Что такое десятичный ряд

Математика. 5 класс

Конспект урока

Ряд натуральных чисел. Десятичная система записи натуральных чисел

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— десятичная запись натуральных чисел;

— разрядность натуральных чисел

Натуральные числа – числа, которые используют при подсчёте предметов.

Натуральный ряд – последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания.

Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С древних времен у человека была потребность в счёте.

Числа, которые используют при подсчёте предметов, называют натуральными числами.

Таким образом, числа: один, два, три, …, десять, …, сто, …, тысяча, …, миллион и так далее – это натуральные числа.

Натуральные числа один, два, три, четыре, пять и так далее, записанные в порядке возрастания и без пропусков, образуют ряд натуральных чисел.

Стоит отметить, что самое маленькое натуральное число – единица (1). В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нём нет.

В настоящее время принята десятичная система записи чисел (десятичная система счисления), в которой числа записываются при помощи десяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – эти знаки называют цифрами.

Одна и та же цифра может иметь различное значение в зависимости от позиции, где она расположена в записи числа. Например, в записи числа пятьсот пятьдесят пять первая справа цифра пять означает пять единиц, вторая – пять десятков, третья – пять сотен.

Вот поэтому десятичную систему счисления называют позиционной.

Натуральные числа, записанные одной цифрой, называют однозначными, а записанные несколькими цифрами – многозначными: двумя – двузначными, тремя – трёхзначными и т. д.

Например, числа 1, 8, 9 – однозначные числа; 10, 66, 89 – двузначные числа; 111, 145 – трёхзначные числа; 123456 – шестизначное число.

Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называются классами.

Первый класс справа называют классом единиц, второй – классом тысяч, третий – классом миллионов, четвёртый – классом миллиардов и т. д.

Источник

Понятие о натуральном числе

Натуральные числа и десятичная запись числа

Чтобы сосчитать некоторое количество предметов, используются числа, которые называют натуральными.

С помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое натуральное число. (подобным образом мы используем буквы алфавита, чтобы записать слова)

Такую запись числа называют десятичной ‒ десять единиц каждого разряда состав­ляют одну единицу следующего старшего разряда.

Натуральный ряд

Если натуральные числа записать в порядке возрастания, то получится ряд натуральных чисел ‒ натуральный ряд.

Каждое число в этом ряду меньше последующего на единицу. Наи­меньшее число среди натуральных чисел — это 1, а наибольшего числа нет.

Многозначные числа

Натуральное число называют однозначным, если его запись состоит из одного знака — одной цифры.

Например, числа 3, 7, 9 — однозначные.

Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.

Например, числа 25, 44, 65, 80 — двузначные.

Числа 100, 543, 888 — трёхзначные:

Числа 2000, 6791, 1060 — четырёхзначные и т. д.

Двузначные, трехзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. — это многозначные числа.

Классы и разряды

Прочитать записи однозначных, двузначных и трехзначных чисел (например: 7, 54, 976) затруднений не вызывает.

Чтобы прочесть многозначное натуральное число, его необходимо разбить справа налево на группы по три цифры в каждой. Крайняя левая группа может состоять из одной или двух цифр.

Эти группы называют классами.

Три первые цифры спра­ва ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и т. д.

Место, занимаемое цифрой в записи числа, назы­вают разрядом.

Если считать справа налево, то первое место в за­писи числа называют разрядом единиц, второе — разрядом десятков, третье — разрядом сотен и т. д.

Например, в числе 5034 имеем 4 единицы разряда единиц, 3 единицы разряда десятков, 0 единиц раз­ряда сотен и 5 единиц разряда тысяч.

Можно также сказать, что в классе единиц 34 единицы.

Названия некоторых больших чисел

1 тысяча (1 тыс.) – 1 000 (тысяча)

1 миллион (1 млн) – 1 000 000 (тысяча тысяч)

1 миллиард (1 млрд) – 1 000 000 000 (тысяча миллионов)

1 триллион (1 трлн) – 1 000 000 000 000 (тысяча миллиардов)

Рассмотрим число 6 000 126 754.

Его читают: 6 миллиардов 126 тысяч семьсот пятьдесят четыре.

В классе миллионов во всех разрядах стоят нули. Поэтому при чтении числа 6 000 126 754 не произносят название этого класса.

Примеры прочтения чисел:

а) Число 200 700 читается так: двести тысяч семьсот;

б) Число 6 000 008 читается так: шесть миллионов восемь;

в) Число 14 000 002 000 читается так: четырнадцать миллиардов две тысячи.

Значение цифры в записи числа

Значение цифры зависит от её позиции (места) в записи числа.

Например, в записи числа 56 978 цифра 8 означает 8 единиц, так как она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц);

В записи числа 42 389 цифра 8 означает 8 десятков, так как она стоит на предпоследнем месте в записи числа (в разряде десятков);

В записи числа 5 300 847 цифра 8 означает 8 сотен, так как она стоит на третьем месте от конца в записи числа (в разряде сотен).

Число 0 и цифра 0

Число 0 натуральным не является.

Цифра 0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль» (что означает ‒ «ни одного»).

(Например, счёт 1 : 0 хоккейного матча говорит о том, что вторая команда не забила ни одной шайбы в ворота противника.)

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Что нужно знать о свойствах натурального числа — основные сведения

Определение натурального числа

Натуральное число является значимым понятием современной математики. Они возникают при естественном счете.

Натуральные числа служат для счета предметов, объектов. При этом числа не связаны с их индивидуальными характеристиками.

Число — результат абстрагирования.

Но числа в сознании могут оставаться связанными с осязаемыми объектами — пальцами, узелками, камушками. В языках народов для обозначения предметов используют различные сочетания числительных.

Особенности натурального числа

Натуральными являются целые положительные числа. Любое такое число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Запись называют десятичной.

Те натуральные числа, которые формируют последовательность, образуют натуральный ряд. В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего.

Единица — самое маленькое натуральное число. Самое большое число натурального ряда подобрать нельзя — он бесконечен.

К натуральным числам не относят ноль. Это число означает «ни одного».

Множество натуральных чисел обозначают буквой латинского алфавита N.

Операции над натуральными числами

К операциям над натуральными числами относят:

a, b — слагаемые, c — сумма.

Сумма всегда больше любого из слагаемых.

Когда нужно найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое: b=c-a.

a, b — множители или множитель и сомножитель, c — их произведение.

В операции умножения натуральных чисел самым большим числом будет произведение.

Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель: b=c:a.

a — основание, b — показатель степени, a b — степень.

a — уменьшаемое, b — вычитаемое, c — разность.

Самое большое число в операции вычитания — уменьшаемое.

Вычитаемое = уменьшаемое — разность.

Уменьшаемое = вычитаемое + разность.

a — делимое, b — делитель, c — частное.

Самое большое число в делении — делимое.

Делимое = делитель * частное.

Делитель = делимое : частное.

a — делимое, b — делитель, c — неполное частное, q — остаток от деления.

Делимое = делитель * неполное частное + остаток.

Свойства натуральных чисел

Математическую теорию натуральных (то есть целых положительных) чисел называют арифметикой.

Арифметика опирается на факты: сложение и умножение целых чисел подчиняются определенным закономерностям. Чтобы описать эти законы, прибегают к использованию символов — букв a, b, c…

Это делается для того, чтобы не рассматривать частные случаи на примере определенных числовых значений, а создать универсальные правила. А для применения сформулированных законов достаточно заменить буквенные символы заданными числами и воспользоваться правилами.

Существует пять основных законов арифметики или пять основных свойств, которыми обладают натуральные числа. С их помощью упрощают выражения.

Пять законов арифметики:

Коммутативный — переместительный закон сложения: при сложении можно менять порядок чисел, над которыми совершается действие.

a+b=b+a — от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Коммутативный — переместительный закон умножения: при умножении можно менять порядок чисел, над которыми совершается действие.

a * b = b * a — от перестановки множителей произведение не меняется.

Ассоциативный — сочетательный закон сложения: при сложении трех чисел результат не изменится, если к первому числу прибавим сумму второго и третьего, или прибавим третье к сумме второго и первого.

Ассоциативный — сочетательный закон умножения: когда умножаем три числа, то результат не изменится, если перемножать множители не по порядку.

Дистрибутивный — распределительный закон: при умножении суммы на число можно умножить число на каждый компонент суммы, а потом полученные произведения сложить.

Алгебраические операции с нулем рассмотрим без приведения доказательств:

Свойство нуля при сложении:

Свойства нуля при вычитании:

Свойство нуля при умножении:

Свойства нуля при делении:

При делении числа на само себя получаем 1.

Разряды и их значения

Значение цифры в записи числа определяется ее местом.

Место цифры в числе называется разрядом.

При записи числа выделяют три разряда:

Разряд единиц — последнее место в записи числа в соответствующем классе.

Разряд десятков — предпоследнее место.

Разряд сотен — третье место от конца записи числа.

Если в разряде стоит ноль, то говорят об отсутствии единиц данного разряда в десятичной записи числа.

Если число состоит из одного знака — цифры — его называют однозначным. Когда в числе два знака — двузначным.

Числа, которые состоят более чем из одного знака, называют многозначными.

Чтобы прочитать многозначное число, его запись разбивают на классы справа налево. В каждый класс заключают три знака — три разряда.

Разрядов только три.

Разбейте число на классы и прочитайте его: 123 456 789 098 000 321 654.

В этом числе 654 единицы в классе единиц, 321 единица в классе тысяч, ноль единиц в классе миллионов, 98 единиц в классе миллиардов, 789 единиц в классе триллионов, 456 единиц в классе квадриллионов и 123 единицы в классе квинтиллионов.

Представим решение задания в таблице:

Число читается: 123 квинтиллиона 456 квадриллионов 789 триллионов 98 миллиардов 321 тысяча 654.

Десятичная система счисления

В десятичной системе счисления для записи натуральных чисел используют 10 знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — десять цифр. Из этих цифр составляют другие натуральные числа большей величины.

Смысл каждой из используемых цифр зависит от ее положения в числе — разряда. Принцип образования числа, когда в основе лежит определение позиции каждой цифры в нем, называют позиционным.

Изобретение позиционной нумерации, которая основана на поместном значении цифр, приписывают вавилонянам и шумерийцам. Такая нумерация была развита индусами. Древние системы нумерации были построены на аддитивном принципе, но с элементами позиционности. Например, римская нумерация предполагает «сложение или вычитание разрядов».

VII — пять + один + один = семь.

IV — пять – один = четыре.

Египетская, греческая системы были на том же уровне.

Главное неудобство такой системы заключалось в необходимости введения большого количества новых символов при увеличении числа. Это затрудняло арифметические вычисления.

Позиционная система, за счет небольшого количества символов для обозначения разных чисел, выгоднее в использовании.

Десятичная система счисления — позиционная.

Число 10 в десятичной системе счисления — «основание» системы.

Задания для самопроверки

Запишите решение выражения в столбик: 234+4567.

Записываем число под числом, цифра под цифрой — разряд под разрядом. Для удобства в верхней строке запишем то число, которое длиннее: 4567. Строго под ним число 234. Разряды второго располагаются строго под соответствующими разрядами первого числа.

В числе 4567 в разряде единиц класса единиц стоит 7, в числе 234 в разряде единиц класса единиц — 4. Значит, 4 пишем строго под 7.

В 4567 в разряде десятков класса единиц стоит 6, в 234 в разряде десятков класса единиц — 3. Значит, 3 пишем строго под 6.

В 4567 в разряде сотен класса единиц стоит 5, в 234 в разряде сотен класса единиц стоит 2. Значит, 2 пишем строго под 5.

В 4567 в разряде единиц класса тысяч стоит 4, в 234 в разряде единиц класса тысяч ничего не стоит. Значит, под 4 ничего не пишем.

7+4=11, 1 пишем в разряде единиц, 1 в уме добавляем в следующий разряд — разряд десятков.

3+6=9 и еще один в уме, получаем 10. Ноль пишем в разряде десятков, один запоминаем.

5+2=7 и еще 1 (запоминали), получаем 8. Пишем 8 разряд сотен.

К 4 ничего не прибавляем, просто переписываем в сумму в разряд единиц класса тысяч.

Используя свойства сложения из урока, упростите выражение: 54+(26+73).

Используем сочетательное свойство умножения для решения задачи.

Сначала сложим число и первый компонент суммы. К результату прибавим оставшееся число.

Из свойства сложения следует: 26+b+14=b+26+14=b+(26+14)=b+40. По образцу упростите выражение: 72+y+32.

Для упрощения выражения воспользуемся переместительным свойством сложения.

Самостоятельно решите тренажер, используя свойства сложения и умножения из конспекта:

Объяснение работы по алгоритму.

Используя сочетательное свойство умножения, получим:

Упростим выражение: 12(5+6).

Используя распределительный закон, получим:

Источник

Основные сведения о десятичной системе счисления

Системы счисления. Основные понятия

Система счисления — это набор правил записи чисел посредством конечного набора цифр.

Системы счисления разделяются на:

Основание системы счисления — это количество цифр, используемых в данной системе.

Вес разряда — это отношение количественного эквивалента цифры в данном разряде к количественному эквиваленту такой же цифры в нулевом разряде:

Разряды числа нумеруются справа налево. Младший разряд имеет номер ноль. Разряды дробной части нумеруются отрицательными числами:

Что такое десятичная система счисления

Десятичная система счисления — это система счисления по целочисленному основанию 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 арабские цифры). Она является позиционной системой счисления и наиболее распространенной.

Ученые утверждают, что использование такой распространенной системы связана с количеством пальцев на руках у человека.

Десятичные цифры используют в двоично-десятичном кодировании в двоичных компьютерах.

Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

Перевести целое число с основанием q в десятичное можно с помощью следующего алгоритма:

Также можно переводить дроби с основанием q в десятичную систему счисления. Воспользуемся следующей формулой:

Примеры решения задач

Дано число в двоичной система 10011. Перевести число в десятичную систему счисления.

10011 2 = 1 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 0 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 1 + 1 ∙ 2 0 = 1 ∙ 16 + 0 ∙ 8 + 0 ∙ 4 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19 10

Перевести в десятичную систему счисления число 17 из восьмеричной системы.

17 8 = 1 ∙ 8 1 + 7 ∙ 8 0 = 1 ∙ 8 + 7 ∙ 1 = 8 + 7 = 15 10

Перевести из пятеричной системы счисления число 20341 в десятичную систему.

20341 5 = 2 ∙ 5 4 + 0 ∙ 5 3 + 3 ∙ 5 2 + 4 ∙ 5 1 + 1 ∙ 5 0 = 2 ∙ 625 + 0 ∙ 125 + 3 ∙ 25 + 4 ∙ 5 + 1 ∙ 1 = 1250 + 0 + 75 + 20 + 1 = 1346 10

Число 0,F3D0 из шестнадцатеричной системы счисления перевести в десятичную систему.

Перевести в десятичную систему счисления двоичное число 101,11.

Источник

Разряды и классы чисел

Числа и цифры

Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.

Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

От количества цифр в числе зависит его название.

Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.

Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.

Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.

Названия классов многозначных чисел справа налево:

Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:

А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

Разряды чисел

От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:

Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.

Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Разрядные единицы обозначают так:

Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.

Чтобы легче понимать математику — записывайтесь на наши курсы по математике!

Потренируемся

Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:

Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.

Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит, в числе есть две сотни.

Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.

Значит, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.

Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.

Источник