Для чего используется компьютерная графика в компьютерном математическом моделировании

Компьютерная графика в моделировании

Общую цель здесь можно сформулировать так: сделать невидимое и абстрактное «видимым». Берем последнее слово в кавычки, так как часто эта «видимость» весьма условна. Можно ли увидеть распределение температуры внутри неоднородно нагретого тела сложной формы без введения в него сотен микродатчиков, т.е., по существу, его разрушения? — да, если есть соответствующая математическая модель, и, что очень важно — договоренность о восприятии определенных условностей на рисунке. Можно ли увидеть распределение металлических руд под землей без раскопок? Строение поверхности чужой планеты по результатам радиолокации? На эти и множество других вопросов ответ — да, можно, с помощью машинной графики и предшествующей ей математической обработки.

Более того, можно «увидеть» и то, что, строго говоря, вообще плохо соответствует слову «видеть». Так, возникшая на стыке химии и физики наука — квантовая химия — дает нам возможность «увидеть» строение молекулы. Эти изображения — верх абстракции и системы условностей, так как в атомном мире обычные наши понятия о частицах (ядрах, электронах и т.д.) принципиально не применимы. Однако, многоцветное «изображение» молекулы на экране компьютера для тех, кто понимает всю меру его условности, приносит большую пользу, чем тысячи чисел, являющихся плодом квантовохимического расчета.

Приведем несколько конкретных примеров, привязанных к нашему курсу.

Траектории движения тел, графики. В ряде рассмотренных ниже задач уместно иллюстрировать процесс моделирования изображениями движущихся объектов и их траекториями. Мы сознательно ограничивались случаями плоских (двумерных) движений, которые легко отобразить на плоском экране компьютера.

Поскольку основные графические команды языка Turbo Pascal известны, опишем лишь общие моменты построения графиков и траекторий. Пусть численные расчеты уже закончены и нам известны границы значений координат [x_min, x_max] и [y_min, y_max] и есть таблица значений х и у в некоторые моменты времени, разделенные равными промежутками: 0, . Требуется построить графики зависимости и траекторию. Проиллюстрируем это, используя графические процедуры Turbo Pascal.

С помощью директивы Uses Graph и процедуры InitGraph осуществляется переход в графический режим, в котором можно строить изображения. Необычная ориентация «экранной» системы координат создает определенные проблемы при построении графиков и траекторий. Мы хотим выводить их и задавать координаты точек в «естественной» системе координат х, у, изображенной на рис. 1, а графические процедуры (Сiгсlе, Linе, ОutText и др.) воспринимают аргументы в «экранной» системе Сделаем разметку так, как показано на рисунке, и произведем линейное преобразование координат

Если известны разрешающая способность экрана — М точек по оси и N точек по оси , то для нахождения коэффициентов достаточно связать любые две точки в разных системах координат, например

(отступ на 10 позиций от краев экрана позволит создавать подписи, разметку осей и др.). Имеем

Таким образом, перевод одних координат в другие осуществляется по формулам

Рис. 1. Экранная и «естественная» системы координат

Теперь для изображения графика или траектории достаточно ставить точки с помощью процедуры PutPixel. Если же требуется изобразить движение тела, то перед выводом на экран очередной точки достаточно стереть предыдущую.

Изолинии. В задачах моделирования достаточно стандартная проблема — построение линий (поверхностей), вдоль которых некоторая функция имеет одинаковое значение, называемых изолиниями (изоповерхностями). Это очень распространенная задача визуализации характеристик некоторого скалярного поля в приближении сплошной среды: изотермы — линии равной температуры, изобары — линии равного давления, изолинии функции тока жидкости или газа, по которым легко можно представить себе их потоки, изолинии численностей экологической популяции на местности, изолинии концентрации вредных примесей в окружающей среде и т.д.

Опишем типичную процедуру построения изолиний на экране компьютера. На старте мы имеем двумерную таблицу значений некоторой величины А, полученную в ходе математического моделирования; числа в этой таблице соответствуют значениям этой величины в узлах пространственной сетки (рис. 2).

Зададим некоторый, совершенно условный, пространственный шаг h между соседними узлами по горизонтали и вспомогательную систему координат, в которой узел (1, 1) имеет координату (0, 0), узел (1, 2) — координату (h, 0), узел (1, 3) — координату (2h, 0) и т.д. Если шаг по вертикали h*, то узел (i, j) в этой системе имеет координату .

Предварительно найдем в таблице наибольшее и наименьшее значения величин a_ij — допустим, это a_min и a_max. Пусть b — некоторое промежуточное значение: a_min b> a_1,k+1.

Рис. 2. Пространственная сетка и соответствующая ей таблица значений величины А

С помощью линейной интерполяции найдем соответствующую горизонтальную координату точки, в которой А = b:

(координата y определяется номером горизонтальной линии; в данном случае y = 0).

Найденные координаты запомним и просмотрим первую строку в таблице до конца, затем просмотрим вторую строку и т.д. Покончив с просмотром строк, мы получим часть точек, соответствующих изолинии A = b.

После этого займемся просмотром столбцов. Допустим, во втором столбце нашлась пара чисел, для которой число b находится между и . Она дает следующую точку для изолинии. Закончив просмотр всех столбцов, мы получим максимально возможный набор координат точек, принадлежащих данной изолинии. Выведя их на экран в нужном масштабе, получим точечное изображение изолинии A = b, после чего можем, взяв другое значение b, построить следующую изолинию. Более детально эта процедура будет изложена ниже на примере построения линий равного потенциала электрического поля.

Условные цвета, условное контрастирование. Еще один интересный прием современной научной графики — условная раскраска. Она находит широчайшее применение в самых разных приложениях науки и представляет собой набор приемов по максимально удобной, хотя и очень условной, визуализации результатов компьютерного моделирования.

Приведем примеры. В различных исследованиях температурных полей встает проблема наглядного представления результатов. Самый простой (и самый неудобный для восприятия) способ — привести карту, в некоторых точках которой обозначены значения температур.

Другой способ, описанный выше (набор изотерм) — гораздо нагляднее. Но можно добиться еще большей наглядности, учитывая, что большинству людей свойственно, сравнивая разные цвета, воспринимать красный как «горячий», голубой как «холодный», а все остальные — между ними. Допустим, что на некоторой территории температура в данный момент имеет в разных местах значения от –25°С до + 15°С. Разделим этот диапазон на участки с шагом, равным, например, 5°

и закрасим первый из них в ярко-голубой, последний — в ярко-красный, а все остальные — в промежуточные оттенки голубого и красного цветов. Получится замечательная наглядная картина температурного поля.

А что делать, если дисплей монохромный? Или если изображение надо перенести с цветного дисплея на бумагу при отсутствии возможности цветной печати? Тогда роль цвета может сыграть контраст. Сделаем самый «горячий» участок самым темным, самый «холодный» — прозрачным, а остальные — промежуточными.

Есть достаточно много моделей, в которых естественно прибегнуть к подобному приему визуализации. В частности, в задаче о теплопроводности в стержне, при моделировании распределения электрических полей. Если заниматься имитационным моделированием конкурирующих популяций, то, раскрасив их в разные цвета, можно получить на экране причудливые картины, передающие ход конкурентной борьбы.

Условные раскраски бывают и гораздо более абстрактными, чем в описанных выше случаях. При моделировании сложных органических молекул компьютер может выдавать результаты в виде многоцветной картины, на которой атомы водорода изображены одним цветом, углерода — другим и т.д., причем атом представлен шариком (кружочком), в пределах которого плотность цвета меняется в соответствии с распределением электронной плотности.

При поиске полезных ископаемых методами аэрофотосъемки с самолетов или космических спутников компьютеры строят условные цветовые изображения распределений плотности ископаемых под поверхностью Земли.

Подведем итог: изображения в условных цветах и контрастах — мощнейший прием научной графики. Он позволяет понять строение не только плоских, но и объемных (трехмерных) объектов, дает в руки исследователя один из замечательных методов познания. Приведем в качестве иллюстрации пример программы условной раскраски неравномерно нагретого стержня в разные моменты времени (по заранее заготовленным данным).

Тема 2. Основные этапы построения математических моделей. Типовые прикладные результаты решения задач математического моделирования

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Источник

Общее введение в компьютерную графику

Предмет и область применения компьютерной графики

Конечным результатом применения средств компьютерной графики является изображение, которое может использоваться для различных целей. Поскольку наибольшее количество информации человек получает с помощью зрения, уже в древние времена появились схемы и карты, используемые при строительстве, в географии и в астрономии.

Сфера применения компьютерной графики включает четыре основных области.

1. Отображение информации

Проблема представления накопленной информации (например, данных о климатических изменениях за продолжительный период, о динамике популяций животного мира, об экологическом состоянии различных регионов и т.п.) лучше всего может быть решена посредством графического отображения.

Ни одна из областей современной науки не обходится без графического представления информации. Помимо визуализации результатов экспериментов и анализа данных натурных наблюдений существует обширная область математического моделирования процессов и явлений, которая просто немыслима без графического вывода. Например, описать процессы, протекающие в атмосфере или океане, без соответствующих наглядных картин течений или полей температуры практически невозможно. В геологии в результате обработки трехмерных натурных данных можно получить геометрию пластов, залегающих на большой глубине.

2. Проектирование

3. Моделирование

4. Графический пользовательский интерфейс

На раннем этапе использования дисплеев как одного из устройств компьютерного вывода информации диалог «человек-компьютер» в основном осуществлялся в алфавитно-цифровом виде. Теперь же практически все системы программирования применяют графический интерфейс. Особенно впечатляюще выглядят разработки в области сети Internet. Существует множество различных программ-браузеров, реализующих в том или ином виде средства общения в сети, без которых доступ к ней трудно себе представить. Эти программы работают в различных операционных средах, но реализуют, по существу, одни и те же функции, включающие окна, баннеры, анимацию и т.д.

В современной компьютерной графике можно выделить следующие основные направления: изобразительная компьютерная графика, обработка и анализ изображений, анализ сцен (перцептивная компьютерная графика), компьютерная графика для научных абстракций (когнитивная компьютерная графика, т.е. графика, способствующая познанию).

Изобразительная компьютерная графика своим предметом имеет синтезированные изображения. Основные виды задач, которые она решает, сводятся к следующим:

Обработка и анализ изображений касаются в основном дискретного (цифрового) представления фотографий и других изображений. Средства компьютерной графики здесь используются для:

Анализ сцен связан с исследованием абстрактных моделей графических объектов и взаимосвязей между ними. Объекты могут быть как синтезированными, так и выделенными на фотоснимках. К таким задачам относятся, например, моделирование «машинного зрения» (роботы), анализ рентгеновских снимков с выделением и отслеживанием интересующего объекта (внутреннего органа), разработка систем видеонаблюдения.

Одним из наиболее ранних примеров использования когнитивной компьютерной графики является работа Ч.Страуса «Неожиданное применение ЭВМ в чистой математике» (ТИИЭР, т. 62, № 4, 1974, с.96-99). В ней показано, как для анализа сложных алгебраических кривых используется «n-мерная» доска на основе графического терминала. Пользуясь устройствами ввода, математик может легко получать геометрические изображения результатов направленного изменения параметров исследуемой зависимости. Он может также легко управлять текущими значениями параметров, «углубляя тем самым свое понимание роли вариаций этих параметров». В результате получено «несколько новых теорем и определены направления дальнейших исследований».

В настоящем курсе предполагается рассмотреть следующие вопросы:

Источник

Компьютерное моделирование и его виды: расчетные, графические, имитационные модели

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема: « Компьютерное моделирование и его виды: расчетные, графические, имитационные модели »

2. Развивать логическое мышление, память, внимание.

3. Расширить общеобразовательный кругозор учащихся.

Проверка домашнего задания.

Тест по теме моделирование

Изучение нового материала (лекция).

Информационное моделирование на компьютере

Основное преимущество компьютера перед человеком

Современным инструментом для информационного моделирования является компьютер. Конечно, на компьютере можно писать тексты (строить вербальные модели), рисовать карты и схемы (графические модели), строить таблицы (табличные модели). Но при таком использовании компьютера в моделировании его возможности проявляются не в полной мере.

Для чего нужны математические модели

Многие процессы, происходящие в природе, в технике, в экономических и социальных системах, описываются сложными математическими соотношениями. Это могут быть уравнения, системы уравнений, системы неравенств и пр., которые являются математическими моделями описываемых процессов.

Математическая модель — это описание моделируемого процесса на языке математики.

В прежние времена, до появления ЭВМ, ученые стремились создавать такие математические модели, которые можно было бы просчитать вручную или с помощью несложных вычислительных механизмов. Поэтому математические модели были относительно простыми. Но простая модель не всегда хорошо описывает процесс. Ошибка расчетов по такой модели может быть слишком большой и полностью обесценить результат.

Может оказаться так, что для решения сложной задачи численным методом ученому потребуется вся жизнь. А может и этого не хватить! Например, какой смысл начинать расчет прогноза погоды на завтрашний день, если для этого потребуется несколько лет работы?

Компьютерная математическая модель

Появление компьютеров сняло эти проблемы. Стало возможным проводить расчеты сложных математических моделей за приемлемое время. Например, рассчитать погоду на завтрашний день до его наступления. Ученые перестали себя ограничивать в сложности создаваемых математических моделей, полагаясь на быстродействие компьютеров.

Компьютерная математическая модель — это программа, реализующая расчеты состояния моделируемой системы по ее математической модели.

Использование компьютерной математической модели для исследования поведения объекта моделирования называется вычислительным экспериментом. Говорят также: «численный эксперимент».

Вычислительный эксперимент в некоторых случаях может заменить реальный физический эксперимент.

Важным свойством компьютерных математических моделей является возможность визуализации результатов расчетов. Этим целям служит использование компьютерной графики.

Для изображения изменяющихся со временем (динамических) результатов используют графическую анимацию.

Компьютерная графика позволяет человеку в процессе проведения численного эксперимента «заглянуть» в недоступные места исследуемого объекта. Можно получить изображение любого сечения объекта сложной формы с отображением рассчитываемых характеристик: температурных полей, давления и пр. В реальном физическом эксперименте такое можно сделать далеко не всегда. Например, невозможно выполнить измерения внутри работающей доменной печи или внутри звезды. А на модели это сделать можно.

Управление на основе моделей

Еще одно важное направление компьютерного математического моделирования связано с использованием компьютеров в управлении. Компьютеры используют для управления работой химических реакторов на заводах, атомных реакторов на электростанциях, ускорителей элементарных частиц в физических лабораториях, полета автоматических космических станций и т. д.

Управляя производственной или лабораторной установкой, компьютер должен просчитывать ее I характеристики для того, чтобы вовремя снять показания с датчиков или оказать управляющее воздействие: включить реле, открыть клапан и т. п.

Все расчеты производятся по заложенным в программу управления математическим моделям. Важно, чтобы результаты этих расчетов получались в режиме реального времени управляемого процесса.

Задачи, решаемые с помощью имитационных моделей систем массового обслуживания, заключаются в поиске режимов работы служб сервиса (магазинов, автозаправок и пр.), уменьшающих время ожидания клиентов.

Еще одним популярным объектом для имитационного моделирования являются транспортные системы: сеть городских дорог, перекрестки, светофоры, автомобили. Модель имитирует движение транспортных потоков по городским улицам. Эксперименты на такой модели позволяют найти режимы управления движением (работа светофоров), уменьшающие возможность возникновения пробок. Работа имитационной модели всегда визуализируется на экране компьютера.

1. Что общего и в чем различие понятий «математическая модель» и «компьютерная математическая модель»?

2. Расчет прогноза погоды на современном компьютере с быстродействием 1 млн операций в секунду длится в течение 1 часа. Оцените, сколько времени понадобилось бы для этого человеку, имеющему в своем распоряжении арифмометр (механический калькулятор)?

3. В чем состоит особенность компьютерного математического моделирования в процессе управления техническим устройством?

5. В каких ситуациях используется имитационное моделирование?

6. Придумайте по одному примеру формы использования компьютерной графики для вычислительного эксперимента, для компьютерного управления и для имитационной модели.

Источник

Математические основы компьютерной графики

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Математические основы компьютерной графики

Описание слайда:

Компьютерная графика – это к настоящему времени достаточно развитая и многосторонняя отрасль знания. Существует аппаратное и программное обеспечение для получения разнообразных изображений – от простых иллюстраций и чертежей до реалистических образов естественных объектов. Спектр использования компьютерной графики чрезвычайно широк: реклама и различного рода презентации, компьютерные игры и мультипликация, малые и монументальные формы дизайна, компьютерная живопись и архитектура, медицина, проектно-конструкторские разработки, административное управление и т.д. и т.п. Особое значение приобретает компьютерная графика в науке и образовании, становясь фактически новым инструментарием в процессе получения знаний.

Описание слайда:

Первые вычислительные машины не имели отдельных средств для работы с графикой, однако уже использовались для получения и обработки изображений. Программируя память первых электронных машин, построенную на основе матрицы ламп, можно было получать узоры.
В 1961 году программист С. Рассел возглавил проект по созданию первой компьютерной игры с графикой. Создание игры «Spacewar» («Космические войны») заняло около 200 человеко-часов. Игра была создана на машине PDP-1.
В 1963 году американский учёный Айвен Сазерленд создал программно-аппаратный комплекс Sketchpad, который позволял рисовать точки, линии и окружности на трубке цифровым пером. Поддерживались базовые действия с примитивами: перемещение, копирование и др. По сути, это был первый векторный редактор, реализованный на компьютере. Также программу можно назвать первым графическим интерфейсом, причём она являлась таковой ещё до появления самого термина.
В середине 1960-х гг. появились разработки в промышленных приложениях компьютерной графики. Так, под руководством Т. Мофетта и Н. Тейлора фирма Itek разработала цифровую электронную чертёжную машину. В 1964 году General Motors представила систему автоматизированного проектирования DAC-1, разработанную совместно с IBM.
В 1968 году группой под руководством Константинова Н.Н. была создана компьютерная математическая модель движения кошки. Машина БЭСМ-4, выполняя написанную программу решения дифференциальных уравнений, рисовала мультфильм «Кошечка», который для своего времени являлся прорывом. Для визуализации использовался алфавитно-цифровой принтер.

Фундаментом для формирования и редактирования изображений служат математические и алгоритмические основы компьютерной графики (в первую очередь, это относится к изображениям, закодированным в векторной форме). Изучению именно таких основ компьютерной графики, используемых при обработке графических данных для вывода изображения на растровое графовыводящее устройство, а также последующего его видоизменения.

Описание слайда:

Математические основы компьютерной графики :
Преобразования в двухмерном пространстве
Преобразования в трехмерном пространстве
Аффинное проецирование
Перспективное проецирование
Стереографическая и специальные перспективные проекции
Масштабирование в окне
Нахождение параметров плоскости

Описание слайда:

Преобразования в двухмерном пространстве
Преобразования в двухмерном пространстве используются в разнообразных случаях: чтобы отдельные части объекта можно было описывать в различных координатных системах; чтобы типовые и повторяющиеся части можно было располагать в произвольных положениях на чертеже и в пространстве, в том числе с использованием циклов; чтобы без повторной кодировки можно было получать симметричные части объекта; для направленной деформации фигур, тел и их частей; для изменения масштаба чертежа, построения проекций пространственных образов. С аналитической точки зрения преобразования — это пересчет значений координат.
Преобразование точки
Точка на плоскости представляется двумя координатами: |x y|. Матрица преобразования точки выглядит так:

Ниже показано преобразование точки через квадратную матрицу; здесь xn = xa + yc и yn = xb + yd — новые координаты точки после преобразования:

Преобразование фигуры
Если представить фигуру как совокупность точек, то можно провести и ее преобразование. В следующем примере задано четыре точки: A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1), каждая из которых после преобразования переходит соответственно в A*(0, 0), B*(a, b), C*(a + c, b + d), D*(c, d):
Геометрически это соответствует деформации фигуры:

Описание слайда:

Однородные координаты. Операции в них
Любая система координат, в которой представление точки в двухмерном (трехмерном) пространстве задается при помощи трех (четырех) координат (Р1, Р2, Р3(, Р4)), называется системой однородных координат. Вообще, для n-мерного пространства число однородных координат должно быть на единицу больше: n + 1.
Применение однородных координат в общем случае позволяет устранять аномалии, возникающие при работе в декартовых координатах, и представлять сложные преобразования в виде произведения нескольких матриц.
Геометрическая интерпретация на случай двухмерного пространства: введение третьей координаты, равной единице, можно трактовать как переход в трехмерное пространство, в котором разрешено работать только в плоскости z = 1. Следует представлять себе, что экран компьютера (картинная плоскость, плоскость изображения) находится в плоскости z = 1:

В случае выхода рисунка за сечение z = 1 рисунок возвращается принудительно в данное сечение — для того, чтобы были возможны последующие операции:
Такая операция называется нормализацией однородных координат:

Общий вид преобразования

Матрица преобразования содержит в себе константы m и n, под действием которых точка смещается на m единиц вдоль оси x и на n единиц — вдоль оси y:

Описание слайда:

За счет коэффициентов a и d матрицы преобразования происходит
увеличение (или уменьшение) значения координат точки (x, y) в a и
d раз по осям x и y соответственно:
Общее полное масштабирование

В данном случае при s 1 мы получим обратный эффект — уменьшение значения координат (x, y) в s раз.
Поворот на угол q

Здесь q — угол, на который требуется повернуть точку (x, y). Обратите внимание: поворот происходит относительно точки (0, 0) декартовой системы координат против часовой стрелки!
Отображение или зеркалирование
Зеркалирование относительно прямой y = x (рис. 1.6a):

Зеркалирование относительно прямой x = 0 (рис. 1.6b):

Зеркалирование относительно прямой y = 0 (рис. 1.6c):

Зеркалирование относительно начала координат (рис. 1.6d):

Описание слайда:

Точно такие же преобразования необходимо провести для оставшихся двух точек треугольника, подставляя соответствующие их координаты взамен x и y (последовательность операций см. на рис. 1.7). Таким образом, сложная операция разбивается на простейшие и задается произведением соответствующих матриц преобразования, причем порядок, в котором перемножаются матрицы, существенно определяет результат.

Центральное проецирование (перспектива)
px + qy + 1 = H — плоскость.

Описание слайда:

Преобразования в трехмерном пространстве
На прошлой лекции мы изучили операции, которые можно выполнять с точкой на плоскости. Такие же операции имеются и в трехмерном пространстве. Отличие здесь небольшое: точка задается не двумя, а тремя координатими, и при работе в однородных координатах матрицы преобразований/операций будут состоять не из трех, а из четырех столбцов.
Операция смещения

Общее полное масштабирование

Матрицы поворота вокруг осей x, y, z на угол a
Rx Ry Rz

Описание слайда:

Зеркалирование
Замечание: ниже представлены всего лишь три матрицы зеркалирования, на самом деле их больше. Предлагаем читателю самостоятельно построить недостающие матрицы.
Зеркалирование относительно оси z:

Зеркалирование относительно плоскости x = 0:

Зеркалирование относительно начала координат:

Вращение тела на угол q вокруг произвольной оси, проходящей через точку (0, 0, 0)
Здесь a — угол наклона относительно оси x, b — угол наклона относительно оси y, g — угол наклона относительно оси z.

Описание слайда:

Аффинное проецирование
Геометрия аффинная
Аксонометрическая (прямоугольная) проекция
Ортографическая проекция
Ортогональная проекция
Диметрическая проекция
Изометрическая проекция
Косоугольная проекция
Проекция Кабине
Проекция Кавалье
Геометрия перспективная
Перспективная проекция
Одноточечная проекция
Двухточечная проекция
Трехточечная проекция
Аффинная геометрия является чертежным средством; в этой геометрии используется параллельное проецирование, которое осуществляется пучком параллельных прямых (см. рис. 3.1, слева). Детерминант матрицы преобразований в аффинной геометрии равен нулю. Геометрия перспективная является художественным средством, в ней отсутствуют параллельные линии и используется центральное проецирование, при котором все линии сходятся у горизонта в одну точку (см. рис. 3.1, справа); за счет того, что одна, две или три компоненты четвертого столбца матрицы преобразований не равны нулю, ее детерминант также не равен нулю.
Наиболее распространены аффинные двухмерные и трехмерные преобразования. Их основные геометрические свойства: прямые линии после преобразования остаются прямыми, параллельные — параллельными, плоскости остаются плоскостями и параллельные плоскости — параллельными. Вычерчивание трехмерных объектов, независимо от того на бумаге ли это происходит или на экране дисплея, осуществляется при помощи двухмерных проекций. В плоской проекции каждая точка предмета проецируется определенным образом на плоскость проекции, и ее образ называется точкой проекции. Если линии проекции, соединяющие точки предмета с соответствующими точками проекции, параллельны, то мы имеем плоскую параллельную проекцию. Если же линии проекции сходятся в одной общей точке, то получаемое изображение называется центральной проекцией, или перспективным изображением предмета.
Рассмотрим далее несколько видов аксонометрических проекций. Заметим, что среди них выделяются прямоугольные (ортогональные) проекции — те, у которых проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости изображения. Слова «аксонометрическая» и «прямоугольная» часто используют как синонимы.

Описание слайда:

Аксонометрическая ортографическая проекция
Смещает изображение по оси z на n единиц и проецирование
происходит в плоскости z = 0:
Аксонометрическая ортогональнальная проекция
Проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости изображения, и плоскость проекции совпадает с одной из координатных плоскостей.
Пример: выполним поворот куба (рис. 3.2, слева) относительно оси x на угол 90o и спроецируем его на плоскость z = 0 (рис. 3.2, справа). Обратите внимание, что точки, которые после поворота на куба на 90o будут лежать на проецирующих лучах (пары A и C, B и D и т. д.), после преобразования займут одинаковое положение (пары Aн и Cн, Bн и Dн и т. д.):

Запись в матричной форме:

Аксонометрическая диметрическая проекция
В этом случае были специально подобраны коэффициенты,
дающие минимальные искажения какого-либо изображения:

Аксонометрическая изометрическая проекция
В общем смысле дает проекцию с изменением масштаба:

Надо заметить, что любая проекция имеет свои достоинства и недостатки (искажение размеров изображения по одной из осей, неодинаковость сокращения размеров по разным осям, заслонения точек друг другом), поэтому каждая из них используется там, где это более удобно: ортографическая — только для переноса и проецирования, ортогональная — для вращения и проецирования; при диметрической проекции изображение по оси y имеет натуральный размер, а по осям x и z оно одинаково сокращено (то есть на экране размер линии по x и по y уменьшен в А раз по отношению к натуральному размеру на объекте); при изометрической проекции изображение по трем осям одинаково сокращено.

Описание слайда:

Перспективное проецирование
На фотографиях, картинах, экране изображения кажутся нам естественными и правильными. Эти изображения называют перспективными. Свойства их таковы, что более удаленные предметы изображаются в меньших масштабах, параллельные прямые в общем случае непараллельны. В итоге геометрия изображения оказывается достаточно сложной, и по готовому изображению сложно определить размер тех или иных частей объекта.
Обычная перспективная проекция — это центральная проекция на плоскость прямыми лучами, проходящими через точку — центр проецирования. Один из проецирующих лучей перпендикулярен к плоскости проецирования и называется главным. Точка пересечения этого луча и плоскости проекции — главная точка картины.
Существует три системы координат. Обычно программист работает и держит данные о геометрических объектах в мировых координатах. Для повышения реалистичности при подготовке к выводу изображения на экран данные об объектах из мировых координат переводят в видовые координаты. И только в момент вывода изображения непосредственно на экран дисплея переходят к экранным координатам, которые представляют собой номера пикселов экрана.
Первые две системы могут использоваться в многомерных системах координат, но последняя только в двухмерной. Операции являются необратимыми, то есть из двухмерной картинки-проекции невозможно восстановить трехмерное изображение.
Матрица общего перспективного преобразования

В этой матрице элементы a, d, е отвечают за масштабирование, m, n, L — за смещение, p, q, r — за проецирование, s — за комплексное масштабирование, х — за вращение.
Одноточечное проецирование на плоскость z = 0

Суть этого проецирования такова: чем глубже находится предмет, тем больше становится значение z-координаты и знаменателя rz + 1, и, следовательно, тем мельче выглядит предмет на плоскости проекции. Выполним несложные выкладки и поясним их графически:

Описание слайда:

уравнение x’/F = x/(F + zпр) равносильно: x’ = xF/(F + zпр) = x/(1 + zпр/F) = x/(1 + rzпр), где r = 1/F, F — фокус.

Для того, чтобы точки, лежащие на линии, параллельной оси z, не терялись друг за другом, используется одноточечное проецирование на линию (см. матрицу преобразования и рис. 4.2); исчезла z-координата, но, поскольку дальние предметы стали более мелкими, чем такие же близкие, у зрителя появляется ощущение глубины. Запомните: это первый способ передачи глубины на плоскости!

Описание слайда:

В плоскости экрана после преобразования мы будем иметь следующее изображение:

Обратите внимание: если бы центр тяжести куба
находился в точке (0, 0, 0), куб выглядел бы более
«традиционно»:

Двухточечное проецирование
Если проекция двухточечная (например, по p <> 0 и q <> 0), то имеются две точки схода на соответствующие оси. Обратите внимание: так как по z в данном случае реализуется параллельное проецирование, то удвоения контура куба на экране (x, y) нет. Меняя p и q, мы регулируем точку схода:

Трехточечное проецирование по p, q, r
В данном случае p <> 0, q <> 0, r <> 0, и проекция будет иметь следующий вид:

Описание слайда:

Стереографическая и специальные перспективные проекции

Чтобы помочь человеку осознать, что на экране перед ним — именно трехмерное изображение (то есть восстановить третью координату из двумерного изображения), используются различные приемы: нанесение штриховки, окраска, дымка, уменьшение размеров с глубиной, тени, стерео. Рассмотрим подробнее последний способ.
Разберемся, каким же образом мы определяем объем, глубину в изображении? Для этого надо понять, как и с помощью чего мы «чувствуем» третье измерение? Оказывается, человек чувствует глубину по напряжению аккомодационной мышцы глаза. Чем ближе к глазу находится объект, тем сильнее напрягается эта мышца и тем сильнее она выгибает глазной хрусталик. Таким образом, очень сильное напряжение аккомодационной мышцы сообщает мозгу о том, что предмет находится очень близко.
Так как глаза человека находятся на некотором расстоянии друг от друга, один и тот же предмет они видят немного по-разному. На рис. 5.1 точка x1 — это изображение предмета на плоскости проекции для правого глаза, x2 — для левого, F — расстояние от глаз до плоскости проекции (около 50 см.), d — расстояние между глазами (около 5 см.), a = arctg(d/F) — стереоугол (около 5.71o):
Таким образом, чтобы создать для глаз эффект стерео,
необходимо сформировать два изображения —
для левого и правого глаза. Ниже даны
соответствующие матрицы:
левый глаз правый глаз

Описание слайда:

Специальная перспективная проекция на сферу («рыбий глаз»)
В отличие от классической перспективы, в перспективной проекции на сферу каждую часть изображения лучше рассматривать перпендикулярно к сфере, то есть при просмотре различных частей проекции голова наблюдающего или рисунок перемещаются. Такое рассматривание можно назвать фрагментарным.
za = zпр * F
C = 2F/[za + sqrt(x2пр + y2пр + z2a)]
x’ = xпр * C
y’ = yпр * C

Взгляните на рис. 5.2. Луч, выходящий из точки М, есть луч проецирования на сферу в точке P. Точка S является центром проекции. Луч, выходящий из точки S’ и проходящий через P и М’, — это луч перепроецирования со сферы на плоскость.
Специальная перспективная проекция на цилиндрическую поверхность
Проекция на цилиндрическую поверхность позволяет показывать объекты с очень большими углами зрения по горизонтали, вплоть до круговой панорамы. Вычерчиваются проекции в виде разверток на обычных графических устройствах.

z’пр = zпр + F
y’/y = (F + zпр)/F, y = y’F/(F + zпр) = y’F/z’пр
x’ = F * arctg(xпр/za)
y’ = F * y/sqrt(x2пр + z2пр)
На рис 5.3 S — центр проекции (точка зрения), z — главная ось.

Описание слайда:

Описание слайда:

Представим систему уравнений в виде произведения матриц: первая из них содержит координаты точек A, B и C, вторая — неизвестные a, b и c, третья — правые части уравнений:

Описание слайда:

Метод определения плоскости по нормали
Если имеется возможность определить n — вектор нормали к плоскости, — то можно найти и уравнение этой плоскости; n находится как векторное произведение векторов V1 и V2, лежащих в определяемой плоскости. В координатной форме это запишется следующим образом (значок x обозначает векторное произведение векторов; i, j, k — единичные векторы осей х, у и z):

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Источник