ) ] <\displaystyle \nabla f(p)=<\begin =<\begin С вычислительной точки зрения, учитывая касательный вектор, вектор можно умножить на производную (в виде матриц), что равносильно взятию скалярного произведения с градиентом: ( d f p ) ( v ) = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) ⋯ ∂ f ∂ x n ( p ) ] [ v 1 ⋮ v n ] = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) v i = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) ⋮ ∂ f ∂ x n ( p ) ] ⋅ [ v 1 ⋮ v n ] = ∇ f ( p ) ⋅ v <\displaystyle (df_ )(v)=<\begin Наилучшее линейное приближение дифференцируемой функции Градиент связан с дифференциалом формулой Если R n рассматривается как пространство векторов-столбцов (размерности n ) (действительных чисел), то можно рассматривать df как вектор-строку с компонентами f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + ( ∇ f ) x 0 ⋅ ( x − x 0 ) <\displaystyle f(x)\approx f(x_<0>)+(\nabla f)_ Как следствие, обычные свойства производной сохраняются для градиента, хотя градиент сам по себе не является производной, а скорее двойственен производной: В более общем смысле, любая вложенная гиперповерхность в римановом многообразии может быть вырезана уравнением вида F ( P ) = 0 таким, что dF нигде не равно нулю. Тогда градиент F нормален к гиперповерхности. Градиент функции называется градиентным полем. (Непрерывное) поле градиента всегда является консервативным векторным полем : его линейный интеграл вдоль любого пути зависит только от конечных точек пути и может быть вычислен с помощью градиентной теоремы (основная теорема исчисления для линейных интегралов). И наоборот, (непрерывное) консервативное векторное поле всегда является градиентом функции. Поскольку полная производная векторного поля является линейным отображением векторов в векторы, это тензорная величина. (где используется обозначение суммирования Эйнштейна, а тензорное произведение векторов e i и e k является диадическим тензором типа (2,0)). В целом, это выражение равно транспонированной матрице Якоби: В криволинейных координатах или, в более общем смысле, на изогнутом многообразии градиент включает символы Кристоффеля : Выражаясь более инвариантно, градиент векторного поля f может быть определен связностью Леви-Чивиты и метрическим тензором: [23] где X j обозначает j- й компонент X в этой координатной карте. Итак, локальная форма градиента принимает вид: Для посетительниц салонов красоты вопрос о том, что такое градиент, не станет неожиданным. Правда, и в этом случае знание математических законов и основ физики не обязательно. Речь идет все так же о цветовых переходах. Объектом градиента становятся волосы и ногти. Техника омбрэ, что в переводе с французского обозначает «тон» пришла в моду от спортивных любительниц серфинга и других пляжных развлечений. Естественным образом выгоревшие и вновь отросшие волосы стали хитом. Модницы стали специально окрашивать волосы с еле заметным переходом оттенков. Техника омбре не прошла мимо маникюрных салонов. Градиент на ногтях создает окраску с постепенным осветлением пластины от корня к краю. Мастера предлагают горизонтальный, вертикальный, с переходом и другие разновидности. В медицине существует несколько терминов, связанным со словом «градиент», таких как: Таким образом, понятие градиента в медицине может иметь массу разнообразных отличающихся друг от друга значений.; d f p = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) ⋯ ∂ f ∂ x n ( p ) ] <\displaystyle df_.Дифференциальная или (внешняя) производная [ править ]
Линейное приближение к функции [ править ]
Градиент как «производная» [ править ]
Линейность [ править ]
Правило продукта [ править ]
Цепное правило [ править ]
Другие свойства и приложения [ править ]
Наборы уровней [ править ]
Консервативные векторные поля и градиентная теорема [ править ]
Обобщения [ править ]
Якобиан [ править ]
Градиент векторного поля [ править ]
Римановы многообразия [ править ]
См. Также [ править ]
Примечания [ править ]
Что такое градиент? виды градиентов
Градиентная красота
Градиент в ортогональных криволинейных координатах
Полярные координаты (на плоскости)
Цилиндрические координаты
Сферические координаты
Медицина
Медицинские показатели
Определение «градиент температурный» можно встретить также среди медицинских терминов. Он показывает разницу в соответствующих показателях внутренних органов и поверхности тела. В биологии градиент физиологический фиксирует изменение в физиологии любого органа или организма в целом на любой стадии его развития. В медицине показатель метаболический – интенсивность обмена веществ.
Не только физики, но и медики используют этот термин в работе. Что такое градиент давления в кардиологии? Такое понятие определяет разность кровяного давления в любых связанных между собой отделах сердечно-сосудистой системы.
Убывающий градиент автоматии – это показатель уменьшения частоты возбуждений сердца в направлении от его основания к верху, возникающие автоматически. Кроме того, кардиологи место поражения артерии и его степень выявляют благодаря контролю над разностью амплитуд систолических волн. Иными словами, с помощью амплитудного градиента пульса.
Производная по направлению и градиент функции трёх переменных
Если в точке существует производная по направлению пространственного луча (исходящего из точки ), то её можно рассчитать по следующей формуле:
, где:
– частные производные функции трёх переменных в точке ; – направляющие косинусы данного направления (они же соответствующие координаты направляющего вектора единичной длины).
Вот такой вот удачный и понятный пример – не какие-нибудь плохо представляемые электрические поля.
Закрепим формулы несколькими задачами:
Найти производную функции в точке по направлению вектора
Не тушуемся, это пространственный вектор:
Контроль: 
И завершающий шаг:
Пара символических заданий для самостоятельного решения:
Найти производную функции в точке по направлению, составляющему с положительными координатными полуосями равные углы.
Особых комментариев я не оставлял, поскольку всё очень похоже на примеры 1-й части урока.
Аналогичным образом производная по направлению и градиент определяются и для функций бОльшего количества переменных.
Всех поздравляю! – сегодня мы не только познакомились с новым материалом, но и обобщили понятие производной, после чего забудем о ней, как о кошмарном сне можно смело приступать к изучению интегралов, разновидностей коих – великое множество…
…чувствую-чувствую, что взгрустнулось – вот и решил приободрить =)
Желаю вам выбора удачных направлений, которые, кстати, далеко не во всех точках жизни направлены по градиенту.
Спасибо за внимание и до скорых встреч!
Пример 4: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :Найдём направляющие косинусы:Искомая производная по направлению:
Найдём градиент функции в точке и вычислим его длину:Таким образом, максимальная крутизна поверхности в точке :Ответ
Пример 5: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :
Составим градиент функции в точке и вычислим его длину:
Искомая производная по направлению:
Ответ
Пример 7: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :
Пример 10: Решение: вычислим частные производные 1-го порядка в точке :
Направление наибыстрейшего роста функции в точке задаёт вектор градиента в данной точке:
Вычислим величину наибыстрейшего роста функции:
Ответ
(Переход на главную страницу)
Рукоделие
Рукодельницам понятие «градиент» знакомо еще с одной стороны. Техника подобного плана используется в создании вещей ручной работы в стиле декупаж. Таким способом создают новые вещи под старину, или реставрируют старые: комоды, стулья, сундуки и прочее. Декупаж подразумевает нанесение узора с помощью трафарета, основой для которого служит градиент цвета, как фон.
Художники по тканям взяли на вооружение окраску таким способом для новых моделей. Платья с расцветкой градиент покорили подиумы. Моду подхватили рукодельницы – вязальщицы. Трикотажные вещи с плавным переходом цвета пользуются успехом.
Подводя итог определению «градиент», можно сказать об очень обширной области человеческой деятельности, в которой находится место этому термину. Не всегда замена синонимом «вектор» оказывается подходящей, так как вектор – это все-таки понятие функциональное, пространственное. В чем определяется общность понятия – это постепенное изменение определенной величины, субстанции, физического параметра на единицу за определенный период. В цвете – это плавный переход тона.
Термины метеорологов и географов
Впервые понятие градиента было применено именно метеорологами для определения изменения величины и направления различных метеорологических показателей: температуры, давления, скорости и силы ветра. Он является мерой количественного изменения различных величин. В математику термин ввел Максвелл уже значительно позднее. В определении погодных условий существуют понятия вертикального и горизонтального градиентов. Рассмотрим их подробнее.
Что такое градиент температуры вертикальный? Это величина, которая показывает изменение показателей, вычисленное на высот в 100 м. Может быть как положительного направления, так и отрицательного, в отличие от горизонтального, который всегда положителен.
Градиент показывает на местности величину или угол уклона. Вычисляется как отношение высоты к длине проекции пути на определенном участке. Выражается в процентах.
4) Градиент
Понятие градиента можно сформулировать по-разному. Начнём с локального определения, а именно, с градиента функции в отдельно взятой точке:
Если совсем просто, то куда «смотрит» градиент – там и самый крутой «подъём в гору»
И теперь заостряю внимание: градиент в точке – это вектор несвободный. По той причине, что характеризует поведение функции именно в данной точке, а не где-то ещё
Взаимосвязь производной по направлению с градиентом:
Производная по некоторому направлению в точке – это проекция градиента в данной точке на данное направление:, откуда, согласно известным геометрическим выкладкам (см. ссылку выше), получается весьма полезная практическая формула:
– длина градиента; – угол между градиентом и данным направлением.
В нашей задаче производная по направлению градиента: и максимальный «красный» угол подъёма:
Что такое градиент в физике?
Понятие градиента распространено во многих отраслях физики: градиент оптики, температуры, скорости, давления и т. д. В этой отрасли понятие обозначает меру возрастания или убывание величины на единицу. Вычисляется расчетами как разница между двумя показателями. Рассмотрим некоторые из величин подробнее.
Что такое градиент потенциала? В работе с электростатическим полем определяются две характеристики: напряженность (силовая) и потенциал (энергетическая). Эти разные величины связаны со средой. И хотя они и определяют разные характеристики, все же имеют связь между собой.
Для определения напряженности силового поля используется градиент потенциала – величина, которая определяет быстроту изменения потенциала по направлению силовой линии. Как рассчитать? Разность потенциалов двух точек электрического поля вычисляется по известному напряжению с помощью вектора напряженности, который равен градиенту потенциала.
Линейный градиент
Линейный градиент распространяется по прямой линии, демонстрируя плавный переход от одного оттенка цвета к другому. Линейный градиент создаётся с помощью функции linear-gradient(). Функция создаёт изображение, которое представляет собой линейный градиент между указанными оттенками цветов. Размер градиента соответствует размеру элемента, к которому он применён.
Функция linear-gradient() принимает следующие, разделяемые запятой, аргументы:
Простейший линейный градиент требует только два аргумента, определяющие начальный и конечный цвет:
При передаче функции двух аргументов устанавливается вертикальный градиент с начальной точкой сверху.
Направление линии градиента может быть определено двумя способами:
Использование градусов В качестве первого аргумента можно передать градус угла линии градиента, определяющий направление градиента, так например, угол 0deg (deg сокращение от англ degree — градус) определяет линию градиента от нижней границы элемента к верхней, угол 90deg определяет линию градиента слева на право и т.д. Проще говоря, положительные углы представляют собой вращение по часовой стрелке, отрицательные соответственно против часов. Использование ключевых слов В качестве первого аргумента могут также передаваться ключевые слова «to top», «to right», «to bottom» или «to left», они представляют собой углы линий градиентов «0deg» «90deg» «180deg» «270deg» соответственно.
Угол можно так же задать с помощью двух ключевых слов, например, to top right — линия градиента направлена в верхний правый угол.
Пример градиента заданного в разных направлениях:
Как уже упоминалось, линейный градиент может включать список более чем из двух цветов, разделяемых запятой, браузер будет их равномерно распределять по всей доступной области:
После цвета допускается указывать стоп позицию для него, которая определяет место расположение цвета (где один цвет начинает переходить в другой) относительно начальной и конечной точки градиента. Стоп позиция указывается с помощью единиц измерения поддерживаемых в CSS или с помощью процентов. При использовании процентов, расположение стоп позиции вычисляется в зависимости от длины линии градиента. Значение 0% является начальной точкой градиента, 100% — конечной.
Значение цвета можно указывать различными способами, например: указать имя цвета, использовать (HEX), с помощью синтаксиса (RGBA) или (HSLA). Например, использование градиента с прозрачностью может быть использовано в сочетании с фоновым цветом или изображением, расположенным под градиентом для создания интересных визуальных эффектов:
Математические функции
Что такое градиент функции в математике? Это вектор, направление которого указывает направление роста функции в скалярном поле от одного значения к другому. Величина градиента рассчитывается с помощью определения частных производных. Для выяснения максимально быстрого направления роста функции на графике выбираются две точки. Они определяют начало и конец вектора. Скорость роста значения от одной точки к другой – это величина градиента. Математические функции, основанные на расчетах этого показателя, используются в векторной компьютерной графике, объектами которой являются графические изображения математических объектов.
Что говорят словари?
Что такое «градиент» специальные тематические словари трактуют в соотношении со своей спецификой. В переводе с латинского языка это слово обозначает — «тот, который идет, растет». А «Википедия» определяет это понятие как «вектор, указывающий направление возрастания величины». В толковых словарях мы видим значение этого слова как «изменение любой величины на одно значение». Понятие может нести как количественное, так и качественное значение.
Если коротко, то это плавный постепенный переход любой величины на одно значение, прогрессивное и непрерывное изменение в количестве или направлении. Вектор вычисляют математики, метеорологи. Это понятие применяют в астрономии, медицине, искусстве, компьютерной графике. Под схожим термином определяются совершенно не схожие виды деятельности.
Градиент цвета
Термин «градиент» знаком творческим личностям. Хоть они и далеки от точных наук. Что такое градиент для художника, декоратора, дизайнера? Так как в точных науках – это постепенное увеличение величины на единицу, так и в цвете этот показатель обозначает плавный, растянутый переход оттенков одного цвета от более светлого к темному, или же наоборот. Художники так и называют этот процесс – «растяжка». Возможен переход и к разным сопутствующим цветам в одной гамме.
Градиентные растяжки оттенков в окраске помещений заняли прочную позицию среди методик дизайна. Новомодный стиль омбре — плавное перетекание оттенка от светлого к темному, от яркого к бледному — эффектно преобразует любое помещения в доме и в офисе.
Оптики используют специальные линзы в солнцезащитных очках. Что такое градиент в очках? Это изготовление линзы особым способом, когда сверху вниз цвет переходит от более темного к более светлому оттенку. Изделия, изготовленные по такой технологии, защищают глаза от солнечного излучения и позволяют рассматривать предметы даже при очень ярком свете.
Определение
Для случая трёхмерного пространства градиентом
скалярной функции φ=φ(x,y,z) <\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)>координат x<\displaystyle x>, y<\displaystyle y>, z <\displaystyle z>называется векторная функция с компонентами
Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат e→x,e→y,e→z<\displaystyle <\vec
компоненты которого равны частным производным φ <\displaystyle \varphi >по всем её аргументам.
Смысл градиента любой скалярной функции f <\displaystyle f>в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения dx <\displaystyle d\mathbf
Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат xi<\displaystyle x_>, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx <\displaystyle d\mathbf
или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше).
Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.
Используя интегральную теорему
градиент можно выразить в интегральной форме:
здесь S<\displaystyle <\it >> — замкнутая поверхность охватывающая объём V,ds<\displaystyle <\it <>>> — нормальный элемент этой поверхности.