Что такое докажите тождество

Тождественно равные выражения. Тождества

Рассмотрим две пары выражений:

1) и

Найдем их значения при

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных и значения выражений и равны.

2)

Найдем их значения при

Мы получили один и тот же результат. Однако, можно указать такие значения и , при которых значения этих выражений не будут иметь равные значения. Например, если , то

Мы получили разные результаты.

Следовательно, выражения и являются тождественно равными, а выражения не являются тождественно равными.

Равенство — тождество, т.к. оно верно при любых значениях и .

Также к тождествам можно отнести равенства, выражающие свойства сложения и умножения чисел:

Можно привести и другие примеры тождеств:

Тождествами считают и верные числовые равенства.

Очень часто при вычислении значений выражений, легче сначала упростить имеющееся выражение, а затем выполнять вычисления.

К тождественным преобразованиям можно отнести приведение подобных слагаемых и раскрытие скобок.

Примеры:

1) , мы преобразовали выражение в выражение .

2) , мы преобразовали выражение в выражение .

Для того, чтобы доказать, что данное равенство является тождеством (или доказать тождество), используют следующие методы:

1) тождественно преобразуют одну из частей данного равенства, получая другую часть;

2) тождественно преобразуют каждую из частей данного равенства, получая одно и то же выражение;

3) доказывают, что разность левой и правой частей данного равенства тождественно равна нулю.

Также, чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно привести контрпример, т.е. указать такое значение переменной (или переменных, если их несколько), при котором данное равенство не выполняется.

Пример: Докажите, что равенство не является тождеством.

Решение: Приведем контрпример. Если , то

, следовательно, равенство не является тождеством.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

Примеры тождеств.

— Тождество Эйлера (кватернионы);

— Тождество Эйлера (теория чисел);

— Тождество четырёх квадратов;

— Тождество восьми квадратов;

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: .

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

Например, доказать тождество:

Вынесем х за скобки:

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

Это равенство не тождество.

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Это выражение верно лишь при х = 10.

Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.

Источник

Тождества: определение, обозначение, примеры

Начнем разговор о тождествах, дадим определение понятия, введем обозначения, рассмотрим примеры тождеств.

Что представляет собой тождество

Начнем с определения понятия тождества.

Тождество представляет собой равенство, которое верно при любых значениях переменных. Фактически, тождеством является любое числовое равенство.

По мере разбора темы мы можем уточнять и дополнять данное определение. Например, если вспомнить понятия допустимых значений переменных и ОДЗ, то определение тождества можно дать следующим образом.

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

Про любые значения переменных при определении тождества речь идет в пособиях и учебниках по математике для 7 класса, так как школьная программа для семиклассников предполагает проведение действий исключительно с целыми выражениями (одно- и многочленами). Они имеют смысл при любых значениях переменных, которые входят в их состав.

Программа 8 класса расширяется за счет рассмотрения выражений, которые имеют смысл только для значений переменных из ОДЗ. В связи с этим и определение тождества меняется. Фактически, тождество становится частным случаем равенства, так как не каждое равенство является тождеством.

Знак тождества

Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства. Знак тождества может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.

Примеры тождеств

Обратимся к примерам.

Равенства 2 + 3 = 5 и 7 − 1 = 2 · 3 также можно считать тождествами, так как они являются вернными. Здесь также допустима запись 2 + 3 ≡ 5 и 7 − 1 ≡ 2 · 3 .

Тождества могут содержать не только числа, но также и переменные.

Это значит, что приведенные равенства не являются тождествами.

В математике мы постоянно имеем дело с тождествами. Делая записи действий, производимых с числами, мы работаем с тождествами. Тождествами являются записи свойств степеней, свойств корней и прочие.

Источник

Что необходимо знать ученику о тождествах в алгебре

Тождественные преобразования — основные понятия и определения

Перед началом работы с тождественными выражениями в математике необходимо разобраться что называют тождеством. Тождество — это равенство, верное при любых значениях переменных. Можно сказать, что тождеством является любое числовое равенство.

Тождества проходят в курсе алгебры за 7 класс. Однако с первыми представлениями о тождествах (равенствах) начинают знакомиться еще в начальной школе.

Справа и слева от знака равенства (=) располагаются одинаковые числа или выражения. Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства.

Знак тождества ( ≡ ) может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.

Можно дать определение тождеству:

Тождественными выражениями в алгебре называют буквенные выражения, которые при любых числовых значениях этих букв (переменных) равны между собой.

Тождественным преобразованием называют получение таких выражений, значения которых равны исходным при любых допустимых значениях переменных.

Тождественное преобразование всегда предполагает замену данного выражения другим, сохраняя при этом их равенства.

Тождественные выражения в математике

Также тождество образует равенство после нахождения корней уравнения, например уравнение x-3=7, при x=10 образует тождество.

В тригонометрии тождественными выражениями можно считать формулы приведения и основное тригонометрическое тождество.

Тождественные преобразования выражений

В курсе алгебры 7 класс при работе с тождественными выражениями учатся также доказывать тождества. Доказать тождество — значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части представляют собой тождественно равные выражения. Чтобы доказать тождество, необходимо выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства.

Существует несколько способов тождественных преобразований выражений, приведем некоторые из них:

Пояснения на примерах

Разберем несколько примеров решения тождеств.

Доказать это тождество можно, воспользовавшись распределительным свойством умножения вида:

Докажем это тождество, воспользовавшись формулами сокращенного умножения (квадрата разности) в левой части.

Приведем в нем подобные, в итоге выражение примет вид:

Таким образом, выражение в левой части с помощью преобразования было приведено к выражению в правой части.

В левой части тождества выполним преобразование: вынесение общего множителя за скобки (в числителе дроби).

В числителе и знаменателе имеется одинаковое выражение, которое можно сократить.

В результате выражение в левой части будет равно 7.

Для доказательства тождества вспомним, что синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тогда выразим синус и косинус угла через стороны прямоугольного треугольника.

Пусть АВ — гипотенуза треугольника, а АС и СВ — его катеты.

Далее по теореме Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Левая часть равна правой, значит тождество доказано.

Источник

Как доказать тригонометрическое тождество?

Тождество – равенство, верное при любых значениях переменных, кроме тех при которых какая-либо часть тождества не имеет смысла.

А вот выражение \(\frac=x\) является тождеством только при условии \(x≠0\) (иначе левая часть не существует).

Как доказывать тождество?

Рецепт до одури прост:

Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».

Для того, чтоб это сделать можно:

Пример. Доказать тригонометрическое тождество \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos\)
Решение:

\(\sin⁡2x=2 \sin⁡x\cdot \cos \)

Будем преобразовывать левую часть.
Представим \(2x\) как \(x+x\)…

Левая часть равна правой – тождество доказано.

Будем преобразовывать только левую часть. Приведем слагаемые к общему знаменателю.

Применим в числителе вездесущие основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2⁡+\cos^2<⁡x>=1\).

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Сократим дробь на \(\cos<⁡t>+\sin<⁡t>\).

Почленно разделим дробь, превратив ее в две отдельные дроби.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Как видите, все довольно несложно, но надо знать все формулы и свойства.

Как доказать основное тригонометрическое тождество

Два простых способа вывести формулу \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Нужно знать только теорему Пифагора и определение синуса и косинуса.

Ответы на часто задаваемые вопросы:

Источник