Что такое геометрические фигуры 7 класс
Основные геометрические фигуры
Основные понятия
Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая линия. А простейшие фигуры — это луч, отрезок и ломаная линия.
Минимальный объект в геометрии — точка. Ее особенность в том, что она не имеет размеров: у нее нет высоты, длины, радиуса. У точки можно определить только ее расположение, которое принято обозначать одной заглавной буквой латинского алфавита.
Из множества точек может получится линия, а из нескольких соединенных между собой линий — геометрические фигуры.
Обучение на курсах по математике поможет быстрее разобраться в видах и свойствах геометрических фигур.
Каждая математическая фигура имеет собственную величину, которую можно измерить при помощи формул и внимательности.
Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.
Периметром принято называть сумму длин всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской P.
Если параметры переданы в разных единицах измерения длины, нужно перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
Геометрические тела — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной границы.
Если все точки фигуры принадлежат одной плоскости, значит она является плоской.
Объемная фигура — геометрическая фигура, у которой все точки не находятся на одной плоскости.
Примеры объемных геометрических фигур:
Рассмотрим подробнее некоторые фигуры, разберем их определения и свойства.
Прямоугольник
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:
Диагональ — это отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры. Он есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.
Периметр прямоугольника — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
Квадрат
Квадрат — это тот же прямоугольник, у которого все стороны равны.
Найти площадь квадрата легко:
Периметр квадрата — это длина стороны, умноженная на четыре.
P = 4 × a, где a — длина стороны.
Трапеция
Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.
Основное свойство: в трапецию можно вписать окружность, если сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
Как найти площадь трапеции:
S = (a + b) : 2 × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.
Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны и был расположен перпендикулярно к этим основаниям.
Формула периметра для равнобедренной трапеции отличается от прямоугольника тем, что у равнобедренной трапеции есть две равные стороны.
P = a + b + 2 × c, где a, b — параллельные стороны, c — две длины одинаковых сторон.
Параллелограмм и ромб
Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны
Ромб — это параллелограмм с равными сторонами.
Общие формулы расчета площади фигур:
Периметр ромба — это произведение длины стороны на четыре.
P = 4 × a, где a — длина стороны.
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
Треугольник
Треугольник — это такая фигура, которая образуется, когда три отрезка соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами.
Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходным данным, давайте их рассмотрим.
S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.
Основание может быть расположено иначе, например так:
При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:
При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:
S = 0,5 × a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.
S = (a × b × с) : 4 × R, где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.
S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.
Периметр треугольника — это сумма длин трех его сторон.
P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.
Формула измерения периметра для равностороннего треугольника — это длины стороны, умноженная на три.
P = 3 × a, где a — длина стороны.
Круг — это это часть плоскости, которая лежит внутри окружности.
Окружность — это граница круга.
Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки на ней.
Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходящий через ее центр. Диаметр круга равен двум его радиусам.
Формулы площади круга:
Периметр круга или длина окружности — это произведение радиуса на два Пи или произведение диаметра на Пи.
L = d × π = 2 × r × π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемteacherjournal.com.ua
Похожие презентации
Презентация на тему: » Геометрия 7 класс. Простейшие геометрические фигуры и их свойства Взаимное расположение прямых на плоскости Треугольники Введение в науку геометрия Окружность.» — Транскрипт:
2 Простейшие геометрические фигуры и их свойства Взаимное расположение прямых на плоскости Треугольники Введение в науку геометрия Окружность
4 Фалес Милетский (VI в до н.э.) имел титул одного из семи мудрецов Греции, он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и, вообще, первым по всем наукам в Греции. Введение Пифагор Самосский Родился на острове Самос около 580 г. до н.э. «Числа правят миром через свойства геометрических фигур». Теорема ПифагораТеорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии:
5 Введение Самая простая геометрическая фигура – точка. Любая другая фигура (отрезок, прямая, окружность многоугольник, цилиндр) состоит из множества точек. Фигуры, расположенные на одной плоскости называются плоскими. А такие фигуры, как куб, шар, прямоугольный параллелепипед – неплоские. Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на одной плоскости называется планиметрией (латинское platium – плоскость). Раздел геометрии, в котором изучаются не плоские фигуры называется стереометрией. A B C А О В О А В С Д 48 куб. ед
6 П.1. Точки и прямые П.2. Отрезки и их длины П.3. Углы и их меры
7 Точка. Прямая. Самая простая геометрическая фигура – точка. А Две точки А и В, соединим из линейкой и начертим прямую. Прямая в геометрии идеально ровная и бесконечная в обе стороны. Как и любая прямая она состоит из множества точек. Аксиома1. Какой бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и ей не принадлежащие. А В С Обозначают прямую либо двумя точками: «прямая АВ», либо одной маленькой латинской буквой «прямая a». А В a a
8 Аксиома2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. С В А Д Через одну точку можно провести множество прямых. Две прямые которые имеют одну общую точку называются пересекающимися. Точка. Прямая. А В С Д А В Если прямые имеют две общие точки, то они совпадают.
9 Точка. Прямая. А В С д Если прямые не пересекаются и не совпадают, т.е не имеют общих точек, то они параллельны. А В С Всегда ли можно провести прямую через три точки? Можно лишь в таком случае. Тогда говорят, что точки лежат на одной прямой, причем одна из них между другими (точка В лежит между А и С). Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
10 А В О На прямой АВ возьмем точку О. Она делит прямую АВ на две части. Каждая из этих частей имеет начало ( точка О), но не имеет конца. Это и называют лучом. Говорят: «луч ОА», «луч ОВ». Лучи, образованные точкой на одной прямой называют дополнительными друг другу. Например: Луч ОА является дополнительным лучу ОВ и наоборот. С О А Д А В О Точка. Прямая.
11 1.Сколько лучей изображено на рисунке? 2. Какие лучи пересекаются? 3. Какие прямые параллельны? 4. Какие точки принадлежат прямой АВ? 5. Определите, на сколько частей прямые разбивают плоскость. Прямая. Луч. Задачи. В А с D E K FN K A B C D L L A BC D M N BE и FK AD и CNBE и AD CN и FK BE и CN AD и FK AB и KLCD и KLAB и CD NMA CL
12 Возьмем отрезок длиной 1см. Если отложить такой отрезок АВ, что его длина состоит из пяти единичных отрезка, то говорят длина отрезка АВ равна 5 см. Длину отрезка можно измерять линейкой. Отрезки можно сравнивать с помощью циркуля и измерять с помощью линейки А В A B C D E M AB Так, отрезок АВ длиннее отрезка CD и короче отрезка EM. 1см АВ АВ Отрезки и их длины
13 АВ АВ С С Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. AB=AC+CB Свойство длины отрезка АВ С Если точка не принадлежит отрезку, то AB
14 В треугольнике отрезки AB, BC, CA называются сторонами треугольника, а точки A, B и С называются вершинами треугольника. Чтобы назвать многоугольник перечисляют по порядку все его вершины. Например говорят: «треугольник ABC», «пятиугольник OTLPN». Возьмем несколько отрезков разной длины и соединим их, получим ломанную линию. Если концы ломанной линии соединить, то получиться многоугольник. Так образуются треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д. C A B D E F A B C D E F K N O T L P Отрезки и их длины
15 1.Сколько отрезков изображено на рисунке? 2.Сколько отрезков изображено на рисунке? 3.Какие точки принадлежат отрезку АВ? 4.Точка К принадлежит отрезку АВ. АК=5см, АВ=16см, чему равна длина отрезка КВ? Точка. Отрезок. Задачи. А В EDCL K АКВ АBDC EL 12
16 Есть точки, которые лежат внутри угла АОВ (С), точки, которые лежат вне угла (Д) и точки, лежащие на сторонах угла (М) Тогда, лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а общая точка – вершиной угла. Углы называют по названию лучей, с вершиной внутри. Так, на рисунке изображен угол АОВ, со сторонами ОА и ОВ, вершиной О. Для обозначения используют специальный знак. Так, ОАВ, или О. Угол. Измерение угла. А О В Два луча, выходящие из одной точки разбивают плоскость на две полуплоскости. Сами лучи и одна из этих полуплоскостей образуют фигуру, которую называют углом. О А В С М Д
17 Наложим углы так, чтобы вершины совпали и одни стороны совпали, то тот угол который будет находиться внутри другого назовем меньшим. В нашем примере АОВ и CKF расположили так, что вершины О и К совпали и стороны ОВ и FK совпали. Видно, что CFK лежит внутри АОВ, тогда CFK
18 ОАВ Возьмем лист бумаги и согнем его пополам. Угол, образованный стороной листа называется развернутый. Такой угол можно получить дополнительными лучами. Угол АОВ – развернутый. Два дополнительных луча образуют развернутый угол. Сложим лист еще пополам. Образовался угол. Если развернуть лист бумаги, то видим, что таких угла образовалось 4. Каждый из них равен половине развернутого. Такие углы называются прямыми. Прямым углом называется угол, равный половине развернутого. Чтобы изобразить прямой угол используют чертежный треугольник. Угол АОВ – прямой А О В В жизни мы часто видим и используем прямые углы: углы стола, углы стен и т.д.
21 А О В C Построим угол AOB. С помощью транспортира измерьте его градусную меру (пусть угол AOB=40 гр). Разделим градусную меру на 2 (40/2=20гр). На одной из сторон угла отложим новый угол. Полученные углы AOC и BOC равны. Луч, который делит заданный угол пополам называется биссектрисой угла. ОС – биссектриса угла AOB А О В C
22 Угол. Измерение угла. Задачи. 1. Какие из углов тупые? 2. Какие из углов острые? 3. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 3ч? 4. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 6ч? 5. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 20ч? 6. Сколько углов изображено на рисунке? 7. Луч ОК делит развернутый угол АОВ на два угла так, что АОК= Найдите ВОК. А О В С К AOKAOBAOCBOCBOKCOK AOBAOCCOKBOKBOCAOK А О В С К
23 Если соединить две любые точки окружности получится отрезок, который называют хордой. Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром, по длине он равен двум радиусам. Хорда отделяет от окружности две дуги. Основы геометрии. Окружность и круг. O R Установим ножку циркуля с иглой в точку О, а с карандашом будем вращать вокруг этой точки. Тогда карандаш опишет замкнутую линию, которую называют окружностью. Окружность делит плоскость на две части. Та часть плоскости, которая находится внутри окружности называется кругом. Точку О называют центром окружности. Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра, которое называется радиусом. О А В С Д
26 Смежные и вертикальные углы Перпендикулярные и параллельные прямые Признаки параллельности прямых Свойства параллельности прямых
27 Смежные и вертикальные углы Построим развернутый угол (180 гр) и из любой точки проведем луч. Образовалось два угла у которых одна сторона общая, а две другие лежат на дополнительных лучах. Такие углы называются смежными. (на рисунке углы AOC и COB – смежные) O AB C Теорема 1. (о смежных углах) Сумма смежных углов равна 180 гр.
28 Смежные и вертикальные углы Построим две прямые AB и CD. Образовались два угла AOC DOB Если стороны одного угла являются продолжением другого, то такие углы называются вертикальными. (на рисунке углы AOC и DOB – вертикальные) O A C D B Теорема 2. (о вертикальных углах) Вертикальные углы равны.
29 Смежные и вертикальные углы. Задачи.
30 Смежные и вертикальные углы. Задачи.
31 Перпендикулярные и параллельные прямые O A C D B Расположение прямых на плоскости: 1. Прямые пересекаются ( т.е. имеют одну общую точку прямые AB и DC имеют общую точку O). При этом образуются четыре угла: две пары вертикальных (AOC и DOC; AOD и COD) и пары смежных (AOC и AOD; DOB и BOC). 2. Прямые пересекаются по углом 90 гр. (все вертикальные углы между собой равны 90 гр, и смежные углы равны 90 гр). Такие прямые называются перпендикулярными (AD BC) А О В D C
32 Перпендикулярные и параллельные прямые А О В C K От точки до прямой можно провести множество отрезков из которых дет будет наименьшим, этот отрезок перпендикулярен прямой (СО). Расстоянием от точки до прямой называется перпендикуляром (СО). Очка пересечения прямой и перпендикуляра называется основанием перпендикуляра (О). Любой другой отрезок называют наклонной (СК) Теорема. Через произвольную точку всегда можно провести перпендикуляр к прямой и только один.
33 Перпендикулярные и параллельные прямые a b 3. Прямые не пересекаются. (не омеют общих точек). Такие прямые называются параллельными (a b). Пример таких прямых в жизни очень много: края стола, книги, железнодорожные рельсы, нотный стан. a b с Если одну из параллельных прямых пересекает третья прямая, то она пересекает и вторую. (a b, прямая с пересекает прямую a, значит прямая с пересекает прямую b)
34 Признаки параллельности прямых a b c Начертим две произвольные прямые a и b и пресечем их третьей с. Образовались углы (1,2,3,4,5,6,7,8). Дадим им определение: 1.Углы внутренние накрест лежащие: 3 и 5; 4 и 6. 2.Внутренние односторонние: 4 и 5; 3 и 6. 3.Соответственные: 3 и 7; 1 и 5; 2 и 6. По градусной мере этих углов можно судить о поведении прямых
35 Признаки параллельности прямых Теорема 1. Две прямые параллельны, если они с секущей образуют равные накрест лежащие углы. (угол 1 равен углу 2) Теорема 2. Две прямые параллельны, если они при пересечении с секущей образуют внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180 гр. (сумма углов 3 и 2 равено 180 гр) Теорема 3. Две прямые параллельны, если они при пересечении с секущей образуют равные соответствующие углы. (угол 1 равен углу 4) a b с
36 Признаки параллельности прямых
37 Свойства параллельности прямых Теорема1. Через точку, не лежащую на прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Теорема2. Если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы, образованные ими с секущей, равны a b с
38 Свойства параллельности прямых
39 Теорема3. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. a b c Если а параллельна b, и b параллельны с, то а параллельна с Свойства параллельности прямых
40 Признаки и свойства параллельности прямых Задачи.
41 Признаки и свойства параллельности прямых Задачи.
42 Треугольники Определение Определение: часть плоскости, ограниченная замкнутой ломанной линией с тремя звеньями называется треугольник. У треугольника: 3 вершины (А, В, С), 3 стороны (АВ, ВС, АС), 3 угла (АВС, ВАС, АСВ). А В С
43 Треугольники Основные свойства треугольника А В С Признак существования треугольника: АВ
44 Треугольники А В С Остроугольный (все углы треугольника острые – меньше 90 гр) Виды треугольников : Тупоугольный (один угол треугольника тупой – больше 90 гр, два угла острые – меньше 90 гр)
45 Треугольники Прямоугольный треугольник катет гипотенуза Прямоугольный (один угол треугольника прямой – равен 90 гр, два угла острые – меньше 90 гр) Стороны при прямом угле называются катетами (их принято называть a, b) Сторона против прямого угла называется гипотенуза (c). Гипотенуза всегда больше катета. Свойства: Если в прямоугольном треугольнике один острый угол равен30 гр, то второй равен 60 гр. (180-(90+30)). Против угла в 30 гр, лежит катет равный половине гипотенузы (с=2а)
46 Прямоугольный треугольник Задачи.
48 Сумма углов треугольника Задачи.
49 Равнобедренный треугольник Задачи.
50 Треугольники Линии треугольника Высота треугольника – отрезок, проходящий через вершину треугольника к противолежащей стороне под прямым углом (ВК – высота к стороне АС) Биссектриса треугольника – отрезок, проходящий через вершину треугольника к противолежащей стороне, который делит угол пополам (ВМ – биссектриса угла АВС) Медиана треугольника – отрезок, проходящий через вершину треугольника к противолежащей стороне, который делит противолежащую сторону пополам (ВL – медиана к стороне АС)
51 Треугольники Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны. Если: AB=A1B1, BC=B1C1 то
52 Треугольники Второй признак равенства треугольников Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника, соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то эти треугольники равны. Если: то
53 Треугольники Третий признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника, соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны. Если: то
54 Признаки равенства треугольников Задачи.
55 Треугольники признаки равенства прямоугольных треугольников 1.Если гипотенузы и один из острых углов треугольников равны, то эти треугольники равны. Если с=с1, или то 2. Если катет и один из острых углов треугольников равны, то эти треугольники равны. Если а=а1, или 3. Если гипотенуза и катет треугольников равны, то эти треугольники равны. Если а=а1, и с=с1
56 Прямоугольный треугольник Задачи.
59 Окружность и прямая Определение Прямая АВ пересекает окружность, имеет две общие Точки с окружностью. Прямая CD не пересекает окружность, не имеет общих точек с окружностью. Пряма KL касается окружности – имеет одну общую точку N с окружностью
Термины, определения и формулы по геометрии за 7 класс
Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).
В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла.
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности.
Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. ( Развёрнутый угол равен 180°).
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Угол называется прямым, если он равен 90°.
Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).
Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой.
Перпендикулярные прямые — прямые, которые при пересечении образуют прямой угол.
Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол — катетами.
(Т. о соотношениях между сторонами и углами треугольника) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
(Признак равнобедр. треугольника) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
(Т. Неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.
Первый признак равенства треугольников
«Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.»
Сокращенно его называют равенство «по двум сторонам и углу между ними».
На рисунке 1 представлен треугольник ABС. Который имеет три вершины (А, В и С). И стороны – АВ, АС и ВС.
Треугольники считаются равными, когда все их стороны и углы соответственно равны друг другу (в случае, когда равны лишь углы, а стороны пропорциональны, треугольники называются подобными). Таким образом очевидно, что равные треугольники можно наложить друг на друга – и они полностью совпадут.
Доказательство первого признака равенства треугольников
Два треугольника: ABC и DEF (рисунок 2).
По условию теоремы две пары отрезков этих треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF). Углы между отрезками также равны (т.е. ∠АСВ = ∠EFD).
Доказать, что треугольник ABC равен треугольнику DEF.
Поскольку имеется равенство углов (∠АСВ = ∠EFD), треугольники можно наложить друг на друга, так чтобы вершина С совпадала с вершиной F.
При этом отрезки СА и СВ наложатся на отрезки FE и FD.
А поскольку отрезки двух треугольников равны между собой (АС = FD и СВ = EF по условию), то отрезок АВ также совпадёт со стороной ED.
Это в свою очередь даст совмещение вершин А и D, В и Е.
Следовательно, треугольники полностью совместятся, а значит, они равны.
Теорема доказана.
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Как и в доказательстве первого признака, нужно убедиться, достаточно ли этого для равенства треугольников, можно ли их полностью совместить?
1. Так как MN=PR, то эти отрезки совмещаются, если совместить их конечные точки.
2. Так как∡N=∡R и∡M=∡P, то лучи MK и NK наложатся соответственно на лучи PT и RT.
3. Если совпадают лучи, то совпадают точки их пересечения K и T.
4. Совмещены все вершины треугольников, то есть ΔMNK и ΔPRT полностью совместятся, значит они равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Опять попробуем совместить треугольникиΔMNK и ΔPRT наложением и убедится, что соответственно равные стороны гарантирует и равенство соответственных углов этих треугольников и они полностью совпадут.
Совместим, например, одинаковые отрезки MK иPT. Допустим, что точки N и R при этом не совмещаются.
Пусть O — середина отрезка NR. Соответственно данной информацииMN=PR, KN=TR. Треугольники MNR и KNR равнобедренные с общим основанием NR.
Поэтому их медианы MO и KO являются высотами, значит перпендикулярны NR. Прямые MO и KO не совпадают, так как точки M, K, O не лежат на одной прямой. Но через точку O прямой NR можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.
Доказано, что должны совместиться и вершины N и R.
Третий признак позволяет назвать треугольник очень сильной, устойчивой фигурой, иногда говорят, что треугольник — жёсткая фигура. Если длины сторон не меняются, то углы тоже не меняются. Например, у четырёхугольника такого свойства нет. Поэтому разные поддержки и укрепления делают треугольными.
Перпендикуляр к прямой
Из точки не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один
Медианы,биссектриссы и высоты треугольника
В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. Биссектрисы пересекаются в одной точке. Высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке
Свойства равнобедренного треугольника
Признаки параллельности двух прямых. Теорема 1
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны то прямые параллельны.
Признаки параллельности прямых.Теорема 2
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Признаки параллельности прямых. Теорема 3.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰ то прямые параллельны.
Теорема об углах образованных двумя параллельными прямыми и секущей.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Аксиома параллельных прямых.
В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.
Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей
Теорема Сумма углов треугольника равна 180°.
Рассмотрим произвольный треугольник KLM и докажем, что ∡K+∡L+∡M=180°.
Проведём через вершину L прямую a, параллельную стороне KM.
Углы, обозначенные 1, являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых a и KMсекущей KL, а углы, обозначенные 2 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ML.
Очевидно, сумма углов 1, 2 и 3 равна развёрнутому углу с вершиной L, т. е.
∡1+∡2+∡3= 180°или ∡K+∡L+∡M=180°.
Следствия из теоремы о сумме углов треугольника
Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Следствие 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.
Следствие 3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.
Следствие 4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.
Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Из равенств ∡KML+∡BML= 180° и ∡K+∡L+∡KML=180° получаем, что ∡BML=∡K+∡L.
Четырёхугольники
Многоугольник — фигура, состоящая из нескольких точек плоскости, поочередно соединённых между собой непересекающимися отрезками.
Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который весь лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Теорема:Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n-2)*1800.
Параллелограмм- это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойство:в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Свойство:диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Теорема(признакпараллелограмма): Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Теорема(признак параллелограмма): Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Теорема(признак параллелограмма): Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Параллельные стороны-основания, непараллельные стороны-боковые.
Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой один из углов прямой.
Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пресекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойство: диагонали прямоугольника равны.
Теорема(признакпрямоугольника): если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Площадь
Площадь плоской фигуры-это количество единичных квадратов, вмещающихся в данную фигуру.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Площадь трапеции равна полусумме её оснований на высоту.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Теорема(обр.): если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.
Подобные треугольники
Отрезки m и n пропорциональны отрезкам m1и n1,если отношения их длин равны m:m1= n: n1.
Подобные треугольники — это треугольники,у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Коэффициент подобия — это число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Свойство биссектрисы тр-ка: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Теорема(первый признак подобия треугольников): если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема(второй признак подобия треугольников): если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Теорема(первый признак подобия треугольников): если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Среднее пропорциональное(среднее геометрическое)двух величин – это квадратный корень из произведения этих величин.
С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
С. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.
Синус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Окружность
Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Т. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Т.(обр.) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности.
Дуга окружности измеряется центральным углом, который на неё опирается.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Т.Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
С. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
С. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.
Т. Если две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.