Что сказал гаусс об арифметике
Исторический очерк о великом математике Карле Фридрихе Гауссе
Карл Фридрих Гаусс
Математик и историк математики Джереми Грей рассказывает Гауссе и его огромном вкладе в науку, о теории квадратичных форм, открытии Цереры, и неевклидову геометрию*
Портрет Гаусса Эдуарда Ритмюллера на террасе обсерватории Геттингена // Карл Фридрих Гаусс: Титан науки Г. Уолдо Даннингтона, Джереми Грея, Фриц-Эгберт Дохе
Карл Фридрих Гаусс был немецким математиком и астрономом. Он родился у бедных родителей в Брауншвейге в 1777 году и скончался в Геттингене в Германии в 1855 году, и к тому времени все, кто его знал, считали его одним из величайших математиков всех времен.
Изучение Гаусса
Как мы изучаем Карла Фридриха Гаусса? Ну, когда дело доходит до его ранней жизни, мы должны полагаться на семейные истории, которыми поделилась его мать, когда он стал знаменитым. Конечно, эти истории склонны к преувеличению, но его замечательный талант был заметен, уже когда Гаусс был в раннем подростковом возрасте. С тех пор у нас появляется все больше записей о его жизни.
Когда Гаусс вырос и стал замечен, у нас начали появляться письма о нем людьми, которые его знали, а также официальными отчетами разного рода. У нас также есть длинная биография его друга, написанная на основе бесед, которые они имели в конце жизни Гаусса. У нас есть его публикации, у нас очень много его писем к другим людям, и много материала он написал, но так и не опубликовал. И, наконец, у нас есть некрологи.
Ранняя жизнь и путь к математике
Отец Гаусса занимался различными делами, был рабочим, мастером строительной площадки и купеческим ассистентом. Его мать была умной, но едва грамотной, и посвятила всю себя Гауссу до самой своей смерти в возрасте 97 лет. Похоже, что Гаусс был замечен как одаренный ученик еще в школе, в одиннадцать лет, его отца убедили отправить его в местную академическую школу, вместо того, чтобы заставить его работать. В то время Герцог Брауншвейгский стремился модернизировать своё герцогство, и привлекал талантливых людей, которые бы помогли ему в этом. Когда Гауссу исполнилось пятнадцать, герцог привел его в коллегию Каролинум для получения им высшего образования, хотя к тому времени Гаусс уже самостоятельно изучил латынь и математику на уровне высшей школы. В возрасте восемнадцати лет он поступил в Геттингенский университет, а в двадцать один уже написал докторскую диссертацию.
Первоначально Гаусс собирался изучать филологию, приоритетный предмет в Германии того времени, но он также проводил обширные исследования по алгебраическому построению правильных многоугольников. В связи с тем, что вершины правильного многоугольника из N сторон задаются решением уравнения 
(что численно равно 
. Гаусс обнаружил, что при n = 17 уравнение факторизуется таким образом, что правильный 17-сторонний многоугольник может быть построен только по линейке и циркуля. Это был совершенно новый результат, греческие геометры не подозревали об этом, и открытие вызвало небольшую сенсацию — новости об этом даже были опубликованы в городской газете. Этот успех, который пришел, когда ему едва исполнилось девятнадцать, заставил его принять решение изучать математику.
Но то, что сделало его знаменитым, было два совершенно разных явления в 1801 году. Первым было издание его книги под названием «Арифметические рассуждения», которая полностью переписала теорию чисел и привела к тому, что она( теория чисел) стала, и до сих пор является, одним из центральных предметов математики. Она включает в себя теорию уравнений вида x ^ n — 1, являющейся одновременно очень оригинальной и в то же время легко воспринимаемой, а также гораздо более сложную теорию, называемую теорией квадратичной формой. Это уже привлекло внимание двух ведущих французских математиков, Джозефа Луи Лагранжа и Адриена Мари Лежандра, которые признали, что Гаусс ушел очень далеко за пределы всего того, что они делали.
Вторым важным событием было повторное открытие Гауссом первого известного астероида. Он был найден в 1800 году итальянским астрономом Джузеппе Пьяцци, который назвал его Церерой в честь римской богини земледелия. Он наблюдал ее в течение 41 ночи, прежде чем она исчезла за солнцем. Это было очень захватывающее открытие, и астрономы очень хотели знать, где он появится снова. Только Гаусс рассчитал это правильно, чего не сделал никто из профессионалов, и это сделало его имя как астронома, которым он и остался на многие годы вперед.
Поздняя жизнь и семья
Первая работа Гаусса была математиком в Геттингене, но после открытия Цереры, а затем и других астероидов он постепенно переключил свои интересы на астрономию, а в 1815 году стал директором Геттингенской обсерватории, и занимал эту должность почти до самой смерти. Он также оставался профессором математики в Геттингенском университете, но это, похоже, не требовало от него большого преподавания, а записи о его контактах с молодыми поколениями была довольно незначительной. Фактически, он, кажется, был отчужденной фигурой, более комфортной и общительной с астрономами, и немногими хорошими математиками в его жизни.
В 1820-х годах он руководил массированным исследованием северной Германии и южной Дании и в ходе этого переписывал теорию геометрии поверхностей или дифференциальную геометрию, как ее называют сегодня.
Гаусс женился дважды, в первый раз довольно счастливо, но когда его жена Джоанна умерла во время родов в 1809 году, он снова женился на Минне Вальдек, но этот брак оказался менее успешным; Она умерла в 1831 году. У него было трое сыновей, двое из которых эмигрировали в Соединенные Штаты, скорее всего, потому что их отношения с отцом были проблемными. В результате в Штатах существует активная группа людей, которые ведут свое происхождение от Гаусса. У него также было две дочери, по одной от каждого брака.
Величайший вклад в математику
Рассматривая вклад Гаусса в этой области, мы можем начать с метода наименьших квадратов в статистике, который он изобрел, чтобы понять данные Пьяцци и найти астероид Церера. Это был прорыв в усреднении большого количества наблюдений, все из которых были немного не точными, чтобы получить из них наиболее достоверную информацию. Что касается теории чисел, говорить об этом можно очень долго, но он сделал замечательные открытия о том, какие числа могут быть выражены квадратичными формами, которые являются выражениями вида 
. Вам может казаться, что это важно, но Гаусс превратил то, что было собранием разрозненных результатов в систематическую теорию, и показал, что многие простые и естественные гипотезы имеют доказательства, которые лежат в том, что похоже на другие разделы математики вообще. Некоторые приемы, которые он изобрел, оказались важными и в других областях математики, но Гаусс обнаружил их еще до того, как эти ветви были правильно изучены: теория групп — пример.
Его работа по уравнениям вида 
и, что более удивительно, по глубоким особенностям теории квадратичных форм, открыла использование комплексных чисел, например, для доказательства результатов о целых числах. Это говорит о том, что многое происходило под поверхностью предмета.
Позже, в 1820-х годах, он обнаружил, что существует концепция кривизны поверхности, которая является неотъемлемой частью поверхности. Это объясняет, почему некоторые поверхности не могут быть точно скопированы на другие, без преобразований, как мы не можем сделать точную карту Земли на листе бумаги. Это освободило изучение поверхностей от изучения твердых тел: у вас может быть яблочная кожура, без необходимости представления яблока под ней.
Поверхность с отрицательной кривизной, где сумма углов треугольника меньше, чем у треугольника на плоскости //source:Wikipedia
В 1840-х годах, независимо от английского математика Джорджа Грина, он изобрел предмет теории потенциала, который является огромным расширением исчисления функций нескольких переменных. Это правильная математика для изучения гравитации и электромагнетизма и с тех пор используется во многих областях прикладной математики.
И мы также должны помнить, что Гаусс открыл, но не опубликовал довольно много. Никто не знает, почему он так много сделал для себя, но одна теория состоит в том, что поток новых идей, которые он держал в голове был еще более захватывающим. Он убедил себя в том, что геометрия Евклида не обязательно истинна и что по крайней мере одна другая геометрия логически возможна. Слава этому открытию досталась двум другим математикам, Бойяю в Румынии-Венгрии и Лобачевскому в России, но только после их смерти — настолько это было спорно в то время. И он много работал над так называемыми эллиптическими функциями — вы можете рассматривать их как обобщения синусоидальных и косинусных функций тригонометрии, но, если более точно, они являются сложными функциями комплексной переменной, а Гаусс изобрел целую теорию из них. Десять лет спустя Абель и Якоби прославились тем, что сделали то же самое, не зная, что это уже сделал Гаусс.
Работа в других областях
После своего повторного открытия первого астероида, Гаусс много работал над поиском других астероидов и вычислением их орбит. Это была трудная работа в докомпьютерную эпоху, но он обратился к своим талантам, и он, похоже, почувствовал, что это работа позволила ему выплатить свой долг принцу и обществу, которое дало ему образование.
Кроме того, во время съемки в северной Германии он изобрел гелиотроп для точной съемки, а в 1840-х годах он помог создать и построить первый электрический телеграф. Если бы он также подумал об усилителях, он мог бы отметиться и в этом, так как без них сигналы не могли путешествовать очень далеко.
Прочное Наследие
Есть много причин, почему Карл Фридрих Гаусс по-прежнему так актуален сегодня. Прежде всего, теория чисел превратилась в огромный предмет с репутацией очень сложного. С тех пор некоторые из лучших математиков тяготеют к нему, и Гаусс дал им способ приблизиться к нему. Естественно, некоторые проблемы, которые он не смог решить, привлекли к себе внимание, поэтому вы можете сказать, что он создал целую область исследований. Оказывается, у этого также есть глубокие связи с теорией эллиптических функций.
Кроме того, его открытие внутренней концепции кривизны обогатило все изучение поверхностей и вдохновило на многие годы работы последующие поколения. Любой, кто изучает поверхности, от предприимчивых современных архитекторов до математиков, находится у него в долгу.
Внутренняя геометрия поверхностей простирается до идеи внутренней геометрии объектов более высокого порядка, таких как трехмерное пространство и четырехмерное пространство-время.
Неевклидова геометрия // источник: Numberphile
Человек за легендой
Жизнь Гаусса породила много историй и анекдотов. Например, как ни невероятно, его мать любила говорить, что никто не преподавал основы арифметики Гауссу, но он сам справился с ней, слушая своего отца на работе. Несомненно, он был одним из немногих математиков с необычайной способностью к умственной арифметике и мог быстро и аккуратно проводить длинные вычисления в уме. Также сообщалось, что его сыновья говорили, что он отговаривал их от продолжения карьеры в науке, потому что «он не хотел, чтобы имя Гаусса ассоциировалось со второсортной работой».
В том же духе у него была пугающая привычка говорить людям, что он уже знал то, что они только что обнаружили. Наиболее известный случай, когда его старый университетский друг Фаркаш Бойаи написал ему, приложив копию открытия своего сына Яноса неевклидовой геометрии, Гаусс ответил, что он не может похвалить работу, заявив — «потому, что делать это все равно, что хвалить себя». Это не только преувеличивало то, что знал Гаусс в 1831 году, он и не сделал ничего, чтобы помочь молодому Бойи получить признание за его работу, и Янош настолько разочаровался, что больше никогда не публиковал его.
Однако у вас не должно создаться впечатления, что Гаусс был неприятным человеком. Он был принципиальным человеком, он был счастлив принять Софи Жермен как серьезного математика в то время, когда женщины были исключены из высшего образования, и он всегда стремился использовать свои таланты для продуктивного использования. Но его исключительные таланты, и, хотя мы можем только порадоваться за них, Радакторвероятно, сделали его очень одиноким.
Джереми Грей, доктор, заслуженный пр.фессор истории математики, Открытый университет.
«Математика царица всех наук. » — знаменитая фраза Карла Гаусса
«Математика – царица всех наук. » — это часть знаменитой фразы, которая принадлежит известному немецкому ученому XVIII—XIX века Карлу Фридриху Гауссу. В статье постараемся разобраться, что заставило Гаусса сформулировать столь смелое утверждение.
Что такое математика?
Прежде чем переходить к словам Гаусса «Математика — царица наук», разберемся, что она собой представляет. Под этим понятием подразумевают формальную науку, которая изучает различные свойства и взаимосвязь между такими абстрактными объектами, как числа, геометрические фигуры и символы. Слово «математика» имеет древнегреческие корни, оно означает «знание» или «область изучения».
Вам будет интересно: Географические загадки: объекты, явления, интересные факты
Чтобы осуществлять свою деятельность, математика использует законы логических рассуждений и собственный язык. Весь математический фундамент зиждется на аксиомах, из которых уже выводятся теоремы. Математический язык представляет собой совокупность символов и взаимоотношений между ними. С помощью него можно отражать все процессы, происходящие в реальности, на некотором примитивном уровне. Каждый математический символ несет определенную информацию, которая имеет конкретный смысл, что его отличает от слова в естественном языке.
Любопытно отметить, что современная математическая нотация была разработана только в XVIII веке. В этом большие заслуги принадлежат швейцарскому математику и философу Леонарду Эйлеру.
По мнению многих ученых, первые математические операции (сложение, вычитание) человек выполнял еще до того, как появился естественный язык. Однако численная математика оформилась в единую и стройную науку только благодаря трудам древнегреческих ученых (Пифагор, Эвклид, Аристотель). Современная математика представляет собой несколько тысяч ее подразделов и ветвей, которые занимаются изучением 4-х базовых объектов: количества, структуры, пространства и изменений.
Связь математики с другими науками
Математика — царица всех наук. Эту фразу можно понять, если вспомнить разные современные науки и объекты их изучения.
Например, физика занимается исследованием природных процессов и формулированием законов, по которым они происходят. Но ее развитие было бы невозможным без математического аппарата. Более того, современная физика вышла на такие пространственные масштабы (микро- и макромир), что благодаря обычной интуиции понять, что там происходит, невозможно, и только математика способствует развитию этой науки.
Если рассмотреть химию, то исследуемые химические превращения всегда связаны с изменением степеней окисления реагентов, с выделением (поглощением) количества теплоты, то есть с математической формулировкой задачи.
Биология также не может существовать без математики: количество генов в клетке и развитие популяции — это сугубо математические вопросы.
Если оставить в стороне естественные науки и обратиться к гуманитарным, то в них тоже присутствует математика. Например, в литературе ритм стихов может быть выражен в виде математической нотации, а ноты в музыке — это своего рода адаптация математики к сфере «прекрасных звуков».
Самодостаточность математики
Многие могут подумать, что математика является лишь инструментом, который используют все известные человеку науки. Такое утверждение имеет свое обоснование, поскольку математика изначально развивалась «в помощь» наукам о природе, и многие ее утверждения выводились исходя из экспериментальных наблюдений и обобщения статистических данных.
Но не зря же математика — царица всех наук. В настоящее время она является также самодостаточной. Примером ее деятельности можно назвать задачи тысячелетия, представляющие собой чисто математические проблемы, над решением которых трудятся десятки тысяч людей со всего мира.
Кому принадлежит фраза: «Математика царица наук»?
Ответ на этот вопрос был уже дан. Эту фразу в своих трудах отразил великий немецкий ученый Карл Гаусс, которого современники называли «принцем математики».
Гаусс был одаренным ребенком, который со своих первых лет жизни проявлял интерес к математике и языкам. Известен исторический анекдот, когда маленький Карл смог быстрее всех сложить числа от 1 до 100.
Ученый внес огромный вклад в развитие таких наук, как:
Как видно из этого списка, больших успехов Гаусс достиг в разных разделах математики.
Знаменитая фраза Гаусса
Часто можно слышать такой вопрос: «Чьи слова — «математика царица наук»?» Но это выражение является не полным, кроме того, оно теряет большую часть оригинального смысла, который в нее вложил ученый. Полностью знаменитая фраза звучит следующим образом: «Математика — царица всех наук, а арифметика — царица математики. Она часто предоставляет услуги астрономии и другим естественным наукам, но во всех смыслах она обладает правом находиться в первых рядах».
В первой части фразы ученый, говоря об арифметике, подчеркивает важность понятия «число» в математике. Вторая половина фразы говорит об универсальности и самодостаточности «царицы» всех наук, которая лежит в основе («в первых рядах») любого другого учения.
Другие высказывания ученого, относящиеся к математике
Поскольку Гаусс всей душей любил математику, то ей он посвятил не только свои научные работы, но и множество фраз, отражающих ее красоту и изящество. Приведем некоторые из них:
Памяти Карла Фридриха Гаусса и математического образования
Пожалуй, все кто изучал математику, слышали байку о юном Гауссе.
На википедии она приведена в таком виде.
Наш учитель приводил её нам в пример как лёгкий способ запомнить формулу суммы «n» членов арифметической прогрессии (к первому прибавить последний, умножить на их количество, а затем поделить на 2), так как Гаусс как раз и вычислил сумму 100 членов прогрессии, где а1=1 и d=1.
А вот сегодня я наткнулся на дискуссию по поводу этой байки и недолго в ней поучаствовал
На этой увлекательной ноте автор меня немного забанил, что побудило меня посмотреть его профиль.
Ну мало ли, прочитал гуманитарий книжку о матоткрытиях и ничего не понял.
После этого мне захотелось выпить не чокаясь стакан водки за упокой отечественного математического образования.
Вы открыли для меня то, что можно теперь о себе что-то писать.
После этого мне захотелось выпить не чокаясь стакан водки за упокой отечественного математического образования.
Можно еще вспомнить что «учитель информатики» совершенно не обязательно умеет программировать, в лучшем случае знает Pascal на уровне чтобы проверять задачи для ЕГЭ, но при этом не умеет в Python и C++, которые тоже на ЕГЭ разрешены
Он же не программист в конце концов
@Naregida, не могу тебе ответить в том посте, ибо автор меня забанил ))
Каждое число берётся по 2 раза, в этом и смысл метода.
Вы еще лекции Рыбникова не смотрели:
Мало ли что и где написано? Знаете, что у меня на соседнем доме написано? А знаете, какие там уважаемые люди живут? У моих однокурсников дипломы на 90% купленные так или иначе.
может он издевается?
@AlexAlpha, что можешь сказать в своё оправдание?
Правило Гаусса, история появления
Жил-был маленький Гаусс. Ходил он ещё в начальную школу. А учителей уже тогда не хватало, поэтому малышня из начальных классов вполне могла сидеть на одном уроке в одном классе с ребятами из средних. Учитель математики, который был явно не в восторге от таких двойных уроков, самым маленьким дал задание : подсчитать сумму всех чисел от одного до ста. И они на грифельных досках пошли старательно считать. А преподаватель занялся ребятами из среднего класса. К концу урока стал проверять, что же у кого получилось. Результата правильного не было ни у кого. Только у Гаусса не было вычислений и в ответе стояла правильная цифра 5050.
— Кто тебе подсказал, признавайся!
Учитель не поверил. Тогда маленький мальчик пояснил ход своих рассуждений. Он сложил 1+100=101. Затем 2+99=101. И так 50 раз. Тогда 101*50=5050. Остальные ученики в жару творческого порыва просто складывали последовательно 1+2+3+4 и так далее. И в их вычисления неизбежно закрадывалась ошибка.
Смотреть нетривиально на поставленные задачи и включать голову могут не все. Лишь некоторые. И вот они как раз и двигают прогресс.
Король математики
А то всё про артистов, да про артистов.
Сегодня день рождения Гаусса (1777 — 1855), одного из величайших математиков в истории.
Сын бедных родителей (отец был садовником) он как и все дети ходил в школу, и в 8 лет поразил учителя тем, что за минуту сложил натуральные числа от одного до ста: (100+1) + (99+2>+.. = 5050. Учитель немедленно доложил о гениальном мальчике самом Герцогу Брауншвейгскому, правителю Нижней Саксонии, и тот выделил Гауссу стипендию, на которую он смог закончить университет (Восемнадцатый век!)
Биография Гаусса и неправдоподобно обширный список его открытий в теории чисел, геометрии, астрономии, специальных функциях, анализе, теории вероятностей, магнетизме, и т.д. помещены в Википедии.
В честь Гаусса назван кратер на Луне, потухший вулкан и прочее, но больше всего его имя увековечено в математических терминах: метод Гаусса, распределения Гаусса, Гипергеометрическая функция Гаусса, гауссова кривизна, и так далее (см ту же статью в Вики). Гаусса можно назвать основателем Прикладной Математики: он занимался геодезией, астрономией, магнетизмом, и всегда предлагал новые математические методы для решения практических задач. Так, дифференциальная геометрия родилась из геодезии.
Среди математиков в ходу такая байка: на каком то собрании после упоминания теории чисел как “королевы математики” кто–то иронически спросил “А кто же король?” и один знаменитый пожилой профессор сразу ответил “Конечно, Гаусс”. Действительно, ещё при жизни Гаусса звали королем математики.
КОРОЛЬ МАТЕМАТИКОВ. Часть 1
К 240–ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ К.Ф.ГАУССА
„Не считать ничего сделанным,
если ещё кое-что осталось сделать”.
Карл Фридрих Гаусс родился в Брауншвейге 30 апреля 1777 года. Он был единственным сыном Гебхарда Гаусса и Доротеи Бенце (у его отца от предыдущего брака был ещё один сын).
Его дед был крестьянином. Отец Карла сначала работал слесарем, а потом стал садовником, совмещая это занятие с обязанностями счетовода в торговой конторе некоего купца. Мать Карла была дочерью каменщика; от природы она была женщиной умной, рассудительной, доброй и веселой. Карл был её единственным ребёнком, и она бесконечно и искренне любила его. Сын отвечал ей такой же горячей любовью. От матери он унаследовал рассудительность и мягкую натуру.
По словам биографов, Карл унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект.
Однажды весной разлив резко поднял воду в канале, и игравший на его берегу Гаусс был смыт водой. Лишь благодаря счастливой случайности он не утонул.
Если составлять тройку великих математиков всех времён и народов, то это будут Архимед, Ньютон и Гаусс, которого называли «королём математиков».
Во всей истории математики нет никого, кого можно было бы сравнить с ним по ранней одарённости. Рассказывают такой случай. Однажды к отцу Карла собрались сослуживцы, чтобы распределить заработанные за неделю деньги. Здесь же был и трёхлетний Карл. Когда отец закончил расчеты, которые он проводил вслух, чтобы все слышали их, и объявил последствия, Карл воскликнул: «Папа, ты ошибся!» Присутствующие были поражены заявлением маленького ребёнка, но отец подсчитал всё сначала. Когда он назвал новую цифру (а раньше он действительно совершил ошибку), Карл воскликнул: «Теперь правильно!»
Позже он сам в шутку говорил: «Я научился считать раньше, чем разговаривать». Необыкновенные способности вычислять в уме были присущи ему всю жизнь. О десятилетнем Гауссе его школьный учитель говорил: «Он превзошёл меня, я ничему больше не могу его научить».
Истории о юных годах Гаусса рассказаны им самим уже в зрелом возрасте, поэтому есть основания полагать, что он был склонен несколько преувеличивать своё раннее развитие.
Судьба распорядилась так, что Бартельс в начале 19-го века приехал в Казань, и его учеником в Казанском университете был Н.И.Лобачевский.
Отец Гаусса был прямым, честным, грубоватым человеком. Резкость в общении с сыновьями у него иногда граничила с жестокостью. Карл был послушным и почтительным ребёнком. Он никогда не порицал отца, но никогда не питал к нему привязанности. Счастливая случайность спасла Гаусса от удела садовника или каменщика.
Карл был гордостью матери с его рождения (она родила его в 35 лет) до её смерти в 97 лет. Мать не разделяла намерения упрямого мужа оставить сына таким же невежественным, как он сам. Последние 22 года своей жизни мать провела в доме Карла. Гаусса мало беспокоила его слава, его успехами жила мать.
Гаусс был очень увлечён филологией, самостоятельно изучил классические языки, но влечение к математике победило.
В 1795-1798г.г. он учился в Гёттингенском университете, находящемся в государстве Ганновер, которым тогда управлял король Англии Георг ΙΙΙ, получая стипендию герцога Брауншвейгского. В качестве основания для переезда в Гёттинген Гаусс называл хорошую университетскую библиотеку.
О своих исследованиях построения правильного n-угольника, вписанного в круг, Гаусс сделал сообщение в печати: «Каждому, кто начинал изучать геометрию, известно, что возможно геометрическое построение различных правильных многоугольников, а именно треугольника, пятиугольника, пятнадцати угольника, а также таких, которые получаются из них путём удвоения числа сторон. Всё это было известно еще во времена Евклида; насколько я знаю, расширить этот перечень с тех пор не удавалось. Тем более заслуживает внимания сообщение, что возможно построение и других правильных многоугольников, например, семнадцатиугольника. Это открытие является частью ещё не законченной обширной теории, которая после её завершения будет опубликована.
К. Ф. Гаусс, студент-математик в Гёттингене».
Далее следовало примечание:
«Заслуживает внимания, что г-ну Гауссу всего 18 лет и что он занимается философией и классическим языкознанием с таким же успехом, как и математикой.
Э. А. В. Циммерман, профессор».
Это было признанием. Гаусс стал гордостью университета,- профессора и студенты превозносили его способности и успехи.
В 1796 году Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки: если n — простое число, то оно должно быть вида (числом Ферма).
«Математический век» Карла Гаусса — менее десяти лет. С 1796 года Гаусс ведёт краткий дневник своих открытий. Многое он, подобно Ньютону, не публиковал, хотя это были результаты исключительной важности (эллиптические функции, неевклидова геометрия и др.). Своим друзьям он пояснял, что публикует только те результаты, которыми доволен и считает завершёнными. Многие отложенные или заброшенные им идеи позже воскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского и др. Кватернионы он тоже открыл за 30 лет до Гамильтона (назвав их «мутациями»).
Все многочисленные опубликованные труды Гаусса содержат значительные результаты, сырых и проходных работ не было ни одной.
В 1799 году Гаусс впервые строго доказал основную теорему классической алгебры — возможность разложения любого многочлена с целыми коэффициентами на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами (дальнейшее разложение квадратного трёхчлена с комплексными корнями считалось в те годы нецелесообразным). За это открытие Хельмштедский университет заочно присвоил Гауссу докторскую степень и предложил доцентуру.
Герцог Брауншвейгский продолжал опекать молодого гения. Он оплатил печатание его докторской диссертации (1799) и пожаловал неплохую стипендию. В своей докторской Гаусс впервые доказал основную теорему алгебры: всякое алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет корень. До Гаусса было много попыток это сделать, наиболее близко к цели подошёл Д’Аламбер. Гаусс неоднократно возвращался к этой теореме и дал 4 различных её доказательства.
В Брауншвейг Гаусс вернулся в 1798 году и жил там до 1807 года. С наступлением нового века научные интересы Гаусса решительно сместились в сторону от чистой математики. Он много раз эпизодически будет обращаться к ней, и каждый раз получать результаты, достойные гения. В 1812 году он опубликовал работу о гипергеометрической функции. Широко известна заслуга Гаусса в геометрической интерпретации комплексных чисел.
С 1801г. Гаусс состоял приват-доцентом Брауншвейгского университета с месячным окладом в 8 талеров, что было явно недостаточно для безбедного существования. Академик Н.И. Фусс, ученик и друг Л. Эйлера, предложил Гауссу переехать в Петербург, пообещав ему избрание в академики. Гаусс принял предложение, но, как человек добросовестный, сказал, что сначала изучит русский язык, и начал им усиленно заниматься.
Через год Фусс повторил приглашение, но об этом узнал эрцгерцог Брауншвейгский и назначил Гауссу оклад в 400 талеров в год и повелел построить для ученого обсерваторию в Брауншвейге. Возникшая арифметическая задача оказалась для «короля математиков» совсем не простой. Он решает не ехать. В своём ответе Фуссу в 1802 г. он писал: «Однако я не вполне свободен. У меня есть обязанности, большие обязанности к нашему благородному государю».
В 1806 году герцог Брауншвейгский был ранен в бою и вскоре умер. Недостроенная обсерватория в ходе военных действий была разрушена. Гаусс с женой и маленьким ребенком остался без службы. Он написал несколько писем в Санкт-Петербург, но из-за военных действий в Европе они не дошли. Лишь письмо, отправленное в конце 1807 года через ехавшего в Россию М. Бартельса, дошло до академии. Но в нём Гаусс уже сообщал, что принял приглашение Гёттингенского университета.
Выше других Гаусс ставил Ньютона, называя его «высочайший». Для Эйлера, Лапласа, Лагранжа, Лежандра у него был эпитет «яснейший».
Девизом Гаусса были строки из «Короля Лира» Шекспира:
„Ты, природа, моя богиня,
По рекомендации Александра фон Гумбольдта Гаусса назначают профессором в Гёттингене и директором Гёттингенской обсерватории. Эту должность он занимал до самой смерти.
В 1807 году наполеоновские войска занимают Гёттинген. Все граждане облагаются контрибуцией, в том числе огромную сумму — 2000 франков — требуется заплатить Гауссу. Это превосходило его возможности. Ольберс и Лаплас тут же приходят ему на помощь, считая для себя честью снять с плеч друга незаслуженное бремя. Но не в привычках Гаусса было принимать помощь, он отклоняет их деньги. Тогда неизвестный из Франкфурта присылает ему 1000 гульденов, и этот дар приходится принять. Только много позднее узнали, что неизвестным был курфюрст Майнцский, друг Гёте.
Первыми учениками Гаусса в Гёттингене были ставшие потом знаменитыми учёными и директорами обсерваторий Шумахер, Герлин, Николаи, Мёбиус, Струве, Энке.
Хотя Гаусс и считал преподавание потерей столь необходимого для научной работы времени, все отмечали высокое качество его лекций.
Гаусс был добрым, внимательным и отзывчивым человеком. Ученики боготворили его, преклонялись перед ним, относились к нему с почтением и любовью Для исследований Гаусса характерна глубокая связь теоретических и прикладных вопросов, необычайная широта проблематики. Его работы оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества, геодезии, теоретической астрономии.
Книга «Арифметические исследования» содержала более 500 страниц большого формата, она была издана на средства герцога и ему посвящена. За пределами этой книги теорией чисел Гаусс, по существу, больше не занимался. С наступлением нового века его научные интересы сместились в сторону от чистой математики.
Книга состоит из семи глав, написанных столь сжато, что её называли «книгой за семью печатями». Лежен Дирихле был первым, кто вскрыл «семь печатей». Книга была быстро раскуплена, и даже любимый ученик Гаусса Эйзенштейн не имел своего экземпляра. А вот Дирихле повезло, экземпляр книги сопровождал его во всех путешествиях, он спал, положив книгу под подушку.
По другим источникам на могильном камне Гаусса этого рисунка нет, но воздвигнутый ему в Брауншвейге памятник стоит на семнадцатиугольном постаменте.
Следующие пять лет называют героическим периодом в творчестве Гаусса: на это время выпадает большая часть его величайших открытий в теории чисел, алгебре, математическом анализе. Тогда же он пришёл к идеям о неевклидовой геометрии.
Одна из самых удивительных сторон творчества Гаусса заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на достижения предшественников, переоткрыв за короткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.
Фундаментальные работы Гаусса по астрономии относятся к решению проблемы определения орбит малых планет, исследованию их возмущений. Как астроном, Гаусс получил широкую известность после разработки метода вычисления эллиптических орбит планет по трём наблюдениям, успешно применённого им к первым открытым малым планетам Церера (1801г.) и Паллада (1802г.). В связи с астрономическими исследованиями Гаусс изучал вопросы сходимости бесконечных рядов.
С открытием малой планеты Цереры связана такая история. Эту планету открыл Д. Пиацци. Но она была скрыта за плотными облаками, поэтому определить её точное местоположение не удалось. Гаусс за письменным столом (как говорят, «на кончике пера») вновь открыл Цереру. В письме к Пиацци Гаусс указал, где и когда можно наблюдать планету. Когда астрономы направили в указанную точку свои телескопы, они увидели Цереру.
Гаусс обладал железным характером. Выдающиеся способности сочетались у него с детской скромностью. В домашней обстановке он был строгим консерватором, не терпел никаких нововведений, был глубоко религиозным человеком, верил в загробную жизнь.
На протяжении всей жизни Гаусса обстановка его маленького кабинета свидетельствовала о скромных запросах хозяина. В кабинете были небольшой рабочий стол, конторка белого цвета, узкая софа и единственное кресло. В комнате была весьма умеренная температура, тускло горела свеча. Одет он был всегда в теплый халат и шапочку, был преимущественно спокойный и веселый. После напряженного труда Гаусс любил отдыхать: совершал прогулки, читал художественную литературу на немецком, английском и русском языках. Гаусс высоко оценивал русскую культуру и уважал талантливый русский народ. В России образованные круги, в свою очередь, высоко ценили Гаусса как ученого. Петербургская академия наук первой в мире выбрала Гаусса своим членом-корреспондентом.
В 1807г. он написал капитальный труд «Теория движения небесных тел». В книге был изложен метод наименьших квадратов, остающийся по сей день одним из самых распространённых методов обработки результатов наблюдений.
С этого периода он начинает читать в университете лекции по астрономии и становится директором обсерватории. Лишь в 30 лет Гаусс получил должность, которая позволяла ему содержать семью (жену и сына). Чтобы убедиться в силе своего метода вычисления орбит, Гаусс повторил вычисления орбиты кометы 1769 года, которую в своё время за три дня напряжённого труда вычислил Л. Эйлер, потерявший после этого зрение. Гауссу на это потребовался один час.
В 1810 году Гаусс получает премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества.
В письме к своему близкому другу Ф.В. Бесселю (1810) Гаусс писал: «Этой зимой я читал два курса лекций трём студентам, из которых один обладает средними знаниями, другой – менее чем средний, а третий лишён и знаний и способностей. Таковы тяготы профессии математика».
Имя Фридриха Вильгельма Бесселя достойно упоминания не только в связи с тем, что он был другом Гаусса.
Он родился 22 июля 1784 года в городе Миндене в Вестфалии (Германия) в семье мелкого чиновника. Гимназию Бессель бросил в 13 лет
из-за ненависти к зубрёжке латыни и продолжал образование дома под руководством отца. Обладая исключительно острым зрением, Бессель в 14 лет открыл визуально двойственность ε Лиры.
В 15 лет Бессель встал на самостоятельный трудовой путь: в 1799 г. он становится учеником конторщика в Бремене. Когда ему в 1805 г. предложили выгодную работу с хорошей зарплатой, он, по словам известного историка астрономии Агнессы Кларк, «предпочёл бедность и звёзды» и поступил ассистентом в обсерваторию.
Труднейшую «Небесную механику» Лапласа и высшую математику он изучал лишь в свободные от работы утренние и ночные часы.
В 1804 г. Бессель вычислил элементы орбиты кометы Галлея и стал известен в научном мире. С этого времени ведёт отсчёт и его дружба с К. Гауссом.
Полная реорганизация Бесселем астрономических наблюдений позволила повысить их точность в 10 раз. Помимо астрономии он внёс значительный вклад в геодезию. В историю науки он вошёл как один из крупных математиков. «Функции Бесселя» и дифференциальное «уравнение Бесселя» нашли широкое применение в теоретической физике.
Умер Ф.В. Бессель 17 марта 1846 года в Кёнигсберге и был похоронен близ обсерватории. Его именем назван кратер на видимой стороне Луны.
Гаусса привлекала английская литература. Он читал романы Вальтера Скотта, как только они выходили в свет. Особое удовольствие доставляли ему исторические труды на английском языке. К Байрону же он питал почти неприязнь. Его любимым немецким поэтом был Жан Поль, а вот Гёте и Шиллера он ценил не очень высоко.
Занявшись геодезией (Гауссу было поручено провести геодезическую съёмку и составить карту Ганноверского королевства), он создал новую для того времени область геометрии — общую теорию поверхностей. Специально выделенные офицеры (и среди них сын К. Ф. Гаусса — Иозеф) вели измерения на местности с помощью сконструированного Гауссом гелиотропа. Сам Гаусс выполнял многочисленные вычисления.
Первоначально измерения делались с большими погрешностями, однако Гаусс настоял на уточнении триангуляции и добился небывалой по тем временам точности: сумма углов любого треугольника могла отличаться от 180 градусов не более чем на 2 угловых секунды! Титаническая работа закончилась лишь в 1848 году — географические координаты всех 2578 тригонометрических пунктов Ганноверского королевства были определены весьма точно.
«Я прихожу к убеждению, что геометрия не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка,— писал Гаусс в 1817 году.— Может быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. »
Гаусс с удовлетворением воспринял открытие Лобачевского, которое соответствовало его внутренним убеждениям. Он высоко оценил достижение русского ученого и добился избрания его в члены-корреспонденты Гёттингенского учёного Королевского общества. Однако сам Гаусс никогда не выступал официально, а тем более в печати с признанием неевклидовой геометрии или со своими соображениями о ней.
Отрывки из писем Гаусса позволяют понять причины, по которым он не считал возможным объявлять не только о своих идеях (эти идеи Гаусс так и не разработал с достаточной чёткостью), но и о своем отношении к возможности «новой» геометрии. «Осы, гнездо которых вы разрушаете, подымутся над вашей головой»,— писал Гаусс в 1818 году ученику и другу, который собирался в новом издании своей книги выразить сомнение в справедливости пятого постулата.
«Если бы неевклидова геометрия была истинной…, мы имели бы a priori абсолютную меру длины,— писал он в 1824 году.— Но вы должны смотреть на это как на частное сообщение, которое не должно быть опубликовано».
«Вероятно, я еще не скоро смогу обработать свои исследования, чтобы их можно было опубликовать. Возможно даже, что я не решусь на это всю свою жизнь, потому что боюсь крика беотийцев»,— писал Гаусс в 1829 году, через 3 года после того, как Лобачевский публично объявил о своём открытии.
Гаусс боялся быть не понятым современниками. Он колебался между желанием поддержать научную истину и опасностью растревожить осиное гнездо непонимающих.
В 20-ые годы велись переговоры о переезде Гаусса в Берлин, где ему предлагали должность директора института. Переговоры затянулись на четыре года. Разногласия сводились к тому, должен ли будет Гаусс читать лекции, и сколько ему должны платить: 1200 или 2000 талеров в год. Переговоры провалились, но в Гёттингене Гауссу стали платить жалованье, на которое он претендовал в Берлине.
Непреходящее значение для всех наук, имеющих дело с обработкой наблюдений, имеют разработанные Гауссом методы получения наиболее вероятных значений измеряемых величин. Особенно широкую известность получил созданный Гауссом в 1821-1823 гг. метод наименьших квадратов. Гауссом заложены также и основы теории ошибок.
В 1824 году Гаусс был избран иностранным почётным членом Петербургской Академии наук. Современники отмечали тот факт, что Гаусс, став знаменитым, никогда не читал трудов других математиков: обычно он знакомился с концепцией и сам старался ее либо доказать, либо опровергнуть. Труд Лобачевского стал исключением.
Гаусс заложил основы теории построения изображения в системах линз.
Материалы дневника Гаусса позволяют утверждать, что он пришёл к мысли о возможности построения наряду с евклидовой геометрией и геометрии неевклидовой в 1818г., но из опасений быть непонятым не опубликовал эти результаты.
Гаусс свободно владел латынью, французским, английским. Он с удовольствием читал в оригинале произведения Диккенса, Свифта, Ричардсона, Мильтона и особенно Вальтера Скотта, великих французских просветителей — Монтеня, Руссо, Кондорсе, Вольтера. Два младших сына Гаусса эмигрировали в США — и Гаусс заинтересовался американской литературой. Гаусс читал по-датски, шведски, испански, итальянски. В юности немного изучал русский, в 63-летнем возрасте, желая более подробно ознакомиться с работами Лобачевского, начал интенсивно заниматься русским языком. «Стал бегло читать по-русски и получал от этого большое удовольствие», — писал он одному из своих учеников. В личной библиотеке Гаусса впоследствии было обнаружено 57 книг на русском языке, и в том числе восьмитомник Пушкина.
«Гаусс носил лёгкую чёрную шапочку, длинный коричневый сюртук и серые брюки,— рассказывал один из последних учеников Гаусса, Рихард Дедекинд.— Он большей частью сидел в удобной позе, слегка склонившись вперёд. Говорил свободно, очень просто и отчетливо. Когда хотел подчеркнуть свою точку зрения и употреблял специальные термины, склонялся к собеседнику и смотрел прямо на него пронзительным взглядом своих красивых голубых глаз. Для числовых примеров, которым он всегда придавал большое значение, он имел небольшие листочки с нужными цифрами».
Отсутствие у Гаусса личного честолюбия было причиной споров из-за приоритета открытий. Так, Лежандр с возмущением написал Гауссу письмо, обвиняя его в нечестности, выражая недовольство тем, что Гаусс, столь богатый в открытиях, мог бы быть настолько порядочным, чтобы не присваивать себе метод наименьших квадратов, который Лежандр считал своим открытием. Лежандр стал врагом Гаусса на всю жизнь.
Современники говорили, что Гаусс был жизнерадостным человеком. Он интересовался литературой, философией, экономикой, политикой, ежедневно просматривал газеты основных европейских государств.
Гаусс обладал острым чувством юмора и грубоватым реализмом своих предков-крестьян. Он никогда не печатал тривиальных вещей, обладал научной скромностью.
Гаусс обладал колоссальной работоспособностью, но не спешил с публикацией своих работ. Многие результаты, полученные позже Бесселем, Гамильтоном, Абелем, Якоби, Коши, были обнаружены в рукописях Гаусса при подготовке его 12–томного полного собрания сочинений.
Для Гаусса математика была единой. Как и Эйлер, он не проводил резкой границы между чистой и прикладной математикой. Но, в отличие от Эйлера, его работы написаны так, что от читателя ускользает идея доказательства. Гаусса интересовало более всего решение проблемы. Вопросы обоснования, разрабатываемые в это время О.Коши, его мало беспокоили.
В письме к Софи Жермен он признавался в любви к теории чисел: «… чарующее обаяние этой возвышенной науки открывается только тем, кто имеет смелость войти в неё глубоко». Высшую арифметику Гаусс называл царицей математики.
«Существуют проблемы,- сказал однажды Гаусс,- решению которых я придал бы неизмеримо большее значение, чем решению проблем математики, например, касающиеся этики или нашего отношения к Богу, нашей судьбы и нашего будущего; но их решение нам не по силам, и оно полностью лежит за пределами естествознания».