Что такое взаимно простые числа и как их найти

Взаимно простые числа – определение, примеры и свойства.

Информация этой статьи покрывает тему «взаимно простые числа». Сначала дано определение двух взаимно простых чисел, а также определение трех и большего количества взаимно простых чисел. После этого приведены примеры взаимно простых чисел, и показано, как доказать, что данные числа являются взаимно простыми. Дальше перечислены и доказаны основные свойства взаимно простых чисел. В заключение упомянуты попарно простые числа, так как они тесно связаны со взаимно простыми числами.

Навигация по странице.

Взаимно простые числа – определение и примеры

Понятие взаимно простых чисел дается как для двух целых чисел, так и для их большего числа. Сначала приведем определение двух взаимно простых чисел. Это определение дается через наибольший общий делитель чисел, так что рекомендуем сначала разобраться с материалом указанной статьи.

Приведем примеры взаимно простых чисел.

Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми. Либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Приведем пример, иллюстрирующий это высказывание.

Часто встречаются задания, в которых требуется доказать, что данные целые числа являются взаимно простыми. Доказательство сводится к вычислению наибольшего общего делителя данных чисел и проверке НОД на его равенство единице. Полезно также перед вычислением НОД заглянуть в таблицу простых чисел: вдруг исходные целые числа являются простыми, а мы знаем, что наибольший общий делитель простых чисел равен единице. Рассмотрим решение примера.

Докажите, что числа 84 и 275 являются взаимно простыми.

Определение взаимно простых чисел можно расширить для трех и большего количества чисел.

Из озвученного определения следует, что если некоторый набор целых чисел имеет положительный общий делитель, отличный от единицы, то данные целые числа не являются взаимно простыми.

Обычно далеко не очевидно, что некоторые числа являются взаимно простыми, и этот факт приходится доказывать. Для выяснения, являются ли данные числа взаимно простыми, приходится находить наибольший общий делитель этих чисел, и на основании определения взаимно простых чисел делать вывод.

Источник

Что такое взаимно простые числа

Содержание статьи

Простым в математике называется такое число, которое можно разделить только на единицу и на само себя. 3, 7, 11, 143 и даже 1 111 111 – все это простые числа, причем каждое из них обладает данным свойством в отдельности.

Чтобы говорить о взаимно простых числах, их должно быть не менее двух. Данное понятие характеризует общий признак нескольких чисел.

Определение взаимно простых чисел

Взаимно простыми называются такие числа, которые не имеют общего делителя, не считая единицы – например, 3 и 5. При этом каждое число в отдельности может и не быть простым само по себе.

Например, число 8 к таковым не относится, ведь его можно разделить на 2 и на 4, но 8 и 11 – взаимно простые числа. Определяющим признаком здесь является именно отсутствие общего делителя, а не характеристики отдельных чисел.

Впрочем, два и более простых числа всегда будут взаимно простыми. Если каждое из них делится лишь на единицу и на само себя, то общего делителя у них быть не может.

Для взаимно простых чисел существует особое обозначение в виде горизонтального отрезка и опущенного на него перпендикуляра. Это соотносится со свойством перпендикулярных прямых, у которых нет общего направления, как и у этих числе нет общего делителя.

Попарно взаимно простые числа

Возможно и такое сочетание взаимно простых чисел, из которого можно взять наугад любые два числа, и они обязательно окажутся взаимно простыми. Например, 2, 3 и 5: общего делителя не имеют ни 2 и 3, ни 2 и 5, ни 5 и 3. Такие числа именуют попарно взаимно простые.

Не всегда взаимно простые числа бывают попарно взаимно простыми. Например, числа 15, 20 и 21 – это взаимно простые числа, но назвать их попарно взаимно простыми нельзя, ведь 15 и 20 делятся на 5, а 15 и 21 – на 3.

Применение взаимно простых чисел

В цепной передаче, как правило, количество звеньев цепи и зубьев звездочки выражаются взаимно простыми числами. Благодаря этому каждый из зубьев соприкасается с каждым звеном цепи поочередно, механизм меньше изнашивается.

Существует и еще более интересное свойство взаимно простых чисел. Необходимо начертить прямоугольник, длина и ширина которого выражаются взаимно простыми числами, и провести из угла внутрь прямоугольника луч под углом 45 градусов. В точке соприкосновения луча со стороной прямоугольника нужно начертить другой луч, расположенный под углом 90 градусов к первому – отражение. Делая такие лучи-отражения раз за разом, можно получить геометрический узор, в котором любая часть по структуре подобна целому. С точки зрения математики такой узор является фрактальным.

Источник

Взаимно простые числа

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Примеры: 14 и 25 взаимно просты, а 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель 5).

Наглядное представление: если на плоскости построить «лес», установив на точки с целыми координатами «деревья» нулевой толщины, то из начала координат видны только деревья, координаты которых взаимно просты.

Содержание

Обозначения

Для указания взаимной простоты чисел и используется обозначение [1] :

Подобно тому, как перпендикулярные прямые не имеют общего направления, так и перпендикулярные числа не имеют общих сомножителей. [1]

Однако не все математики признают и используют это обозначение. Чаще всего используется словесная формулировка или эквивалентная запись , что означает: «наибольший общий делитель чисел a и b равен 1».

Связанные определения

Примеры

Свойства

Обобщения

Понятия простого числа и взаимно простых чисел естественно обобщаются на произвольные коммутативные кольца, например, на кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Обобщением понятия простого числа является «неприводимый элемент». Два элемента кольца называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме делителей единицы. При этом аналог основной теоремы арифметики выполняется не во всех, а только в факториальных кольцах.

Применение

Обычно число зубьев на звёздочках и число звеньев цепи в цепной передаче стремятся делать взаимно простыми, что обеспечивает равномерность износа: каждый зуб звёздочки будет поочерёдно работать со всеми звеньями цепи.

См. также

Примечания

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Взаимно простые числа» в других словарях:

ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Большой Энциклопедический словарь

взаимно-простые числа — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN relative prime … Справочник технического переводчика

Взаимно-простые числа — Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Содержание 1 Связанные определения 2 Примеры 3 Свойства 4 См. также … Википедия

взаимно простые числа — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; например, 15 и 16. * * * ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА, натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Энциклопедический словарь

Взаимно простые числа — несколько целых чисел, таких, что общими делителями для всех этих чисел являются лишь + 1 и 1. Если каждое из этих чисел взаимно просто с каждым другим из них, то говорят, что числа попарно простые (для двух чисел оба понятия совпадают).… … Большая советская энциклопедия

ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Простые числа — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… … Википедия

Простые множители — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… … Википедия

Попарно взаимно просты — Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Содержание 1 Связанные определения 2 Примеры 3 Свойства 4 См. также … Википедия

Источник

Взаимно простые числа

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение взаимно простых чисел

Сначала определимся, что значит простое число.

Главное свойство простых чисел в том, что простое число делится только на единицу и на само себя.

Таких чисел немного, большинство все-таки можно разделить на другие числа. В простых числах самое важное — это деление нацело. Дробные частные и деление с остатком не рассматриваем.

Понятие взаимно простых чисел можно применить для двух целых чисел или для большего количества. Сформулируем, какие числа называются взаимно простыми.

Взаимно простые числа

Два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице — то есть НОД (a, b) = 1.

Проще говоря, взаимно простые числа — это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать так: НОД (a, b).

Наибольший общий делитель взаимно простых чисел — это единица, что следует из определения взаимно простых чисел.

Приведем примеры взаимно простых чисел.

Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми. Вот такая математика в 5 классе. И еще раз: либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Приведем пример.

Делители 8: ±1, ±2, ±4, ±8.

На математике в 5 и 6 класса часто встречаются задания, в которых нужно доказать, что конкретные целые числа являются взаимно простыми. Из чего обычно состоит такое доказательство:

Перед вычислением НОД можно заглянуть в таблицу простых чисел и проверить, вдруг исходные целые числа можно назвать простыми. Тогда решение будет проще, так как мы знаем, что НОД простых чисел равен единице.

Повторим еще раз. Что значит взаимно простые числа? Это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы.

Пример 1

Доказать, что числа 84 и 275 являются взаимно простыми.

Сверяемся с таблицей простых чисел. 84 и 275 не являются простыми, поэтому нельзя сразу сказать об их взаимной простоте.

Вычислим НОД. Используем алгоритм Евклида для нахождения НОД:

Доказали, что числа 84 и 275 взаимно простые.

Определение взаимно простых чисел можно расширить для трех и большего количества чисел.

То есть если у некоторого набора целых чисел есть положительный общий делитель, отличный от единицы, то эти целые числа не являются взаимно простыми.

Любая совокупность простых чисел составляет набор взаимно простых чисел, например, 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 677 — взаимно простые числа. А четыре числа 12, −9, 900 и −72 не являются взаимно простыми, так как у них есть положительный общий делитель 3. Числа 17, 85 и 187 тоже не взаимно простые, потому что каждое из них можно разделить на 17.

Как определить взаимно простые числа:

Пример 2

Являются ли числа 331, 463 и 733 взаимно простыми?

Заглянем в таблицу простых чисел. Видим, что 331, 463 и 733 — простые. Значит, у них есть единственный положительный общий делитель — единица. Поэтому, 331, 463 и 733 есть взаимно простые числа.

Пример 3

Доказать, что числа −14, 105, −2 107 и −91 не являются взаимно простыми.

Найдем НОД заданных чисел и убедимся, что он не равен единице.

Делители целых отрицательных чисел совпадают с делителями соответствующих противоположных чисел. Поэтому НОД (−14, 105, 2 107, −91) = НОД (14, 105, 2 107, 91). Посчитаем:

НОД (14, 105, 2 107, 91) = 7.

Мы получили, что наибольший общий делитель исходных чисел равен семи, поэтому эти числа не являются взаимно простыми. Доказали.

Свойства взаимно простых чисел

У взаимно простых чисел есть определенные свойства. Рассмотрим основные свойства взаимно простых чисел.

Свойство 1

Числа, которые получились при делении целых чисел a и b на их наибольший общий делитель, называются взаимно простыми. То есть, a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Это свойство взаимно простых чисел помогает находить пары взаимно простых чисел. Для этого достаточно взять два любых целых числа и разделить их на наибольший общий делитель. В результате получим взаимно простые числа.

Свойство 2

Докажем эту необходимость:

Пусть числа a и b взаимно простые. Тогда по определению взаимно простых чисел НОД (a, b) = 1. А из свойств НОД мы знаем, что для целых чисел a и b верно соотношение Безу au₀ + bv₀ = НОД (a, b). Следовательно, au₀ + bv₀ = 1.

Соотношение Безу — представление НОД целых чисел в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами.

Докажем достаточность:

Свойство 3

Если числа a и b взаимно простые, и произведение ac делится на b — значит c делится на b.

Действительно, так как a и b взаимно простые, то из предыдущего свойства у нас есть равенство au₀ + bv₀ = 1. Если умножть обе части этого равенства на c, получится acu₀ + bcv₀ = c.

Первое слагаемое суммы acu₀ + bcv₀ делится на b, так как ac делится на b по условию, второе слагаемое этой суммы также делится на b, так как один из множителей равен b. Можно сделать вывод, что вся сумма делится на b. А так как сумма acu₀ + bcv₀ равна c, то и c делится на b.

Свойство 4

Если числа a и b взаимно простые, то НОД (ac, b) = НОД (c, b).

Покажем, во-первых, что НОД (ac, b) делит НОД (c, b), а во-вторых, что НОД (c, b) делит НОД (ac, b), это и будет доказывать равенство НОД (ac, b) = НОД (c, b).

НОД (ac, b) делит и ac и b, а так как НОД (ac, b) делит b, то он также делит и bc. То есть, НОД (ac, b) делит и ac и bc, следовательно, в силу свойств наибольшего общего делителя он делит и НОД (ac, bc), который по свойствам НОД равен c * НОД (a, b) = c. Таким образом, НОД (ac, b) делит и b и c, следовательно, делит и НОД (c, b).

С другой стороны, НОД (c, b) делит и c и b, а так как он делит с, то также делит и ac. Поэтому НОД (c, b) делит и ac и b, следовательно, делит и НОД (ac, b).

Так мы показали, что НОД (ac, b) и НОД (c, b) взаимно делят друг друга, значит, они равны.

Свойство 5

Предыдущее свойство взаимно простых чисел поможет намзаписать ряд равенств вида:

Определение попарно простых чисел

Через взаимно простые числа можно дадим определение попарно простых чисел.

Приведем пример попарно простых чисел.

При этом, взаимно простые числа далеко не всегда могут быть попарно простыми. Подтвердим на примере. 8, 16, 5 и 15 не являются попарно простыми, так как числа 8 и 16 не взаимно простые. Однако, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые. Таким образом, 8, 16, 5 и 15 — взаимно простые, но не попарно простые.

Остановимся на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Эти числа всегда являются и взаимно простыми и попарно простыми. Например, 71, 443, 857, 991 — и попарно простые, и взаимно простые.

Когда речь идет о двух целых числах, то для них понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.

Источник

Взаимно простые числа – какие, примеры, определение, таблица (6 класс, математика)

Взаимно простые числа тема достаточно сложная тема 6 класса математики. Как и простые числа, тема взаимно простых чисел используется для сложения и вычитания дробей. Чтобы не допускать ошибок в этой теме разберемся в вопросе подробнее.

Простые числа

Что такое простое число? Простое число делится только на ноль и на само себя. Например, число 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13. Секрет в том, что практически каждое число можно разделить на другое число. Но в простых числах важно именно деление нацело, дробные частные и деление с остатком не рассматривается.

Простые числа в знаменателях дробей означают, что для нахождения общего знаменателя нужно перемножить эти числа между собой. Разложить простые числа на множители невозможно. Поэтому НОД двух простых чисел это их произведение.

Числа, которые содержат в себе больше двух множителей, то есть делятся на несколько чисел, называются сложными. Сложные числа состоят из перемноженных простых.

Взаимно простые числа

Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен единицы. Доказать факт того, что числа являются взаимно простыми можно только с помощью разложения чисел на простые множители. Если у чисел нет общих множителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми.

При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.

Нужно учитывать, что взаимно простыми могут быть не только два числа, но и 3, 4, 10 – любое множество чисел может быть взаимно простым.

Как определить взаимно простые числа?

Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:

Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.

Пример

Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282

Определение начинается с разложения на множители:

Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.

Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа. Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку. На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой

Что мы узнали?

Мы поговорили о простых числах. Выяснили, что такое взаимно простые числа и обговорили некоторые их свойства. Привели примеры взаимно простых чисел. Обговорили неправильные мнения по поводу простых и взаимно простых чисел.

Источник