Что такое дифференцирование в математике
Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d)
Пролог:
Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.
Начало
Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной (скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.
Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:
Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».
Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).
Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):
И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.
Смотрим дифференциалу в лицо
Расмотрим такой график:
Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.
Зная это введем обозначение на графике:
Вернемся к равенству
BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.
Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.
Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).
Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.
Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx
И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.
Немного пределов
Добавим с левой части и с правой предел
В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:
Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:
Правила дифференцирования: доказательство и примеры
Чтобы успешно решать задачи на дифференцирование, нужно уметь находить разные виды производных. Данная статья посвящена основным правилам дифференцирования, которые постоянно используются на практике. С помощью самого определения производной функции мы сформулируем доказательства всех этих правил и подробно рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как они применяются при решении задач.
Сформулируем основные проблемы дифференцирования:
Разберем все эти случаи по порядку.
Как вынести постоянный множитель за знак производной
Для начала нам нужно доказать следующую формулу:
Используя определение производной, запишем следующее:
Этим мы доказали первое правило дифференцирования. Разберем задачу на его применение.
Решение
Вынесем множитель за знак производной и получим:
Это самый простой пример. На практике чаще всего приходится предварительно преобразовывать дифференцируемую функцию, чтобы увидеть нужное значение в таблице производных и применить соответствующее правило.
Решение
Решение
Сначала нам нужно выполнить преобразование исходной функции.
Далее применяем изученное выше правило и берем из таблицы производных соответствующее значение:
Как вычислить производную суммы и производную разности
Так мы можем доказать равенство производной суммы или разности n-ного количества функций сумме или разности их производных:
Решение
Первым делом упрощаем данную функцию.
После этого применяем второе правило – производной суммы/разности:
Первое правило говорит нам о том, что можно вынести постоянный множитель за знак производной, значит:
Нам остается только заглянуть в таблицу производных и взять оттуда соответствующее значение:
Как вычислить производную произведения функций
Правило дифференцирования произведения двух функций выглядит следующим образом: f x · g ( x ) ‘ = f ‘ ( x ) · g ( x ) ‘ + f ( x ) · g ‘ ( x )
Попробуем доказать его.
Это и есть результат, который нам нужно было доказать.
Решение
y ‘ = ( t g x · a r c sin x ) ‘ = ( t g x ) ‘ · a r c sin x + t g x · ( a r c sin x ) ‘
Берем нужное значение из таблицы производных основных элементарных функций и записываем ответ:
Решение
Теперь разберем, что нужно делать в случае, когда производную нужно найти для произведения трех функций. По той же схеме решаются задачи с произведениями четырех, пяти и большего количества функций.
Решение
У нас получится следующее:
y ‘ = ( ( 1 + x ) · sin x · ln x ) ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + 1 + x · sin x · ln x ‘
1 + x · sin x ‘ = ( 1 + x ) ‘ · sin x + 1 + x · ( sin x ) ‘
С помощью этого правила и таблицы производных получим:
Теперь подставим в формулу то, что у нас получилось:
y ‘ = 1 + x · sin x · ln x ‘ = 1 + x · sin x ‘ · ln x + ( 1 + x ) · sin x · ( ln x ) ‘ = = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x
Ответ: y ‘ = sin x + cos x + x · cos x · ln x + ( 1 + x ) · sin x x
Из этого примера видно, что иногда приходится применять несколько правил дифференцирования подряд для вычисления нужного результата. Это не так сложно, как кажется, главное – соблюдать нужную последовательность действий.
Решение
Как вычислить производную частного двух функций (дробного выражения с функциями)
Сразу отметим, что g ( x ) не будет обращаться в 0 ни при каких значениях x из указанного промежутка. Согласно определению производной, получим:
Решение
После этого нам потребуется правило для суммы, а также правило вынесения постоянного множителя за знак производной:
Возьмем задачу на применение всех изученных правил.
Решение
Поясним, как это получилось.
Вычисляем третье слагаемое:
Теперь собираем все, что у нас получилось:
В задачах, которые мы разобрали в этой статье, использовались только основные элементарные функции, которые были связаны между собой знаками простых арифметических действий. Они нагляднее всего иллюстрируют правила дифференцирования. Однако возможно их применение и к более сложным функциям.
После того, как мы разберем, что такое производная сложной функции, мы сможете проводить дифференцирование выражений любой сложности.
Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.
Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:
Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:
Правила нахождения производных
Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.
Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правило первое: выносим константу
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Дифференцирование функции, нахождение производной
Если вам нужно решить задачу, в рамках которой требуется вычислить производную какой-либо функции с одной переменной, советуем внимательно прочесть эту статью. Здесь приводятся общие положения теории дифференцирования, имеющие отношение к вычислению производной. Для этого могут быть использованы разные способы, ведь исходная функция может быть задана явно или неявно, в параметрическом виде, быть элементарной, основной или сложной, значит, в каждой ситуации бывает нужен свой подход.
Таблица дифференцирования функции
Мы собрали всю информацию, которую нужно знать для правильного дифференцирования функции, и представили ее в табличном виде:
Степенная фунция y = x p
y = a x a x ‘ = a x · ln a
В частности, при a = e имеем
log a x ‘ = 1 x · ln a
В частности, при a = e имеем
y = ln x ln x ‘ = 1 x
Производная сложной функции
( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x )
Производная неявно заданной функции
Производная обратной функции
Обратные тригонометрические функции
Производная параметрически заданной функции
y = f ( x ) y ‘ = y · ( ln ( f ( x ) ) ) ‘
Пояснения таблицы
Содержимое таблицы требует небольших пояснений. Например, в наиболее простом случае для дифференцирования нам пригодится определение производной, т.е. вычисление соответствующего предела. Это действие носит название непосредственного дифференцирования.
Если вам приходится работать с основной элементарной функцией, то следует использовать таблицу основных производных. В ней приводятся все готовые значения, доказанные на основании определения. Это очень удобно, и мы советуем вам держать такую таблицу под рукой.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
— операция, края относит функции ее производную или дифференциал. При этом речь может идти о производной или дифференциале в точке или на нек-ром множестве, о частных производных, о производной по направлению, о частных и полных дифференциалах, а сами функции могут быть не только числовыми, но и функциями более общей природы. г.
Смотреть что такое «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ» в других словарях:
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — 1) в высшей математ. производство математического анализа посредством дифференциального исчисления; 2) д. или дифференциация разделение одного сложного целого на части, характеризующиеся разными признаками; выделение самостоятельных частей.… … Словарь иностранных слов русского языка
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — операция нахождения производных или дифференциалов. См. Дифференциальное исчисление … Большой Энциклопедический словарь
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, в математике метод оценки производной некоторой данной функции. Методики ИНТЕГРИРОВАНИЯ и дифференцирования вместе составляют предмет ИСЧИСЛЕНИЙ и находят широкое применение почти во всех областях ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ. см.… … Научно-технический энциклопедический словарь
дифференцирование — ДИФФЕРЕН ИРОВАТЬ, рую, руешь; анный; сов. и несов., что. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
дифференцирование — сущ., кол во синонимов: 6 • дифференциация (11) • дифференцировка (2) • разграни … Словарь синонимов
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — Расчленение, различение, выделение составляющих элементов при рассмотрении, изучении производственных процессов, экономических явлений, тенденций и т.д. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов
дифференцирование — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN differentiation … Справочник технического переводчика
Дифференцирование — Под термином дифференцирование могут подразумевать различные родственные понятия. Дифференцирование операция взятия полной или частной производной функции. Дифференцирование линейное отображение, удовлетворяющее тождеству Лейбница.… … Википедия
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — кольца отображение дкольца Rв себя, ( являющееся эндоморфизмом аддитивной группы кольца Rи удовлетворяющее соотношению Пусть М левый R модуль. Дифференцированием кольца Л со значениями в Мназ. гомоморфизм соответствующих аддитивных групп,… … Математическая энциклопедия
дифференцирование — я; ср. кого что. к Дифференцировать и Дифференцироваться. Д. цен. Д. дохода. * * * дифференцирование операция нахождения производных или дифференциалов. См. Дифференциальное исчисление. * * * ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, операция… … Энциклопедический словарь
дифференцирование — diferencijavimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. differentiation vok. Differentiation, f rus. дифференцирование, n pranc. différentiation, f … Fizikos terminų žodynas