Что такое высказывание а что такое высказывательная форма

Высказывания и высказывательная форма

1) Математическое предложение, виды предложений.

Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя как естественный словесный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи математических предложений – предложений, которые содержат математические объекты. Они бывают 2-х видов: высказывание и высказывательная форма.

2) Определение высказывания и высказывательной формы.

Высказывание – предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Высказывание принято обозначать заглавными латинскими буквами: А, В, С,…, Z. Например, А: «3 + 7 = 10».

Высказывательная форма – предложение, содержащее одну или несколько переменных, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменных. Высказывательные формы обозначают А(х), А(х, у) и т.д. Например, А(х): «5х + 7 = 17» или А(х, у): «х > у».

3) Значение истинности высказывания.

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно и тем и другим оно не может.

Если высказывание истинно, то записывают «и», если же высказывание ложно, то пишут «л». Например, А: «число 12 – четное», высказывание истинно, значит записываем: А – «и». А: «2 + 5 > 8», высказывание ложно, значит пишем: А – «л».

4) Область определения высказывательной формы.

Область определения высказывательной формы (Х) – множество значений, при которых высказывательная форма обращается в высказывание. Например, неравенство х > 5 можно рассматривать на множестве натуральных чисел, а можно считать, что значение переменной х выбирается из множества действительных чисел. Тогда в первом случае областью определения неравенства х > 5 будет множество натуральных чисел, а во втором множество действительных чисел.

5) Множество истинности высказывательной формы.

Множество истинности высказывательной формы (Т) – множество значений, при которых высказывательная форма обращается в истинное высказывание. Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5; +∞). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3. Всегда Т С Х.

6) Элементарные высказывания.

Высказывания бывают элементарными (простыми) и составными (сложными). Приведу пример элементарного высказывания: А: «число 28 делится на 7», А – «и».

7) Логические связки.

Составные высказывания образуются из элементарных при помощи логических связок: «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда, когда …» и «не». Например, А: «число 28 четное и делится на 7». Это предложение образовано из 2-х элементарных: «число 28 четное», «число 28 делится на 7» с помощью логический связки «и».

8) Составные связки.

«Если углы вертикальные, то они равны». Это предложение состоит из двух элементарных предложений: предложения А: «углы вертикальные» и предложения В: «углы равны». Соединены они в одно составное предложение с помощью логической связки «если…, то…». Говорят, что данное составное предложение имеет логическую структуру: «если А, то В».

9) Операции над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание.

Конъюнкция высказываний А и В – высказывание А^ В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно. Высказывания образуются при помощи союза «и». Например, «число 28 делится на 7 и на 9» является конъюнкцией. Согласно определению высказывание будет ложным.

Дизъюнкция высказываний А и В – высказывание А v В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны. Высказывания образуются при помощи союза «или». Например, «число 28 делится на 7 или на 9» является дизъюнкцией. Согласно определению высказывание будет истинным.

Отрицание высказывания А – высказывание А, которое ложно, если высказывание А истинно, и истинно, если высказывание А – ложно. Высказывания образуются при помощи частицы «не», поставленной перед сказуемым, и слов «неверно, что» – перед всем высказыванием. Например, построим отрицание ложного высказывания «число 28 делится на 9»: «число 28 не делится на 9» и «неверно, что число 28 делится на 9». Высказывания истинные, значит отрицание построено правильно.

Переформулируйте задание, используя язык математической логики: «Какие числа можно записать вместо «а», чтобы получилось верное равенство?»

Найти множество истинности высказывательной формы:

Источник

Лекция 7. Высказывания и высказывательные формы.

Лекция 7. Высказывания и высказывательные формы.

Взаимосвязи между объектами и свойствами выражаются с помощью предложений. Предложения могут быть сформулированы при помощи слов и записаны при помощи математических символов:

«У квадрата все стороны равны»; «5 содержанием и логической структурой.

По структу ре различают элементарные и составные предложения.

Элементарные: 1) «20 – четное число»; 2) «х > 8».

Составные: 1)» 20 четное и делится на 5 «; 2) «х 8»,

Составные предложения образуются из элементарных с помощью слов «и», «или», частицы «не». Эти слова называются логическими связками.

Пример : » 20 четное и делится на 5 «

Среди предложений выделяют высказывания и высказывательные формы.

Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

Высказывания обычно обозначают большими латинскими буквами. Если высказывание А истинно, то записывают: А – «и» или присваивают А значение 1, если высказывание А ложно, то пишут А – «л» или А имеет значение 0. «Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказываний. Например, предложение «Саратов расположен на берегу реки Волги» является высказыванием, причем истинным высказыванием. Предложение «Число 25 делится на 3» – ложное высказывание. Выражение «25 + 6» высказыванием не является, так как о нем нельзя сказать истинно оно или ложно. Не являются высказываниями предложения, содержащие переменную величину, например: «Число х больше числа 8».

Определение. Высказывательной формой или предикатом называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание, если вместо переменных подставить их значения.

П р и м е р 1. Выясните, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие предикатами: а) 452 х – 6 = 4; в) Сколько стоит эта книга?; г) Число кратно 7?

в) Предложение «Сколько стоит эта книга?» не является высказыванием, так как о вопросительных предложениях бессмысленно ставить вопрос об их истинности или ложности. Данное предложение не является и предикатом.

г) Несмотря на то, что в предложении «Число кратно 7» переменная не содержится в явном виде, ее наличие подразумевается, поэтому данное предложение является предикатом. Оно превращается в высказывание при подстановке в него конкретного числа.

Задания для самостоятельной работы по теме:

1. Укажите среди следующих предложений высказывания:

а) Луна – спутник Земли;

б) все учащиеся любят математику;

в) принеси мне, пожалуйста, книгу;

г) некоторые люди имеют голубые глаза;

д) окружностью называется множество всех точек плоскости, расстояние которых от данной точки плоскости имеет заданную величину;

е) вы были в театре?

2. Верно ли высказывание?

а) Два часа больше семи тысяч секунд;

б) в двух квадратных метрах содержится 200 сантиметров ;

в) пять гирь по 3 кг тяжелее 3 гирь по 5 кг ;

г) число 0 меньше любого натурального числа;

д) семью девять – сорок девять;

е) число 8 удовлетворяет равенству х· х – х = 56.

3. Какие из следующих высказываний верны, а какие неверны:

а) у всех львов есть хвосты;

б) некоторые люди дошли на лыжах до Северного полюса;

в) ни в одном месяце нет 50 дней;

г) все деревья растут в лесу;

д) Ни одно дерево не растет в лесу;

е) Некоторые деревья растут в лесу;

ж) некоторые ученики нашего класса были на Луне.

Источник

Высказывательные формы (предикаты) и операции над ними

В математике часто встречаются предложения, содержащие одно или несколько переменных: х

По числу переменных, входящих в высказывательную форму (предикат), их делят на одноместные, двухместные и т.д. и соответственно обозначают: А(х), В(х; у) и т.д.

Следует иметь в виду, что в высказывательной форме переменные могут содержаться неявно.

Например, в предложениях: «Число четное», «Две прямые пересекаются», «Четырехугольник является ромбом» переменных нет, но они подразумеваются: «Число х – четное», «Две прямые х и у пересекаются», «Четырехугольник х является ромбом».

Для каждой высказывательной формы нужно указать множество значений, которые может принимать переменная (переменные), входящая в эту высказывательную форму.

Множество значений, которые может принимать переменная (переменные) высказывательной формы (предиката), называется областью определения высказывательной формы (предиката).

Область определения высказывательной формы будем обозначать через Х и предикаты будем записывать с указанием области определения: А(х), хÎХ; В(х; у), х, уÎХ и т.д. Запись А(х), х Î Х, читают: «Высказывательная форма (предикат) А(х) задана на множестве Х».

1. А(х): «Слово х – глагол», его областью определения будет множество слов русского языка.

3. С(х): «Четырехугольник х – квадрат», Х – множество четырехугольников.

Среди всех возможных значений переменной из области определения выделяют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание.

Множество тех значений переменной из области определения высказывательной формы (предиката), при подстановке которых получаем истинные высказывания, называется множеством истинности высказывательной формы (предиката).

Множество истинности высказывательной формы (предиката) будем обозначать буквой Т. Тогда, согласно определению, ТÌХ (множество Т является подмножеством множества Х).

1. А(х): «Слово х – глагол», его множеством истинности является множество глаголов русского языка.

3. С(х): «Четырехугольник х – квадрат», Т- множество квадратов.

4. D(х; у): «х+у=5». Множество истинности этого предиката может быть различным в зависимости от области определения. Если Х=R или Х=Z, то Т – множество пар чисел, сумма которых равна 5, причем это множество будет бесконечным. Если Х=N, то Т=<(1;4), (2;3), (4;1), (3;2)>.

5. Q(х): «х

Таким образом, высказывательная форма обращается в высказывание при подстановке конкретных значений из области определения вместо каждой переменной, входящей в форму. Но высказывательную форму можно превратить в высказывание и другим способом.

Источник

Лекция 6. Высказывания и высказывательные формы (Математические предложения)

1. Высказывания и высказывательные формы (предикат)

2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний

3. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм

Математические предложения

Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя как естественный словесный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи предложений. Но чтобы математические знания правильно отражали окружающую нас реальность, эти предложения должны быть истинными.

Каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической формой (структурой), причем содержание неразрывно связано с формой, и нельзя осмыслить первое, не понимая второго.

Относительно понятий и отношений между ними можно высказывать различные суждения. Языковой формой суждений являются повествовательные предложения. Например, в начальном курсе математики можно встретить такие предложения:

1) число 12 – четное;

4) В числе 15 один десяток и 5 единиц;

5) От перестановки множителей произведение не изменяется;

6) Некоторые числа делятся на 3.

Видим, что предложения, используя в математике, могут быть записаны как на естественном (русском) языке, так и на математическом, с использованием символов. Далее, о предложениях 1, 4, 5 и 6 можно сказать, что они несут верную информацию, а предложение 2 – ложную. Относительно предложения х + 5 = 8 вообще нельзя сказать: истинное оно или ложное. Взгляд на предложение с позиции – истину или ложь оно нам сообщает – привел к понятию высказывания.

Определение. Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

Например, предложения 1, 2, 4, 5 и 6 – высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6 – истинные, а 2 – ложное.

Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, …, Z. Если высказывание А истинно, то записывают: А – «и», если же высказывание А – ложно, то пишут: А – «л».

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно тем и другим оно не может.

Предложение х + 5 = 8 не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Предложение х + 5 = 8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.

Определение. Одноместной высказывательной формой, заданной на множестве Х, называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной из множества Х.

Множество Х – множество, из которого выбираются значения переменной.

Среди всех возможных значений переменной нас в первую очередь интересуют те, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например, множеством истинности высказывательной формы х > 5, заданной на множестве действительных чисел, будет промежуток (5; ∞). Множество истинности высказывательной формы х + 5 = 8, заданной на множестве целых неотрицательных чисел, состоит из одного числа 3.

Условимся обозначать множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда, согласно определению, всегда Т⊂Х.

Предложения, которые мы рассматривали, были простыми, но можно привести примеры суждений, языковой формой которых будут сложные предложения. Например: «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны». Естественно возникает вопрос: как определить значение истинности таких высказываний и находить множество истинности таких высказывательных форм?

Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо познакомиться с некоторыми логическими понятиями.

Приведем примеры составных предложений.

1) Число 28 четное и делится на 7.

2) Число х меньше или равно 8.

3) Число 14 не делится на 4.

Эти предложения, являясь с логической точки зрения составными, по своей грамматической структуре – простые.

Как определить значение истинности составного высказывания, например, «число 28 делится на 7 и на 9»? Значение истинности высказываний определяется с помощью определенных правил. Но для этого нужно уметь выявлять логическую структуру высказывания.

Для этого нужно установить:

1) из каких элементарных предложений образовано данное составное предложение;

2) с помощью каких логических связок оно образовано.

Определение.Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А∧В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из высказываний ложно.

Обозначают А∧В (читают: «А и В»).

Определение конъюнкции можно записать с помощью таблицы, называемой таблицей истинности.

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 и на 9», которое, как было установлено раньше, состоит из двух элементарных высказываний, соединенных союзом «и», т.е. является конъюнкцией.. Так как первое высказывание истинно, а второе ложно, то, согласно определению конъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет ложным.

Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А∨В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.

Высказывание образовано с помощью союза «или»: А∨В (читают А или В).

Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания «число 28 делится на 7 или на 9». Так как это предложение является дизъюнкцией двух высказываний, одно из которых истинно, то, согласно определению дизъюнкции, высказывание «число 28 делится на 7 и на 9» будет истинным.

В математике союз «или» используется как неразделительный.

Образование составного высказывания с помощью логической связки называется логической операцией.

Определения конъюнкции и дизъюнкции можно обобщить на t составляющих их высказываний.

Конъюнкцией t высказываний называется предложение вида А₁ ∧ А₂ ∧…∧ Аt, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все составляющие его высказывания

Дизъюнкцией t высказываний называется предложение вида А₁ ∨ А₂ ∨…∨ Аt, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны все составляющие его высказывания

В математике рассматривают не только конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний, но и выполняют соответствующие операции над высказывательными формами.

Конъюнкциюодноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) ∧ В(х). С появлением этого предложения возникает вопрос, как найти его множество истинности, зная множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х). Другими словами, при каких значениях х из области определения Х высказывательная форма А(х) ∧ В(х) обращается в истинное высказывание? Очевидно, что это возможно при тех и только тех значениях х, при которых обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х). Если обозначить ТА – множество истинности предложения А(х), ТВ – множество истинности предложения В(х), а множество истинности их конъюнкции Т А∧В, то, по всей видимости, Т А∧В = ТА ∩ ТВ.

Докажем это равенство.

1. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а ∈ Т А∧В. По определению множества истинности это означает, что высказывательная форма А(х) ∧ В(х) обращается в истинное высказывание при х = а, т.е. высказывание А(а) ∧ В(а) истинно. Так как данное высказывание конъюнкция, то получаем, что каждое из высказываний А(а) и В(а) также истинно. Это означает, что а ∈ Т А и а ∈ ТВ. Следовательно, по определению пересечения множеств, а ∈ ТА ∩ ТВ. Таким образом, мы показали, что Т А∧В ⊂ ТА ∩ ТВ.

2. Докажем обратное утверждение. Пусть а – произвольный элемент множества Х и известно, что а ∈ ТА ∩ ТВ. По определению пересечения множества это означает, что а ∈ Т А и а ∈ ТВ, откуда получаем, что А(а) и В(а) – истинные высказывания, поэтому конъюнкция высказываний А(а) ∧ В(а) также будет истинна. А это означает, что элемент а принадлежит множеству истинности высказывательной формы А(х) ∧ В(х), т.е.

а ∈ Т А∧В. Таким образом, мы доказали, что ТА ∩ ТВ ⊂ Т А∧В.

Из 1 и 2 в силу определения равных множеств вытекает справедливость равенства

Т А∧В = ТА ∩ ТВ, что и требовалось доказать.

Заметим, что полученное правило справедливо и для высказывательных форм, содержащих более одной переменной.

Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм А(х) и В(х), заданных на множестве Х, обозначают А(х) ∨ В(х), Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х из области определения Х, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм, т.е.

Т А∨В = ТА ∪ ТВ. Доказательство этого равенства аналогично рассмотренному выше.

Приведем пример. Решим уравнение (х – 2) • (х + 5) = 0. Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что данное уравнение равносильно дизъюнкции: х – 2 = 0 ∨ х + 5 = 0 и поэтому множество его решений может быть найдено как объединение множеств решения первого и второго уравнений, т.е <2>∪ <-5>=<-5, 2>.

Заметим, что дизъюнкцию уравнений (неравенств) называют также совокупностью.

Рассматривая конъюнкцию и дизъюнкцию высказывательных форм, мы установили их тесную связь с пересечением и объединением множеств.

А∩В = <х\ х ∈А ∧ х∈В >, А∪В = <х\ х ∈А ∨ х∈В >, причем каждое свойство представляет собой высказывательную форму.

С введением понятия конъюнкции и дизъюнкции высказывательных форм появились условия для рассмотрения вопросов, связанных с решением определенного вида задач, так называемых задач на распознавание объектов.

В задачах на распознавание объектов требуется ответить на вопрос: принадлежит тот или иной объект объему данного понятия или не принадлежит.

Пример 1. «Установите, какие из фигур являются квадратами, а какие нет».

Решают такие задачи, используя определение соответствующего понятия. При этом важно понимать, что если понятие а определено через родовое понятие с и видовое отличие Р, то его объем А можно представить в таком виде: А = <х\ х ∈С и Р(х) >Эта запись показывает, что характеристическое свойство элементов, принадлежащих объему понятия а, представляет собой конъюнкцию двух свойств:

1) принадлежности объекта х объему С родового понятия (х ∈С);

Пример 2. «Выяснить, в каком случае луч ВD является биссектрисой угла АВС».

Воспользуемся таким определением биссектрисы угла: «Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам». Из него следует, что для того, чтобы луч был биссектрисой угла, он должен обладать двумя свойствами: «выходить из вершины угла» и «делить этот угол пополам».

Луч ВD на рисунке а) не является биссектрисой угла АВС, поскольку он не делит данный угол пополам. Луч ВD на рисунке б) является биссектрисой угла АВС, поскольку он делит данный угол пополам и выходит из вершины угла.

Если видовое отличие представляет собой конъюнкцию свойств, т.е. Р = Р₁∧Р₂∧…∧Рn, то распознавание проводится по следующему правилу: проверяют поочередно наличие у объекта каждого из свойств Р₁, Р₂, …, Рn; если окажется, что он не обладает каким-либо из этих свойств, то проверку прекращают и делают вывод о том, что объект не обладает свойством Р; если же окажется, что все свойства Р₁, Р₂, …, Рn присущи данному объекту, то заключают, что объект обладает свойством Р.

Если видовое отличие представляет собой дизъюнкцию свойств, т.е. Р = Р₁∨Р₂∨…∨Рn, то распознавание проводится по следующему правилу: проверка проводится до тех пор, пока не будет установлено, что хотя бы одно из свойств присуще данному объекту, на основании чего заключают, что объект обладает свойством Р. Если окажется, что он не обладает ни одним из свойств Р₁, Р₂, …, Рn, то проверку прекращают и делают вывод о том, что объект не обладает свойством Р.

Источник