Что такое взаимно перпендикулярные

Перпендикулярность

Смотреть что такое «Перпендикулярность» в других словарях:

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ — (от сл. перпендикуляр). Отвесность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ от слова перпендикуляр. Отвесность. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык,… … Словарь иностранных слов русского языка

перпендикулярность — вертикальность, нормальность, ортогональность Словарь русских синонимов. перпендикулярность сущ., кол во синонимов: 4 • вертикальность (3) • … Словарь синонимов

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ — ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ, перпендикулярности, мн. нет, жен. (мат.). Перпендикулярное положение. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

перпендикулярность — ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЙ, ая, ое; рен, рна. Являющийся перпендикуляром. Перпендикулярные линии. Расположить перпендикулярно (нареч.) к чему н. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Перпендикулярность — 4.16 Перпендикулярность: а) поверхности 6 к поверхностям 7 и 9; Источник: ГОСТ 2110 93: Станки расточные горизонтальные с крестовым столом. Нормы точности оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Перпендикулярность — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.) в евклидовом пространстве. Частный случай ортогональности. Содержание 1 На плоскости 1.1 Перпендикулярные … Википедия

Перпендикулярность — ж. Перпендикулярное положение, расположенность под прямым углом к чему либо. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

перпендикулярность — перпендикулярность, перпендикулярности, перпендикулярности, перпендикулярностей, перпендикулярности, перпендикулярностям, перпендикулярность, перпендикулярности, перпендикулярностью, перпендикулярностями, перпендикулярности, перпендикулярностях… … Формы слов

перпендикулярность — перпендикул ярность, и … Русский орфографический словарь

перпендикулярность — см. перпендикулярный; и; ж. Перпендикуля/рность плоскостей. Перпендикуля/рность расположения предметов … Словарь многих выражений

Источник

Перпендикуляр

Содержание

Перпендикулярность прямых на плоскости

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями и будут перпендикулярны, если выполнено условие . (Здесь α₁,α₂ — углы наклона прямой к горизонтали)

Перпендикулярность прямых в пространстве

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней.

Построение перпендикуляра на плоскости

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A’ и В’ соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярность плоскостей в 3-мерном пространстве

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90 градусам.

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Таких пар 6 (): xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Источник

Перпендикулярность

Содержание

На плоскости

Перпендикулярные прямые

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями и будут перпендикулярны, если выполнено условие . Эти же прямые будут перпендикулярны, если . (Здесь — углы наклона прямой к горизонтали)

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: , предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.

Построение перпендикуляра

Шаг 1: (красный) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А’ и В’.

Шаг 2: (зелёный) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A’ и В’ соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: (синий) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

A(xa,ya) и B(xb,yb) — прямая, O(xo,yo) — основание перпендикуляра, опущенного из точки P(xp,yp).

Если xa = xb (вертикаль), то xo = xa и yo = yp. Если ya = yb (горизонталь), то xo = xp и yo = ya.

Во всех остальных случаях

xo = (xa*(yb-ya)^2 + xp*(xb-xa)^2 + (xb-xa) * (yb-ya) * (yp-ya)) / ((yb-ya)^2+(xb-xa)^2); yo = (yb-ya)*(xo-xa)/(xb-xa)+ya.

В трёхмерном пространстве

Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна всем прямым лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

В многомерных пространствах

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно : xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Пусть задано n-мерное евклидово пространство (n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство , а прямая l с направляющим векторным пространством и гиперплоскость с направляющим векторным пространством (где , ) принадлежат пространству .

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости , если подпространство ортогонально подпространству , то есть

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Ранее вы уже познакомились с прямыми и выяснили, что они могут пересекаться или не пересекаться.

Сегодня мы продолжим изучать пересекающиеся прямые, которые являются перпендикулярными.

Введём понятие «перпендикулярные прямые».

Для этого рассмотрим две пересекающиеся прямые а и b. Они образуют четыре неразвёрнутых угла. Если один из этих углов будет прямой, то остальные тоже будут прямые, т.к.

∠1 и ∠2 – смежные (по определению смежных углов),

∠1 +∠2=180°(по свойству смежных углов),

∠1 =∠ 3 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов),

∠2 =∠ 4 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов).

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.

Обозначение перпендикулярных прямых:

Построим перпендикулярные прямые.

Для этого воспользуемся чертёжным угольником и линейкой, как изображено на рисунке.

Рассмотрим свойство перпендикулярных прямых.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Рассмотрим прямые АА₁ и ВВ₁, перпендикулярные к прямой РQ. Мысленно перегнем плоскость по прямой РQтак, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА наложится на луч РА₁, аналогично, луч QB наложится на луч QB₁.

Предположим, что прямые АА₁ и ВВ₁пересекаются в точке М.

Мысленно перегнем плоскость по прямой РQ, точка М накладывается на точку М₁.

Через точки М и М₁ проходят две прямые АА₁ и ВВ₁, что неверно. Следовательно, предположение, что прямые АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке М, невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых), следовательно, прямые АА₁ и ВВ₁ один не пересекаются. Что и требовалось доказать.

Данный метод доказательства называют методом от противного. Суть этого метода заключается в том, что предполагают противоположное тому, что требуется доказать. Исходя из предположения, путём рассуждений приходят к противоречию.

Этим методом можно воспользоваться для доказательства теоремыо единственности перпендикуляра к прямой.

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести не более одного перпендикуляра к этой прямой.

Доказательство. Пустьточка не лежит на данной прямой a. Докажем, что из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямойaтак, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При этом точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на некоторую точку B. Получается, что отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK.

Углы AHB и AKB – развернутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки A, H и B лежат на одной прямой, и также точки A, K и B лежат на одной прямой.

Таким образом, мы получили, что через точки A и B проходят две прямые AH и AK. Но это невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых). Следовательно, из точки A можно провести единственный перпендикуляр к прямой а.

Итак, сегодня получили представление о том, что такое перпендикулярные прямые, рассмотрели свойства перпендикулярных прямых, научились строить и обозначать перпендикулярные прямые, узнали о методе доказательства от противного.

Рассмотрим более сложный метод построения прямых углов на местности.

Для построения прямых углов на местности применяют специальные приборы, например, теодолит (в геодезии).

Но самый простой прибор для построения прямых углов на местности – это экер. Он состоит из двух брусков расположенных под углом 90° и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвоздитак, что прямые, проходящие через них, перпендикулярны. Рассмотрим, как с его помощью построить прямые углы. На заданном луче, в нашем случае ОА, устанавливают экер так, что отвес находится точно над точкойО, а направление одного из брусков совпадает с лучом ОА, совмещение помогает осуществить веха, поставленная на луче ОА. Далее провешивают прямую с помощью другого бруска, получается ∠АОВ =90°.

1. Прямые СА и ВD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. Луч ОК – проведён из вершины прямого угла АОВ, так что∠КОВ = 52°. Найдите градусную меру ∠АОК.

Решение: нарисуем рисунок, исходя из условия задачи:

2. Прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, найдите ∠МОВ, если ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD= ∠МОВ.

Решение. Т.к. прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, то ∠СОD = 90°

По условию задачи, ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD = ∠МОВ.

∠ СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 25° + 25° +2·∠МОВ = 50° + 2 · ∠МОВ = 90°

Источник

Взаимное перпендикулярные прямые

В связи с тем, что прямой угол между прямыми общего положения искажается на обеих плоскостях проекций, задачу на построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения приходится сводить к задаче о перпендикулярности прямой и плоскости. При этом исходят из того, что две прямые взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость перпендикулярную к другой прямой.

Рассмотрим пример. Через точку А провести прямую n, перпендикулярную прямой m (рис.5.12).

Сначала через точку А проведём плоскость Σ, перпендикулярную заданной прямой m. Эту плоскость зададим горизонталью и фронталью, каждая из которых перпендикулярна к прямой m (горизонтальная проекция горизонтали h₁┴m₁, фронтальная проекция фронтали f₂┴m₂). Затем нужно найти точку пересечения построенной плоскости с прямой m. Для этого прямую m заключаем во фронтально проецирующую плоскость Θ (фронтальная проекция плоскости Θ₂ совпадает с фронтальной проекцией прямой m₂). Далее определяем прямую 12 пересечения плоскостей Σ и Θ. После этого находим точку 3 пересечения прямой m с плоскостью Σ. Через эту точку и точку А проходит искомая прямая n.

Иногда приходится отвечать на вопрос: перпендикулярны ли между собой две заданные прямые? Для ответа на этот вопрос необходимо выполнить следующие действия:

1) построить вспомогательную плоскость, перпендикулярную одной из заданных прямых;

2) определить взаимное положение второй прямой и вспомогательной плоскости. Если вторая прямая будет принадлежать вспомогательной плоскости или ей параллельна, то заданные прямые перпендикулярны друг другу. В противном случае прямые не перпендикулярны.

Рассмотрим пример. Определить, перпендикулярны ли между собой прямые n и m (рис.5.13).

Через произвольную точку А прямой m проводим плоскость Θ, перпендикулярную прямой n. Эту плоскость зададим горизонталью и фронталью, каждая из которых перпендикулярна к прямой n. Затем в плоскости Θ строим прямую 12, так, чтобы, например, фронтальная проекция 1₂2₂ была бы параллельна фронтальной проекции n₂ прямой n. Теперь если горизонтальные проекции прямых 1₁2₁ и n₁ окажутся параллельными, то прямая n будет параллельна плоскости Θ и, следовательно, будет перпендикулярна к прямой m. Однако в случае, приведённом на рис.5.13 проекции прямых 1₁2₁ и n₁ не параллельны. А это значит, что заданные прямые m и n не перпендикулярны друг другу.

Источник