Что такое дробные выражения 8 класс
Рациональные выражения
В курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями целых выражений, т. е. выражений, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения
В отличие от них выражения
помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение 
не имеет смысла при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет смысл. Выражение 
имеет смысл при тех значениях х и у, когда х ≠ у.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Выражение вида 
называется, как известно, дробью.
Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.
Примерами рациональных дробей служат дроби
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
ИСААК НЬЮТОН (1643—1727) — английский физик, механик, математик и астроном. Сформулировал основные законы классической механики, открыл закон всемирного тяготения, разработал, независимо от Лейбница, основы математического анализа.
Пример 1. Найдём допустимые значения переменной в дроби
Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9. 
Пример 2. При каком значении х значение дроби 
равно нулю?
Алгебра. 8 класс
Целые выражения – это такие выражения, которые состоят из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля. 
Дробные выражения – это выражения, которые помимо действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля, содержат деление на выражение с переменными. 
Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями.
Дробь – это выражение вида 
.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, потому что действия для нахождения значения целого выражения, всегда возможны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменной может не иметь смысла.
- •
не имеет смысла при x = 0. •
не имеет смысла при x = y. Дробные выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных, кроме тех, что обращают знаменатель в нуль.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями.
Рациональная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой многочлены.
Примеры 
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Чтобы найти допустимые значения переменных в дроби, необходимо:
- • Приравнять знаменатель, содержащий переменные, к нулю.
• Решить полученное уравнение. Корни этого уравнения будут являться теми значениями переменных, которые обращают знаменатель в нуль.
• Исключить эти значения из всех действительных чисел.
Пример 1.
Найти допустимые значения переменной в дроби 
.
1) x(x + 1) = 0
2) x = 0 или x + 1 = 0
x = 0 или x = –1.
Корни уравнения 0 и – 1.
3) Допустимыми значениями x являются все числа, кроме 0 и –1.
Пример 2.
Найти значения x, при которых дробь 
равна нулю.
, когда x 2 – 1 = 0 и x + 1 ≠ 0.
1) x 2 – 1 = 0
2) (x – 1)(x + 1) = 0
x = ±1
3) x + 1 ≠ 0
x ≠ –1.
при x = 1.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Дробные рациональные выражения
Содержание:
Дробные рациональные выражения
Дробные рациональные выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с использованием действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля. Дробные выражения допускают также деление на выражение с переменными. Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Рациональная дробь и ее основное свойство
Любое дробное выражение (см. п. 48) можно преобразовать к виду 
, где Р и Q — многочлены. Такую дробь называют рациональной дробью.
Примеры рациональных дробей:
Основное свойство дроби выражается тождеством 
справедливым при условиях 
и 
здесь R — целое рациональное выражение. Это значит, что числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен. Например,
Значит, 
Например, 
Сокращение рациональных дробей
Сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на их общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.
Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения невозможно.
Пример:
Сократить дробь 
Решение:
Имеем 
Значит, 
Сокращение дроби выполнено при условии 
Приведение рациональных дробей к общему знаменателю
Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называют целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби (см. п. 54).
Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:
1) разложить знаменатель каждой дроби на множители;
2) составить общий знаменатель, включив в произведение все множители полученных в п. 1) разложений; если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся;
3) найти дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);
4) домножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель, привести дроби к общему знаменателю.
Пример:
Привести к общему знаменателю дроби
Решение:
Разложим знаменатели дробей на множители:
В общий знаменатель надо включить следующие множители: 
, а также наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 24, т. е. К (12, 18, 24) = 72. Значит, общий знаменатель имеет вид 
Дополнительные множители: для первой дроби 
для второй дроби 
для третьей дроби 
Значит, получаем
Сложение и вычитание рациональных дробей
Сумма двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями тождественно равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей:
Аналогично обстоит дело в случае вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
Пример 1.
Упростить выражение 
Решение:
Выполним сложение данных дробей:
Для сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями нужно прежде всего привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить операции над полученными дробями с одинаковыми знаменателями.
Пример 2.
Упростить выражение 
Решение:
Имеем 
Умножение и деление рациональных дробей
Произведение двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей перемножаемых дробей:
Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель — произведению знаменателя первой дроби на числитель второй дроби:
Сформулированные правила умножения и деления распространяются и на случай умножения или деления на многочлен: достаточно записать этот многочлен в виде дроби со знаменателем 1.
Учитывая возможность сокращения рациональной дроби, полученной в результате умножения или деления рациональных дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.
Пример 1.
Выполнить умножение 
Решение:
Использовав правило умножения дробей, получим
Пример 2.
Выполнить деление 
Решение:
Использовав правило деления дробей, получим
Возведение рациональной дроби в целую степень
Чтобы возвести рациональную дробь 
в натуральную степень 
, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби; первое выражение — числитель, а второе выражение — знаменатель результата:
Пример 1.
Преобразовать в дробь степень 
Решение:
Применив правила возведения в степень дроби и одночлена, получим 
При возведении дроби в целую отрицательную степень используется тождество 
справедливое для всех значений переменных, при которых 
Пример 2.
Преобразовать в дробь выражение
Решение:
Преобразование рациональных выражений
Преобразование любого рационального выражения сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных дробей, а также к возведению дроби в натуральную степень. Всякое рациональное выражение можно преобразовать в дробь, числитель и знаменатель которой — целые выражения; в этом, как правило, состоит цель тождественных преобразований рациональных выражений.
Пример:
Решение:
Выполняя действия с рациональными дробями, получим:
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Что такое дробные выражения 8 класс
В курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями целых выражений, т. е. выражений, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения
В отличие от них выражения
помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение не имеет смысла
при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет
смысл. Выражение имеет смысл при тех значениях х и у, x ≠ y.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Выражение вида называется, как известно, дробью.
Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.
Примерами рациональных дробей служат дроби
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Пример 1. Найдем допустимые значения переменной в дроби
Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.
2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей
Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, b и с верно paвенство
Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т. е. при b ≠ О и с ≠ О.
Пусть Тогда по определению частного а = bm. Умножим обе части этого равенства на с :
На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:
Так как bс ≠ 0, то по определению частного
Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ О и с ≠ 0, верно равенство
Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.
Равенство (1) выражает основное свойство рациональной дроби:
если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.
Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.
Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведем примеры.
Пример 1. Приведем дробь к знаменателю
Множитель называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби
Пример 2. Приведем дробь к знаменателю
Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на -1:
если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.
Пример 3. Сократим дробь
Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
Сократим полученную дробь на общий множитель a + 3:
Пример 4. Построим график функции
Графиком функции является прямая, а графиком функции но с «выколотой» точкой (4 ; 4) (рис. 1.)