Что такое действительные числа определение и пример

Действительные числа, определение, примеры.

В данной статье собраны основные сведения про действительные числа. Сначала дано определение действительных чисел и приведем примеры. Дальше показано положение действительных чисел на координатной прямой. А в заключение разобрано, как действительные числа задаются в виде числовых выражений.

Навигация по странице.

Определение и примеры действительных чисел

Подобно тому, как рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа, действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Отсюда вытекает определение действительных чисел.

Действительные числа – это рациональные и иррациональные числа.

Так как любое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической дроби, а иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями, то озвученное определение действительных чисел можно переформулировать следующим образом.

Действительные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Из определения действительных чисел следует, что существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа, а нуль – ни положительное, ни отрицательное действительное число.

Действительные числа позволяют описывать величины, значения которых могут изменяться непрерывно, чего не позволяют делать рациональные и иррациональные числа по отдельности. Другими словами, действительные числа дают возможность численно выражать значение непрерывно изменяющейся величины через единичное (эталонное) значение этой величины.

В заключение этого пункта заметим, что действительные числа также называют вещественными.

Действительные числа на координатной прямой

Действительные числа заполняют каждую точку координатной прямой. Каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число – координата этой точки, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой. То есть, между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Действительные числа в виде выражений

А если пойти дальше, то из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций и т.п. можно составлять всевозможные числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений и есть действительные числа.

В заключение этой статьи заметим, что следующим этапом расширения понятия числа является переход от действительных чисел к комплексным числам.

Источник

Действительные числа

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение действительных чисел

Рациональные числа объединяют в себе целые числа и дробные числа. А действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Отсюда сформулируем определение действительных чисел:

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Множество рациональных чисел —

Иррациональное число — это число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби m/n. Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество иррациональных чисел —

Множество действительных чисел состоит из множества рациональных чисел вместе с множеством иррациональных чисел. Это множество R иначе обозначается как область действительных чисел (-∞; +∞). Можно записать так, что R есть объединение двух множеств: рациональных и иррациональных чисел:

Так как любое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической дроби, а иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями, то определение действительных чисел можно сформулировать по-другому.

Действительные числа — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической или непериодической десятичной дроби. Их иногда называют вещественными.

Примеры действительных чисел:

Число нуль также является действительным числом, так как 0 — рациональное число.

Из определения действительных чисел можно сделать вывод, что существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа, а нуль — ни положительное, ни отрицательное действительное число.

При помощи действительных чисел можно описать величины, значения которых могут изменяться непрерывно. Проще говоря, действительные числа дают возможность численно выражать значение непрерывно изменяющейся величины через единичное значение этой величины.

Действительные числа на координатной прямой

Координатная прямая — это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0, единичным отрезком и заданным направлением движения.

Интересный факт: действительные числа заполняют каждую точку координатной прямой.

Каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число — координата этой точки. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой. То есть, между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Представления действительных чисел

По определению действительными числами являются:

Часто можно встретить действительные числа в виде корней, степеней, логарифмов и др. Кроме того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа.

Также из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций можно составлять числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений

будут действительные числа.

Сравнение действительных чисел

Любые действительные числа можно сравнивать. Для сравнения действительных чисел есть два способа:

Источник

Действительные числа

Что такое действительные числа

Действительное число — математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функций.

Схематически понятие действительных значений можно представить совокупностью, образованной рациональными и иррациональными членами. Для наглядности этой совокупности прибегают к числовой прямой.

Стандартным условным обозначением является буква R, выполненная полужирным шрифтом.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Обозначение не случайное, оно взято из английского слова realis (в переводе — действительный).

С позиции конструктивизма вещественные величины для математики не являются строгими понятиями. Их вводят для арифметических операций или определения отношений в каком-либо порядке, а также для доказательства проявляемых свойств.

По своей сути действительное число является бесконечной десятичной дробью. Его можно записать следующим образом:

Как обычно, значение до первой запятой — целое. Если в каком-либо сегменте после запятой образуются нули, они не пишутся.

Если захотеть представить, между какими рациональными величинами находится выражаемое значение, то это будет выглядеть так:

ао, а1, а2….. аn и ао, а1, а2….. аn+10-n

Где n — значение натурального числа.

История термина

Введение в обиход термина «вещественное число» произошло еще в Древней Греции. Школа Пифагора обратила внимание, что, кроме целых значений и их соотношений, существует несоизмеримое множество. С точки зрения современных классификаций, это — числа, не являющиеся рациональными.

Позднее Евдокс Книдский пытался создать общую теорию, которая бы включала также несоизмеримые величины. Однако в практику эти попытки в то время не вошли. Прошло более двух тысяч лет, пока возникла истинная необходимость введения такого понятия. Толчком послужил математический анализ, развиваемый Р.Дедекиндом, Г.Кантором, Э.Гейне и их коллегами. Периодом создания теории вещественных (или действительных) чисел считается вторая половина XIX века.

Для современных математиков то множество, которое объединяет рациональные и иррациональные величины, является непрерывным упорядоченным полем. С позиции изоморфизма оно является единственным.

Представления действительных чисел

Как видно из рисунка из действительных выделяют рациональные и иррациональные величины.

Рациональные (Q), в свою очередь, подразделяются на целые (Z) и дробные. В совокупность целых входят ноль, натуральные значения (N) и им противоположные.

Самое простое, что можно представить в математике — это натуральное число. Это то, что мы перечисляем при простом счете. Именно с этих чисел дети начинают учиться решать элементарные примеры. Они же используются в сложнейших математических задачах. Если выстроить натуральные единицы в порядке возрастания, получится натуральный ряд. Он является бесконечным, поскольку после n всегда существует n+1.

Отрицательные числа не относятся к натуральным, ими не получится объективно считать.

Существует две теории определения группы натуральных чисел. Согласно первой, они появляются, когда человек что-либо нумерует. Например: первый, второй, третий и последующий участник. Согласно второй, в них есть необходимость в ситуациях, когда нужно определиться с количеством чего-либо. Например, 1 стул, 0 стульев, 100 стульев. Казалось бы, оба подхода определяют натуральные числа, однако явно заметна разница: в первом случае ноль исключен, во втором — без него не обойтись.

Поэтому сегодня существует два условных обозначения для этой группы:

Характеризуя натуральные числа, обращают внимание на их свойства:

Целые числа

Взяв натуральное множество, включающее нуль и добавив к нему отрицательные значения, получим новую единицу классификации — целые числа. При этом возникает резонный вопрос: зачем нужно дополнительное понятие? Продиктована эта необходимость тем, что, работая с натуральными числами, вычесть из меньшего большее нереально. С целыми это сделать можно.

Действительное значение можно сделать целым при сокращении его дробной части. Так, 7,5 или 124,85 не являются целыми, 2, 8, 12, 154 — являются.

Для обозначения множества целых чисел применяется Z. В математике существует раздел «Теория чисел», который занимается изучением их характеристик.

Структуру множества целых можно представить тремя составляющими:

Натуральные заметны при счете, например, 1, 2, 3 и т.д. Отрицательные имеют впереди знак «-». Для всех целых чисел существует противоположное значение со знаком минус. При этом абсолютная величина числа не содержит минуса. Ее правильным обозначением является ׀a׀.

В решениях задач для целых величин предусматриваются такие действия:

При этом деление может осуществляться с остатком. Целые могут сравниваться друг с другом, при этом Z — это линейно упорядоченное, бесконечное множество. Его мощность идентична мощности натуральных чисел. Оба они применяются для счета.

Десятичные дроби

Не всякую величину можно измерить целыми единицами. Если, кроме него, в значении включена дополнительно ее часть, то такая величина является дробной.

Десятичные дроби записываются так: 5,6; 7,88; 9,2568. Разрядность после запятой может быть различной, но в любом случае десятичная дробь не может иметь знаменателя. Другими словами, он равен 0 целых и 0 десятых.

После запятой могут стоять абсолютно разные цифры. Их значение определяется местом, на котором они расположены после запятой. Так, в десятичной дроби 5,123 цифра 1 соответствует десятым, 2 — сотым, 3 — тысячным и так далее. Если какой-либо ранг пропущен, вместо него обязательно ставится нуль. Так, в числе 5,208 десятым соответствует 2, а тысячным — 8. Сотые в данном примере отсутствуют.

Десятичная дробь может быть конечной либо бесконечной. Схематическая запись конечной выглядит так: ao,a1, a2…an. Число цифр после запятой четко определено.

Примером бесконечной является число π. Его значение равняется 3,1415926535897…Из примера видно, что количество цифр после запятой не определено, т.е. ao, a1, a2…

Бесконечная десятичная дробь может характеризоваться периодичностью. В таком случае в цифрах после запятой наблюдается периодически повторяющаяся группа цифр.

В таком случае цифры 456 называются периодом дроби, а количество цифр в группе (3 цифры) — длина периода.

Появлением десятичных дробей мы обязаны Китаю, когда там, в III веке н.э. считали на счетных досках. Позднее, трактат «Ключи арифметики», от имени Дж. Гияс-ад-дин-аль-Каши (математик и астроном) объявил об их официальном открытии. В Европе первым объявил об их существовании И. Бонфис (1350 год), а пользоваться ими стали в 1585 году, по мере выхода труда Стевина «Десятая».

Обыкновенные дроби

Говоря о дроби, математики имеют ввиду число, которое состоит из одной, двух либо нескольких одинаковых по величине частей от единицы. Эти части называются долями.

Кроме рассмотренных выше десятичных дробей, существуют обыкновенные, схематически выражаемые формулой m/n. Они могут иметь знак «-» либо «+». Значение цифр в обыкновенной дроби следующее: над чертой — числитель (показывает сколько раз взята выбранная доля), под чертой — знаменатель (то, насколько частей разделили первоначальное число).

Дробь, в которой целый числитель и знаменатель отличный от нуля, относится к рациональным числам.

Обыкновенные дроби представлены правильными и неправильными вариантами. Если числитель меньше (по модулю), чем знаменатель, то эта дробь правильная Если наоборот — неправильная (тогда она — рациональное число, которое по модулю превышает либо равно единице).

Различают также смешанные дроби. В их записи присутствует целое число и правильная дробь. Простым языком можно сказать, что смешанная дробь по своему значению равна сумме целого числа и дроби.

Более сложной модификацией является дробь составная, т.е. «многоэтажная». В ней числитель и знаменатель (либо только один из них) также представлены обыкновенными дробями.

С обыкновенными дробями можно производить следующие действия:

То, как обозначаются обыкновенные дроби сегодня, пришло из Древней Индии. Вначале разделительная черта не использовалась, но цифры писались одна под другой. Черта появилась лишь 300 лет назад, с подачи итальянского купца Фибоначчи. Уверенное пользование такими цифрами началось после выхода труда Стевина «Десятая».

Координатная прямая и действительные числа

Для решения многих математических задач удобно построить схему, на которой отразить месторасположение какого-либо тела с известными координатами. Если действие можно произвести по одной прямой линии, действительные числа располагаются на ней через равные промежутки, принятые за единицу измерения. Такое изображение называется числовой прямой. На ней обязательно существует 0 (точка отсчета) и единицы измерения — действительные числа — расположенные в порядке возрастания либо убывания (как на рисунке).

Прямая с нанесенными на ней началом отсчета, направлением отсчета и отрезками равной длины называется осью координат. При этом вправо от 0 всегда направлена положительная координатная полуось, а влево — отрицательная.

Координата — число, которое определяет нахождение точки (либо тела) на координатной оси.

С помощью координатной прямой и действительных чисел, нанесенных на ней, можно определять не только местоположение точки, но и сравнивать ее с другими точками, отображать ее координаты в процессе движения.

Координатную прямую часто называют геометрической моделью всего множества действительных чисел. Второе ее название — числовая прямая.

Правила вычисления с действительными числами, формулы

Действительные значения могут участвовать как в простых математических задачах, так и сложных, преобразовательных и упрощаемых заданиях.

Для них действуют формулы типа: a больше (либо меньше) числа b, если при вычитании b из a получается положительная (либо отрицательная) величина.

Кроме того в работе с действительными числами пользуются правилами:

Существуют и правила для сравнения действительных чисел:

Иногда для простоты расчетов прибегают к округлению действительных чисел. При большой разрядности исходного в условии обычно оговаривается до каких единиц произвести округление. Если последующая цифра за заданным рангом 5 и больше, то округление происходит с увеличением, если меньше — с уменьшением.

Источник

Действительные числа

Время чтения: 12 минут

Понятие действительного числа

Через R обычно выражается множество значений действительных чисел.

Рациональные числовые значения. Эту категорию чисел можно выразить, как положительное или отрицательное дробное значение. Еще есть вариант представлять рациональное число в виде нулевого значения.

Множество рациональных данных имеет следующий вид:

Иррациональное число. Данные значения невозможно выразить как деление двух и более целых данных. Такие числа представлены и выражаются как бесконечная, не имеющая определенного периода десятичная дробь.

Множество иррациональных чисел.

Данное множество, как правило, состоит из определенного множества рациональных чисел. А также, вместе с иррациональными значениями. Характеризуется множество R как область действительных чисел и обозначается

Иначе, можно составить и записать множество двух значений действительных чисел: рационального и иррационального.

Следовательно, любое рациональное число возможно записать в виде окончательной десятичной дроби или бесконечной периодической дроби. Иррациональные значения можно выразить бесконечными не имеющими определенного периода десятичными дробями. Учитывая все вышеизложенное определение действительных чисел можно составить и записать иначе.

Действительные числа — это значения чисел, которые выражаются, как конечная или бесконечная, имеющая вид периодической и непериодической десятичной дроби. Иными словами, их можно назвать, как вещественные.

Примеры действительных чисел

Действительные числа, могут быть и положительные, и отрицательные. Ноль, также будет являться действительным, потому что относится к категории рациональных значений, однако не будут иметь ни положительного ни отрицательного значения.

Используя действительные числа, можно выразить величины, числовые значения, которых изменяются непрерывно. Иначе говоря, действительные числа предоставляют возможность выражать числовые значение непрерывно, которые изменяя величины, через единичное значение.

Действительные числа на координатной прямой

Координатная прямая — это прямая, на которой отображается заданная определенная точка отсчета. Начало берется за нулевое значение и единичный отрезок и заданное направление движения отсчета. Каждую точку прямой всегда выражают действительные значения чисел. Для каждой точки на координатной прямой соответствует действительное числовое значение, иными словами их называют координатные значения точек. Из этого следует, что между действительными и координатными значениями, всегда существует однозначная и определенная взаимосвязь и соответствие.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Класс и характеристика действительных чисел

Все действительные значения чисел можно представить по следующей классификации:

Целым вполне возможно назвать, любое число натурального значения. Однако, целое число не всегда будет является натуральным числом, и это следует всегда помнить.

Натуральные числа, можно определить двумя методами:

значения, которые возникают, при подсчете определенных предметов, которые являются числительными (первый день, четвертый урок, третий ребенок);

обозначение конкретных событий или простых предметов (три слова, пять рулонов).

В первом случае нумерация начинается с единичного значения, а для второго характерен подсчет, с нулевого знака.

Сравнивая с нулевым значением, можно сформулировать и другие определения, конкретно опираясь на ноль.

Например: числа, которые являются меньше нуля, можно назвать отрицательными целыми числовыми значениями.

Дадим определения таким значениям неотрицательные и не положительные.

Как мы уже говорили ранее числовое данное равное нулю, не относится ни к какому из изученных натуральных значений. Простыми примерами неотрицательных чисел могут быть следующие значения: 45; 142; 26589;105689.

Выразить действительные числа, можно в следующем виде:

Применяя все перечисленные свойства числа действительного типа, можно составлять различного вида математические примеры, уравнения, тригонометрические и алгебраические функции. Составим и запишем несколько примеров решения:

Принцип сравнения действительных чисел

Большим будет считаться, то значение которое располагается правее относительно координатной прямой.

Источник

Действительные числа: определение, примеры, представления

Данная статья посвящена теме «Действительные числа». В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами.

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Источник