Что такое взаимное расположение в геометрии

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Открытый электронный ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)

Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые

На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.

Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.

Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой

Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен

Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).

Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD

Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:

Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB.
2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α
3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.
Теорема доказана.

Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ

Любая прямая, например ОО₁, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О₁А₁ параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О₁А₁ и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)

Рисунок 4 – сонаправленные лучи

Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)

Доказательство:

при доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O₁ отложим отрезки OA₁ и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.

2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA₁O₁.

Так как противолежащие стороны OA и O₁A₁ этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA₁ и OO₁.

3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB₁O₁ параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ₁ и OO₁.

4. Если две отрезка AA₁ и BB₁ равны параллельны третьему отрезку OO₁, значит, они равны и параллельны, т. е. АА₁||BB₁ и AA₁ = BB₁.

По определению четырехугольник АВВ₁А₁ – параллелограмм и из этого получаем АВ=А₁В₁.

5.Из выше построенного и доказанного АВ=А₁В₁, ОA =O₁A₁ и OB =O₁B₁ следует, что треугольники AOB и A₁ O₁ B₁. равны по трем сторонам, и поэтому О= О₁.

Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами

Источник

Научная электронная библиотека

Пиралова О. Ф., Ведякин Ф. Ф.,

3.4. Взаимное положение прямых

Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.

1. Пересекающиеся прямые

Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.

Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).

.

Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые

2. Параллельные прямые

На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).

Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.

Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.

На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).

.

Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых

.

Источник

На уроках математики в предыдущих классах и в главе 1 вы уже познакомились со свойствами некоторых геометрических фигур. Теперь вы приступаете к систематическому изучению геометрии.

Как уже отмечалось ранее, основными геометрическими фигурами являются точка, прямая, плоскость. Представление об этих фигурах вы уже имеете.

Например, туго натянутая нить дает представление о части прямой, страница книги или грань прямоугольного параллелепипеда — о части плоскости (рис. 22, а, б, в).

Если точка А принадлежит прямой b, то говорят, что прямая b проходит через точку А. Это записывают так: А

Если точка А не принадлежит прямой b, то говорят, что прямая b не проходит через точку А. В этом случае используется запись А b (читают: «Точка А не принадлежит прямой b», «Точка А не лежит на прямой b» или «Прямая b не проходит через точку А»).

Например, на рисунке 23, а изображены точка С — вершина квадрата и точка Т, не лежащие на прямой l (С l, Т l), проходящей через вершины А и D квадрата (А l, D l). На рисунке 23, б, в изображена прямая l, проходящая через вершины О и F куба (O l, F l).

В курсе геометрии понятия « точка», « прямая» и «плоскость» относятся к основным понятиям и принимаются без определений, другие геометрические понятия определяются через основные. К основным понятиям относятся также понятия «принадлежать» и «лежать между». Свойства геометрических фигур устанавливаются путем логических рассуждений на основе некоторых утверждений (аксиом), которые принимаются без доказательств. Аксиомы выражают основные свойства геометрических фигур, которые соответствуют формам и отношениям, наблюдаемым в окружающем пространстве.

Утверждение, которое обосновывается путем логических рассуждений, называется теоремой, а само обоснование — доказательством. Доказать теорему — это значит путем рассуждений обосновать, что она следует из некоторых аксиом или ранее доказанных теорем.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости характеризуют следующие основные свойства (аксиомы):

Прямая, которая проходит через точки А и В, обозначается АВ или ВА.

Например, на рисунке 24, а изображена прямая ОF, которая проходит через точки О и F, а на рисунке 24, б, в показана прямая АС, которая проходит через вершины А и С куба и лежит в той же плоскости, что и грань АВСD куба.

1 Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «две прямые» и т. д., будем считать, что эти точки, прямые и т. д. различны.

Пересекающиеся и параллельные прямые

Рассмотрим понятия пересекающихся и параллельных прямых.

Определение. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Если прямые а и b пересекаются в точке О, то это обозначается так: О = а b (читают: «Прямые а и b пересекаются в точке О»).

Например, на рисунке 25, а изображены прямые КЕ и TF, которые проходят через вершины прямоугольника и пересекаются в точке Р (Р =TF КЕ).

На рисунке 25, B изображены прямые АС и BD, которые проходят через вершины куба и пересекаются в точке О (О = АС ВD).

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельные прямые l₁ и l₂ обозначаются так: l₁ l₂ (читают: «Прямая l₁ параллельна прямой l₂ »).

Например, на рисунке 25, в изображены параллельные прямые ВС и АD (ВСАD).

Теорема. Если две прямые плоскости имеют общую точку, то она единственная.

Пусть две прямые а и b имеют общую точку О. Докажем, что других общих точек эти прямые не имеют. Допустим, что прямые а и b имеют еще одну общую точку O₁. Тогда получается, что через точки O и O₁ проходят две прямые а и b. Но этого быть не может, так как по аксиоме А3 через две точки проходит единственная прямая. Таким образом, наше предположение неверно, и прямые а и b имеют единственную общую точку.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение точки и прямой

Базовыми геометрическими элементами являются точка, прямая и плоскость. Они называются так потому, что из них можно построить многие объекты, например, такие как пирамида или призма. Чтобы понять свойства этих фигур, важно знать взаимное расположение в пространстве прямых и плоскостей. Рассмотрим подробнее этот вопрос в статье.

Определение и описание точки, прямой и плоскости

Вам будет интересно: Пополняем словарный запас: неказистый — это.

Вам будет интересно: «Соразмерно» — это и «в рамках», и «гармонично»

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + α*(a; b; c)

Элементы с нулевыми индексами соответствуют некоторой точке, которая является частью прямой. Координаты, которые умножаются на параметр α (альфа) описывают ее направляющий вектор, вдоль которого она проходит. Подставляя произвольные числа α можно найти все точки, которые образуют прямую в пространстве.

Очевидно, что для векторного уравнения в двумерном пространстве необходимо использовать лишь две координаты для точек и векторов.

Плоскость является совокупностью точек. Образованные на них вектора перпендикулярны некоторому направлению, задаваемому нормальным к плоскости вектором. Все это можно описать несколькими способами. Тем не менее, для решения задач на определение взаимного расположения плоскости и прямой удобно пользоваться уравнением общего вида. Оно записано ниже:

Удобство этой формы записи заключается в том, что коэффициенты A, B, C являются координатами перпендикулярного вектора n¯ к плоскости.

При решении задач важно учитывать, в каком пространстве решается проблема. Так, приведенный вид уравнения плоскости в двумерном случае без координаты z будет соответствовать уравнению прямой.

Расположение точки и прямой

Вам будет интересно: Обзор основных вузов Сургута

Взаимное расположение этих объектов не зависит от того, рассматриваются они на плоскости или в пространстве. Критерии определения постоянно одни и те же.

Относительно прямой точка может находиться лишь в двух возможных положениях:

Определить вариант расположения в конкретной задаче достаточно легко. Для этого следует подставить координаты искомого объекта в уравнение, задающее прямую. Если равенство будет выполняться, значит, точка принадлежит прямой. В противном случае она не является ее частью.

Две прямые на плоскости

Какое может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости? Существует три разных варианта:

Чтобы понять, каково взаимное расположение прямых в конкретном случае, необходимо провести некоторый математический анализ. Ниже описываются основные идеи, которые следует использовать при его осуществлении.

Если направляющие векторы прямых параллельны друг другу, значит и прямые, как минимум, будут параллельными. Параллельность векторов доказывается, если один из них можно представить в виде другого, умноженного на действительное число.

Если направляющие вектора параллельны, и хотя бы одна точка одной прямой соответствует и другой прямой, тогда речь идет о полностью совпадающих прямых.

Если направляющие вектора не являются параллельными, то прямые пересекаются в одной точке. Найти ее координаты можно с помощью решения системы уравнений (эти координаты должны соответствовать обоим уравнениям прямых).

Частным случаем пересечения прямых является угол пересечения, равный 90o. В таком случае говорят о перпендикулярности между рассматриваемыми объектами. Если две прямые перпендикулярны, то скалярное произведение их векторов направляющих будет равно нулю.

Прямая и окружность на плоскости

Поскольку данный объект часто появляется в геометрических задачах, то полезно также рассмотреть вопрос взаимного расположения окружности и прямой. Возможны такие варианты:

Определить вариант расположения этих объектов для конкретной задачи можно с использованием соответствующих уравнений. Для окружности с центром в (x0; y0) и радиусом R оно имеет вид:

Определение варианта расположения сводится к решению квадратного уравнения.

Две прямые в пространстве

Расчет расстояния производится по формуле:

Формулу можно непосредственно применить, если даны векторные уравнения прямых.

Плоскость и прямая

В данном случае речь идет о трехмерном пространстве. Взаимное расположение плоскости и прямой возможно следующее:

Определить параллельность этих геометрических объектов достаточно просто. Для этого нужно рассчитать скалярное произведение нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой. Равенство нулю этого произведения является достаточным условием параллельности. Если к тому же хотя бы одна точка принадлежит плоскости, значит, вся прямая лежит в ней.

Если скалярное произведение нулю не равно, тогда вывод следующий. Прямая и плоскость пересекаются в одной точке. Частным случаем является пересечение под прямым углом. Если направляющий вектор прямой можно представить в виде произведения на число вектора нормали к плоскости, значит, прямая и плоскость перпендикулярны.

Задача с двумя прямыми на плоскости

Ниже даны два уравнения в общем виде для прямых в двумерном пространстве:

Необходимо определить взаимное расположение прямых.

Поскольку имеет место случай на плоскости, то нет необходимости приводить эти уравнения к векторному виду. Решить задачу можно проще, если найти корни системы из этих них. Имеем:

Поскольку система имеет единственное решение, то оно соответствует пересечению рассматриваемых прямых в точке (14; 21).

Задача с двумя прямыми в пространстве

Даны две прямые, которые описываются уравнениями:

Каково взаимное расположение прямых в пространстве?

Можно заметить, что направляющие вектора параллельными не являются (никакое значение параметра β не способно дать направляющий вектор r1). То есть прямые либо пересекаются, либо являются скрещивающимися.

Его векторное произведение с направляющим вектором для r1 равно:

Поскольку длина этого вектора отлична от нуля, значит, расстояние между прямыми будет больше нуля. Последний факт говорит, что они не имеют общих точек и являются скрещивающимися.

Источник

Прямая на плоскости – необходимые сведения

Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.

Прямая на плоскости – понятие

Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.

Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.

Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.

Взаимное расположение прямой и точки

На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.

Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.

Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.

Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.

Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.

Точка делит прямую на две части, называемые лучами. Имеем аксиому:

Взаимное расположение прямых на плоскости

Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.

Две прямые на плоскости могут совпадать.

Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.

Две прямые на плоскости могут пересекаться.

Две прямые на плоскости могут быть параллельны.

Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.

Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.

Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.

Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:

Рассмотрим это на рисунках.

Способы задания прямой на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.

Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.

Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки.

Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.

Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.

Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.

Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.

Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.

Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:

Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.

И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.

Источник