Что такое длина окружности основания

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Длина окружности

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Источник

Длина окружности

6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Как найти длину окружности через диаметр

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.

Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:

π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14

d — диаметр окружности

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

π — число пи, примерно равное 3,14

Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

π — число пи, примерно равное 3,14

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

π — число пи, примерно равное 3,14

d — диагональ прямоугольника

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

π — математическая константа, она примерно равна 3,14

a — первая сторона треугольника

b — вторая сторона треугольника

c — третья сторона треугольника

S — площадь треугольника

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.

Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

π — математическая константа, примерно равная 3,14

S — площадь треугольника

p — полупериметр треугольника

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.

Формула вычисления длины окружности:

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Задачи для решения

Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:

Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.

Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:

Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна

Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм

Решение. Радиус окружности равен Подставим туда наши переменные и получим

Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.

Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.

Источник

Длина окружности

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня у нас очередная математическая тема. Ее проходят в 6-м классе. Называется она – ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ.

Эта важная величина для решения многих задачек. В том числе и во время Единого госэкзамена.

Так что наша статья будет крайне полезна школьникам-выпускникам. А для всех остальных это хороший повод освежить свои знания.

Что такое окружность

Но для начала напомним, что называют окружностью.

Окружность – это кривая замкнутая линия, которая состоит из множества точек. И эти точки находятся на одном расстоянии от центра окружности.

Определение несколько «тяжеловатое», но это официальная формулировка, которая также приводится в школьных учебниках. Графически все выглядит гораздо проще.

Вот пример окружности, у которой все точки на кривой «С» равноудалены от центра «О».

Кстати, расстояние от центра до границы окружности называется радиус и обозначается он буквой «R».

А отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через ее центр – это диаметр «D». И, как всем известно, диаметр – это два сложенных радиуса (D = 2R).

Интересный факт! Точка тоже является в некотором роде окружностью. В математике ее называют «окружностью нулевого радиуса».

А чтобы начертить правильную окружность, нужно воспользоваться специальным прибором – циркулем. Им же можно нарисовать и окружность нужного радиуса.

Длина окружности через диаметр

Зачем мы так подробно рассказали о самой окружности, ее радиусе и диаметре? Все просто – без них не обойтись при расчете длины окружности.

Эту зависимость заметили еще в Древнем Египте. Тогдашние математики были весьма продвинуты в различных инженерных расчетах. Достаточно вспомнить, насколько надежно построены пирамиды. Им более 5 тысяч лет, а кажется, что простоят еще столько же и даже больше.

Так вот, египтяне определили, что соотношение длины окружности и ее диаметра – величина постоянная.

Другими словами, если взять совершенно разные по размерам окружности, а потом поделить их длины на их же диаметры, то получится одно и то же число.

У египтян это было число 3. Но впоследствии было получено более точное значение, которое равно 22/7 или 3 целых и 1/7.

Так появилась математическая постоянная «ПИ». Сейчас это один из столпов науки, с помощью которого решаются многие задачи.

Кстати, само название «пи» происходит от греческого слова «περιφέρεια», что как раз переводится как окружность. А «περίμετρος» — это диаметр.

Этими обозначениями и воспользовался математик Леонард Эйлер, когда в 1737 году представил научному сообществу число «пи», обозначив его изначально буквой выше упомянутых слов.

И сейчас уже каждый школьник знает, что число «пи» равно 3,14. Это значение взято за базовое, хотя на самом деле в нем бесконечное количество знаков после запятой.

Формула длины окружности

Ну а теперь главный вывод из этого исторического экскурса. Согласно вычислениям еще древнеегипетских ученых, формула длины окружности выглядит так:

Но чаще всего эту формулу принято писать без знаков умножения:

Формула эта единственная. И других возможностей рассчитать длину окружности — нет. Хотя ее можно представить, как диаметр умноженный на ПИ, но это уже банальность.

Вот и все, что мы хотели рассказать по этой теме, а более подробно смотрите в приведенном видеоролике:

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (1)

Вот объясните, как длина окружности может иметь конечное значение, если её можно разбить на отрезки, а те отрезки на ещё меньшие отрезки и так до бесконечности. Как то, что состоит из бесконечного количества отрезков, может быть конечно?

Источник

Длина окружности

Длина окружности

Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):

Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

где C — длина окружности, π — константа, D — диаметр окружности, R — радиус окружности.

Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Решение: Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

Решение: Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:

теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Решение: Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π:

следовательно, радиус будет равен:

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Решение: Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2 ).

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

Решение: Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2 ).

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

Решение: Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

Источник

Длина окружности

Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку « O », а ножку циркуля с карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую линию. Такую замкнутую линию называют — окружность.

Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром, радиусом и диаметром окружности.

Диаметр окружности обозначается буквой « D ». На рисунке выше — это отрезок « BC ».

На рисунке также видно, что диаметр равен двум радиусам. Поэтому справедливо выражение « D = 2R ».

Число π и длина окружности

Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что такое число π (читается как «Пи»), которое так часто упоминают на уроках.

В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.

Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым для всех окружностей и обозначается греческой буквой π («Пи»).
π ≈ 3,14…

Как найти длину окружности

Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.

Виленкин 6 класс. Номер 831

Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число π округлите до сотых.

Воспользуемся формулой длины окружности:

C = 2 π R ≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см

Разберем обратную задачу, когда мы знаем длину окружности, а нас просят найти её диаметр.

Виленкин 6 класс. Номер 835

Определите диаметр окружности, если её длина равна 56,52 дм. ( π ≈ 3,14 ).

Выразим из формулы длины окружности диаметр.

Хорда и дуга окружности

На рисунке ниже отметим на окружности две точки « A » и « B ». Эти точки делят окружность на две части, каждую из которых называют дугой. Это синяя дуга « AB » и черная дуга « AB ». Точки « A » и « B » называют концами дуг.

Соединим точки « A » и « B » отрезком. Полученный отрезок называют хордой.

Точки « A » и « B » делят окружность на две дуги. Поэтому важно понимать, какую дугу вы имеете в виду, когда пишите дуга « AB ».

Для того чтобы избежать путаницы, часто вводят дополнительную точку на нужной дуге и обращаются к ней по трем точкам.

Источник

• ← Что такое длина окружности основания цилиндра
• Что такое длина окружности →