Что такое базис кристаллической решетки

Что такое базис кристаллической решетки

Одним из основных представлений, связанных со структурой кристаллов, является понятие об элементарной ячейке. В общем случае элементарную ячейку можно представить, как минимальный объём кристалла, параллельные переносы (трансляции) которого в трёх измерениях позволяют построить всю кристаллическую решётку.

Закономерности строения элементарной ячейки, в частности степень их симметричности определяет многие свойства кристалла, в первую очередь электрические, магнитные и механические. Элементарная ячейка может содержать как один, так и несколько атомов. Так у многих металлов, например железа, хрома, меди, серебра, она состоит из одного атома. В тех случаях когда, кристалл состоит из нескольких химических элементов, например, натрия и хлора, элементарная ячейка будет содержать два атома: натрий и хлор. Широко распространены кристаллы с элементарной ячейкой, состоящей из нескольких сцепленных друг с другом молекулярных групп, например кристаллы льда или же многих магнитных материалов. Существуют кристаллы, например, белковые, элементарная ячейка которых состоит из молекул, содержащих несколько тысяч атомов.

Каждый узел, находящийся в вершине элементарной ячейки, принадлежит еще восьми соседним элементарным ячейкам. Поскольку всего узлов (или вершин параллелепипеда) восемь, то ( ) и на примитивную элементарную ячейку приходится всего один узел.

Казалось бы, что выбор элементарной ячейки произволен. На рис. 1.6 все три плоские ячейки примитивны. Хотя трансляции в двух из них и не являются кратчайшими, но любая из них воспроизводит при переносе параллельно самой себе в двух направлениях всю «структуру кристалла». Однако Бравэ были сформулированы 3 правила выбора элементарных ячеек, выполняемые в указанной ниже последовательности.

1. Симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла.

2. Элементарная ячейка должна иметь максимальное число равных ребер и равных углов.

3. При условии выполнения двух первых правил элементарная ячейка должна иметь минимальный объем.

При выполнении этих правил элементарная ячейка, в отличие от примитивной, кроме узлов в вершинах, может иметь дополнительные узлы.

Рис. 1.5. Элементарная ячейка

Рис. 1.6. Различные способы выбора элементарных ячеек

Совокупность координат всех узлов, приходящихся на элементарную ячейку, часто называют ее базисом. Сложную ячейку обычно выбирают так, чтобы узлы находились либо в центрах граней, либо в центре объема. Поэтому принята система наиболее распространенных видов сложных ячеек.

Приведем примеры сложных элементарных ячеек в узлах которых находятся атомы одного сорта.

Источник

Параметры решетки, базис, координационное число

В общем случае элементарная ячейка кристаллической решетки представляет собой наклонный параллелепипед (рис. 8).

Если поместить начало координат в одну из вершин ячейки, то расстояния а,b,c до ближайших вершин и углы a, b, g между координатными осями называют параметрами кристаллической решетки.

Базис решетки- это число атомов, приходящихся на однуэлементарную ячейку.

В гексагональной плотноупакованной ячейке 17 атомов. На ГПУ ячейку

Кристаллическая решетка характеризуется также координационным числом К, которое показывает число атомов, расположенных на ближайшем одинаковом расстоянии от любого атома. Для ОЦК решетки К = 8, для ГЦК и ГПУ решеток К = 12. Чем выше координационное число, тем большая плотность упаковки атомов в ячейке.

1.4 Плотность упаковки атомов в решетке

При моделировании кристаллической решетки в виде соприкасающихся шаровмежду ними образуются пустоты.

Индексация плоскостей и направлений

В кристаллической решетке

Индексация плоскостей

Для обозначения плоскостей и направлений в кристаллической решетке используют индексы, связанные с координатными осями [3].

Положение плоскости определяется отрезками, отсекаемыми ею на координатных осях. За единицу измерения вдоль каждой оси принимают параметр ( период ) решетки в направлении данной оси. Чтобы не иметь дело с бесконечностями, а также дробными числами, используют величины, обратные отрезкам, отсекаемым плоскостью на координатных осях, причем отношениеэтих величин приводят к отношению трех наименьших целых чисел. Совокупность таких чисел ( h,k,l ), заключенная в круглые скобки, называется индексами Миллера.

Индексы плоскости отыскиваются следующим образом. Определяются отрезки А, В и С, которые этой плоскостью отсекаются на осях координат.

Записываются величины, обратные отсекаемым отрезкам, например: 1/А, 1/В,1/С. Полученные дроби приводят к общему знаменателю, например,

это будет число D. Целые числа h = D / А, k = D / В, l = D / С и являются индексами данной плоскости.

Определим, например, индексы плоскости, которая отсекает на осях координат отрезки А = , В = 2 и С = . Отношения : : =

= . Общий знаменатель D = 2.

плоскости являются величины h = , k = , l = .

Обозначение плоскости (416).

Примеры индексации плоскостей в кубической решетке показаны на рис. 10, а

в гексагональной плотноупакованной решетке – на рис. 11.

Непараллельные плоскости, имеющие одинаковое атомное строение (количество атомов и их расположение), кристаллографически эквивалентны.

Всю совокупность эквивалентных плоскостей обозначают индексом какой-либо одной плоскости, заключенным в фигурные скобки. Например, плоскости 100, 010, 001, 100, 010, 001. Их обозначают индексом одной какой-либо плоскости и заключают в фигурные скобки как семейство плоскостей <100>или <001>. Другой пример, семейство <111>. Это плоскости 111, 111,111, 111 и др. Если плоскость проходит через начало координат, то для удобства ее

индексации начало координат следует перенести в какую-либо соседнюю вершину элементарной ячейки.

Индексация направлений

Ориентация прямой определяется координатами двух ее точек. Если выбрать из семейства прямых ту, которая проходит через начало координат, или перенести прямую параллельно самой себе так, чтобы она прошла через

начало координат, то направление прямой определится координатами только второй ее точки.

Примеры обозначения направлений в кубической и гексагональной плотноупакованной ( ГПУ) решетке показаны на рис. 12 и 13.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Источник

Способы описания сложных кристаллических структур

Кристаллическая структура полупроводников может быть представлена одним из следующих способов описания:

— решеткой Бравэ и базисом;

— в терминах плотнейших упаковок.

Описание кристаллической структуры графически.Элементарная ячейка представляет собой минимальную часть кристалла, в которой сосредоточены все его свойства. Чтобы это было так, необходимо, чтобы сингония элементарной ячейки была не ниже, чем сингония кристалла. Ячейку выбирают так, чтобы у нее было возможно больше прямых углов и равных параметров.

Изображение элементарной ячейки делают в той системе координат, которая соответствует ее симметрии (сингонии). Начало координат помещают в один из узлов ячейки, а оси направляют по ребрам.

Описание кристаллической структуры решеткой Бравэ и базисом.Под базисом следует понимать минимальное число атомов или ионов (один, два, группу атомов), связанных с каждым узлом решетки Бравэ, транслируя которые можно воспроизвести всю сложную кристаллическую решетку. Базис задается координатами входящих в него атомов при условии, что начало координат совпадает с узлом решетки. Таким образом, в базис всегда входит атом с координатами |[0,0,0]|. Обязательно указывать тип решетки Бравэ, которая лежит в основе сложной структуры. Если структура состоит из разнородных материальных частиц, то следует указать, какие атомы (ионы) входят в базис и их координаты.

Этот способ пригоден для описания сложных кристаллических структур, образованных как однотипными атомами, например структура типа алмаза (германия, кремния), так и структур химических соединений, например хлористого цезия, хлористого натрия, сульфида цинка (цинковой обманки), флюорита и т.д.

Описание структуры этим способом может быть выполнено словесно или в виде условной записи. Так, анализируя структуру хлористого цезия, можно увидеть простую кубическую (ПК) решетку Бравэ, образованную ионами хлора. С каждым узлом этой решетки связан ион цезия с координатами |[1/2,1/2,1/2]|.

Краткая запись: ПК Cl – |[0,0,0]| ПК Сs + |[1/2,1/2,1/2]|.

Описание кристаллической структуры с помощью взаимопроникающих подрешеток.Пользуясь лабораторными моделями кристаллических структур, нужно постараться увидеть взаимопроникающие подрешетки, которые как бы вставлены друг в друга и смещены в некотором направлении на определенное расстояние. Такими подрешетками могут быть как решетки Бравэ, так и более сложные. Подрешетки могут состоять как из атомов одного сорта, например в структуре алмаза, так и из атомов разных сортов.

В большинстве случаев более крупные материальные частицы (атомы, ионы) укладываются в плотнейшиеупаковки, а более мелкие заполняют все или часть тетраэдрических или октаэдрических пустот.

При описании сложной структуры в терминах плотнейших упаковок указывают: тип плотнейшей упаковки (ГЦК или ГПУ), какими атомами она образована, вид и количество заполненных пустот, а также атомы, заполняющие эти пустоты.

Структура хлористого цезия не имеет плотнейшей упаковки, поэтому данным способом не описывается. Удобно давать описание в терминах плотнейших упаковок структурам типа алмаза, сфалерита, вюртцита, флюорита и другим.

3.4. Кристаллохимический анализ типичных
структур полупроводников

Структурный тип алмаза.К данному структурному типу относятся полупроводники: Si, Ge, a-Sn (рис.3.14).

Рис.3.14. Элементарная ячейка структуры типа алмаза

ГЦК плотнейшая упаковка, образованная атомами Si, четыре тетраэдрические пустоты которой заняты атомами Si.

Структурный тип сфалерита. В структурном типе ZnS(цинковой обманки) кристаллизуются соединения типа A III B V (рис.3.15).

Рис.3.15. Элементарная ячейка структуры типа сфалерита

ГЦК плотнейшая упаковка, образованная атомами S, четыре тетраэдрические пустоты
которой заняты атомами Zn.

Структурный тип вюртцита. Гексагональная модификация ZnS. Этой структурой обладают соединения A II B VI (рис. 3.16).

Рис.3.16. Элементарная ячейка структуры типа вюртцита

ГПУ плотнейшая упаковка, образованная атомами S, в двух тетраэдрических пустотах которой находятся атомы Zn.

Структурный тип поваренной соли.Структурой типа NaCl обладают соединения из группы A IV B VI : PbS, PbSe, PbTe (рис.3.17).

Рис.3.17. Элементарная ячейка структуры типа поваренной соли

ГЦК плотнейшая упаковка, образованная атомами Cl, все октаэдрические пустоты которой заняты атомами Na.

Структурный тип флюорита. Структурой типа флюорита обладают соединения CaF₂, BaF₂ (рис.3.18).

Рис.3.18. Элементарная ячейка структуры типа флюорита

ГЦК Ca |[0,0,0]|
ГЦК F |[1/4,1/4,1/4]|
ГЦК F |[3/4,3/4,3/4]|

ГЦК плотнейшая упаковка, образованная атомами Ca, все тетраэдрические пустоты которой заняты атомами F.

Пример решения варианта контрольной работы

1. Указать соединение со структурой типа NaCl.

2. Изобразить элементарную ячейку структуры CdSe.

3. Определить число атомов в элементарной ячейке α-Sn.

4. Определить координационное число в структуре GaP.

5. Описать структуру ZnS(в.) в терминах плотнейших упаковок.

6. Указать решетку Бравэ и базис структуры Si.

7. Описать структуру PbTe взаимопроникающими подрешетками.

8. Определить ретикулярную плотность атомов в плоскости в структуре InSb.

9. Определить ретикулярную плотность атомов в направлении [110] в структуре CaF₂.

Задание 1. Структуру типа NaCl имеют полупроводниковые соединения: PbS, PbSe, PbTe.

Задание 2. Элементарная ячейка структуры CdSe :

Задание 3. α-Sn имеет структуру типа алмаза. Число структурных единиц в элементарной ячейке подсчитывается с учетом доли принадлежности каждого атома данной ячейке (атомы в вершинах принадлежат на 1/8, в серединах граней на 1/2, внутри целиком):

Задание 5. Плотнейшая упаковка типа ГПУ, образованная атомамиS, в двух из четырех тетраэдрических пустотах которой находятся атомы Zn.

Задание 7. PbTe имеет структуру типа NaCl. Взаимопроникающие ГЦК подрешетки образованы атомами Pb и Te:

Задание 8. InSb относится к структурному типу сфалерита. Строим плоскость в пределах элементарной ячейки с кристаллографическими индексами .

Плоскость упакована атомами Sbследующим образом:

Ретикулярная плотность плоскости:

Задание 9. Ретикулярная плотность направления:

Выделяем направление в пределах элементарной ячейки CaF₂:

Источник

Кристаллическая решётка. Элементарная ячейка

Структура кристалла– это конкретное расположение частиц в пространстве (физическая реальность). Чтобы представить структуру кристалла, нужно знать относительные размеры частиц, расстояния между ними, силы связи ме­жду частицами, их взаимное расположение, повторяющее расположение частиц в пространстве (пространственную решётку), и законы симметрических преоб­разований.

Симметрия– основная особенность, характерная для структуры кристаллов. Теорию строения структуры кристаллов развил английский учёный Бравэ, основываясь на многих экспериментальных результатах других исследовате­лей. Положив в основу своей теории анизотропию и симметрию кристаллов, он пришёл к понятию о пространственной решётке.

Рис. 1.11.Пространственные решётки некоторых веществ

Рассмотрим простейший случай, когда одинаковые частицы расположены в кристалле параллельными бесконечными рядами. На 1 мм в кристалле находится порядка 10 7 частиц (рис. 1.12). Трансляция(период идентичности) –симметричное преобразование, при котором точка (частица) повторяется в пространстве. Её величина – кратчайшее из возможных расстояний между одина­ковыми точками в ряду.

Рис. 1.12.Линейная цепочка атомов

Если сдвинуть точки бесконечного ряда на один период идентичности вдоль направления трансляции, то ряд совместится сам с собой, его вид не на­рушится. Выбор основных трансляций в структуре кристалла очень важен, по­тому что ими определяются кристаллографические системы координат. В об­щем случае это косоугольные координаты с разными масштабными отрезками по осям (рис. 1.13).

Узлы ряда– одинаковые точки, связанные между собой величиной трансляции ав бесконечном ряду. При перенесении точек по трём направлениям на величину трансляций а, b, c можнополучить трёхмерную сетку.

Ячейки сетки– параллелограммы, вершины которых являются узлами.

Элементарная ячейка– параллелепипед с характерным для данной решётки расположением частиц, с помощью которого весь кристалл может быть построен путём его многократного повторения в трёх направлениях. Она стро­ится на трёх элементарных трансляциях а, b, с. Элементарную ячейку принято выбирать так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям: наилучшим об­разом отражала симметрию сетки, имела бы прямые углы и, если возможно, обладала бы наименьшим объёмом.

Примитивнойназывается элементарная ячейка, внутри которой нет узлов, частицы содержатся только в вершинах (рис. 1.13). Узлы решётки– вершины ячеек, в которых располагаются одинаковые атомы или группы атомов. Они эк­вивалентны друг другу.

Период (постоянная) кристаллической ячейки– расстояние между однородными атомами. Параметры элементарной ячейки: три ребра ячейки a, b, c; три угла между ними α, β, γ. Например, для представленной на рис. 1.13 примитивной ячейки, соотношения между параметрами следующие:

Рис. 1.13.Примитивная элементарная ячейка

Элементарные ячейки, составляющие кристаллическую решётку кристалла, имеют одинаковые форму и объём. Кристалл можно построить с помощью разных примитивных ячеек. В некоторых случаях удобно характеризовать про­странственную сетку не примитивной, а сложной элементарной ячейкой, у ко­торой узлы есть не только в вершинах, но и внутри ячейки. Элементарная ячей­ка может содержать несколько примитивных ячеек.

Элементарные ячейкиразличаются по элементам симметрии и степени заполнения атомами (рис. 1.14).

Рис. 1.14.Разные примитивные ячейки в плоской сетке

К элементам симметрииотносятся: трансляции, плоскости симметрии, зеркальные плоскости, оси симметрии разных порядков, инверсионные оси симметрии (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Элементы симметрии в кубическом кристалле

Кристаллические ячейки делятся по элементам симмет­рии на 7 сингоний:триклинная, моноклинная, ромбическая, ромбоэдрическая, гексагональная, тетрагональная, кубическая. Сингония в дословном переводе – сходноугольность. В сингонию объединяют кристаллы, у которых одинакова симметрия элементарных ячеек и одинаковая система координат.На рис. 1.16 показана тетрагональная ячейка.

Рис. 1.16. Кристаллическая ячейка тетрагональной сингонии

В каждой сингонии элементарные ячейки делятся по степени заполнения их атомами. Так на одну ячейку простой кубической ячейки имеет приходится 1 атом: n = (1/8)8 = 1; объёмноцентрированной кубической ячейки (ОЦК) – 2 атома: n = (1/8)8 + 1 = 2; гранецентрированной кубической ячейки (ГЦК) – 4 атома: n =(1/8)8 + (1/2)6 = 4 Рис. 1.17); гексагональной с плотной упаковкой (ГПУ) – 2 атома.

Рис. 1.17. Кристаллические ячейки

Кристаллическую решетку общего типа называют решеткой с базисом(БЦК). Решетка с базисом представляется в виде двух вставленных одна в другую подрешеток Бравэ, каждая из которых определяется трансляцион­ными векторами. Базисный вектор устанавливает смещение реше­ток друг относительно друга. Количество базисных векторов может быть сколь угодно большим.

Рис. 1.18.Решётки Браве

Все известные в природе кристаллические тела кристаллизуются в 14 ре­шётках Браве(рис. 1.18). Далее они делятся на 32 класса симметрии и 230 пространственных групп.

Некоторым телам свойственна не одна, а две или более кристаллических структур, устойчивых при различных температурах и давлениях. Такое явление называется полиморфизмом.Полиморфные формы (модификациивещества) имеют, например, углерод и олово. Углеродможет существовать в виде алмаза и графита. Алмаз очень прочный и твёрдый, графит – хрупкий. Элементарные ячейки алмаза и графита относятся к различным сингониям (рис. 1.19).

Рис. 1.19.Кристаллические решётки алмаза и графита

Оловоможет существовать в виде двух модификаций – серого и белого. Серое оловопри температурах ниже 13,3 °С. имеет решётку типа алмаза. При температурах выше 13,3 °С серое олово превращается в белое олово – очень хрупкое вещество, которое легко разрушается в порошок. Белое (металличе­ское) оловоимеет тетрагональную объёмноцентрированную решётку.

ИНДЕКСЫ МИЛЛЕРА

Для описания кристаллических многогранников и структур применяется метод индицирования.Через узлы кристаллической решетки можно провести прямые линии и плоскости. Выберем один из узлов решётки за начало координат.

Любой другой узел решётки определяется радиус–вектором:

Индексы узла– три простых числа [[mnp]], взятые в двойные квадратные или фигурные скобки (рис. 1.20). В системе параллельных прямых всегда можно выделить прямую линию (ряд), проходящую через начало координат. Тогда направление прямой линии определится двумя точками: началом координат и любым узлом ряда.

Индексы направления(прямой линии) – три простых числа [mnp], взятые в квадратные скобки. Эти числа характеризуют положение ближайшего узла, лежащего на прямой линии, проходящей через начало координат.

Рис. 1.20.Миллеровские индексы узлов

Проходящая сквозь узлы прямая, а также ребро кристаллического многогранника имеют наклон в выбранной системе координат. В целом плоские сет­ки в пространственной решётке и соответствующие им грани кристаллического многогранника имеют наклон в системе координат.

Пусть некоторая плоскость решётки пересекает все три оси координат, отсекая на них отрезки ma, nb, pc. Отношение чисел m:n:p характеризует наклон плоскости к осям координат. Серию отношений рациональных чисел m:n:p для всех параллельных плоско­стей можно заменить отношением взаимно простых чисел р:q:r. Числа р, q, r называются параметрами Вейса.

Миллеровские индексы плоскости– три простых числа (HKL), записанные в круглых скобках. Индексы плоскости – дополнительные множители к величинам, обратно пропорциональным числу осевых единиц, отсекаемых лю­бой плоскостью данного семейства на координатных осях Х, У, Z.

Миллеровские индексы опреде­ляются из соотношения чисел р:q:r.

Пусть некоторая плоскость отсекает на осях координат отрезки:

р =1, q = 3, c = 2 (рис. 1.21). Составим отношения:

Общий знаменатель равен 6. Дополнительные множители: H = 6, K = 2, L = 3.

Миллеровские индексы данной плоскости (623).

Рис.1.21. Индексы плоскости(623)

Межплоскостное расстояние– это расстояние между параллельными плоскостями, содержащими одинаковое количество атомов. Чем больше индексы H, K, L, тем меньше расстояние между плоскостями. Для кубического кристалла межплоскостное расстояние d для параллельных плоскостей с одинаковыми индексами выражаются через индексы этих плоскостей соотношением:

а– постоянная решётки.

В 1819 г. Гаюи сформулировал законцелых чисел(теперь закон Гаюи): для любых двух граней реального кристалла двойные отношения параметров равны отношению малых чисел. На кристаллографическом многограннике образуются лишь такие грани, для которых двойные отношения отрезков, отсекаемых данной гранью и еди­ничной гранью на трёх рёбрах кристалла, принятых за оси координат, равны отношению целых небольших простых чисел.

Грани, для которых отношение р:q:r является иррациональным, в реальном кристалле невозможны. Наклон всякой грани можно определить тремя целыми числами, если за оси координат выбрать направление трёх рёбер кристалла, а за параметры – отрезки, отсекае­мые на этих осях данной гранью.

Источник