Что такое взаимо простые числа 6 класс математика

Как находить в 6 классе взаимно простые числа и что это такое

Одним из основных понятий в арифметике является деление. Каждая величина характеризуется делимостью. В зависимости от неё определяют и взаимно простые числа. Что это такое и какую пользу несёт знание правила их нахождения, изучают в шестом классе средней школы. Это базисное понятие, которое позволяет в дальнейшем выполнять различные математические упрощения и преобразования как при решении элементарных задач, так и сложного уровня на уроках высшей математики.

Общие сведения

В системе счисления и мер используется специальная система знаков, называемая цифрами. Слово «цифра» происходит от латинского cifra. Интересно, что на арабском термин пишется как صفر‎, что в дословном переводе на русский язык обозначает «пустой». С этих символов формируются числа. Чтобы разобраться в отличиях одних от других, нужно запомнить 3 утверждения:

Нужно знать, что существует несколько систем счисления. В России принято использовать арабскую. В церковнославянском и древнегреческом применяли запись буквами. Её до сих пор используют в иврите. В программировании применяется смешанная запись. Так как она шестнадцатеричная, используют комбинации знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Итак, «число» и «цифра» разные понятия по происхождению. Первое используют как единицу счёта. Им выражают количество. Второй же параметр применяют для обозначений значений. Для записи в международном формате принята арабская последовательность от 0 до 9, но в некоторых случаях ставят и римские символы — I, II, III, IV, V, V I, V II, V III, IX, X и так далее.

По своему виду числа бывают:

Свойства и определение

Существует правило, объясняющее, какие числа называются взаимно простыми. Согласно ему, это 2 целых натуральных значения, у которых самый большой общий делитель не превышает единицу. Из этого правила следует, что 2 таких выражения будут иметь только лишь один общий делитель, при этом равняться он будет единице. Например, можно рассмотреть 5 и 11. Разделить их без остатка можно или самих на себя или единицу.

Понятие взаимности простых чисел справедливо как для пары выражений, так и большего их числа. Два натуральных числа, стоящие один за одним, всегда будут взаимными. Например, 13 и 14 — простая пара, такая же как 23 и 24.

Это легко можно доказать, используя то, что 2 натуральных значения a и b делятся на одно и то же натуральное число, превышающее единицу, если их разница будет делиться на это выражение. Так как a и b — 2 соседних значения, для удобства можно принять что a &lt,b, то b — a = 1. Исходя из того, что один делится только на себя, a и b не будут иметь других общих делителей, кроме единицы.

Из определения о взаимных значениях следует, что любые простые величины всегда окажутся взаимными. Ведь делителями любого простого выражения являются лишь оно само и 1. Кстати, такие значения обозначают так: (a, b) = 1.

Из признаков и свойств можно выделить:

Здесь важно понять, что натуральные значения будут взаимными, если их общий делитель равняется единице. Вот пример пары таких чисел: 2 и 5, 13 и 16, 35 и 88 или 7, 9, 16.

Таблица и примеры

Часто попадаются задачи, в которых требуется доказать, что целые числа будут взаимно простыми. Доказательство сводится к нахождению наибольшего общего делителя для заданных условием данных. Затем результат проверяют на равенство единице.

Нужно доказать, что делитель не совпадает с членами выражения. Если это не так, произведение k1* k2 *… * kn можно поделить на kn+1. Но на него делится и число k, определяемое суммой k1 * k2 *…* kn+1. Следовательно на kn+1 должно разделиться и второе слагаемое, которое равно одному, а это невыполнимо. То есть всегда может быть новое простое число, не стоящее среди любого количества наперёд заданных простых чисел. Проверка предположения выполнена.

Перед выполнением действий полезно проверить заданные выражения по таблице взаимно простых чисел. Эта таблица строится на том, что если исходные целые значения являются простыми, значит, их НОД равен единице. Обычно в книгах таблица заканчивается 1000. Но такую таблицу можно составить не только до тысячи, но и до сколь угодно большего значения, поэтому она является бесконечно большой. Проверить, что ряд простых значений может быть бесконечным, довольно просто.

Доказательство строится на обратном. Пусть количество простых величин ограничено n штуками. Если имеется значение k, равное k1 * k2 *… * kn+1, оно отлично от каждого из входящих в многочлен. Когда k — простое число, утверждение будет доказано. Должен существовать простой делитель этого числа kn+1.

Как пример, можно привести 3 значения: −99, 17 и −27. Они взаимные, так как любая совокупность простых величин составляет набор взаимности. Например, 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 677. А вот такие значения как 12, −72 не являются взаимными, так как у них есть общее делимое 3, и оно отлично от единицы.

Таким образом, чтобы определить взаимность, необходимо попробовать разложить значения на простые множители. Например, пара состоящая из 8 и 15 будет взаимной, хотя сами числа не являются простыми. То же самое, можно сказать, о 8, 15 и 49. В то же время 6, 8 и 9 хоть и взаимные, но они не будут парно простыми.

Зная, какие выражения попарно взаимные, а какие нет, можно определить возможность сокращения дроби. Интересно, что количество зубцов на звёздочках в цепи передачи стремятся делать взаимно простыми. Это помогает обеспечить равномерность износа: каждый зубец будет входить в звенья цепи по очереди.

Источник

Взаимно простые числа определение. Взаимно простые числа примеры. Что значит взаимно простые числа? Два взаимно простых числа

Что такое взаимно простые числа?

Взаимно простые числа определение

Определение взаимно простых чисел:

Взаимно простые числа примеры

Пример взаимно простых чисел:

У 2 и 3 нет иных общих делителей кроме единицы.

Ещё пример взаимно простых чисел:

У 3 и 7 нет иных общих делителей кроме едининицы.

Другой пример взаимно простых чисел:

У 11 и 13 нет иных общих делителей кроме едининицы.

Теперь мы можем ответить на вопрос, что значит взаимно простые числа.

Что значит взаимно простые числа?

Что значит взаимно простые числа?

Это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

Два взаимно простых числа

Каждая из этих пар есть два взаимно простых числа.

Общие делители взаимно простых чисел

Общие делители взаимно простых чисел – это только единица, что следует из определения взаимно простых чисел.

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел – это единица, что следует из определения взаимно простых чисел.

Являются ли взаимно простыми числа?

Являются ли взаимно простыми числа 3 и 13? Да, ведь у них нет общих делителей, кроме единицы.

Являются ли взаимно простыми числа 3 и 12? Нет, ведь у них общими делителями являются 1 и 3. А по определению взаимно простых чисел общим делителем должна быть только единица.

Являются ли взаимно простыми числа 3 и 108? Нет, ведь у них общими делителями являются 1 и 3. А по определению взаимно простых чисел общим делителем должна быть только единица.

Являются ли взаимно простыми числа 108 и 5? Да, ведь у них нет общих делителей, кроме единицы.

Простые и взаимно простые числа

Свойство взаимно простых чисел:

Вопрос: являются ли взаимно простые числа всегда простыми?

Ответ: нет, взаимно простые числа могут не быть простыми.

Пример взаимно простых чисел, которые не являются простыми:

Числа 9 и 16 есть взаимно простые, но ни одно из них не является простым числом.

Источник

Взаимно простые числа – определение, примеры и свойства.

Информация этой статьи покрывает тему «взаимно простые числа». Сначала дано определение двух взаимно простых чисел, а также определение трех и большего количества взаимно простых чисел. После этого приведены примеры взаимно простых чисел, и показано, как доказать, что данные числа являются взаимно простыми. Дальше перечислены и доказаны основные свойства взаимно простых чисел. В заключение упомянуты попарно простые числа, так как они тесно связаны со взаимно простыми числами.

Навигация по странице.

Взаимно простые числа – определение и примеры

Понятие взаимно простых чисел дается как для двух целых чисел, так и для их большего числа. Сначала приведем определение двух взаимно простых чисел. Это определение дается через наибольший общий делитель чисел, так что рекомендуем сначала разобраться с материалом указанной статьи.

Приведем примеры взаимно простых чисел.

Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми. Либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Приведем пример, иллюстрирующий это высказывание.

Часто встречаются задания, в которых требуется доказать, что данные целые числа являются взаимно простыми. Доказательство сводится к вычислению наибольшего общего делителя данных чисел и проверке НОД на его равенство единице. Полезно также перед вычислением НОД заглянуть в таблицу простых чисел: вдруг исходные целые числа являются простыми, а мы знаем, что наибольший общий делитель простых чисел равен единице. Рассмотрим решение примера.

Докажите, что числа 84 и 275 являются взаимно простыми.

Определение взаимно простых чисел можно расширить для трех и большего количества чисел.

Из озвученного определения следует, что если некоторый набор целых чисел имеет положительный общий делитель, отличный от единицы, то данные целые числа не являются взаимно простыми.

Обычно далеко не очевидно, что некоторые числа являются взаимно простыми, и этот факт приходится доказывать. Для выяснения, являются ли данные числа взаимно простыми, приходится находить наибольший общий делитель этих чисел, и на основании определения взаимно простых чисел делать вывод.

Источник

Взаимно простые числа – какие, примеры, определение, таблица (6 класс, математика)

Взаимно простые числа тема достаточно сложная тема 6 класса математики. Как и простые числа, тема взаимно простых чисел используется для сложения и вычитания дробей. Чтобы не допускать ошибок в этой теме разберемся в вопросе подробнее.

Простые числа

Что такое простое число? Простое число делится только на ноль и на само себя. Например, число 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13. Секрет в том, что практически каждое число можно разделить на другое число. Но в простых числах важно именно деление нацело, дробные частные и деление с остатком не рассматривается.

Простые числа в знаменателях дробей означают, что для нахождения общего знаменателя нужно перемножить эти числа между собой. Разложить простые числа на множители невозможно. Поэтому НОД двух простых чисел это их произведение.

Числа, которые содержат в себе больше двух множителей, то есть делятся на несколько чисел, называются сложными. Сложные числа состоят из перемноженных простых.

Взаимно простые числа

Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен единицы. Доказать факт того, что числа являются взаимно простыми можно только с помощью разложения чисел на простые множители. Если у чисел нет общих множителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми.

При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.

Нужно учитывать, что взаимно простыми могут быть не только два числа, но и 3, 4, 10 – любое множество чисел может быть взаимно простым.

Как определить взаимно простые числа?

Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:

Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.

Пример

Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282

Определение начинается с разложения на множители:

Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.

Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа. Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку. На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой

Что мы узнали?

Мы поговорили о простых числах. Выяснили, что такое взаимно простые числа и обговорили некоторые их свойства. Привели примеры взаимно простых чисел. Обговорили неправильные мнения по поводу простых и взаимно простых чисел.

Источник

Взаимно-простые числа

Взаимно-простые числа — это натуральные числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен единице.

То есть, если НОД (a; b)=1, то числа a и b — взаимно-простые.

Делители числа 21: 1 ; 3; 7; 21.

Их единственный, а значит, и наибольший, общий делитель равен 1:

НОД (4; 21) = 1. Значит, 4 и 21 — взаимно-простые числа.

Делители 6: 1 ; 2; 3; 6.

Делители 35: 1 ; 5; 7; 35.

НОД (6; 35) = 1. Следовательно, числа 6 и 35 являются взаимно-простыми.

Делители 27: 1; 3 ; 9; 27.

Делители 33: 1; 3 ; 11; 33.

НОД (27; 33) = 3. Так как НОД (27; 33) ≠ 1, то 27 и 33 не являются взаимно-простыми числами.

Можно ли по внешнему виду определить, являются ли числа взаимно-простыми или нет? В некоторых случаях, можно.

Например, если оба числа чётные, то у них есть общий делитель 2, следовательно, два чётных числа не могут быть взаимно-простыми.

Если запись одного числа оканчивается на 5, а другого — на 5 или на 0, то оба числа делятся на 5, а значит, их НОД не единица, и эти числа не взаимно-простые.

Если числа простые, они делятся только на 1 и на себя, значит, их наибольший общий делитель равен 1 и они — взаимно-простые. Является ли число простым, проще всего определить по таблице простых чисел.

В остальных случаях наибольший общий делитель составных чисел находят, разложив эти числа на простые множители, используя признаки делимости. Если при разложении оказывается, что единственный общий делитель равен 1, то эти числа являются взаимно-простыми.

2 Comments

Это определение и для трех чисел? Например, 4, 7 и 15?

Источник