Что такое гладкая функция
Гладкая функция
Гладкая функция или непрерывно дифференцируемая функция — это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения.
Основные сведения
Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости 
имеет непрерывную производную порядка . Множество таких функций, определённых в области 
обозначается 
. 
означает, что 
для любого , а 
означает, что 
— аналитическая.
Например, 
— множество непрерывных на функций, а 
— множество непрерывно-дифференцируемых на функций, т.е. функций имеющих в каждой точке этой области непрерывную производную.
Если порядок гладкости не указан, то обычно предполагают его достаточным для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.
Для тонкого анализа классов дифференцируемых функций вводят также понятие дробной гладкости в точке или показателя Гёльдера, которое обобщает все выше перечисленные понятия гладкости.
Функция принадлежит классу 
, где — целое неотрицательное число и 
, если имеет производные до порядка включительно и 
является гёльдеровской с показателем 
.
В переводной литературе, наравне с термином «показатель Гёльдера», используется термин «показатель Липшица».
Приближение непрерывно-дифференцируемых функций аналитическими
Пусть открыто в 
и 
, 
. Пусть 
— последовательность компактных подмножеств такая, что 
, 
и 
. Пусть 
— произвольная последовательность положительных целых чисел и 
. Наконец, пусть 
— произвольная последовательность положительных чисел. Тогда существует 
-аналитическая функция 
в такая, что для всякого 
:
Приведенные ниже функции обычно используются для построения разбиений единицы на дифференцируемых многообразиях.
СОДЕРЖАНИЕ
Пример функции
Определение функции
Функция гладкая
Шаг индукции от n до n + 1 аналогичен. При x > 0 для производной получаем
Функция не аналитическая
и поэтому ряд Тейлора не равен f ( x ) при x > 0. Следовательно, f не аналитична в нуле.
Функции плавного перехода
Для действительных чисел a гладкая функция
Гладкая функция, которая нигде не является реальной аналитической.
Приложение к серии Тейлор
Используя функцию плавного перехода g, как указано выше, определите
а из теоремы об ограниченности следует, что ψ n и любая производная от ψ n ограничена. Следовательно, константы
с участием супремума нормы о ф н и его первых п производных, хорошо определенные действительные числа. Определите масштабированные функции
Осталось показать, что функция
хорошо определен и может быть почленно дифференцирован бесконечно много раз. Для этого заметим, что для каждого k
Применение к высшим измерениям
Для любого радиуса r > 0
Комплексный анализ
имеет существенную особенность в начале координат и, следовательно, не является даже непрерывным, а тем более аналитическим. По великой теореме Пикара каждое комплексное значение (за исключением нуля) достигается бесконечно много раз в каждой окрестности начала координат.
Что такое гладкая функция
В зависимости от вида используемых критериев оптимальности целевых функций или функционалов) и ограничений модели (множества допустимых решений) различают скалярную О., векторную О., многокритериальную О., стохастическую О. (см. Стохастическое программирование), гладкую и негладкую (см. Гладкая функция), дискретную и непрерывную (см. Дискретность, Непрерывность), выпуклую и вогнутую (см. Выпуклость, вогнутость) и др. Численные методы О., т.е. методы построения алгоритмов нахождения оптимальных значений целевых функций и соответствующих точек области допустимых значений,—развитый отдел современной вычислительной математики. См. Оптимальная задача. [c.247]
Выделяется два типа оптимальных точек внутренний и граничный О. (на рис. 0.9 точка хъ — локальный граничный О., точки А х, — внутренние локальные, а х — внутренний глобальный О.). В первом случае возможно нахождение О. путем дифференцирования функции и приравнивания нулю производной (или частных производных для функции многих переменных). Во втором случае этот метод неприменим (он неприменим также в случае, если функция негладкая) (см. Гладкая функция). [c.249]
Неудобство модульного штрафа состоит в том, что целевая функция расширенной задачи не является гладкой функцией и ее градиент по х не существует при всех х Е D. [c.355]
Заметим, что размерность г новой управляющей функции связана с и и с размерностью исходного управления г соотношением г =(и+1)(г+1). Теперь можно без существенного ограничения общности изучать экстремальные траектории, считая их порожденными достаточно простыми, например, кусочно гладкими функциями м ( ), aft ( ). [c.88]
Скользящие режимы и прикладные задачи. Выше был рассмотрен характерный пример вариационной задачи, в которой экстремум достигается на скользящем режиме. Речь идет о следующей ситуации строится оптимизирующая последовательность траекторий и рассматривается ее предел. Оказалось, что фазовые компоненты этой последовательности имеют в качестве предела достаточно гладкую функцию. Но соответствующие члены последовательности управлений (или, если угодно, производных фазовых траекторий) естественного предела не имеют. Аналогичные примеры строились и в классическом вариационном исчислении. Например, задача отыскания 1 [c.93]
Ошибка аппроксимации, источником которой является замена дифференциальной постановки задачи аппроксимирующей конечно-разностной. Эта ошибка легко может быть уменьшена за счет, например, измельчения шага сетки и, в какой-то мере, за счет использования более точных разностных уравнений. Последняя оговорка г случайна используемая нами аппроксимация функционала f (13) точна в классе кусочно постоянных и (t) и, если оставаться в этом классе, дальнейшее повышение точности аппроксимации невозможно без увеличения числа N интервалов постоянства и если же мы попытаемся использовать в расчетах другой класс функций и (t), дающий более высокую точность аппроксимации гладких функций (а нам известно, что искомое 15 Р. П. Федоренко [c.225]
Характерная трудность решения таких задач состоит в том, что незначительная неопределенность в исходных данных связана с очень большой неопределенностью в решении, и неопределенность эта нетерпима, так как решение представляет собой информацию о реальной действительности. Регуляризация в подобных задачах состоит, грубо говоря, в том, что к условию задачи добавляется еще некоторая качественная информация о решении, например, что решение — достаточно гладкая функция. [c.355]
Роль и место непараметрических методов. Непараметрический подход к оцениванию позволяет ослабить два основных требования классической постановки регрессионной задачи. Первое — предположение о том, что Е (у Х) как функция X представима в виде / (X В), где /(. ) — известная функция своих аргументов, а В — вектор неизвестных параметров, оцениваемый по выборочным данным, — заменяется на более слабое предположение, что / (X) — непрерывная и гладкая функциях. Второе — требование постоянства а2 (X) — дисперсии случайной погрешности — заменяется на предположение непрерывности а2 (X). [c.321]
Поставы, близкие к максимальному. Округляя выше толщину досок до стандартных размеров, мы несколько отходим от максимума. Но, как известно, гладкая функция вблизи своего максимума изменяется весьма медленно. Поэтому, совершая округления, особенно округления в разные стороны, мы будем получать поставы, весьма близкие по полезному выходу. Можно было, например, округлить толщину крайней доски на 16, а не на 19 мм. Можно было уже первую доску [c.192]
Представим ик в виде суммы какой-нибудь фиксированной гладкой функции gK, принимающей на Э Vu значения (3.62), и функции и к, обращающейся в нуль на Э ик =gK +u K, [c.111]
Таким образом, для класса положительных гладких функций S(t) задание интенсивности изменения S(t) однозначно с точностью до выбора начального значения 5(/0) определяет саму величину S(t). [c.357]
Мы вывели соотношение (9.15) в случае непрерывной интенсивности роста S(t), что равносильно непрерывной дифференцируемости S(t) и a(t, f ). Однако это равенство остается справедливым и в более общих случаях, в частности для кусочно-гладких функций S(t). [c.365]
Из (16) также следует слабая аксиома выявленного предпочтения. Неравенство (16) заведомо выполняется, если спрос каждого из потребителей строго монотонен при этом на технологические множества не накладывается особых требований. Интерпретация условия монотонности и ряд связанных с ним результатов приведены в [10]. Для гладких функций избыточного спроса единственность равновесия обеспечивается также условием доминирующей диагонали [5, 15]. Это условие означает, что модуль производной спроса на каждый продукт по цене этого продукта больше суммы модулей всех производных спроса на тот же [c.495]
При низкой степени обучаемости организации как на рыночном, так и на производственном уровнях влияние качества на прибыль ограничивается экономией затрат за счет снижения расходов на исправление дефектов и обслуживание в результате повышения качества. Зависимость прибыли от качества, видимо, будет гладкой функцией без разрывов — в отличие от фирмы, обладающей высокой степенью обучаемости (рис.21.10). [c.367]
Заметим, что функция ги(-) будет иметь достаточно сложный вид. Например, если функции издержек дифференцируемы, то оптимальные пакеты нельзя реализовать в виде линейного контракта w(x) = a + bx точки (же, гие) могут не лежать на одной прямой, кроме того, при строгой выпуклости функций издержек кривые безразличия будут пересекать прямую, проходящую через эти точки даже и в том случае, если они лежат на одной прямой. Более того, как правило, оптимальный контракт не может быть гладкой функцией. [c.617]
Затем были предложены STAR-, или гладкие TAR-модели. Такая модель представляет собой линейную комбинацию нескольких моделей, взятых с коэффициентами, которые являются непрерывными функциями времени. Примером может служить следующее уравнение модели, в котором 0 — гладкая функция, принимающая значения от 0 до 1 [c.56]
ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ [smooth fun tion] — функция, все частные производные которой до порядка г включительно существуют и непрерывны. Это означает «гладкость» порядка г. [c.62]
При этом 8м (t) — сеточная модель гладкой функции, определяе-, мая произвольной малой сеточной функцией У (t) и уравнением (16), a Ьи» (t) — сеточная модель измеримой функции, определяемая формально никак не связанными между собой значениями Змя+г/, на счетных интервалах (tn, я+1) однако Ьи» отлична от нуля лишь на тех интервалах (tn, tn+J, которые не входят в выделенное множество М. В упомянутой задаче этот прием позволил получить четкий разрыв в и (t) и значение 0= 1,592. Подробнее [c.186]
Наконец, был использован не самый удачный способ размещения точек аппроксимации на множествах М0, Aflt M2, а именно в качестве точек т1, т2, т3 выбирались узлы сетки tn для управления, в которых значения х1 (tn) больше, чем во всех остальных. Тем не менее задачи решались надежно, с хорошей точностью и за вполне разумное машинное время. С учетом накопленного с тех пор опыта можно было бы сократить число итераций. Обсудим целесообразность замены управления u=v, которая, как отмечалось, существенно усложнила форму задачи. Когда автор начинал эту работу, не имея еще опыта решения подобных задач, замена была произведена с тем, чтобы иметь дело с более гладкими функциями Ы( )—Ьх3( ), удовлетворяющими уравнению o 3=ot [c.301]
Алгоритм параболической аппроксимации рассчитан на достаточно гладкие функции / (х). Пусть имеется некоторая точка хй. Положим sx=a 0, s2=x°4-A, sa=x0jr2h и вычислим значения /,=/(, ), =1, 2, 3. н [c.393]
Сначала рассмотрим абстрактную задачу. Многочисленные бифуркации и скачки возникают во всех задачах о нахождении экстремумов функций нескольких переменных и связанных с ними задач управления и принятия оптимальных решений. В основе современной теории катастроф лежит анализ особенностей гладких отображений Уитни [Whitney, 1955]. Суть подхода Уитни проще всего понять на примере отображения точек плоскости (х, у) на плоскость (и, v). Это отображение задается гладкими функциями и = и(х, у) и v = v (х, у) и имеет особенности в том случае, когда двум или нескольким различным точкам плоскости (х, у) соответствует одна и та же точка (образ) на плоскости (и, v). Таким образом, если преобразование и = и(х, у) и v = v(x, у) сводит в один образ две или несколько точек прообразов, то оно называется преобразованием или отображением с особенностями. Из всех возможных типов особенностей нас будет интересовать два, называемые складками и сборками. Как показал Уитни, именно эти особенности являются устойчивыми, и к ним могут быть приведены все прочие особенности при малых деформациях отображения и = и(х, у) и v = v (х, у). [c.220]
Отображение Уитни лежит в основе большинства приложений теории катастроф. Например, в теории упругости зависимость предельной нагрузки от эксцентричности точки ее приложения имеет аналогичную полукубическую особенность. В.И. Арнольдом [Арнольд, 1990] разработана классификация критических точек гладких функций, которая в точности совпадает с классификацией таких объектов, как группы симметрии правильных многогранников, простых особенностей каустик и волновых фронтов. Известно, что наблюдаемые свойства одних систем часто соответствуют неочевидным свойствам объектов совершенно иной природы. Неудивительно, что после создания методологии теории катастроф были предприняты попытки применить ее к экономической науке. Однако до сих пор удовлетворительной количественной модели эволюции управляемых экономических систем и объектов, насколько нам известно, не существует. Тем не менее и без такого рода спекуляций математические модели катастроф и детально разработанная теория бифуркации указывают на некоторые общие черты, сопровождающие скачкообразные изменения установившихся режимов. [c.223]
Пусть теперь t = 0. Ясно, что с этим ограничением (при гладкой функции полезности) налоги не могут быть оптимальными, поскольку не являются униформными. Этот факт иллюстрирует Рис. 82. [c.335]
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Вопросы о гладких функциях
 |
| Заслуженный участник |
 |
| Заслуженный участник |
 |
|
| Заслуженный участник |
|
| Заслуженный участник |
|
Нет, и вот как раз контрпример:
| Заслуженный участник |
 |
Залез в Математическую энциклопедию и обнаружил следующие определения (форматирование оригинала не сохраняю).
Гладкая точка функции — значение аргумента 
функции 
, при котором выполнено условие 
Точка дифференцируемости функции является гладкой точкой, обратное, вообще говоря, неверно. Если в гладкой точке существует односторонняя производная, то существует и обычная производная.
(У меня такое впечатление, что определение относится и к функциям нескольких переменных.)
Гладкая функция — функция, у которой каждое значение аргумента является гладкой точкой.
Гладкая функция может быть разрывной. Если гладкая функция непрерывна на интервале, то множество её точек дифференцируемости плотно на нём и имеет мощность континуума. Существуют непрерывные, гладкие на числовой прямой функции, не дифференцируемые почти всюду. Гладкая функция имеет производную в каждой точке локального экстремума и, в силу этого, для гладких непрерывных функций остаются справедливыми основные теоремы дифференциального исчисления — теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, Дарбу и другие.
|
| Заслуженный участник |
|
Общеизвестно: туда пишет кто что хочет.
Ну вот, это по-вашему. А чем лучше человек становится специалистом, тем больше он ошибок в Википедии видит. Постепенно, он приходит к выводу, что Википедия во много раз хуже учебника, она просто на другом уровне.
Правда, это зависит от конкретной статьи и темы, но одно то, что Википедия «пёстрая», не позволяет ей пользоваться.
Короче, у Википедии есть своя ниша, и не надо пытаться использовать её не по назначению.
| Заслуженный участник |
|
Пожалуйста. Вы, скорее всего, ссылались на эту статью:
Гладкая функция
Гладкая функция [smooth function] — функция, все частные производные которой, до порядка r включительно, — непрерывны. Это означает «гладкость порядка r.»
Смотреть что такое «Гладкая функция» в других словарях:
Гладкая функция — или непрерывно дифференцируемая функция это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Основные сведения Рассматривают также гладкие функции высших порядков, а именно, функция с порядком гладкости имеет… … Википедия
гладкая функция — Функция, все частные производные которой, до порядка r включительно, непрерывны. Это означает «гладкость порядка r». [http://slovar lopatnikov.ru/] Тематики экономика EN smooth function … Справочник технического переводчика
ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, у к рой каждое значение аргумента является гладкой точкой. Г. ф. может быть разрывной. Если Г. ф. непрерывна на интервале, то множество точек ее дифференцпруемости плотно на нем и имеет мощность континуума. Существуют непрерывные,… … Математическая энциклопедия
Кусочно-гладкая функция — Кусочно гладкая функция функция, определённая на множестве вещественных чисел, дифференцируемая на каждом из интервалов, составляющих область определения. Формальное определение Пусть заданы точки смены формул. Как и все кусочно… … Википедия
Функция Морса — ― гладкая функция на многообразии, имеющая невырожденные критические точки. Функции Морса возникают и используются в теории Морса, одном из основных инструментов дифференциальной топологии. Содержание 1 Определение 2 Свойства … Википедия
МОРСА ФУНКЦИЯ — гладкая функция, обладающая нек рыми специальными свойствами. М. ф. возникают и используются в Морса теории. Пусть гладкое гильбертово полное (относительно нек рой римановой метрики) многообразие (напр., конечномерное), край к рого является… … Математическая энциклопедия
Кусочно-заданная функция — Кусочно заданная функция функция, определённая на множестве вещественных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой. Формальное определение и задание Пусть заданы точки смены формул … Википедия
РИМАНА ФУНКЦИЯ — 1) P. ф. в т е о р и и т р и г о н о м е т р и ч е с к и х р я д о в функция, введенная Б. Риманом (В. Riemann, 1851) (см. [1]) для изучения вопроса о представимости функции тригонометрич. рядом. Пусть дан ряд (*) с ограниченными… … Математическая энциклопедия
Сплайн-функция — [spline function] кусочно гладкая функция, используемая для выравнивания временных рядов. Применение С. ф. вместо обычных функций тренда эффективно, когда внутри анализируемого периода меняется тенденция, направление ряда. С. ф. помогает… … Экономико-математический словарь