Что такое гармонический осциллятор

СОДЕРЖАНИЕ

Простой гармонический осциллятор

Потенциальная энергия, запасенная в простом гармоническом осцилляторе в позиции x, равна

Осциллятор с затухающими гармониками

Тогда баланс сил ( второй закон Ньютона ) для затухающих гармонических осцилляторов равен

который можно переписать в виде

Значение коэффициента демпфирования ζ критически определяет поведение системы. Затухающий гармонический осциллятор может быть:

Добротность затухающего осциллятора определяется как

Генераторы гармонических колебаний

Обычно его переписывают в виде

Это уравнение может быть решено точно для любой движущей силы, используя решения z ( t ), которые удовлетворяют невынужденному уравнению

и которые можно выразить как затухающие синусоидальные колебания:

в случае, когда ζ ≤ 1. Амплитуда A и фаза φ определяют поведение, необходимое для согласования начальных условий.

Пошаговый ввод

с фазой φ, задаваемой формулой

Синусоидальная движущая сила

В случае синусоидальной движущей силы:

Параметрические осцилляторы

Параметрические генераторы используются во многих приложениях. Классический варакторный параметрический генератор колеблется при периодическом изменении емкости диода. Схема, изменяющая емкость диода, называется «накачкой» или «драйвером». В микроволновой электронике параметрические генераторы на основе волноводов / YAG работают аналогичным образом. Разработчик периодически меняет параметр, чтобы вызвать колебания.

Уравнение универсального осциллятора

Решение этого дифференциального уравнения состоит из двух частей: «переходной» и «установившейся».

Переходное решение

Переходное решение не зависит от функции принуждения.

Устойчивое решение

Примените « метод комплексных переменных », решив вспомогательное уравнение ниже и затем найдя действительную часть его решения:

Предположим, что решение имеет вид

Его производные от нулевого до второго порядка равны

Подставляя эти величины в дифференциальное уравнение, получаем

Деление на экспоненциальный член слева дает

Приравнивание действительной и мнимой частей приводит к двум независимым уравнениям

Амплитудная часть

Возведение обоих уравнений в квадрат и сложение их вместе дает

Фазовая часть

Эта фазовая функция особенно важна для анализа и понимания частотной характеристики систем второго порядка.

Полное решение

Объединение амплитудной и фазовой частей приводит к стационарному решению.

Решение исходного уравнения универсального осциллятора представляет собой суперпозицию (сумму) переходного и установившегося решений:

Эквивалентные системы

Приложение к консервативной силе

Проблема простого гармонического осциллятора часто возникает в физике, потому что масса в состоянии равновесия под действием любой консервативной силы в пределе малых движений ведет себя как простой гармонический осциллятор.

Поскольку это минимум, первая производная должна быть равна нулю, поэтому линейный член выпадает: V ( Икс 0 ) <\ Displaystyle V (x_ <0>)> Икс 0 <\ displaystyle x_ <0>>

Примеры

Простой маятник

Общее решение этого дифференциального уравнения:

Система пружина / масса

Когда пружина растягивается или сжимается массой, пружина развивает возвращающую силу. Закон Гука дает соотношение силы, прилагаемой пружиной, когда пружина сжимается или растягивается на определенную длину:

Используя баланс сил или метод энергии, можно легко показать, что движение этой системы задается следующим дифференциальным уравнением:

Изменение энергии в пружинно-демпфирующей системе

Когда пружина растягивается или сжимается, кинетическая энергия массы преобразуется в потенциальную энергию пружины. По закону сохранения энергии, если исходная точка задана в положении равновесия, когда пружина достигает своей максимальной потенциальной энергии, кинетическая энергия массы равна нулю. Когда пружина отпускается, она пытается вернуться в состояние равновесия, и вся ее потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию массы.

Источник

В классическая механика, а гармонический осциллятор это система, которая при вытеснении равновесие положение, переживает восстанавливающая сила F пропорциональный к перемещению Икс:

Если F является единственной силой, действующей на систему, система называется простой гармонический осциллятор, и он подвергается простые гармонические колебания: синусоидальный колебания около точки равновесия, с постоянной амплитуда и постоянный частота (который не зависит от амплитуды).

Если сила трения (демпфирование) пропорционально скорость также присутствует, гармонический осциллятор описывается как затухающий осциллятор. В зависимости от коэффициента трения система может:

Граничное решение между осциллятором с недостаточным демпфированием и осциллятором с избыточным демпфированием возникает при определенном значении коэффициента трения и называется критически затухающий.

Если присутствует внешняя сила, зависящая от времени, гармонический осциллятор описывается как управляемый генератор.

Примеры механики включают маятники (с малые углы смещения), массы, связанные с пружины, и акустические системы. Другой аналогичные системы включают в себя генераторы электрических гармоник, такие как Цепи RLC. Модель гармонического осциллятора очень важна в физике, потому что любая масса, подверженная действию силы в устойчивом равновесии, действует как гармонический осциллятор для малых колебаний. Гармонические генераторы широко распространены в природе и используются во многих искусственных устройствах, таких как часы и радиосхемы. Они являются источником практически всех синусоидальных колебаний и волн.

Содержание

Простой гармонический осциллятор

Решение этого дифференциальное уравнение, находим, что движение описывается функцией

Потенциальная энергия, запасенная в простом гармоническом осцилляторе в положении Икс является

Осциллятор с затухающими гармониками

Баланс сил (Второй закон Ньютона) для затухающих гармонических осцилляторов тогда

который можно переписать в виде

Значение коэффициента демпфирования ζ критически определяет поведение системы. Затухающий гармонический осциллятор может быть:

В Добротность затухающего осциллятора определяется как

Генераторы гармонических колебаний

Обычно его переписывают в виде

Это уравнение может быть решено точно для любой движущей силы, используя решения z(т), удовлетворяющие невынужденному уравнению

и которые можно выразить как затухающие синусоидальные колебания:

в случае, когда ζ ≤ 1. Амплитуда А и фаза φ определить поведение, необходимое для соответствия начальным условиям.

Пошаговый ввод

Время, необходимое осциллятору для адаптации к изменившимся внешним условиям, порядка τ = 1/(ζω₀). В физике адаптация называется расслабление, и τ называется временем релаксации.

В электротехнике кратное τ называется время установления, то есть время, необходимое для обеспечения того, чтобы сигнал находился в пределах фиксированного отклонения от окончательного значения, обычно в пределах 10%. Период, термин превышение относится к степени, в которой максимум ответа превышает окончательное значение, и недолет относится к степени, в которой ответ падает ниже конечного значения в течение времени, следующего за максимумом ответа.

Синусоидальная движущая сила

В случае синусоидальной движущей силы:

Параметрические генераторы

Параметрические генераторы используются во многих приложениях. Классический варактор параметрический генератор генерирует колебания при периодическом изменении емкости диода. Схема, изменяющая емкость диода, называется «накачкой» или «драйвером». В СВЧ-электронике, волновод/YAG По такому же принципу работают параметрические генераторы на основе. Разработчик периодически меняет параметр, чтобы вызвать колебания.

Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от принуждения, поскольку действие проявляется как изменяющееся во времени изменение системного параметра. Этот эффект отличается от обычного резонанса тем, что проявляет нестабильность явление.

Уравнение универсального осциллятора

известен как уравнение универсального осциллятора, так как к этому виду приводятся все линейные колебательные системы второго порядка. [ нужна цитата ] Это делается через обезразмеривание.

Если функция принуждения ж(т) = cos (ωt) = cos (ωt_cτ) = cos (ωτ), куда ω = ωt_c, уравнение принимает вид

Решение этого дифференциального уравнения состоит из двух частей: «переходной» и «установившейся».

Переходное решение

Переходное решение не зависит от функции принуждения.

Устойчивое решение

Применить «комплексные переменные метод «, решив вспомогательное уравнение ниже и затем найдя действительную часть его решения:

Предположим, что решение имеет вид

Его производные от нулевого до второго порядка равны

Подставляя эти величины в дифференциальное уравнение, получаем

Деление на экспоненциальный член слева дает

Приравнивание действительной и мнимой частей приводит к двум независимым уравнениям

Амплитудная часть

Возведение обоих уравнений в квадрат и их сложение дает

Сравните этот результат с теоретическим разделом о резонанс, а также «величина» Схема RLC. Эта функция амплитуды особенно важна для анализа и понимания частотный отклик систем второго порядка.

Фазовая часть

Решить для φразделим оба уравнения, чтобы получить

Эта фазовая функция особенно важна для анализа и понимания частотный отклик систем второго порядка.

Полное решение

Объединение амплитудной и фазовой частей приводит к стационарному решению.

Решение исходного уравнения универсального осциллятора есть суперпозиция (сумма) переходного и установившегося решений:

Для более полного описания того, как решить указанное выше уравнение, см. линейные ОДУ с постоянными коэффициентами.

Эквивалентные системы

Приложение к консервативной силе

Проблема простого гармонического осциллятора часто возникает в физике, потому что масса в равновесии под действием любого консервативная силав пределе малых движений ведет себя как простой гармонический осциллятор.

Потому что V ( Икс 0 ) )> является минимумом, первая производная, оцененная на Икс 0 > должен быть равен нулю, поэтому линейный член выпадает:

В постоянный срок V(Икс₀) является произвольным и, следовательно, может быть отброшено, а преобразование координат позволяет восстановить форму простого гармонического осциллятора:

Источник

В классическая механика, а гармонический осциллятор это система, которая при вытеснении равновесие положение, переживает восстанавливающая сила F пропорциональный к перемещению Икс:

Если F является единственной силой, действующей на систему, система называется простой гармонический осциллятор, и он подвергается простые гармонические колебания: синусоидальный колебания около точки равновесия, с постоянной амплитуда и постоянный частота (который не зависит от амплитуды).

Если сила трения (демпфирование) пропорционально скорость также присутствует, гармонический осциллятор описывается как затухающий осциллятор. В зависимости от коэффициента трения система может:

Граничное решение между осциллятором с недостаточным демпфированием и осциллятором с избыточным демпфированием возникает при определенном значении коэффициента трения и называется критически затухающий.

Если присутствует внешняя сила, зависящая от времени, гармонический осциллятор описывается как управляемый генератор.

Примеры механики включают маятники (с малые углы смещения), массы, связанные с пружины, и акустические системы. Другой аналогичные системы включают в себя генераторы электрических гармоник, такие как Цепи RLC. Модель гармонического осциллятора очень важна в физике, потому что любая масса, подверженная действию силы в устойчивом равновесии, действует как гармонический осциллятор для малых колебаний. Гармонические генераторы широко распространены в природе и используются во многих искусственных устройствах, таких как часы и радиосхемы. Они являются источником практически всех синусоидальных колебаний и волн.

Содержание

Простой гармонический осциллятор

Решение этого дифференциальное уравнение, находим, что движение описывается функцией

Потенциальная энергия, запасенная в простом гармоническом осцилляторе в положении Икс является

Осциллятор с затухающими гармониками

Баланс сил (Второй закон Ньютона) для затухающих гармонических осцилляторов тогда

который можно переписать в виде

Значение коэффициента демпфирования ζ критически определяет поведение системы. Затухающий гармонический осциллятор может быть:

В Добротность затухающего осциллятора определяется как

Генераторы гармонических колебаний

Обычно его переписывают в виде

Это уравнение может быть решено точно для любой движущей силы, используя решения z(т), удовлетворяющие невынужденному уравнению

и которые можно выразить как затухающие синусоидальные колебания:

в случае, когда ζ ≤ 1. Амплитуда А и фаза φ определить поведение, необходимое для соответствия начальным условиям.

Пошаговый ввод

Время, необходимое осциллятору для адаптации к изменившимся внешним условиям, порядка τ = 1/(ζω₀). В физике адаптация называется расслабление, и τ называется временем релаксации.

В электротехнике кратное τ называется время установления, то есть время, необходимое для обеспечения того, чтобы сигнал находился в пределах фиксированного отклонения от окончательного значения, обычно в пределах 10%. Период, термин превышение относится к степени, в которой максимум ответа превышает окончательное значение, и недолет относится к степени, в которой ответ падает ниже конечного значения в течение времени, следующего за максимумом ответа.

Синусоидальная движущая сила

В случае синусоидальной движущей силы:

Параметрические генераторы

Параметрические генераторы используются во многих приложениях. Классический варактор параметрический генератор генерирует колебания при периодическом изменении емкости диода. Схема, изменяющая емкость диода, называется «накачкой» или «драйвером». В СВЧ-электронике, волновод/YAG По такому же принципу работают параметрические генераторы на основе. Разработчик периодически меняет параметр, чтобы вызвать колебания.

Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от принуждения, поскольку действие проявляется как изменяющееся во времени изменение системного параметра. Этот эффект отличается от обычного резонанса тем, что проявляет нестабильность явление.

Уравнение универсального осциллятора

известен как уравнение универсального осциллятора, так как к этому виду приводятся все линейные колебательные системы второго порядка. [ нужна цитата ] Это делается через обезразмеривание.

Если функция принуждения ж(т) = cos (ωt) = cos (ωt_cτ) = cos (ωτ), куда ω = ωt_c, уравнение принимает вид

Решение этого дифференциального уравнения состоит из двух частей: «переходной» и «установившейся».

Переходное решение

Переходное решение не зависит от функции принуждения.

Устойчивое решение

Применить «комплексные переменные метод «, решив вспомогательное уравнение ниже и затем найдя действительную часть его решения:

Предположим, что решение имеет вид

Его производные от нулевого до второго порядка равны

Подставляя эти величины в дифференциальное уравнение, получаем

Деление на экспоненциальный член слева дает

Приравнивание действительной и мнимой частей приводит к двум независимым уравнениям

Амплитудная часть

Возведение обоих уравнений в квадрат и их сложение дает

Сравните этот результат с теоретическим разделом о резонанс, а также «величина» Схема RLC. Эта функция амплитуды особенно важна для анализа и понимания частотный отклик систем второго порядка.

Фазовая часть

Решить для φразделим оба уравнения, чтобы получить

Эта фазовая функция особенно важна для анализа и понимания частотный отклик систем второго порядка.

Полное решение

Объединение амплитудной и фазовой частей приводит к стационарному решению.

Решение исходного уравнения универсального осциллятора есть суперпозиция (сумма) переходного и установившегося решений:

Для более полного описания того, как решить указанное выше уравнение, см. линейные ОДУ с постоянными коэффициентами.

Эквивалентные системы

Приложение к консервативной силе

Проблема простого гармонического осциллятора часто возникает в физике, потому что масса в равновесии под действием любого консервативная силав пределе малых движений ведет себя как простой гармонический осциллятор.

Потому что V ( Икс 0 ) )> является минимумом, первая производная, оцененная на Икс 0 > должен быть равен нулю, поэтому линейный член выпадает:

В постоянный срок V(Икс₀) является произвольным и, следовательно, может быть отброшено, а преобразование координат позволяет восстановить форму простого гармонического осциллятора:

Источник

• ← Что такое гармонический оборот
• Что такое гармонический ряд →