Что такое гармонический ряд

Гармонический ряд

Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда:

Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.

Содержание

Сумма первых n членов ряда

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, нопредполагается чтосумма всех его членов расходится, т.е. что n-ное гармоническое число больше n-ного натурального. n-ной частичной суммой s_n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число, представляющее собой только сумму n первых членов гармонического ряда.:

Некоторые значения частичных сумм ( например для случая 1 слагаемого и 5-ти первых членов):

Теоретико-числовые свойства частичных сумм: для любых n > 1 сумма первых n членов рядаSn будет дробным числом.

Формула Эйлера

В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда. Теоретико-числовые свойства частичных сумм Для любых n>1

Сходимость ряда

Сходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с числами натурального ряда: очевидно, что частичная сумма каждых n первых членов не может превышать такое же натуральное число n, которое равно числу членов гармонического ряда.

Рассмотрим известные доказательстване сходимости гармонического ряда

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемыетаким образом, чтобы сумма слагаемых в скобках была меньше 1/2. При этом получается ряд 1+1/2+1/2+. +1/2 +. :

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Альтернативное доказательство расходимости

Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме S:

В данном доказательстве также не учитывается тот факт, что каждому натуральному числу взаимооднозначно соответствует только один член гармонического ряда.

Частичные суммы

n-ая частичная сумма гармонического ряда, т.е. сумма только первых n членов ряда

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому число и никакое гармоническое число, кроме 1, не является целым числом.

Связанные ряды

Ряд Дирихле

Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле ) называют ряд, состоящий из членов гармонического ряда, возведенных в степень меньше или равную 1, или в степень большую 1. Считается, что Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1.

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана от аргумента α.

Знакопеременный ряд

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

Его сумма равна натуральному логарифму 2:

Эта формула — частный случай Ряд Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Отметим, что если сходится гармонический ряд, то, естественно сходится и любой другой знакопеременный ряд, состоящий только из членов гармонического ряда.

Случайный гармонический ряд

«Истончённый» гармонический ряд

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу Примечания

Источник