Что такое дружественные числа в математике
Дружественные числа
Дружественные числа?! Шутка исследователей? Что за странное название для математического термина? На самом деле, это название дано не с проста.
Дружественные числа — это два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и, в свою очередь, сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. Всегда, когда говорят о дружественных числах, то имеют в виду пары числе. Таким образом, эти числа связаны отношениями сходства и поэтому были названы дружественными.
Впервые дружественные числа упоминаются в работах Пифагора, посвященных теории чисел. Следует отметить, что пифагорейцам была известна лишь одна пара дружественных чисел 220 и 284. Долгое время эта пара чисел была единственным представителем класса дружественных чисел.
В восемнадцатом веке Леонардо Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. К примеру одна из них, 17296 и 18416.
Однако, до сих пор общий способ нахождения пар дружественных чисел не был найден.
В 850 году нашей эры арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулу, с помощью которой можно определить 3 пары дружественных чисел. Формула Сабит ибн Курра выглядит следующим образом:
, где n > 1 — натуральное число, а p,q,r — простые числа, то:
2 n pq и 2 n r — пара дружественных чисел.
Благодаря этой формуле были найдены пары дружественных чисел 220 и 284, 17296 и 18416 и 9363584 и 9437056 соответственно для n=2,4,7. Но для n больше никаких пар дружественных чисел нет.
Согласно официальным данным, на ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественых чисел, которые состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. О том существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел науке до сих пор неизвестно. Кроме того, по-прежнему невыясненным остается предположение о существовании взаимно простых дружественных числа. В том случае, если такая пара дружественных чисел все же существует, то их произведение должно быть больше 1067.
Для наглядности приведем все пары дружественных чисел, значение которых меньше 100 000:
Дружественные числа – примеры
Математика полна интересных загадок и не всегда понятных закономерностей. Математики древности считали, что можно всю вселенную изучить с помощью чисел, нужно только найти правильные закономерности, как показывает история – они оказались правы. Одной из интересных математических закономерностей являются дружественные числа, о которых и пойдет речь сегодня.
Что такое дружественное число?
Вспомним, что любое число имеет делители, то есть числа, на которые число поделиться нацело. Если у одного числа сумма всех делителей равна второму числу, а у второго числа сумма всех делителей равна первому, то такие числа называются дружественными.
Название закономерности пошло от Пифагора. Когда у древнего математика спросили, кто есть друг, он ответил, что для него друг – человек, повторяющий его самого. В качестве примера Пифагор привел два числа 220 и 284. А нашедшие закономерность ученики назвали числа дружественными друг другу.
Пример дружественных чисел
Рассмотрим наиболее простой пример дружественных чисел, приведенный еще Пифагором.
Делители числа 220: 1;2;4;5;10;11;20;22;44;55;110
Делители числа 284: 1;2;4;71;142
Если просуммируем все делители первого числа, то получится 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.
А теперь просуммируем делители числа 284: 1+2+4+71+142 = 220 – так и выглядит в математике эффект дружественных чисел.
Обратите внимание на то, что само число не считается делителем. Но при этом любое число можно поделить на само себя и получить в результате 1. А вот 1 считается делителем любого числа.
Сколько всего дружественных чисел?
Открывателем первой пары дружественных чисел был Пифагор. Эта пара наименьшая, ближе к началу числовой прямой таких чисел нет. После Пифагора ни один математик не мог открыть следующую пару чисел целых 15 веков, то есть полтора тысячелетия.
Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их 59 пар!
С изобретением метода выявления дружественных чисел, пары стали находить все чаще и чаще. На 2019 год найдено больше 1 миллиарда дружественных чисел и пары продолжают находить. Интересно, что до сих пор математики не выяснили, является ли число дружественных пар конечным, или их бесконечно много.
Что мы узнали?
Мы поговорили о дружественных числах. Узнали, что это такое и поговорили об истории открытия математической зависимости. Сказали, сколько дружественных чисел открыто на данный момент.
Дружественные номера
оглавление
Примеры
Свойства и нерешенные проблемы
Ранние упоминания и приговор Сабиту ибн Курре
Пифагор впервые упоминается около 500 г. до н.э. Дружественные числа 220 и 284. Когда его спросили, что за друг, он ответил: «Тот, кто отличается от меня, например 220 и 284».
И аль-Фариси, и Ибн аль-Банна использовали фразу из Сабита ибн Курры :
Примеры
Предложение Леонарда Эйлера
Леонард Эйлер обобщил теорему Табита:
В 1946 году Эскотт опубликовал полный список из 390 дружественных пар чисел, которые были известны до 1943 года.
В 2007 году было известно, что дружными являются почти 12 миллионов пар чисел.
В мае 2018 года было известно 1 222 206 716 пар чисел.
Считается, что существует бесконечное количество дружественных чисел, но никаких доказательств пока нет.
Теорема Вальтера Борхо
Более удобные числа можно найти с помощью теоремы Уолтера Борхо :
С помощью этой теоремы Борхо нашел еще 10 455 дружественных чисел.
Обычные пары дружественных чисел
Первые числа из самых маленьких обычных дружественных пар чисел:
Если дружественная пара чисел не является правильной, то это неправильная дружественная пара чисел (или экзотическая, дружественная пара чисел ).
Пара близнецов, которые дружат
Первые пары близнецов, которые подружились, следующие:
обобщение
Связанные классы чисел
Квази-дружественные числа
Первые квази-дружественные пары чисел:
Общительные числа
Представляет собой цепочку (конечную последовательность) более двух целых чисел перед, каждое из которых сумма собственных делителей предшествующего числа и первого числа является суммой собственных делителей последнего числа, она называется (англ. Of social цифры общительные числа ). В настоящее время (по состоянию на ноябрь 2017 г.) известны цепочки порядка (длины) 4, 5, 6, 8, 9 и 28.
В ноябре 2017 года было известно 5410 таких сетей.
Под аликвотными последовательностями (цепочками содержимого) подразумеваются те последовательности, в которых сумма собственного делителя последующего элемента равна последующему члену. Таким образом, общительные числа образуют периодические аликвотные последовательности.
ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
— пара натуральных чисел, каждое из к-рых равно сумме собственных делителей другого, т. е. делителей, отличных от самого числа. Определение Д. ч. имеется уже в «Началах» Евклида, а также в трудах Платона. Древним грекам была известна одна пара Д. ч.: 220 и 284; суммы их делителей соответственно равны
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284 1+2+4+71+142 = 220.
Л. Эйлер (L. Euler) отыскал около 60 пар Д. ч. Несколько сот Д. ч. удалось найти с использованием ЭВМ. Неизвестно, однако, существует ли пара Д. ч., одно из которых четное, а другое нечетное.
Смотреть что такое «ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА» в других словарях:
ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА — два натуральных числа, каждое из которых равно сумме правильных делителей другого (т. е. делителей, меньших этого числа). Напр., 284 и 220 … Большой Энциклопедический словарь
ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА — ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА, два натуральных числа, каждое из которых равно сумме правильных делителей другого (т. е. делителей, меньших этого числа). Напр., 284 и 220 … Энциклопедический словарь
Дружественные числа — Дружественные числа два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Иногда частным случаем… … Википедия
Дружественные числа — пара натуральных чисел, каждое из которых равно сумме всех собственных (или правильных) делителей другого, т. е. делителей, отличных от самого числа. Д. ч. 284 и 220, имеющие соответствующую сумму делителей 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 … Большая советская энциклопедия
Числа Армстронга — Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI) или число Армстронга натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную… … Википедия
Избыточные числа — Избыточное число положительное целое число n, сумма положительных собственных делителей (отличных от n) которого превышает n. Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные… … Википедия
Рецепт Вальтера Боро — Дружественные числа два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных… … Википедия
МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ — Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом… … Энциклопедия Кольера
Совершенное число — (др. греч. ἀριθμὸς τέλειος) натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются… … Википедия
Число Армстронга — Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI или число Армстронга натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную количеству его… … Википедия
§ 5. Дружественные числа
§ 5. Дружественные числа
Дружественные числа также входят в наследство, доставшееся нам от греческой нумерологии. Если у двух людей имена были таковы, что их числовые значения удовлетворяли следующему условию: сумма частей (делителей) одного из них равнялась второму числу, и наоборот, то считалось, что это свидетельствует об их духовной близости. В действительности греки знали всего лишь одну пару таких чисел, а именно:
220 = 2 2 • 5 • 11, 284 = 2 2 • 71.
Суммами их делителей являются соответственно
1 + 2 + 4 + 5 +10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Эта пара дружественных чисел оставалась единственной известной до тех пор, пока Пьеру Ферма не удалось найти следующую пару:
17 296 = 2 4 • 23 • 47, 18 416 = 2 4 • 1151.
Поиски пар дружественных чисел чрезвычайно удобно вести с помощью ЭВМ. Для каждого числа n при помощи машины определяются все делители этого числа (? n) и их сумма m. После этого производится такая же операция с числом m. Если при этом вновь получается первоначальное число n, то пара чисел (n, m) оказывается дружественной. Недавно этим способом в Йельском университете на ЭВМ IBM 7094 были проверены все числа до одного миллиона. В результате была получена коллекция из 42 пар дружественных чисел; некоторые из них оказались ранее неизвестными. Все пары дружественных чисел до 100 000 приведены в табл. 2. При помощи этого метода, как нетрудно видеть, одновременно «вылавливаются» и совершенные числа. Если возникает желание продолжать поиски дальше, то, конечно, это можно сделать, но придется затратить большое количество машинного времени.
Дружественные числа до 100 000
Читайте также
Глава 1 Числа
Глава 1 Числа Альберт! Перестань указывать Богу, что Ему делать! Нильс Бор — Альберту Эйнштейну Вначале были число и фигура. Когда человек попытался овладеть ими, родилась наука, и человек начал познавать окружающий мир. Развитие науки часто сопровождалось забавными,
Приложение Фигурные числа
Приложение Фигурные числа Фигурное число — это число, которое может быть представлено в виде точек, расположенных в форме правильного многоугольника. Эти числа долгое время служили объектом пристального внимания математиков. Греки приписывали им магические свойства,
§ 4. Фигурные числа
§ 4. Фигурные числа В теории чисел мы часто встречаемся с квадратами, т. е. такими числами, как32 = 9, 72 = 49, 102 = 100,и аналогично с кубами, т. е. такими числами, как23 = 8, 33 = 27, 53 = 125. Рис. 2.Этот геометрический образ рассматриваемой операции с числами является частью богатого
ГЛАВА 2 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
ГЛАВА 2 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА § 1. Простые и составные числа Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителя, например,6 = 2 • 3, 9 = 3 • 3, 30 = 2 • 15 = 3 • 10,в то время как другие, например,3, 7, 13, 37,не
§ 2. Простые числа Мерсенна
§ 2. Простые числа Мерсенна В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателем самого большого из известных простых чисел. Разумеется, можно было бы выбрать несколько очень больших чисел, не имеющих таких
§ 3. Простые числа Ферма
§ 3. Простые числа Ферма Существует также еще один тип простых чисел с большой и интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601–1665), который прославился своими выдающимися математическими работами. Первыми пятью простыми числами
§ 4. Совершенные числа
§ 4. Совершенные числа Нумерология (или гематрия, как ее иногда еще называют) была распространенным увлечением у древних греков. Естественным объяснением этому является то, что числа в Древней Греции изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому
§ 2. Взаимно простые числа
§ 2. Взаимно простые числа Число 1 является общим делителем для любой пары чисел а и b. Может случиться, что единица будет единственным их общим делителем, т. е.d0 = D(a, b) = 1. (4.2.1)В этом случае мы говорим, что числа а и b взаимно простые.Пример. (39, 22) = 1.Если числа имеют общий
§ 1. Числа
§ 1. Числа «Все есть число» — учили древние пифагорейцы[8]. Однако количество чисел, которыми они пользовались, ничтожно по сравнению с фантастической пляской цифр, окружающих нас сегодня в повседневной жизни. Огромные числа появляются, когда считаем мы, и тогда, когда
Глава 4. Длины и числа
Глава 4. Длины и числа Длина отрезка есть некое соотнесённое с отрезком число. Из теоремы о несоизмеримости немедленно следует, что длина диагонали единичного квадрата, то есть квадрата со стороной длины единица, не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Таким
ЧИСЛА, ЧИСЛА, ЧИСЛА…
ЧИСЛА, ЧИСЛА, ЧИСЛА… — Есть такая книга, — начал Мате, — «Диалоги о математике». Написал ее выдающийся венгерский математик нашего века Альфред Реньи. Форма диалога выбрана им не случайно, как не случайно, вероятно, обратился к ней когда-то Галилео Галилей.Жанр диалога
44. Какие числа?
47. Три числа
47. Три числа Какие три целых числа, если их перемножить, дают столько же, сколько получается от их
44. Какие числа?
44. Какие числа? Ответ прост: 1 и 7. Других таких чисел
47. Три числа
Магические числа
Магические числа Как и во многих ранее проведенных опросах, выяснилось, что среднее число сексуальных партнеров в течение жизни респондентов относительно невелико: примерно семь для гетеросексуальных женщин и примерно тринадцать для гетеросексуальных мужчин.