Что такое высказывание приведите примеры истинных и ложных высказываний
Что такое высказывание приведите примеры истинных и ложных высказываний
Простые и сложные высказывания, логические переменные и логические константы, логическое отрицание, логическое умножение, логическое сложение, таблицы истинности для логических операций
Для описания рассуждений и правил выполнения действий с информацией используют специальный язык, принятый в математической логике. В основе рассуждений содержатся специальные предложения, называемые высказываниями. В высказываниях всегда что-либо утверждается или отрицается об объектах, их свойствах и отношениях между объектами. Высказыванием является любое суждение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Высказываниями могут быть только повествовательные предложения. Вопросительные или побудительные предложения высказываниями не являются.
Высказывание — суждение, сформулированное в виде повествовательного предложения, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
Например, вопросительные предложения «В каком году было первое летописное упоминание о Москве?» и «Что является внешней памятью компьютера?» или побудительное предложение «Соблюдайте правила техники безопасности в компьютерном классе» высказываниями не являются. Повествовательные предложения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1812 г.», «Оперативное запоминающее устройство является внешней памятью компьютера» и «В компьютерном классе не надо соблюдать правила техники безопасности» являются высказываниями, поскольку это суждения, о каждом из которых можно сказать, что оно ложно. Истинными высказываниями будут суждения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1147 г.», «Жесткий магнитный диск является внешней памятью компьютера».
Каждому высказыванию соответствует только одно из двух значений: или «истина», или «ложь», которые являются логическими константами. Истинное значение принято обозначать цифрой 1, а ложное значение — цифрой 0. Высказывания можно обозначать с помощью логических переменных, в качестве которых используются заглавные латинские буквы. Логические переменные могут принимать только одно из двух возможных значений: «истина» или «ложь». Например, высказывание «Информация в компьютере кодируется с помощью двух знаков» можно обозначить логической переменной А, а высказывание «Принтер является устройством хранения информации» можно обозначить логической переменной В. Поскольку первое высказывание соответствует действительности, то А = 1. Такая запись означает, что высказывание А истинно. Так как второе высказывание не соответствует действительности, то В = 0. Такая запись означает, что высказывание в ложно.
Высказывания могут быть простыми и сложными. Высказывание называется простым, если никакая его часть не является высказыванием. До сих пор были приведены примеры простых высказываний, которые обозначались логическими перемены ми. Выстраивая цепочку рассуждений, человек с помощью логических операций объединяет простые высказывания в сложнее’ высказывания. Чтобы узнать значение сложного высказывания нет необходимости вдумываться в его содержание. Достаточно знать значение простых высказываний, составляющих сложное высказывание, и правила выполнения логических операций.
Логическая операция — действие, позволяющее составлять сложное высказывание из простых высказываний.
Все рассуждения человека, а также работа современных технических устройств основываются на типовых действиях с информацией — трех логических операциях: логическом отрицании (инверсии), логическом умножении (конъюнкции) и логическом сложении (дизъюнкции).
Логическое отрицание простого высказывания получают добавлением слов «Неверно, что» в начале простого высказывания.
■ ПРИМЕР 1. Имеется простое высказывание «Крокодилы умеют летать». Результатом логического отрицания будет высказывание «Неверно, что крокодилы умеют летать». Значение исходного высказывания — «ложь», а значение нового — «истина».
■ ПРИМЕР 2. Имеется простое высказывание «Файл должен иметь имя». Результатом логического отрицания будет высказывание «Неверно, что файл должен иметь имя». Значение исходного высказывания — «истина», а значение нового высказывания — «ложь».
Можно заметить, что логическое отрицание высказывания истинно, когда исходное высказывание ложно, и наоборот, логическое отрицание высказывания ложно, когда исходное высказывание истинно.
Логическое отрицание (инверсия) — логическая операция, ставящая в соответствие простому высказыванию новое высказывание, значение которого противоположно значению исходного высказывания.
Обозначим простое высказывание логической переменной А. Тогда логическое отрицание этого высказывания будем обозначать НЕ А. Запишем все возможные значения логической переменной А и соответствующие результаты логического отрицания НЕ А в виде таблицы, которая называется таблицей истинности для логического отрицания (табл. 40).
ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ДЛЯ ЛОГИЧЕСКОГО ОТРИЦАНИЯ
Если/1 = 0, то НЕ А = 1 (см. пример 1).
Если А = 1, то НЕ А = 0 (см. пример 2)
Можно заметить, что в таблице истинности для логического отрицания ноль меняется на единицу, а единица меняется на ноль.
Логическое умножение двух простых высказываний получают объединением этих высказываний с помощью союза и. Разберем на примерах 3—6, что будет являться результатом логического умножения.
■ ПРИМЕР 3. Имеются два простых высказывания. Одно высказывание — «Карлсон живет в подвале». Другое высказывание — «Карлсон лечится мороженым».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подвале, и Карлсон лечится мороженым». Можно сформулировать новое высказывание более кратко: «Карлсон живет в подвале и лечится мороженым». Оба исходных высказывания ложны. Значение нового сложного высказывания также «ложь».
■ ПРИМЕР 4. Имеются два простых высказывания. Первое высказывание — «Карлсон живет в подвале». Второе высказывание — «Карлсон лечится вареньем».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подвале и лечится вареньем». Первое исходное высказывание ложно, а второе истинно. Значение нового сложного высказывания — «ложь».
■ ПРИМЕР 5. Имеются два простых высказывания. Первое высказывание — «Карлсон живет на крыше». Второе высказывание — «Карлсон лечится мороженым».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится мороженым». Первое исходное высказывание истин но, а второе ложно. Значение нового сложного высказывания «ложь».
Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится вареньем». Оба исходных высказывания истинны. Зпачение нового сложного высказывания также «истина».
Можно заметить, что логическое умножение двух высказываний истинно только в одном случае — когда оба исходных высказывания истинн ы.
Логическое умножение (конъюнкция) — логическая операция, ставящая в соответствие двум простым высказываниям новое высказывание, значение которого истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ДЛЯ ЛОГИЧЕСКОГО УМНОЖЕНИЯ
Что такое высказывание приведите примеры истинных и ложных высказываний
Тема 3. Основы математической логики 1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.
1. Логические выражения и логические операции
Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики). Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель).
Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3.
Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают.
С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно.
Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.
В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита.
Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных:
Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями.
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).
Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.
Введем перечисленные логические операции.
В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.
Урок 4. Суждения и высказывания. Введение в силлогистику
В прошлых уроках рассказывалось о том, как правильно работать с понятиями и определениями. Хотя операции над ними очень важны и встречаются повсеместно, сами по себе они ещё не составляют рассуждений. В этом уроке мы как раз приблизимся к теме того, как правильно рассуждать. Мы будем рассматривать рассуждения на примере силлогистики. Силлогистика – это самая древняя логическая система. Она была изобретена древнегреческим философом Аристотелем в IVвеке до н.э. До сих пор она остаётся одной из самых понятных, приближенных к естественному языку и лёгких для изучения логических систем. Одно из главных её достоинств – возможность применения в повседневных ситуациях без особых усилий.
Содержание:
Суждения и высказывания
Что такое рассуждение? Можно было бы сказать: вывод, умозаключение, размышление, доказательство и т.д. Всё это верно, но, пожалуй, самым очевидным ответом было бы: рассуждение – это последовательность суждений, которые в идеале должны быть связаны между собой согласно правилам логики. Поэтому обучение правильному рассуждению нужно начинать с того, что такое суждения и как ими корректно пользоваться.
Суждение – это мысль об утверждении или отрицании наличия некоторой ситуации в мире.
В естественном языке суждения передаются с помощью повествовательных предложений, или высказываний. Примеры суждений, выраженных в высказываниях: «Пришла осень», «Катя не знает английского языка», «Я люблю читать», «Трава зелёная, а небо голубое». Одно и то же суждение может быть выражено с помощь разных высказываний, в частности: «Небо голубое» и «The sky is blue» – разные высказывания, но суждение они выражают одно и то же, так как они передают одну и ту же мысль. Точно также высказывания «Никто не покидал дома» и «Все оставались дома» разные, но они передают одно суждение.
Поскольку высказывания посредством суждений фиксируют какое-то положение дел в мире, в отличие от понятий и определений, мы можем оценивать их с точки зрения их истинности и ложности. Так высказывание «Бил Гейтс основал компанию “Microsoft”» – истинное, а высказывание «Апельсины фиолетовые» – ложное.
Если вспомнить треугольник Фреге, то высказывание будет находиться на вершине, обозначающей знак, суждение будет составлять его смысл, а истина и ложь – значение.
Существует множество типов суждений и, соответственно, высказываний. Разные логические системы концентрируются на их разных аспектах. Силлогистика работает с так называемыми категорическими атрибутивными высказываниями. Категорические высказывания противопоставляются гипотетическим. Гипотетические высказывания говорят о возможности наличия или отсутствия какой-то ситуации в мире: «Возможно, пойдёт дождь». Категорические высказывания безапелляционно утверждают о том, что какая-то ситуация имеется или не имеется: «Пошёл дождь». Термин «атрибутивный» означает, что эти высказывания говорят о наличии либо отсутствии у предмета или класса предметов некоторого свойства. Примеры категорических атрибутивных высказываний: «Моя машина синего цвета», «Парк около нашего дома большой», «Никто не любит рыбий жир», «Некоторые люди считают, что они самые умные». Хотя на первый взгляд может показаться, что из-за концентрации именно на категорических атрибутивных высказываниях, применение силлогистики ограничено, это не так. Огромный пласт рассуждений не выходит за рамки подобных высказываний, а потому знания силлогистики оказывается достаточно для того, чтобы научиться размышлять логично и не давать ввести себя в заблуждение.
Состав и виды категорических атрибутивных высказываний
Категорические атрибутивные высказывания состоят из терминов, предицирующих связок и кванторов.
Термины делятся на субъект и предикат.
Предицирующие связки, как, возможно, вы помните из первого урока, это связки «есть» и «не есть». В естественном языке они могут выражаться с помощью разных слов и конструкций: «есть», «являться», «суть», «это», «выступать», знака тире, глаголов, либо вообще опускаться.
Кванторы – это слова, указывающие на количественные характеристики субъекта. Существует два вида кванторов: квантор общности («все», «каждый», «любой», «ни один», «никто») и квантор существования («некоторые», «не все», «какой-либо», «многие»). Также как и предицирующие связки, кванторы в естественной речи могут опускаться. Мы можем сказать: «Люди равны перед законом», подразумевая, что «Все люди равны перед законом»; или «Дети любят сладкое» – подразумевая, что «Многие дети любят сладкое». Зачастую лучше всего уточнить у вашего собеседника, какой именно квантор он имеет в виду, так как это будет сказываться на условиях истинности его высказываний.
Давайте разберём следующее высказывание: «Кошки мурлычут, когда им приятно». «Кошки» – это субъект, «существа, мурлычущие, когда им приятно» – это предикат. Также здесь присутствует невидимая связка «есть», которая соединяет субъект с предикатом, и невидимый квантор общности «все». Так, если записать это высказывание в соответствии с его логической формой, то получим: «Все кошки есть существа, которые мурлычут, когда им приятно». Благодаря этому примеру становится ясно, что прежде чем определять, истинно высказывание или ложно, нужно выявить его логическую форму и преобразовать исходное высказывание так, чтобы все четыре элемента (квантор, субъект, связка, предикат) были на своих местах.
В зависимости от свойств логических и нелогических терминов, входящих в состав категорических атрибутивных высказываний, их можно разделить на несколько видов.
Если мы скомбинируем эти виды между собой, то получается, что всего существует шесть видов категорических атрибутивных высказываний:
Условия истинности для категорических атрибутивных высказываний в традиционной силлогистике
Следует начать с того, что традиционная силлогистика накладывает два ограничения на используемые термины, а именно: они должны быть непусты и неуниверсальны, то есть если под термин не подпадает ни один объект из универсума рассмотрения или, наоборот, подпадают все объекты универсума, то они не могут быть предметом рассмотрения. Посмотрим на рисунки:
Первый рисунок изображает ситуацию, когда термин А пуст, поэтому весь квадратик (универсум рассмотрения) остался белым. Второй рисунок показывает случай, когда объём термина А совпадает с объёмом универсума рассмотрения, поэтому весь квадрат заштрихован. Последний рисунок репрезентирует термин А, который является непустым и в то же время неуниверсальным. Заштрихованая область соотвествует объёму А. Традиционная силлогистика работает только с терминами, которые соотвествуют третьему рисунку. Такое условие ставится для того, чтобы исключить из рассмотрения высказывания, которые невозможно оценить как истинные либо ложные. Возьмём высказывание: «Все дети Ивана лысые». Вроде бы с высказыванием всё впорядке, однако представьте, что у Ивана нет детей. Мы не можем в данном случае просто сказать, что высказывание ложное. Если назвать его ложным, то тем самым мы подразумеваем, что не все дети Ивана лысые, а это не так. В то же время мы не можем сказать, что оно истинное. Выход из этого затруднительного положения состоит как раз в том, чтобы указать на пустоту термина «дети Ивана». Поскольку у Ивана нет детей, этот термин пуст, и мы не можем построить с ним корректное высказывание.
Непустота и неуниверсальность термина будут определяться не только контекстом, но и выбранным универсумом рассмотрения. Если наш квадратик представляет собой универсум живых существ или материально существующих предметов, то, конечно, такие термины как «русалка», «хоббит», «дракон» и т.п. окажутся пустыми, и мы не сможем их рассматривать. Однако, если универсум рассмотрения – это мифологические или сказочные существа, то все эти термины перестают быть пустыми. То же самое верно и для универсальности. Термин «люди» может рассматриваться как универсальный, что исключает его из области традиционной силлогистики. Однако если мы хотим сказать «Сократ – человек», то в качестве универсума рассмотрения вполне можно взять живых существ. На универсуме живых существ, термин «люди» уже не будет универсальным.
Кроме того, нужно помнить, что субъект и предикат должны задаваться на одном и том же универсуме рассмотрения.
Теперь посмотрим, при каких условиях разные типы категориальных атрибутивных высказываний будут истинными. Для этого советуем ещё раз заглянуть в урок, посвящённый отношениям между понятиями. По большому счёту, субъект и предикат – это термины, представляющие некоторые понятия. Соответственно, если соединить эти понятия в одном предложении с помощью предицирующих связок и кванторов, то, чтобы узнать будут эти предложения истинными или ложными, достаточно посмотреть на диаграммы, иллюстрирующие отношения между этими двумя понятиями. Итак, преступим.
Единичноутвердительные высказывания формы «s есть P» истинны, только если термины s и P находятся в следующем отношении:
Другими словами, единичноутвердительные высказывания истинны, если точка, представляющая собой имя s, находится внутри кружочка, изображающего объём термина P. Например, возьмём высказывание «Лев Толстой проповедовал вегетарианство». «Лев Толстой» – это субъект, имя s. «Человек, проповедующий вегетарианство» – это предикат, термин P. Это высказывание истинно, так как точка s будет входить в объём термина P. Если же взять высказывание «Николай Гоголь – это великий русский композитор», то точка s, представляющая имя («Николай Гоголь»), не будет входить в объём термина P («великие русские композиторы»). Поэтому это высказывание ложно.
Единичноотрицательные высказывания, имеющие форму «s не есть P» истинны, если термины s и P находятся в следующем отношении:
Как видно из рисунка, здесь имеет место ситуация, прямо противоположная условиям истинности единичноутвердительных высказываний. Если точка, представляющая имя s, находится вне объёма термина P, то высказывание истинно. В обратном случае, оно ложно. Пример истинного единичноотрицательного высказывания: «Александр Пушкин никогда не был во Франции». Ложным единичноотрицательным высказыванием будет: «Иван Бунин не получил Нобелевскую премию по литературе».
Общеутвердительные высказывания формы «Все S есть P» истинны, если термины S и P находятся в одном из следующих отношений:
Первый рисунок изображает отношение равнообъёмности, второй – обратного подчинения. Если объёмы двух терминов совпадают (S и P делят один кружочек) или объём термина S полностью входит в объём термина P (кружочек S полностью включается в P), то общеутвердительное высказывание истинно. Если термины S и P находятся в каком-либо другом отношении, то общеутвердительные высказывания не могут быть истинными. В качестве иллюстрации истинных высказываний можно привести: «Все хвойные растения имеют шишки», «Все киты – это млекопитающие». Пример ложных высказываний: «Все политики – обманщики», «Все девушки мечтают выйти замуж за миллионера». В этих примерах термины, обозначающие субъект и предикат, не находятся ни в одном из указанных выше отношений.
Общеотрицательные высказывания, имеющие форму «Ни один S не есть P» истинны, только если термины S и P находятся в следующих отношениях:
На первом рисунке представлено отношение противоречия, а на втором – соподчинения. Как видно, у S и P нет общих элементов, их объёмы не пересекаются. К примеру, истинными будут высказывания: «Ни один павлин не относится к числу певчих птиц», «Ни один человек младше восемнадцати лет не является совершеннолетним в России». Пример ложного высказывания: «Ни один гуманитарий не разбирается в математике». Высказывание ложно, так как термины «гуманитарий» и «люди, разбирающиеся в математике» не находятся ни в отношении противоречия, ни в отношении соподчинения.
Частноутвердительные высказывания формы «Некоторые S есть P» истинны, если термины S и P находятся в следующих отношениях:
Частноутвердительные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношении противоречия или соподчинения: «Некоторые тракторы – это самолёты», «Некоторые ложные высказывания истинны».
Частноотрицательные высказывания типа «Некоторые S не есть P» истинны, если термины S и P находятся в следующих отношениях:
Это отношения: пересечения, дополнительности, включения, противоречия и соподчинения. Очевидно, что первые три отношения совпадают с тем, что было верно и для частноутвердительных высказываний. Все они как раз представляют случаи, когда некоторые S есть P, и в то же время некоторые S не есть P. Примеры подобных истинных высказываний: «Некоторые здоровые люди не употребляют алкоголь», «Некоторые наши работники из категории младше сорока ещё не достигли возраста и двадцати пяти», «Некоторые деревья не являются вечнозелёными».
По тем же причинам, по которым отношения равнообъёмности и обратного подчинения представляли собой условия истинности для частноутвердительных высказываний, отношения противоречия и соподчинения будут верны для частноотрицательных высказываний. Из высказывания, имеющего форму «Некоторые S не есть P» нельзя логично вывести высказывание «Некоторые S есть P». Однако из высказывания «Все S не есть P» можно перейти к высказыванию «Некоторые S не есть P», так как на основании информации, которой мы обладаем обо всех элементах объёмов терминов S и P, можно сделать вывод и об их отдельных представителях. Поэтому верными будут высказывания: «Некоторые журналы не являются книгами», «Некоторые глупцы не являются умными» и т.п.
Частноотрицательные высказывания будут ложными, только если термины S и P находятся в отношениях равнообъёмности и обратного подчинения. Примеры ложных высказываний: «Некоторые рыбы не умеют дышать под водой», «Некоторые яблоки не являются фруктами».
Итак, мы выяснили, при каких условиях высказывания той или иной формы будут истинными и ложными. При этом стало понятно, что не всегда истинность и ложность высказываний с логической точки зрения совпадает с нашими интуитивными представлениями. Иногда одинаковые на первый взгляд высказывания оцениваются совершенно по-разному, так как за ними скрываются разные логические формы и, следовательно, разные отношения между входящими в них терминами. Эти условия истинности важно запомнить. Они пригодятся, когда в следующем уроке мы научимся складывать высказывания в цепочки рассуждений и будем пытаться найти такие формы умозаключений, которые будут всегда правильными.
Игра «Пересечение множеств»
В этом упражнении вам нужно внимательно прочитать текст задания и правильно расположить множества, соответствующие понятиям.
Напоминаем, что для полноценной работы сайта вам необходимо включить cookies, javascript и iframe. Если вы ввидите это сообщение в течение долгого времени, значит настройки вашего браузера не позволяют нашему порталу полноценно работать.
Упражнения
Прочитайте следующие категориальные атрибутивные высказывания. Определите, к какому типу они относятся. С помощью диаграмм покажите, истинны они или ложны.
Проверьте свои знания
Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.
Напоминаем, что для полноценной работы сайта вам необходимо включить cookies, javascript и iframe. Если вы ввидите это сообщение в течение долгого времени, значит настройки вашего браузера не позволяют нашему порталу полноценно работать.