Что такое взаимно простые числа 6 класс математика упражнение 147

Видеоурок «Взаимно простые числа»

§ 1 Понятие взаимно простых чисел

В этом уроке Вы узнаете, какие числа называются взаимно простыми, и научитесь их определять.

Итак, что подразумевается под понятием «взаимно простые числа»?

Рассмотрим два натуральных числа 25 и 26. Это составные числа.

Натуральное число 25 делится без остатка на 1, 5, 25.

А натуральное число 26 делится без остатка на 1, 2, 13, 26.

Видим, что числа 25 и 26 имеют только один общий делитель – это число 1.

Такие числа называют взаимно простыми.

Таким образом, можно сделать вывод:

Натуральные числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

§ 2 Определение взаимно простых чисел

Даны пары натуральных чисел 14 и 28, 15 и 22.

Определим, какие из данных пар являются взаимно простыми.

Для этого необходимо определить, какие делители имеет каждое из чисел.

14 без остатка делится на 1, 2, 7, 14;

28 без остатка делится на 1, 2, 4, 7, 14, 28.

Мы видим, что числа 14 и 28, кроме единицы, имеют и другие общие делители — 2, 7, 14, а значит, не являются взаимно простыми числами.

Теперь рассмотрим другую пару чисел 15 и 22.

Число 15 делится без остатка на 1, 3, 5, 15, а число 22 делится без остатка на 1, 2, 11, 22. Мы видим, что числа 15 и 22 имеют только один общий делитель — 1.

Значит, пара натуральных чисел 15 и 22 являются взаимно простыми числами.

Теперь возьмем еще два составных натуральных числа 45 и 32.

Натуральное число 45 делится на 1, 3, 5, 9, 15, 45, а натуральное число 32 делится на 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Видим, что эти числа имеют только один общий делитель — 1.

Значит, числа 45 и 32 являются взаимно простыми.

Разложим эти числа на простые множители. 45=3*3*5, 32=2*2*2*2*2.

Легко заметить, что взаимно простые натуральные числа 45 и 32 в разложении на простые множители не содержат одинаковых простых множителей.

Таким образом, приходим к выводу, что разложения на простые множители взаимно простых чисел не содержат одних и тех же простых множителей.

Итак, в этом уроке Вы узнали, какие числа называются взаимно простыми, а также научились определять взаимно простые числа.

Источник

Взаимно простые числа

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Примеры: 14 и 25 взаимно просты, а 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель 5).

Наглядное представление: если на плоскости построить «лес», установив на точки с целыми координатами «деревья» нулевой толщины, то из начала координат видны только деревья, координаты которых взаимно просты.

Содержание

Обозначения

Для указания взаимной простоты чисел и используется обозначение [1] :

Подобно тому, как перпендикулярные прямые не имеют общего направления, так и перпендикулярные числа не имеют общих сомножителей. [1]

Однако не все математики признают и используют это обозначение. Чаще всего используется словесная формулировка или эквивалентная запись , что означает: «наибольший общий делитель чисел a и b равен 1».

Связанные определения

Примеры

Свойства

Обобщения

Понятия простого числа и взаимно простых чисел естественно обобщаются на произвольные коммутативные кольца, например, на кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Обобщением понятия простого числа является «неприводимый элемент». Два элемента кольца называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме делителей единицы. При этом аналог основной теоремы арифметики выполняется не во всех, а только в факториальных кольцах.

Применение

Обычно число зубьев на звёздочках и число звеньев цепи в цепной передаче стремятся делать взаимно простыми, что обеспечивает равномерность износа: каждый зуб звёздочки будет поочерёдно работать со всеми звеньями цепи.

См. также

Примечания

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Взаимно простые числа» в других словарях:

ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Большой Энциклопедический словарь

взаимно-простые числа — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN relative prime … Справочник технического переводчика

Взаимно-простые числа — Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Содержание 1 Связанные определения 2 Примеры 3 Свойства 4 См. также … Википедия

взаимно простые числа — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; например, 15 и 16. * * * ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА, натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Энциклопедический словарь

Взаимно простые числа — несколько целых чисел, таких, что общими делителями для всех этих чисел являются лишь + 1 и 1. Если каждое из этих чисел взаимно просто с каждым другим из них, то говорят, что числа попарно простые (для двух чисел оба понятия совпадают).… … Большая советская энциклопедия

ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА — натуральные числа, не имеющие общих делителей, отличных от 1; напр., 15 и 16 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Простые числа — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… … Википедия

Простые множители — Простое число это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на… … Википедия

Попарно взаимно просты — Два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Содержание 1 Связанные определения 2 Примеры 3 Свойства 4 См. также … Википедия

Источник

Числа. Взаимно простые числа.

Целые числа будут взаимно простыми, когда у них не будет ни одного общего делителя (множителя), не считая ±1.

14, 25 взаимно простые — не существует общих делителей.

15, 25 не взаимно простые (общий делитель 5).

6, 8, 9 взаимно простые — не существует делителей, общих для 3-х чисел.

Пример: расстановим на плоскости точки с целыми координатами нулевой толщины, так чтобы из начала координат были видны лишь точки, у которых координаты взаимно просты.

Числа 4 и 9 взаимно простые, значит, диагональ решетки 4 на 9 не пересекает других точек решетки.

Целые числа a₁, a₂, …, a_k, k>₂ будут взаимно простыми, когда НОД этих чисел будет 1.

Свойства взаимно простых чисел.

Числа a и b взаимно просты лишь в том случае, если выполняется одно из эквивалентных условий:

Всякие 2 (разных) простых числа всегда будут взаимно простыми.

Когда a — делитель произведения bc, и a взаимно просто с b, значит a — делитель c.

Возможность того, что любое k, которое выбрано случайным образом, положительных целых чисел окажутся взаимно простыми, соответствует 1/ζ(k), при этом, при N→∞ возможность того, что k положительных целых чисел, которые меньше N (и которые выбраны случайно) окажутся взаимно простыми, стремится к 1/ζ(k).

2 натуральных числа, которые расположены рядом, всегда взаимно просты.

Примеры взаимно простых чисел:

8, 15 — взаимно простые, но не простые.

6, 8, 9 — не попарно взаимно простые, но взаимно простые числа.

8, 15, 49 — попарно взаимно простые.

Применение взаимно простых чисел.

Зачастую количество зубьев на звёздочках и количество звеньев цепи в цепной передаче стараются сделать взаимно простыми. Это дает более равномерный износ: все зубья звёздочки будут по очереди работать с каждым из звеньев цепи.

Источник

Что такое взаимно простые числа 6 класс математика упражнение 147

Онлайн калькулятор определит являются ли число взаимно простыми, путем нахождения наибольшего общего делителя чисел.

Для определения взаимно простых чисел необходимо указать количество и ввести числа.

Нажмите кнопку рассчитать и калькулятор укажет как определить взаимно простые числа.

Определение взаимно простых чисел

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Ниже описано как определить являются ли числа 35 и 40 взаимно простыми.

Пример Определить являются ли 77 и 20 взаимно простыми числами

.

Примеры взаимно простых чисел

Рассмотрим на примере как определить взаимно простые числа.

Пример Являются ли числа 42 и 55 взаимно простыми

.

Определим что 3 числа 10, 30, 41 являются взаимно простыми.

Пример Проверить что числа 10, 30, 41 взаимно просты

.

Источник

6. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Задача. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?

Решение. Каждое из чисел 48 и 36 должно делиться на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа 48.

Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Затем выпишем все делители числа 36.

Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Видим, что наибольшим из этих чисел является 12. Его называют наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Значит, можно составить 12 подарков. В каждом подарке будет 4 конфеты «Ласточка» (48 : 12 = 4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36 : 12 = 3).

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.

Делителями 24 будут 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут 1, 5, 7, 35.

Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми.

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Наибольший общий делитель можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:

48 = 2 • 2 • 2 • 2 • 3, 36 = 2 • 2 • 3 • 3.

Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).

Остаются множители 2 • 2 • 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.

Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Вопросы для самопроверки

Выполните упражнения

В предложениях с сочетаниями общий делитель, наибольший общий делитель числительные читают в родительном падеже, если перед ними нет слова чисел, и в винительном падеже в противном случае:

— пять — общий делитель двадцати и тридцати.

— число пять — наибольший общий делитель чисел двадцать и двадцать пять.

150. Найдите среди чисел 9, 14, 15 и 27 три пары взаимно простых чисел.

151. Запишите все правильные дроби со знаменателем 12, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

152. Ребята получили на новогодней ёлке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?

153. Для поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, с одинаковым числом мест в каждом автобусе. В лес поехали 424 человека, а на озеро — 477 человек. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека не осталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было в каждом автобусе?

154. Вычислите устно:

155. С помощью рисунка 7 определите, являются ли числа а, b и с простыми.

158. Почему, если одно число можно разложить на два простых множителя, а другое — на три простых множителя, то эти числа не равны?

159. Можно ли найти четыре различных простых числа, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других?

160. Сколькими способами в девятиместном микроавтобусе могут разместиться 9 пассажиров? Сколькими способами могут разместиться пассажиры, если один из них, хорошо знающий маршрут, сядет рядом с водителем?

163. С помощью транспортира постройте ∠AОВ = 35° и ∠DEF = 140°.

166. Представьте в виде обыкновенной дроби числа 0,3; 0,13; 0,2 и в виде десятичной дроби числа .

167. Выполните действие, записав каждое число в виде десятичной дроби:

168. Вы умеете представлять числа в виде произведения простых чисел. Попробуйте представить в виде суммы простых слагаемых числа 10, 36, 54, 15, 27 и 49 так, чтобы слагаемых было возможно меньше. Какие предположения о представлении чисел в виде суммы простых слагаемых вы можете высказать?

171. Докажите, что числа 864 и 875 взаимно простые.

173. Постройте угол АОС, равный 130°. Проведите внутри угла АОС луч О В так, чтобы ∠ BOC = 40°. Измерьте угол АОВ.

174. В городе построен завод, на котором будут работать 840 рабочих следующих профессий: токари, слесари и фрезеровщики. При этом токарей будет втрое, а слесарей вдвое больше, чем фрезеровщиков. Сколько токарей нужно для завода?

175. В инкубатор заложили 1200 яиц. Из всех яиц вылупились цыплята. При этом оказалось, что петушки составляют всех вылупившихся цыплят. Сколько петушков и сколько курочек вылупилось из яиц?

176. Представьте в виде обыкновенной дроби числа: 0,5; 0,16; 0,25.

177. Представьте в виде десятичнои дроби числа:

Источник