Что такое взаимно простые числа в математике 6 класс мерзляк
Что такое взаимно простые числа в математике 6 класс мерзляк
Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту
В этом уроке Вы узнаете, какие числа называются взаимно простыми, и научитесь их определять.
Итак, что подразумевается под понятием «взаимно простые числа»?
Рассмотрим два натуральных числа 25 и 26. Это составные числа.
Натуральное число 25 делится без остатка на 1, 5, 25.
А натуральное число 26 делится без остатка на 1, 2, 13, 26.
Видим, что числа 25 и 26 имеют только один общий делитель – это число 1.
Такие числа называют взаимно простыми.
Таким образом, можно сделать вывод:
Натуральные числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
Даны пары натуральных чисел 14 и 28, 15 и 22.
Определим, какие из данных пар являются взаимно простыми.
Для этого необходимо определить, какие делители имеет каждое из чисел.
14 без остатка делится на 1, 2, 7, 14;
28 без остатка делится на 1, 2, 4, 7, 14, 28.
Теперь рассмотрим другую пару чисел 15 и 22.
Значит, пара натуральных чисел 15 и 22 являются взаимно простыми числами.
Теперь возьмем еще два составных натуральных числа 45 и 32.
Натуральное число 45 делится на 1, 3, 5, 9, 15, 45, а натуральное число 32 делится на 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Значит, числа 45 и 32 являются взаимно простыми.
Разложим эти числа на простые множители. 45=3*3*5, 32=2*2*2*2*2.
Легко заметить, что взаимно простые натуральные числа 45 и 32 в разложении на простые множители не содержат одинаковых простых множителей.
Таким образом, приходим к выводу, что разложения на простые множители взаимно простых чисел не содержат одних и тех же простых множителей.
Итак, в этом уроке Вы узнали, какие числа называются взаимно простыми, а также научились определять взаимно простые числа.
Взаимно-простые числа
Взаимно-простые числа — это натуральные числа, наибольший общий делитель (НОД) которых равен единице.
То есть, если НОД (a; b)=1, то числа a и b — взаимно-простые.
Делители числа 21: 1 ; 3; 7; 21.
Их единственный, а значит, и наибольший, общий делитель равен 1:
НОД (4; 21) = 1. Значит, 4 и 21 — взаимно-простые числа.
Делители 6: 1 ; 2; 3; 6.
Делители 35: 1 ; 5; 7; 35.
НОД (6; 35) = 1. Следовательно, числа 6 и 35 являются взаимно-простыми.
Делители 27: 1; 3 ; 9; 27.
Делители 33: 1; 3 ; 11; 33.
НОД (27; 33) = 3. Так как НОД (27; 33) ≠ 1, то 27 и 33 не являются взаимно-простыми числами.
Можно ли по внешнему виду определить, являются ли числа взаимно-простыми или нет? В некоторых случаях, можно.
Например, если оба числа чётные, то у них есть общий делитель 2, следовательно, два чётных числа не могут быть взаимно-простыми.
Если запись одного числа оканчивается на 5, а другого — на 5 или на 0, то оба числа делятся на 5, а значит, их НОД не единица, и эти числа не взаимно-простые.
Если числа простые, они делятся только на 1 и на себя, значит, их наибольший общий делитель равен 1 и они — взаимно-простые. Является ли число простым, проще всего определить по таблице простых чисел.
В остальных случаях наибольший общий делитель составных чисел находят, разложив эти числа на простые множители, используя признаки делимости. Если при разложении оказывается, что единственный общий делитель равен 1, то эти числа являются взаимно-простыми.
2 Comments
Это определение и для трех чисел? Например, 4, 7 и 15?
Взаимно простые числа – какие, примеры, определение, таблица (6 класс, математика)
Взаимно простые числа тема достаточно сложная тема 6 класса математики. Как и простые числа, тема взаимно простых чисел используется для сложения и вычитания дробей. Чтобы не допускать ошибок в этой теме разберемся в вопросе подробнее.
Простые числа
Что такое простое число? Простое число делится только на ноль и на само себя. Например, число 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13. Секрет в том, что практически каждое число можно разделить на другое число. Но в простых числах важно именно деление нацело, дробные частные и деление с остатком не рассматривается.
Простые числа в знаменателях дробей означают, что для нахождения общего знаменателя нужно перемножить эти числа между собой. Разложить простые числа на множители невозможно. Поэтому НОД двух простых чисел это их произведение.
Числа, которые содержат в себе больше двух множителей, то есть делятся на несколько чисел, называются сложными. Сложные числа состоят из перемноженных простых.
Взаимно простые числа
Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен единицы. Доказать факт того, что числа являются взаимно простыми можно только с помощью разложения чисел на простые множители. Если у чисел нет общих множителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми.
При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.
Нужно учитывать, что взаимно простыми могут быть не только два числа, но и 3, 4, 10 – любое множество чисел может быть взаимно простым.
Как определить взаимно простые числа?
Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:
Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.
Пример
Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282
Определение начинается с разложения на множители:
Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.
Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа. Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку. На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой
Что мы узнали?
Мы поговорили о простых числах. Выяснили, что такое взаимно простые числа и обговорили некоторые их свойства. Привели примеры взаимно простых чисел. Обговорили неправильные мнения по поводу простых и взаимно простых чисел.
Урок алгебры «Взаимно-простые числа». 6-й класс
Разделы: Математика
Класс: 6
Тип урока: “открытие новых знаний”.
Основные этапы урока.
1. Самоопределение к деятельности.
– Ребята, на прошлом уроке мы изучали тему “Нахождение наибольшего общего делителя”. Сегодня мы продолжим работать с этой темой.
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
Учитель делит класс на группы по четыре человека и организует работу в них. Задания нужно заранее заготовить на листах.
Задание № 1. Запишите в каждую из клеток таблицы по одному натуральному числу, которое удовлетворяло бы обоим условиям:
| Число | Четное | Нечетное |
| Простое | ||
| Составное |
Задание № 2.Запишите в каждую клетку по одной цифре так, чтобы все двузначные числа, образованные двумя соседними цифрами, были простыми и различными.
Задание № 3.Заполните пропуски.
1.Все натуральные числа по количеству делителей можно разделить на три класса:____________
2. Простые – это числа, которые имеют только ____ делителя.
3. Составные – это числа, которые имеют_______ делителей.
4. Алгоритм нахождения НОД № 1.
Разложить на множители ______
Разложить на множители ______
Найти ______ множители и ________
5. Алгоритм нахождения НОД № 2.
Найти все ______ первого числа
Найти все ______ второго числа
Найти ________ делители
Выбрать из них___________
Найдите и разложите на множители следующие числа.
Полученные числа разложим на множители:
12 = 2 · 2 · 3
99 = 3 · 3 · 11
10 = 2 · 5
Пользуясь записанными на доске разложениями, найдите: НОД(12, 99), НОД(12,10), НОД(99, 10).
3. Изучение нового материала.
Для нахождения НОД(99, 10) воспользуемся алгоритмом № 2.
Получаем, что НОД(99,10) = 1.
На доске появляется таблица.
| Числа a и bназываются взаимно простыми, если НОД(a,b) =1 |
4. Первичное закрепление нового материала.
Задание № 6.Найдите наибольший общий делитель каждой пары чисел 4, 15, 22, 77.
Укажите среди них пары взаимно простых чисел.
Затем решение заданий подробно разобрать, проанализировать ошибки.
5. Обучающая самостоятельная работа.
Составьте слово из букв, соответствующих заданиям, ответами которых являются взаимно простые числа.
(о) НОД(12, 18) Ответ: мир или Рим.
6. Итог урока, рефлексия.
– С какими числами мы познакомились?
– Как выяснить, что числа являются взаимно простыми?
– Как вы оцениваете свою работу?
7. Домашнее задание.
Ответить на вопрос: какие числа всегда являются взаимно простыми?
Как находить в 6 классе взаимно простые числа и что это такое
Одним из основных понятий в арифметике является деление. Каждая величина характеризуется делимостью. В зависимости от неё определяют и взаимно простые числа. Что это такое и какую пользу несёт знание правила их нахождения, изучают в шестом классе средней школы. Это базисное понятие, которое позволяет в дальнейшем выполнять различные математические упрощения и преобразования как при решении элементарных задач, так и сложного уровня на уроках высшей математики.
Общие сведения
В системе счисления и мер используется специальная система знаков, называемая цифрами. Слово «цифра» происходит от латинского cifra. Интересно, что на арабском термин пишется как صفر, что в дословном переводе на русский язык обозначает «пустой». С этих символов формируются числа. Чтобы разобраться в отличиях одних от других, нужно запомнить 3 утверждения:
Нужно знать, что существует несколько систем счисления. В России принято использовать арабскую. В церковнославянском и древнегреческом применяли запись буквами. Её до сих пор используют в иврите. В программировании применяется смешанная запись. Так как она шестнадцатеричная, используют комбинации знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Итак, «число» и «цифра» разные понятия по происхождению. Первое используют как единицу счёта. Им выражают количество. Второй же параметр применяют для обозначений значений. Для записи в международном формате принята арабская последовательность от 0 до 9, но в некоторых случаях ставят и римские символы — I, II, III, IV, V, V I, V II, V III, IX, X и так далее.
По своему виду числа бывают:
Свойства и определение
Существует правило, объясняющее, какие числа называются взаимно простыми. Согласно ему, это 2 целых натуральных значения, у которых самый большой общий делитель не превышает единицу. Из этого правила следует, что 2 таких выражения будут иметь только лишь один общий делитель, при этом равняться он будет единице. Например, можно рассмотреть 5 и 11. Разделить их без остатка можно или самих на себя или единицу.
Понятие взаимности простых чисел справедливо как для пары выражений, так и большего их числа. Два натуральных числа, стоящие один за одним, всегда будут взаимными. Например, 13 и 14 — простая пара, такая же как 23 и 24.
Это легко можно доказать, используя то, что 2 натуральных значения a и b делятся на одно и то же натуральное число, превышающее единицу, если их разница будет делиться на это выражение. Так как a и b — 2 соседних значения, для удобства можно принять что a <,b, то b — a = 1. Исходя из того, что один делится только на себя, a и b не будут иметь других общих делителей, кроме единицы.
Из определения о взаимных значениях следует, что любые простые величины всегда окажутся взаимными. Ведь делителями любого простого выражения являются лишь оно само и 1. Кстати, такие значения обозначают так: (a, b) = 1.
Из признаков и свойств можно выделить:
Здесь важно понять, что натуральные значения будут взаимными, если их общий делитель равняется единице. Вот пример пары таких чисел: 2 и 5, 13 и 16, 35 и 88 или 7, 9, 16.
Таблица и примеры
Часто попадаются задачи, в которых требуется доказать, что целые числа будут взаимно простыми. Доказательство сводится к нахождению наибольшего общего делителя для заданных условием данных. Затем результат проверяют на равенство единице.
Нужно доказать, что делитель не совпадает с членами выражения. Если это не так, произведение k1* k2 *… * kn можно поделить на kn+1. Но на него делится и число k, определяемое суммой k1 * k2 *…* kn+1. Следовательно на kn+1 должно разделиться и второе слагаемое, которое равно одному, а это невыполнимо. То есть всегда может быть новое простое число, не стоящее среди любого количества наперёд заданных простых чисел. Проверка предположения выполнена.
Перед выполнением действий полезно проверить заданные выражения по таблице взаимно простых чисел. Эта таблица строится на том, что если исходные целые значения являются простыми, значит, их НОД равен единице. Обычно в книгах таблица заканчивается 1000. Но такую таблицу можно составить не только до тысячи, но и до сколь угодно большего значения, поэтому она является бесконечно большой. Проверить, что ряд простых значений может быть бесконечным, довольно просто.
Доказательство строится на обратном. Пусть количество простых величин ограничено n штуками. Если имеется значение k, равное k1 * k2 *… * kn+1, оно отлично от каждого из входящих в многочлен. Когда k — простое число, утверждение будет доказано. Должен существовать простой делитель этого числа kn+1.
Как пример, можно привести 3 значения: −99, 17 и −27. Они взаимные, так как любая совокупность простых величин составляет набор взаимности. Например, 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 677. А вот такие значения как 12, −72 не являются взаимными, так как у них есть общее делимое 3, и оно отлично от единицы.
Таким образом, чтобы определить взаимность, необходимо попробовать разложить значения на простые множители. Например, пара состоящая из 8 и 15 будет взаимной, хотя сами числа не являются простыми. То же самое, можно сказать, о 8, 15 и 49. В то же время 6, 8 и 9 хоть и взаимные, но они не будут парно простыми.
Зная, какие выражения попарно взаимные, а какие нет, можно определить возможность сокращения дроби. Интересно, что количество зубцов на звёздочках в цепи передачи стремятся делать взаимно простыми. Это помогает обеспечить равномерность износа: каждый зубец будет входить в звенья цепи по очереди.