Что такое длина отрезка 5 класс

Урок 3 Бесплатно Отрезок. Длина отрезка

Начнем знакомство с одним из разделов математики, который называется геометрия.

Становление данной науки происходило тысячелетиями.

Сегодня обратим внимание на основные, базовые геометрические фигуры, такие как точка и отрезок.

Узнаем, что называют ломаной линией, какие геометрические фигуры называют многоугольниками, рассмотрим их основные элементы и характеристики.

Научимся сравнивать, находить длины отрезков.

Познакомимся с различными единицами измерения отрезков.

Рассмотрим свойства измерения длин отрезков.

Отрезок

Геометрическая фигура- это математическая модель, в которой рассматривается только форма и размер, не обращая внимания на иные свойства и состояния (цвет, из какого материала изготовлены, в каком состоянии находятся).

Как здания складываются из кирпичиков, так и сложные геометрические фигуры состоят из базовых фигур.

Одной такой элементарной фигурой является точка.

В реальности моделью, которая дает представление о точке может стать, например, след, оставленный острием карандаша, или отверстие на бумаге от швейной иглы.

Слово «точка» с латинского языка означает мгновенное касание, укол.

Точку принято рассматривать как некоторое место в пространстве или на плоскости.

Принято обозначать точки заглавными латинскими буквами (А, В, С и т.д.).

Две точки на плоскости можно соединить бесконечным множеством линий.

Самой короткой линией, соединяющей две точки на плоскости, будет прямая, проведенная по линейке через эти две точки.

Кратчайшая линия между двумя точками называется отрезком.

Любые две точки можно соединить только одним отрезком.

Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка.

Отрезок обозначают указанием имен его концов.

Через точки А и В с помощью линейки провели прямую.

Так как отрезок обозначают именами точек, получим отрезок АВ или ВА.

Пишут и говорят так: «Отрезок АВ» или «Отрезок ВА».

В названии отрезка не важно в каком порядке указываются его концы.

Отрезок можно построить с помощью линейки.

Для этого необходимо к отмеченным на плоскости точкам приложить линейку и провести прямую от одного конца отрезка до другого.

Чтобы с помощью линейки начертить отрезок, который длиннее чем сама линейка, нужно поступить следующим образом:

Между точками А и В отметить точку С.

Затем передвинем линейку так, чтобы левый конец линейки оказался около точки С, по правому концу линейки отложим точку D.

Последовательно соединив концы отрезков, получится отрезок AD, который длиннее, чем линейка.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Давайте разберемся, как могут располагаться точки по отношению к отрезку:

1. Точка лежит на отрезке.

Говорят: «Точка G принадлежит отрезку ».

Записывают это так: G ∈ AB

2. Точка не лежит на отрезке.

Говорят: «Точка не принадлежит отрезку ».

Записывают это так: R ∉ AB

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Длина отрезка

Каждый отрезок имеет определенную длину, значение которой является числом.

Так как каждый отрезок имеет длину, отрезки можно измерять и сравнивать.

Существует несколько способов сравнения отрезков.

1. Приблизительный способ сравнения.

Данный способ сравнения применяют только в том случае, когда длины отрезков явно отличаются.

Пример: Даны два отрезка АВ и ЕР

Очевидно, что отрезок АВ длиннее отрезка ЕР, значит, АВ > ЕР

Метод заключается в следующем: совмещаются два отрезка друг с другом так, чтобы совпали их концы с одной стороны.

По расположению других концов относительно друг друга можно оценить какой из отрезков длиннее, а какой короче.

Если при наложении отрезков друг на друга длины отрезков совпадут, то отрезки равны (отрезки в этом случае будут равными фигурами).

Если при наложении отрезков друг на друга один из отрезков будет составлять часть второго, то первый отрезок является короче второго (т.е. длина первого меньше длины второго).

Пример: Даны два отрезка АВ и ОЕ

Сравним данные отрезки методом совмещения отрезков.

Совместим левый конец А отрезка АВ и левый конец О отрезка ОЕ.

Можно заметить, что отрезок ОЕ составляет часть отрезка АВ.

Значит, отрезок ОЕ короче отрезка АВ.

Данный метод удобен, если есть возможность перемещать отрезки, совмещать один с другим.

3. Сравнение отрезков с помощью измерителя.

Если нет возможности перемещать сравниваемые отрезки, то можно использовать промежуточный измеритель.

В математике для этих целей используют специальный чертежный инструмент, который называется циркулем.

Чтобы сравнить отрезки с помощью циркуля, необходимо совместить концы отрезка с ножками циркуля.

Не меняя раствор циркуля, приложить его ко второму отрезку и сравнить.

Если нет возможности сравнить отрезки наложением и нет циркуля под рукой, то в качестве измерителя можно использовать нитку.

В таком случае нужно нитку приложить к исходному отрезку, на нитке по отрезку сделать замер, затем нитку приложить ко второму отрезку, оценить расположение замера на нитке по отношению к исследуемому отрезку, сделать вывод.

Пусть даны три отрезка СD, АЕ, BG

Сравним эти отрезки с помощью циркуля.

Соединим ножки циркуля с концами С и D отрезка СD.

Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку АЕ.

Концы измерителя совпали с точками отрезка АЕ, значит, отрезки CD и AE равны: (CD = AE).

Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку BG.

Отрезок выходит за концы измерителя, т.е. является частью отрезка BG, следовательно, отрезок BG длиннее отрезка СD: (BG > СD).

Все рассмотренные способы сравнения длины отрезков проводят без определения значения длины сравниваемых отрезков.

4. Существует еще один способ сравнения длины отрезков путем измерения их длинны.

Для этого необходимо сначала измерить длину каждого отрезка, далее сравнить полученные значения их длины и сделать вывод.

Большим будет являться тот отрезок, длина которого больше.

Соответственно, если длины измеряемых отрезков равны, то и отрезки равны.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Ломаная линия

Если последовательно соединить отрезки так, чтобы конец одного отрезка являлся началом следующего (при этом соседние отрезки не лежат на одной прямой), то образуется геометрическая фигура, которая называется ломаной линией.

Отрезки, из которых состоит ломаная линия, называют звеньями.

Концы отрезков называют вершинами ломаной.

Самые крайние вершины ломаной называют концами ломаной

Обозначение ломаной линии составляют из названий вершин этой ломаной, называя их по порядку.

Длиной ломаной называется сумма длин всех ее звеньев.

На рисунке изображена ломаная линия АBCDE.

Вершины ломаной АBCDE: А, B, C, D, Е.

Звенья ломаной АBCDE: AB, BC, CD, DE.

Найдем длину ломаной АВСDE:

АВСDE = AB+ BC+ CD+ DE = 2 см + 3 см + 4 см + 5 см = 14 см

Ломаная, концы которой совмещаются, называется замкнутой.

Многоугольником называется фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются.

Отрезки (звенья) ломаной линии называют сторонами многоугольника.

Общие точки двух отрезков (сторон) многоугольника называют его вершинами.

Каждая пара сторон многоугольника, сходящиеся в одной точке, образуют углы многоугольника.

Количество сторон и количество углов в многоугольнике совпадают.

Вершины, стороны и углы многоугольника обозначаются аналогично ломаной линии.

Многоугольник принято обозначать и называть по его вершинам, начиная с любой вершины и называя их последовательно, в любом порядке.

На рисунке изображен многоугольник АBCDEF.

Вершины многоугольника АBCDEF: А, B, C, D, Е, F.

Стороны многоугольника АBCDEF: AB, BC, CD, DE, EF, FA.

Любые многоугольники можно сравнить: два многоугольника называются равными, если они совпадают при наложении.

Зная длину каждой стороны многоугольника, можно найти периметр этого многоугольника.

Периметр многоугольника принято обозначать заглавной латинской буквой Р

Найдем периметр многоугольника АBCDEF (изображенного на рисунке):

Р_АВСDEF = AB+ BC+ CD+ DE+ EF+ FA = 2 см + 3 см + 2 см + 2 см + 3 см + 2 см = 14 см.

Существует огромное множество различных видов многоугольников.

Обычно многоугольники различают по числу сторон и углов.

Многоугольник с наименьшим числом вершин, сторон и углов называют треугольником.

Треугольник часто обозначают символом «Δ» и тремя заглавными латинскими буквами, которые обозначают его вершины.

На рисунке изображен треугольник АBC (Δ АBC).

Отрезки AB, BC, АC— стороны треугольника АBC.

Периметр треугольника- это сумма длин трех его сторон.

Найдем периметр треугольника АBC (изображенного на рисунке):

Р_АВС = AB+ BC+ АС = 4 см + 6 см + 3 см = 13 см.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Отрезок. Ломаная линия

Отрезок представляет собой часть прямой линии, которая находится между двумя точками. Эти точки называют концы отрезка.
Иными словами, отрезок – это множество точек прямой линии, находящиеся между двух известных точек, которые называют концами отрезка.

Рис. 1 Отрезок на прямой

Рис. 2 Несколько отрезков на прямой

Отрезок делит прямую линию на три объекта (смотри рисунок 3):

То есть, два конца отрезка прямой являются соответственно началами двух лучей этой же прямой.

Рис. 3 Отрезок и лучи прямой

Рис. 4 Отрезок без прямой

Рис. 5 Отрезок и принадлежащие ему точки

Так, на рисунке 5 видно, что:

В последнем случае точка F хотя и лежит на одной прямой линии с отрезком AB (если вы мысленно продлите линию от точки B дальше, то увидите это), но не принадлежит ему, потому что находится не между его концами, а справа от отрезка.

Рис. 6 Отрезок и части отрезка

Построение и измерение отрезка

Произвольный отрезок можно построить двумя способами:

Рис. 7 Построение произвольного отрезка

Измерить отрезок можно:

Сравнить отрезки между собой можно при помощи циркуля или циркуля-измерителя. Для этого нужно сперва поставить иглу на один конец отрезка, а затем вторую иглу или грифельный стержень (если используется обычный чертежный циркуль) совместить со вторым концом отрезка (рисунок 8).

Рис. 8 Сравнение отрезков

На рисунке 8 видно, что:

Длину отрезка измеряют линейкой с делениями или другим измерительным инструментом.

Длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.

Равные отрезки — это такие отрезки, которые имеют одинаковую длину.

На рисунке 9 измерены длины отрезков предыдущего рисунка. Проверьте, правильно ли мы сравнили эти отрезки при помощи циркуля?

Рис. 9 Измерение длины отрезка

Для этого на плоскости обозначают один конец отрезка (ставят точку), а затем при помощи линейки отмеряют необходимую длину отрезка (к примеру, 9 см), ставят точку второго конца отрезка и соединяют оба конца линией.

Рис. 10 Построение отрезка заданной длины

Отрезок — это самое короткое расстояние между двумя точками.

В этом вы можете убедиться самостоятельно на практике. Возьмите любой твердый длинный предмет, например, линейку, и шнурок. Линейка будет играть роль отрезка, а из шнурка сделайте кривую и ломаную линию, наподобие таких, какие показаны на рисунке 11, и соедините ими два конца линейки. После чего выпрямите шнурок и сравните его длину с длиной линейки.

Рис. 11 Кривая, ломаная, отрезок

Ломаная линия

Ломаная линия – это линия, которая состоит из отрезков, принадлежащих разным прямым, и эти отрезки последовательно соединены друг с другом.

Рис. 12 Ломаная линия

На рисунке 12 видно, что:

Количество звеньев у ломаной линии может быть каким угодно, бесконечным, но самое меньшее – это два звена.

Замкнутая ломаная линия – это такая ломаная, у которой совпадают точки начала и конца, то есть, которая начинается и заканчивается в одной точке.
Разомкнутая (не замкнутая) ломаная линия начинается и заканчивается в разных точках.

Рис. 12. Замкнутая и разомкнутая ломаные линии

Самопересекающаяся ломаная линия – это такая ломаная, у которой есть хотя бы два пересекающихся звена.

Самопересекающимися могут быть как замкнутые, так и разомкнутые ломаные.

Рис. 13. Самопересекающиеся ломаные линии

Источник

Отрезок. Длина отрезка

Урок 3. Математика 5 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Отрезок. Длина отрезка»

Давайте представим себе такую историю…

– Ух-ты. Какая красотища! – восхищался Саша.

– Саша, что такого интересного ты там увидел? – поинтересовался Паша.

– Посмотри, какие звёзды красивые!

– Да… красота! – подтвердил Паша. – А ты знаешь, что звёзды дают нам представления о простейшей геометрической фигуре?

– Как звёзды могут дать представления о геометрической фигуре? – уточнил Саша. – И что это за простейшая геометрическая фигура?

– Саша, самая простая геометрическая фигура – это точка! Вот и звёзды, когда ты на них смотришь, представляются тебе точками.

– Точно! – удивился Саша. – А я даже и не задумывался об этом! Интересно, а как точки обозначают в математике? Ведь их же как-то должны обозначать.

– Может, спросим у Электроши? – предложил Паша. – Он всё знает!

– Ребята, прежде чем мы с вами начнём говорить о геометрических фигурах, хочу, чтобы вы немного размялись и выполнили устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! – сказал Электроша. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь поговорим о точках и других геометрических фигурах, – предложил Электроша. Ребята, вы правильно заметили: если посмотреть на звёздное небо, то каждая из звёзд по отдельности будет представлять собой точку. И, кстати, точка – это простейшая геометрическая фигура. А как вы думаете, какая наука занимается изучением таких фигур? – спросил Электроша.

– Математика – ответил Саша.

– Ну, почти – перебил его Электроша. – Один из разделов математики, который изучает фигуры и их свойства, называется геометрией. Геометрия – одна из древних наук, появление и развитие которой связано, в первую очередь, с практической деятельностью людей: земледелием, строительством, желанием украсить свой быт и одежду.

– Итак, точка – это основное геометрическое понятие. В переводе с латинского языка слово «точка» означает «результат мгновенного касания».

Если вы возьмёте хорошо заточенный карандаш и прикоснётесь им к тетрадному листу, то заметите, что на листе остался след. Этот след и даёт нам представление о точке.

– Точки в математике тоже имеют свои имена – сказал Электроша.

– Имена?! – спросил Саша. – Как это забавно звучит – имена у точек.

– Точки принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С и так далее, – продолжил Электроша. – Это и есть их имена.

Давайте отметим на нашем листе бумаги две точки А и В. Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А теперь попробуйте их соединить линиями.

– Ну это же очень просто! – обрадовались мальчишки и принялись соединять точки линиями.

– Хорошо! – сказал Электроша. – Как видите эти две точки можно соединить различными линиями. А как вы думаете, какая из построенных вами линий будет самой короткой?

– Это та линия, которую я построил с помощью линейки, – уверенно произнёс Паша.

– Всё верно! – похвалил Электроша Пашу. – Если к двум точкам приложить линейку и провести вдоль неё прямую линию от точки А до точки Бэ, то получится линия, которая тоже имеет своё название. Она называется отрезком.

– А отрезок – это тоже геометрическая фигура? – решил спросить Саша.

– Да! – ответил Электроша. – Точка и отрезок – примеры геометрических фигур.

Отрезок принято обозначать именами точек, – продолжил Электроша, – то есть у нас получился отрезок АВ. Этот же отрезок можно обозначить ВА. Читают: «отрезок АВ» или «отрезок ВА». А вот сами точки А и В называют концами отрезка АВ.

– Как вы думаете, сколько отрезков можно провести через две точки? – спросил у ребят Электроша.

– Да сколько хочешь, – сказал Саша.

– А вот и неправильно, – перебил Электроша. – Любые две точки можно соединить только одним отрезком.

Запомните! Отрезок – это часть прямой линии между двумя точками, включая эти точки (концы).

– Посмотрите, – сказал Электроша, – на листке я изобразил три разных отрезка. Может, кто-то хочет их назвать?

– Я назову, – сказал Паша, – отрезок АВ, отрезок MN и отрезок ЕF.

– Правильно! – похвалил Пашу Электроша. – Обратите внимание: все эти отрезки имеют разную длину. Так, отрезок АВ имеет длину 1 сантиметр. Этот же отрезок помещается в отрезке MN ровно 3 раза, а в отрезке ЕF – ровно 4 раза. Отсюда можем сделать вывод, что длина отрезка MN равна 3 сантиметрам.

– А длина отрезка ЕF – 4 сантиметра, – перебил Саша.

– Молодец! – похвалил Сашу Электроша. – Запомните! Длина отрезка – это расстояние между его концами.

В геометрии принято говорить: «отрезок АB равен одному сантиметру», «отрезок MN равен трём сантиметрам», «отрезок ЕF равен четырём сантиметрам». А записывают это так: .

– Длины отрезков MN и ЕF, – продолжил Электроша, – мы измерили с помощью единичного отрезка, длина которого 1 сантиметр. Но для измерения отрезков можно выбрать и другие единицы измерения длины. Какие вы знаете единицы длины? – спросил Электроша у ребят.

– Существует 1 миллиметр, 1 дециметр, – сказал Саша.

– А я знаю ещё один метр, один километр, – продолжил Паша. – Кстати, большие расстояния измеряют в километрах.

– Всё правильно! – похвалил ребят Электроша. – Посмотрите: пока вы вспоминали единицы измерения длины, я нарисовал отрезок PK. Скажите, какую длину он имеет, если измерить его, например, единичным отрезком, длина которого равна 1 миллиметр?

– Отрезок PK равен 18 миллиметрам, – сказал Саша.

– Всё верно! – похвалил Электроша. – Сделаем вывод: измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нём помещается.

– Ещё вам будет полезным узнать, каким свойством обладает длина отрезка – продолжил Электроша. – Давайте возьмём отрезок АB и отметим на нём некоторую точку C. Тогда можно заметить, что длина всего отрезка АB равна сумме длин отрезков АC и CB. Это и есть свойство длины отрезка. А записывают его так: .

А теперь посмотрите я нарисовал два отрезка АB и CD. Давайте попробуем их совместить.

– Что вы видите? – спросил Электроша.

– Эти два отрезка полностью совпали! – воскликнули ребята.

– Вы очень внимательные! – похвалил ребят Электроша. – Мы убедились, что эти два отрезка совпали при наложении. Запомните! Два отрезка называют равными, если они совпадают при наложении.

А, значит, можем сделать вывод, что отрезки АB и CD равны. Записывают это так: .

– Интересно, а эти отрезки будут иметь одинаковые длины? – спросили ребята.

– А вы померяйте их линейкой! – предложил Электроша.

– Ого! У них одинаковые длины.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Сейчас вы сами сделали ещё один важный вывод: равные отрезки имеют равные длины.

– А как быть с неравными отрезками? – решил уточнить Паша.

– Хороший вопрос! – обрадовался Электроша. – Из двух неравных отрезков большим будем считать тот, у которого длина больше. Вот, например, на листке вы видите два отрезка ЕF и MN. Что вы можете сказать об их длинах?

– Так оно и так понятно, – сказал Саша, – отрезок ЕF больше отрезка MN.

– Или отрезок MN меньше отрезка ЕF, – продолжил Паша.

– Какие вы молодцы! – похвалил мальчиков Электроша. – Значит, мы с вами можем перейти к рассмотрению более сложной фигуры. Смотрите: если несколько отрезков соединить между собой, то получится геометрическая фигура, которую называют ломаная.

– Ло-ма-на-я! – пробормотал Саша.

– Да, ломаная, – продолжил Электроша. – Но важно понимать, что не всегда соединённые отрезки образуют ломаную. Перед вами изображены две фигуры. Ломаной будет только та фигура, в которой конец первого отрезка совпадает с концом второго, а другой конец второго отрезка – с концом третьего и так далее. Из двух фигур, изображённых на листке, ломаной будет только первая. У второй фигуры, обратите внимание, в отрезке BC второй конец не совпадает ни с каким концом другого отрезка.

– Рассмотрим нашу ломаную подробнее, – предложил Электроша. – Точки А, B, C, D, Е называют вершинами ломаной ABCDE, точки А и Е – концами ломаной, а отрезки АB, BC, CD и DЕ – её звеньями.

– А как вы думаете, можно как-нибудь вычислить длину всей ломаной? – спросил Электроша.

– Ну, наверное, нужно измерить расстояние между первой и последней точкой ломаной? – предположил Саша.

– Нет, Саша, – сказал Электроша. – Чтобы вычислить длину всей ломаной, нужно сложить длины всех её звеньев. Давайте посчитаем, какой же будет длина нашей ломаной ABCDE.

– Ну если длина ломаной – это сумма длин всех её звеньев, – начал Паша, – то мы должны сложить 2 сантиметра, 4 сантиметра, 3 сантиметра и 5 сантиметров. Получаем, что длина нашей ломаной равна 14 сантиметрам.

– Всё правильно! – похвалил Пашу Элетроша.

– А вот перед вами изображена ещё одна ломаная. Что особенного вы в ней заметили? – спросил у ребят Электроша.

– У неё начало и конец совпадают, – ответили мальчишки.

– Молодцы! Запомните! Ломаные, концы которых совпадают, называют замкнутыми.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли и выполним несколько заданий.

Задание первое: отметьте в тетради три точки А, B, C и соедините их попарно. Сколько отрезков у вас получилось? Назовите их.

Решение: отметим в тетради точки и соединим их попарно. Видим, что у нас получилось три отрезка: отрезок АB, отрезок BC и отрезок АC.

Следующее задание: начертите отрезок АB, длина которого 4 сантиметра 9 миллиметров. Отметьте на нём точку C так, чтобы длина отрезка CB была равна 2 сантиметрам 3 миллиметрам. Чему равна длина отрезка АC?

Решение: чертим отрезок АB длиной 4 сантиметра 9 миллиметров. Затем отмечаем на нём точку C так, чтобы выполнялось условие задание. Мы помним, что длина всего отрезка равна сумме длин составляющих его отрезков. Тогда от 4 сантиметров 9 миллиметров отнимем длину отрезка CB. Получаем, что наш отрезок АC равен 2 сантиметрам 6 миллиметрам.

И последнее задание: назовите ломаную, изображённую на рисунке, и вычислите её длину.

Решение: наша ломаная называется АBCDЕFG. А её длина равна сумме длин всех её звеньев. Складываем и видим, что длина ломаной АBCDЕFG равна 12 сантиметрам.

Источник