Что такое деление чисел в математике

Деление чисел

Деление — это арифметическое действие, с помощью которого можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом.

Деление можно представить, как неоднократно повторяемое вычитание. Например, число 6 разделить на 2 — значит узнать, сколько раз число 2 содержится в 6:

Повторив вычитание 2 из 6, мы узнали, что 2 содержится в 6 три раза. Это можно проверить сложив три раза по 2 или умножив 2 на 3:

Для записи деления используется знак : (двоеточие), который ставится между числами. Например:

Эта запись означает, что 6 надо разделить на 2. Справа от записи деления ставится знак = (равно), после которого записывается полученный результат:

Задача. В магазин привезли 9 морковок. Продавщица связала их в пучки по 3 морковки в каждом пучке. Сколько получилось пучков?

Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько раз по 3 содержится в числе 9. Для этого разделим 9 на 3. Получим 3.

Решение можно записать так:

Пример. Решить примеры на деление с помощью схем.

2) 12 : 4 = 3, 12: 3 = 4.

Делимое, делитель и частное

Делимое — это число, которое делят. Делитель — это число, на которое делят. Например, в записи:

12 — это делимое, 3 — делитель. Делитель показывает на сколько равных частей нужно разделить делимое.

Частное — это число, которое получается в результате деления. Например, в записи:

4 — это частное. При этом сама запись 12 : 3 тоже называется частным.

Проверка деления

где 28 — это делимое, 4 — это делитель, а 7 — частное. Чтобы узнать правильно ли было выполнено деление, можно:

или умножить делитель на частное:

Источник

Деление

В этом разделе познакомимся с делением и узнаем, что деление – это математическая операция, обратная умножению.

Умножение – это последовательное сложение чисел, а деление – это последовательное вычитание чисел.

Как ёжикам поделить между собой яблоки поровну?

Нужно воспользоваться действием деления и узнать, сколько раз по 3 содержится в 6.

Любой пример на умножение можно представить двумя примерами на деление.

Например, для выражения 6 • 4 = 24 есть два обратных выражения:

24 : 4 = 6 — нужно из 24 вычесть число 4 ровно 6 раз.

24 : 6 = 4 — нужно из 24 вычесть число 6 ровно 4 раз.

Числа при делении

При делении, как и при другом математическом действии, каждое число имеет свое название.

Число, которое делят, называется делимое.

Число, на которое делят, называется делитель.

Результат деления называется частное.

Чтение числовых выражений

Этот пример можно прочитать по-разному.

Деление на 1

Деление на 0

Деление числа само на себя

Связь деления и умножения

Чётные и нечётные числа

Числа, которые делятся на 2 без остатка, назы­ваются чётными, а числа, которые не делятся на 2 без остатка, называются нечётными.

Чётные: 6, 22 44, 60, 74, 82, 96

Нечётные: 7, 13, 21, 37, 45, 97

В несколько раз меньше

Для примера решим задачу:

В магазине было 8 котят, а лисичек в 4 раза меньше. Сколько было лисичек?

Значит, чтобы узнать, сколько было лисичек, нужно 8 : 4 = 2 (л.)

Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?

Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички. Во сколько раз котят было больше, чем лисичек? Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят?

Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?

Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Деление (математика)

Деле́ние (операция деления) — одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное умножению. Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое. Существует несколько символов, используемых для обозначения оператора деления.

Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторенное сложение, деление заменяет неоднократно повторенное вычитание.

Рассмотрим, например, такой вопрос:

Сколько раз 3 содержится в 14?

Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 «входит» в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2.

Результат деления также называют отношением.

Содержание

Деление натуральных чисел

Кольцо целых чисел не замкнуто относительно деления. Простым языком это означает то, что результат деления одного целого числа на другое может быть не целым. В случае, если всё-таки результат является целым числом, говорят о делении без остатка.

Деление чисел издавна считалось самой трудной из арифметических операций. В Средние века «секрет» деления знало не очень много посвящённых людей. Происходило это потому, что существовавшие алгоритмы деления были очень громоздки, сложны для исполнения и запоминания (например, деление в виде корабля (англ.) ). Появление деления столбиком радикально изменило эту ситуацию — теперь деление входит в раннюю школьную программу по математике наряду с остальными арифметическими действиями. Однако так же, как и в случае с умножением (см. быстрое умножение), в последнее время открыты более эффективные алгоритмы (см. en:Division (digital), применяющиеся в вычислительной технике.

Существуют правила, позволяющие быстро определить, делится ли число на заданный делитель без остатка (признаки делимости). Наиболее известные признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 и их производные, также существует признаки делимости на 7, 13, 1001 и другие числа.

Целое число, на которое одновременно делятся без остатка несколько чисел, называется их общим делителем.

Определение количества делителей натурального числа приводит к двум важным понятиям: составное и простое число. У простого числа есть ровно два различных делителя — 1 и само число. У составных чисел различных делителей больше двух. 1 не является ни составным, ни простым числом.

В случае, если одно натуральное число не делится на другое без остатка, можно говорить о делении с остатком. Рассмотрение остатков, их сравнение и формализация в виде вычетов привели к целой науке — теории чисел.

Обычно на остаток накладываются следующие ограничения (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён):

, ,

где — делимое, — делитель, — частное и — остаток.

Деление целых чисел

Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел — достаточно поделить их модули и учесть правило знаков.

Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:

.

Деление рациональных чисел

Замыкание множества целых чисел по операции деления приводит к расширению его до множества рациональных чисел. Это приводит к тому, что результатом деления одного целого числа на другое всегда является рациональное число. Более того, полученные числа (рациональные) уже полностью поддерживают операцию деления (замкнуты относительно неё).

Правило деления обыкновенных дробей:

Деление вещественных чисел

Деление также замкнуто в поле ненулевых вещественных чисел. Дедекиндово сечение позволяет однозначно определить результат деления.

Деление комплексных чисел

Комплексные числа опять замкнуты относительно операции деления.

Деление в алгебре

В отличие от простейших арифметических случаев на произвольных множествах и структурах деление может быть не только не определено, но и обладать множественностью результата.

Обычно в алгебре деление вводится через понятие единичного и обратного элементов. Если единичный элемент вводится однозначным образом (обычно аксиоматически или по определению), то обратный элемент часто может быть как левым (), так и правым (). Эти два обратных элемента могут по отдельности существовать или не существовать, равняться или не равняться друг другу.

К примеру, отношение матриц определяется через обратную матрицу, при этом даже для квадратных матриц может быть:

.

Отношение тензоров в общем случае не определено.

Деление многочленов

В общих чертах оно повторяет идеи деления натуральных чисел, ибо натуральное число есть не что иное, как значения многочлена, у которого коэффициенты — цифры, а вместо переменной стоит основание системы счисления:

.

Поэтому аналогично определяются: частное, делитель, делимое и остаток (с той лишь разницей, что ограничение накладывается на степень остатка). Поэтому к делению многочленов также применимо деление столбиком.

Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.

Деление на ноль

По правилам стандартной арифметики деление на число 0 запрещено.

Другое дело — деление на бесконечно малую функцию или последовательность. Деление конечных функций на бесконечно малые приводит к появлению бесконечно больших, а отношение двух бесконечно малых называется неопределённостью 0/0, которую можно преобразовать (см. раскрытие неопределённостей) с тем, чтобы получить определённый результат.

Операции деления ненулевого числа на ноль не соответствует никакое действительное число.

Результат этой операции считается бесконечно большим и равным бесконечности:
, где
Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным a или приближается к нему, то частное неограниченно увеличивается(по модулю).

Источник

Деление натуральных чисел: правила, примеры, решения

В этой статье мы рассмотрим правила и алгоритмы деления натуральных чисел. Сразу отметим, что здесь мы смотрим только на деление нацело, то есть без остатка. О делении натуральных чисел с остатком читайте в нашем отдельном материале.

Для каждого случая приведем и подробно рассмотрим примеры. В конце статьи покажем, как проводить проверку результата деления.

Связь деления с умножением

Чтобы проследить связь между делением и умножением, вспомним, что деление представляется, как разбиение исходного делимого множества на несколько одинаковых множеств. Умножение связано с объединением нескольких одинаковых множеств в одно.

Обратный процесс разбиения полученного общего множества на b множеств по с предметов в каждом соответствует делению:

На основе сказанного можно перейти к следующему утверждению:

Пользуясь переместительным свойством умножения, можно записать:

Подытожим все изложенное выше и дадим определение деления натуральных чисел.

Деление натуральных чисел

Это определение станет базой, на основе которой мы будем строить правила и методы деления натуральных чисел.

Деление методом последовательного вычитания

Иными словами данную задачу можно сформулировать так: имеется 12 предметов (например, апельсинов), и их нужно разделить на равные группы по 4 предмета (разложить в коробки по 4 штуки). Сколько будет таких групп или коробок по четыре апельсина в каждой?

Шаг за шагом будем отнимать от исходного количества по 4 апельсина и формировать группы по 4 до того момента, пока апельсины не закончатся. Количество шагов, которые нам придется сделать, и будет ответом на изначальный вопрос.

Работая с числами, не нужно каждый раз проводить аналогию с предметами. Что мы делали с делимым и делителем? Последовательно вычитали делитель из делимого, пока не получили нуль в остатке.

При делении методом последовательного вычитания количество операций вычитания до получения нулевого остатка и есть частное от деления.

Для закрепления рассмотрим еще один, более сложный пример.

Пример 1. Деление последовательным вычитанием

Вычислим результат деления числа 108 на 27 методом последовательного вычитания.

Более действий не требуется. Мы получили ответ:

Отметим, что данный метод удобен только в случаях, когда необходимое количество последовательных вычитаний невелико. В остальных случаях целесообразно применять правила деления, которые мы рассмотрим ниже.

Деление равных натуральных чисел

Согласно свойствам натуральных чисел, сформулируем правило, как делить равные натуральные числа.

Деление равных натуральных чисел

Частное от деления натурального числа на равное ему натуральное число равно единице!

Деление на единицу

Основываясь на свойствах натуральных чисел, можно также сформулировать правило деление натурального числа на единицу.

Деление натурального числа на единицу

Частное от деления любого натурального числа на единицу равно самому делимому числу.

Деление с помощью таблицы умножения

С помощью таблицы умножения можно проводить деление любого числа на желтом фоне на любое однозначное натуральное число. Покажем, как это делать. Есть два способа, применение которых мы будем рассматривать на примерах.

Настоятельно рекомендуем выучить таблицу умножения!

Деление на 10, 100, 1000 и т.д.

Деление на 10, 100, 1000 и т.д.

Отбрасывается столько нулей, сколько из есть в записи делителя!

Представление делимого в виде произведения

При делении натуральных чисел не стоит забывать о свойстве деления произведения двух чисел на натуральное число. Иногда делимое можно представить в виде произведения, один из множителей в котором делится на делитель.

Рассмотрим типичные случаи.

Пример 2. Представление делимого в виде произведения

Имеем: 30 ÷ 3 = 3 · 10 ÷ 3

Воспользовавшись свойством деления произведения двух чисел, получаем:

3 · 10 ÷ 3 = 3 ÷ 3 · 10 = 1 · 10 = 10

Приведем еще несколько аналогичных примеров.

Пример 3. Представление делимого в виде произведения

7200 ÷ 72 = 72 · 100 ÷ 72 = 72 ÷ 72 ÷ 100 = 100

1600000 = 160 · 10000

1600000 ÷ 160 = 160 · 10000 ÷ 160 = 160 ÷ 160 · 10000 = 10000

В более сложных примерах удобно пользоваться таблицей умножения. Проиллюстрируем это.

Пример 5. Представление делимого в виде произведения

Теперь закончим деление:

5400 ÷ 9 = 54 · 100 ÷ 9 = 54 ÷ 9 · 100 = 6 · 100 = 600

Для закрепления данного материала рассмотрим еще один пример, уже без подробных словесных пояснений.

Пример 6. Представление делимого в виде произведения

120 ÷ 4 = 12 · 10 ÷ 4 = 12 ÷ 4 · 10 = 3 · 10 = 30

Деление натуральных чисел, оканчивающихся на нуль

Как всегда, поясним это на примерах.

Пример 7. Деление натуральных чисел, оканчивающихся на 0

Используя свойство деления натурального числа на произведение, можно записать:

Деление на 10 мы уже разобрали в предыдущем пункте.

490 ÷ 10 ÷ 7 = 49 ÷ 7 = 7

Для закрепления разберем еще один, более сложный пример.

Пример 8. Деление натуральных чисел, оканчивающихся на 0

Возьмем числа 54000 и 5400 и разделим их.

Представим 5400 в виде 54 · 100 и запишем:

Теперь делимое 540 представляем в виде 54 · 10 и записываем:

540 ÷ 54 = 54 · 10 ÷ 54 = 54 ÷ 54 · 10 = 10

Подведем итог по изложенному в данном пункте.

Если в записях делимого и делителя справа присутствуют нули, то нужно избавиться от одинакового количества нулей как в делимом, так и в делителе. После этого выполнить деление получившихся чисел.

Метод подбора частного

Прежде чем рассматривать этот способ деления, введем некоторые условия.

Пример 9. Подбор частного

Начнем подбор частного.

27 · 1 = 27 27 · 2 = 54 27 · 3 = 81 27 · 4 = 108

Бинго! Частное найдено методом подбора:

Отметим, что в случаях, когда b · 10 > a частное также удобно находить методом последовательного вычитания.

Представление делимого в виде суммы

Результаты делений в скобках известны нам из проведенных ранее действий.

Рассмотрим еще несколько примеров, уже не комментируя каждое действие столь детально.

Пример 10. Деление натуральных чисел

2. Справа у делителя приписываем один нуль.

Равенство 60 ÷ 2 = 30 ещё пригодится нам в будущем.

Теперь находим частное:

31 · 10 = 310 ; 31 · 20 = 620 ; 31 · 30 = 930 ; 31 · 40 = 1240

31 · 1 = 31 ; 31 · 2 = 62 ; 31 · 3 = 93 ; 31 · 4 = 124 ; 31 · 5 = 155 ; 31 · 6 = 186 ; 31 · 7 = 217 ; 31 · 8 = 248

Постепенно увеличиваем сложность примеров.

Пример 12. Деление натуральных чисел

В данном случае описанный выше алгоритм нужно будет применить три раза. Не будем приводить все выкладки, просто укажем, в виде каких слагаемых будет представлен делитель. Вы можете проверить себя, и провести вычисления самостоятельно.

Казалось бы, мы рассмотрели практически все возможные способы деления натуральных чисел. На этом, тему можно считать закрытой. Однако, есть способ, который в ряде случаев позволяет провести деление быстрее и рациональнее.

Рассмотрим его напоследок.

Представление делимого в виде разности натуральных чисел

Иногда делимое проще и удобнее представлять в виде разности, а не суммы. Это может значительно ускорить и облегчить процесс деления. Как именно? Покажем на примере.

Пример 13. Деление натуральных чисел

Если воспользоваться алгоритмом из предыдущего пункта, мы получим в результате:

Результат тот же, но действия объективно легче и проще.

Решим еще один пример тем же методом. Отметим, что важно уметь правильно заметить, какую манипуляцию сделать с числами, чтобы провести деление легко. Скажем даже, что в этом присутствует некоторый элемент искусства.

Пример 14. Деление натуральных чисел

490 ÷ 7 = 70 7 ÷ 7 = 1

Проверка результата деления

Проверка никогда не бывает лишней, особенно, если мы делили большие числа. Как проверять, правильно ли выполнено деление натуральных чисел? При помощи умножения!

Проверка результата деления

Чтобы проверить правильно ли выполнено деление, нужно частное умножить на делитель. В результате должно получится делимое.

Если выходит иначе, можно сделать вывод о том, что где-то закралась ошибка.

Смысл этого действия очень прост. Например, у нас было a предметов, и эти a предметов мы разложили на b кучек. В каждой кучке оказалось по с предметов. Математически это выглядит так:

Рассмотрим проведение проверки на двух примерах.

Пример 15. Проверка результата деления натуральных чисел

Умножим частное 25 на делитель 19 и выясним, верно ли разделили числа.

Число 475 равно делимому, значит, деление выполнено верно.

Разделите и проверьте результат:

Будем представлять делимое в виде суммы слагаемых и осуществлять деление.

Вывод: деление выполнено верно.

Проверка результата деления чисел делением

Рассмотренный выше способ проверки основан на умножении. Существует также проверка делением. Как ее проводить?

Проверка результата деления

Чтобы проверить верно ли найдено частное, нужно делимое разделить на полученное частное. В результате должен получится делитель.

Если выходит иначе, можно сделать вывод о том, что где-то закралась ошибка.

Правило основано на той же связи между делимым, делителем и частным, что и правило из предыдущего пункта.

Пример 17. Проверка результата деления натуральных чисел

Верно ли равенство:

Разделим делимое на частное:

В результате получился делитель, значит, деление выполнено верно.

Представляя делимое в виде суммы, получаем:

Источник

Деление

Деление чисел довольно непростая операция как в освоении, так и в использовании. Рекомендуем набраться терпения, чтобы осилить этот урок до конца.

Что такое деление?

Деление это действие, позволяющее что-либо разделить.

Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного.

Делимое это то что делят;
Делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое.
Частное это собственно результат.

Пусть у нас имеются 4 яблока:

Разделим их поровну на двоих друзей. Тогда деление покажет сколько яблок достанется каждому. Нетрудно увидеть, что каждому достанется по два яблока:

Процесс деления четырех яблок на двоих друзей можно описáть следующим выражением:

В этом примере роль делимого играют яблоки. Роль делителя играют двое друзей, показывающих на сколько частей нужно разделить 4 яблока. Роль частного играют два яблока, показывающие сколько досталось каждому.

Знак деления выглядит в виде двоеточия : но также можно встретить знак двоеточия и тире ÷

На письме разумнее использовать двоеточие, поскольку оно выглядит аккуратнее.

Деление с остатком

Остаток — это то что осталось от действия деления неразделённым.

Например, пять разделить на два будет два и один в остатке:

5 : 2 = 2 (1 в остатке)

Можно проверить это умножением:

Допустим, имеются пять яблок:

Разделим их поровну на двоих друзей. Но разделить поровну пять целых яблок не полýчится. Тогда данное деление покажет, что каждому достанется два яблока, а одно яблоко будет в остатке:

Деление уголком

Когда требуется разделить большое число, то прибегают к такому методу как деление уголком.

Прежде чем делить уголком, человек должен знать:

Это простой пример. Все знают, что девять разделить на три будет три. Ответ (частное) записывается под правым углом:

Пример 2. Найти значение выражения 8 : 3

Восемь на три просто-так не разделится. Таблица умножения тоже не поможет. В данном случае будет присутствовать остаток от деления.

Сначала запишем данное выражение уголком:

Теперь надо задать вопрос: «сколько троек в восьмёрке?» В восьмёрке содержится две тройки. Это можно увидеть даже воочию, если мы представим восьмёрку как восемь палочек:

Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (2 на 3) и записываем полученное число под делимым:

Далее из 8 вычитаем 6. Полученное число и будет остатком:

8 : 3 = 2 (2 в остатке)

Проверка:

(2 × 3) + 2 = 6 + 2 = 8

Деление многозначного числа на однозначное

Данная тема с первого раза может показаться непонятной. Не спешите отчаиваться и забрасывать обучение. Понимание придёт в любом случае. Если не сразу, то немного позже. Главное не сдаваться и продолжать упорно изучать.

В предыдущих примерах мы делили однозначное число на однозначное, и это не доставляло нам лишних проблем. Сейчас мы займёмся тем, что будем делить многозначное число на однозначное.

Если непонятно, что такое однозначные и многозначные числа, советуем изучить предыдущий урок, который называется умножение.

Чтобы разделить многозначное число на однозначное, нужно сначала посмотреть на первую цифру этого многозначного числа, и проверить больше ли она делителя. Если больше, то её надо разделить на делитель, а если нет, то проверить больше ли делителя первые две цифры многозначного числа. Если первые две цифры больше делителя, то надо разделить их на делитель, а если нет, то проверить больше ли первые три цифры многозначного числа. И так до тех пор, пока не будет выполнено первое деление.

Сложно? Ни чуть, если мы разберём несколько примеров.

Пример 1. Найти значение выражения 25 : 3

25 это многозначное число, а 3 — однозначное. Применяем правило. Смóтрим на первую цифру многозначного числа. Первая цифра это 2. Два больше, чем три? Нет. Поэтому смóтрим первые две цифры многозначного числа. Первые две цифры образуют число 25. Двадцать пять больше чем три? Да. Поэтому выполняем деление числа 25 на 3. Записываем уголком данное выражение и начинаем делить:

Сколько троек в числе 25? Если с первого раза ответить сложно, можно заглянуть в таблицу умножения на три. Там необходимо отыскать произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Если найдём такое произведение, то необходимо забрать оттуда множитель, который дал такое произведение:

Это таблица умножения на три. В ней необходимо найти произведение, которое меньше 25, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, что это произведение 24, которое выделено синим. Из этого выражения необходимо забрать множитель, который дал такое произведение. Это множитель 8, который закрашен красным.

Данная восьмёрка и отвечает на вопрос сколько троек в числе 25. Записываем её в правом уголке нашего примера:

Теперь вынимаем остаток. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 3) и полученное число записываем под делимым:

Теперь из делимого вычитаем число 24, получим 1. Это и будет остатком:

25 : 3 = 8 (1 в остатке)

Проверка:

(8 × 3) + 1 = 24 + 1 = 25

Последний остаток всегда меньше делителя. Если последний остаток больше делителя это означает, что деление не завершено.

В приведённом примере последним остатком было число 1, а делителем число 3. Единица меньше чем три, поэтому деление завершено. Последний остаток мéньший делителя говорит о том, что он не содержит чисел равных делителю.

Пример 2. Разделить 326 на 4.

Смóтрим на первую цифру числа 326. Первая цифра это 3. Она больше делителя 4? Нет. Тогда проверяем две цифры делимого. Две цифры делимого образуют число 32. Больше ли оно делителя 4? Да. Значит можно выполнять деление.

Записываем уголком данное выражение:

Данная восьмёрка, которая выделена красным отвечает на вопрос сколько четвёрок в числе 32. Записываем её в правом уголке нашего примера:

Теперь умножаем 8 на 4, получаем 32 и записываем это число под делимым. Далее вычитаем это число из 32. Получим 0. Поскольку решение ещё не завершено, ноль не записываем:

Первое число 32 разделили. Осталось разделить оставшуюся 6. Для этого сносим эту шестёрку:

Теперь делим 6 на 4. Для этого задаём вопрос: «сколько четвёрок в шестёрке?» В шестёрке одна четвёрка, это можно увидеть воочию, если представить шестёрку как шесть палочек:

Записываем единицу в правом уголке нашего ответа:

Теперь умножаем нашу единицу на делитель (1 на 4) и записываем полученное число под шестёркой:

Затем из 6 вычитаем 4, получаем число 2, которое является остатком:

Получили 326 : 4 = 81 (2 в остатке)

Проверка: (81 × 4) + 2 = 324 + 2 = 326

Процедура, в которой мы ищем первое число для деления, сравнивая больше ли оно делителя или меньше, называется нахождением первого неполного делимого.

Пример 3. Найти значение выражения 384 : 5

Записываем данное выражение в уголком:

Сначала находим первое неполное делимое. Первая цифра меньше делителя, поэтому проверяем две цифры. Две цифры вместе образуют число 38, которое больше делителя. Это число будет первым неполным делимым. Его и будем в первую очередь делить на делитель:

Сколько пятёрок в числе 38? Если сразу ответить сложно, то можно посмотреть в таблицу умножения на пять и найти произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Найдя такое произведение, нужно забрать оттуда множитель, который будет отвечать на наш вопрос:

Это таблица умножения на пять. Находим произведение, которое меньше 38, но очень близко к нему или равно ему. Очевидно, что это произведение 35, которое выделено синим. Из этого выражения забираем множитель, который дал такое произведение. Это множитель 7, который выделен красным.

Данная семёрка отвечает на вопрос сколько пятёрок в числе 38. Записываем эту семёрку в правом уголке нашего примера:

Умножаем 7 на 5, получаем 35 и записываем его под 38:

Теперь из 38 вычитаем 35, получим 3:

Эта тройка является остатком, которая осталась неразделённой в результате деления 38 на 5. Но видно, что ещё надо разделить и 4. Эту 4 мы снесём и разделим вместе с тройкой:

Видно, что в таблице умножения на пять число 30 меньше нашего 34, но близко к нему. Из этого выражения забираем множитель 6, который отвечает на наш вопрос. Записываем эту шестёрку в правом уголке нашего примера:

Теперь умножаем 6 на 5, получаем 30 и записываем это число под 34:

Теперь из 34 вычитаем 30, получаем 4. Эта четвёрка будет остатком от деления 384 на 5

384 : 5 = 76 (и 4 в остатке)

Проверка:

(76 × 5) + 4 = 380 + 4 = 384

Пример 4. Найти значение выражения 8642 : 4

Этот пример немного посложнее. Записываем уголком данное выражение:

Первая цифра 8 больше делителя. Эта восьмёрка будет первым неполным делимым. Делим 8 на 4, получаем 2

Теперь умножаем 2 на 4, получаем 8. Записываем эту восьмёрку под первым неполным делимым:

Далее сносим цифру 6 и делим её на делитель, получаем 1

Умножаем 1 на 4, получаем 4. Записываем эту четвёрку под снесённой шестёркой. Затем вынимаем остаток, отняв от шести четыре:

Получили остаток 2. Это остаток, который остался от деления 6 на 4.

Теперь сносим следующую цифру из делимого. Это цифра 4. Эта четвёрка вместе с предыдущим остатком 2 образует число 24. Его делим на делитель. Получим 6

Умножаем 6 на 4, получаем 24. Записываем это число под 24

Поэтому два разделить на четыре это ноль:

Умножаем 0 на 4, получаем 0. Пишем этот 0 под двойкой:

8642 : 4 = 2160 (2 в остатке)

Проверка: (2160 × 4) + 2 = 8640 + 2 = 8642

Деление чисел, у которых на конце 0

Чтобы разделить число, у которого на конце ноль, нужно временно отбросить этот ноль, выполнить обычное деление, и дописать этот ноль в ответе.

Например, разделим 120 : 3

Сколько троек в числе 120? Чтобы ответить на этот вопрос, временно отбрасываем ноль на конце у 120 и делим 12 на 3, получаем 4. И дописываем этот ноль в частном. В итоге получаем 40:

Проверка 40 × 3 = 120.

Такие простые примеры не нуждаются в том, чтобы их решали уголком. Достаточно знать таблицу умножения. Далее просто дописывать нули на конце. Например:

12 : 3 = 4 (делимое без нулей на конце)

120 : 3 = 40 (здесь у делимого один ноль)

1200 : 3 = 400 (здесь у делимого два нуля)

12000 : 3 = 4000 (здесь у делимого три нуля)

В этом способе есть небольшой подвох. Если вы заметили, деля такие числа, мы ссылаемся на таблицу умножения. А представьте, что надо разделить 400 на 5.

Можно рассуждать по старому — отбросить временно все нули и разделить обычные числа. А что будет если отбросить все нули в числе 400? Мы обнаружим, что делим 4 на 5, что недопустимо. В этом случае, надо отбрасывать только один ноль, и делить 40 на 5, а не 4 на 5

Завершаем этот пример, как обычно умножая частное на делитель, и выводя остаток:

Этот способ работает только в том случае, если удаётся гладко применить таблицу умножения. В остальных случаях, придётся искать обходные пути, вычисляя уголком или собирая частное подобно детскому конструктору.

Например, найдём значение выражения 1400 : 5. Здесь отбрасывание нулей нам ничего не даст. Этот пример надо решать уголком или собрать ответ, подобно конструктору. Давайте рассмотрим второй способ.

Что такое 1400? Вспоминаем разряды чисел. 1400 это одна тысяча и четыре сотни:

Можно по-отдельности разделить 1000 на 5 и 400 на 5:

1000 : 5 = 200

400 : 5 = 80

и сложить полученные результаты:

200 + 80 = 280

Итого: 1400 : 5 = 280

Решим этот же пример уголком:

Деление многозначного числа на многозначное

Здесь придётся хорошенько напрячь свой мозговой аппарат и выжать из него по максимуму, потому что разделить многозначное число на многозначное не так-то просто.

Принцип деления остаётся тем же что и раньше. Здесь так же надо находить первое неполное делимое. Здесь так же могут присутствовать остатки от деления.

Для начала введём новое понятие — круглое число. Круглым будем называть число, которое оканчивается нулём. Например, следующие числа являются круглыми:

10, 20, 30, 500, 600, 1000, 13000

Любое число можно превратить в круглое. Для этого первые цифры, образующие старший разряд, оставляют без изменений, а остальные цифры заменяют нулями.

Например, превратим число 19 в круглое число. Первая цифра этого числа 1 образует старший разряд (разряд десятков) — эту цифру оставляем как есть, а оставшуюся 9 заменяем на ноль. В итоге получаем 10

Ещё пример. Превратим число 125 в круглое число. Первая цифра 1 образует старший разряд (разряд сотен) — эту цифру оставляем без изменений, а оставшиеся цифры 25 заменяем нулями. В итоге получаем 100.

Ещё пример. Превратим число 2431 в круглое число. Первая цифра 2 образует старший разряд (разряд тысяч) — эту цифру оставляем без изменений, а остальные цифры 431 заменяем нулями. В итоге получаем 2000.

Ещё пример. Превратим число 13 735 в круглое число. Первые две цифры 13 образуют старший разряд (разряд десятков тысяч) — эти две цифры оставляем без изменений, а остальные цифры 735 заменяем нулями. В итоге получаем 13 000.

Возвращаемся к делению многозначных чисел на многозначные. Сложность деления таких чисел заключается в том, что частное надо находить методом подбора. Для этого прибегают к различным техникам, например, превращают делимое и делитель в круглые числа.

Пример 1. Найти значение выражения 88 : 12

Записываем данное выражение уголком:

Задаём вопрос сколько чисел 12 в числе 88? С первого раза ответить сложно. Придётся рассуждать.

Давайте попробуем угадать частное. К сожалению, его просто так с неба взять нельзя. Это частное должно быть таким, чтобы при его умножении на делитель, получалось число, которое меньше делимого, но очень близко к нему или равно ему.

Давайте предположим, что частное равно 2. Умножаем это частное на делитель 12

Что это нам дало? Полученное число меньше делимого, но близко к нему? Нет. Оно конечно же меньше делимого 88, но очень далеко от него. Значит двойка как частное не подходит.

Пробуем следующее число. Допустим частное равно 5

Полученное число конечно меньше, но оно не близко к делимому 88. Значит пятёрка как частное тоже не подходит.

Попробуем сразу взять по 8

На этот раз полученное число превзошло делимое. А оно должно быть меньше делимого, но очень близким к нему или равным ему. Значит восьмёрка как частное тоже не подходит Попробуем тогда взять по 7

Наконец-то нашли подходящее частное! Умножив частное 7 на делитель 12, мы получили 84, которое меньше делимого, но близко к нему. Теперь находим остаток от деления. Для этого из 88 вычитаем 84, получаем 4.

88 : 12 = 7 (4 в остатке)

Проверка: (12 × 7) + 4 = 84 + 4 = 88

Как видно из примера, на подбор частного уходит драгоценное время. Если мы будем сидеть на контрольной или на экзамене, где каждая минута очень дорогá, этот метод нам явно не поможет.

Чтобы сэкономить время, можно делимое и делитель превратить в круглые числа, а затем осуществить деление этих круглых чисел. Делить круглые числа намного проще и удобнее.

Например, чтобы разделить 90 на 10, достаточно отбросить нули у обоих чисел и разделить 9 на 1. В итоге получим 90 : 10 = 9.

Количество отбрасываемых нулей должно быть строго одинаковым. К примеру, если мы делим 900 на 90, то отбрасываем по нулю от каждого числа, поскольку у числа 900 два нуля, а у 90 только один. Отбросив по нулю от каждого числа, мы получим выражение 90 : 9 = 10. В итоге получаем 900 : 90 = 10.

В делении круглых чисел также нет ничего сложного. Постарайтесь понять это. Если непонятно, изучите этот момент несколько раз. Это очень важно.

Ниже приведено несколько примеров, где делятся круглые числа. Отбрасываемые нули закрашены серым цветом:

80 0 : 1 0 = 80 (отбросили по нулю и разделили 80 на 1, получили 80)

80 0 : 8 0 = 10 (отбросили по нулю и разделил 80 на 8, получили 10)

90 0 : 1 0 = 90 (отбросили по нулю и разделили 90 на 1, получили 90)

40 0 : 5 0 = 8 (отбросили по нулю и разделили 40 на 5, получили 8)

32 0 : 8 0 = 4 (отбросили по нулю и разделили 32 на 8, получили 4)

Заметно, что всё в конечном итоге свóдится к таблице умножения. Именно поэтому в школе требуют знать её наизусть. Мы тоже этого требуем, хоть и не принуждаем.

Теперь давайте решим предыдущий пример 88 : 12 где мы бились, находя частное методом угадывания.

Для начала превращаем делимое и делитель в круглые числа.

Круглым числом для 88 будет число 80.

А круглым числом для 12 будет число 10.

Теперь делим полученные круглые числа:

80 разделить 10 будет 8. Эту восьмёрку мы пишем в частном:

Теперь проверяем, верно ли подобралось частное. Для этого умножаем частное на делитель (8 на 12). Восьмёрку как частное мы уже проверяли, когда решали этот пример методом угадывания. Она нам не подошла, поскольку после её умножения на делитель, получилось число 96, которое больше делимого. Зато подошло частное 7, которое меньше восьмёрки всего-лишь на единицу.

Отсюда можно сделать вывод, что в выражении 88 : 12 частное, полученное путём превращения делимого и делителя в круглые числа, больше лишь на единицу. Наша с вами задача уменьшить это частное на единицу.

Так и сделаем — уменьшим 8 на единицу: 8 − 1 = 7. Семёрка это частное. Записываем её в правом уголке нашего примера:

Как видно, этим способом мы решили этот пример намного быстрее.

Пример 2. Найти значение выражения 1296 : 144

Записываем уголком данное выражение. Сразу же находим первое неполное делимое. Его образуют все четыре цифры делимого:

Это деление многозначного числа на многозначное. Давайте применим только что изученный метод. Превратим делимое и делитель в круглые числа, а затем разделим их.

Для делимого 1296 круглым числом будет 1000. А для делителя 144 круглым числом будет 100.

Делим 1000 на 100, получим 10. Проверим полученную десятку, умножив её на делитель 144

Десятка не подходит, поскольку при умножении получается число, которое больше делимого.

Попробуем взять по 9, уменьшив десятку на единицу.

Проверяем девятку. Для этого умножаем её на делитель:

Красота! Полученное число оказалось не только ближе к делимому, но и равным ему. Это значит, что деление выполнилось без остатка. Завершаем данный пример, вычитая из 1296 полученное число 1296

1296 : 144 = 9

Проверка: 144 × 9 = 1296

Пример 3. Попробуем решить большой и сложный пример 227 492 : 331

Записываем уголком данное выражение. Сразу же определяем первое неполное делимое. Его образуют первые четыре цифры делимого 2274. Значит сначала будем делить 2274 на 331. Их же превратим в круглые числа.

Для числа 2274 круглым числом будет 2000. А для 331 круглым числом будет 300

Получили 6. Проверим верно ли подобралась эта шестёрка. Для этого, умножим её на делитель 331:

Шестёрка подошла, потому что она отвечает на вопрос сколько чисел 331 в числе 2274. Если бы мы взяли по семь, то получилось бы следующее:

Если бы мы взяли по 7 и проверили эту семёрку, то получили бы 2317, которое больше делимого, а это недопустимо.

Продолжаем решать наш пример. Вычитаем из 2274 число 1986, получаем 288:

288 это остаток от деления 2274 на 331. Далее, чтобы продолжить деление, нужно снести девятку:

Теперь надо разделить 2889 на 331. Превращаем их в круглые числа и делим их. Сразу же проверяем полученное таким способом частное:

Умножив 6 на 331, мы снова получили 1986. Это число должно быть меньше делимого 2889, но близким к нему или равным ему. Но 1986 очень далеко от него. Значит шестёрка, как частное не подходит. Проверим тогда семёрку. Это первый случай, когда нам не помог второй способ, который экономил нам время. Дальнейшее решение придётся проводить методом угадывания частного:

Проверили семёрку. Снова получили число, которое далеко от делимого 2889. Значит семёрка тоже не подходит. Проверим восьмёрку:

Восьмёрка подошла. Она отвечает на вопрос сколько чисел 331 в числе 2889. Если бы мы взяли по девять, то при умножении на делитель, получили бы число 2979, а это уже больше делимого 2889.

Теперь вынимаем остаток от деления 2889 на 331. Для этого от 2889 вычитаем 2648 и получаем 241

241 это остаток от деления 2889 на 331. Чтобы продолжить деление, нужно снести 2 из главного делимого:

Теперь делим 2412 на 331. Возьмём по 7

Теперь находим последний остаток. Для этого из 2412 вычитаем 2317, получаем 95. На этом пример завершается:

227 492 : 331 = 687 (95 в остатке)

Проверка: (331 × 687) + 95= 227 397 + 95 = 227 492

На этом данный урок можно завершить. Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь делить числа уголком. Этот навык нарабатывается со временем в сочетании с интенсивными тренировками. Ошибки дело не страшное. Самое главное — понимать.

Отметим, что в данном уроке рассмотрено только деление с остатком. Деление без остатка мы рассмотрим в следующих уроках. Сделано это с целью не усложнять обучение. Как говорится, всему своё время.

Источник