Что такое вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобку

Вынесение общего множителя – один из основных способов разложения на множители. По сути является действием обратным раскрытию скобок.

Главное правило вынесения за скобку:

Выносить за скобку можно только те множители, которые есть во всех слагаемых (одночленах).

К примеру, в выражении \(3ab+5bc-abc\) за скобку можно вынести только \(b\), потому что лишь оно есть во всех трех слагаемых. Процесс вынесения общих множителей за скобку представлен на схеме ниже:

Правила вынесения за скобки

В математике принято выносить сразу все общие множители.

Пример: \(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Обратите внимание, здесь мы могли бы разложить и вот так: \(3(xy-xz)\) или так: \(x(3y-3z)\). Однако это были бы неполные разложения. Выносить надо и тройку, и икс.

Иногда общие члены сразу не видны.

Пример: \(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
В этом случае общий член (пятерка) была скрыта. Однако разложив \(10\) как \(2\) умножить на \(5\), а \(15\) как \(3\) умножить на \(5\) – мы «вытащили пятерку на свет Божий», после чего легко смогли вынести ее за скобку.

Если одночлен выносится полностью – от него остается единица.

Пример: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Мы за скобку выносим \(x\), а третий одночлен и состоит только из икса. Почему же от него остается единица? Потому что если любое выражение умножить на единицу – оно не изменится. То есть этот самый \(x\) можно представить как \(1\cdot x\). Тогда имеем следующую цепочку преобразований:

Более того – это единственно правильный способ вынесения, потому что если мы единицу не оставим, то при раскрытии скобок мы не вернемся к исходному выражению. Действительно, если сделать вынесение вот так \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), то при раскрытии мы получим \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Третий член – пропал. Значит, такое вынесение некорректно.

За скобку можно выносить знак «минус», при этом знаки членов с скобке меняются на противоположные.

Пример: \(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
По сути здесь мы выносим за скобку «минус единицу», которая может быть «выделена» перед любым одночленом, даже если минуса перед ним не было. Мы здесь используем тот факт, что единицу можно записать как \((-1) \cdot (-1)\). Вот тот же пример, расписанный подробно:

Скобка тоже может быть общим множителем.

Таким образом, получаем:

Источник

Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.

Источник

Вынесение общего множителя за скобки

Основной принцип

Распределительный закон умножения позволяет умножить число на сумму (или сумму на число). Например, чтобы найти значение выражения 3 × (4 + 5) можно умножить число 3 на каждое слагаемое в скобках и сложить полученные результаты:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Число 3 и выражение в скобках можно поменять местами (это следует из переместительного закона умножения). Тогда каждое слагаемое, которое в скобках, будет умножено на число 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Распределительный закон умножения иногда называют внесением множителя во внутрь скобок. В выражении 3 × (4 + 5) множитель 3 был за скобками. Умножив его на каждое слагаемое в скобках, мы по сути внесли его во внутрь скобок. Для наглядности можно так и записать, хоть и не принято так записывать:

3 (4 + 5) = ( 3 × 4 + 3 × 5)

Поскольку в выражении 3 × (4 + 5) число 3 умножается на каждое слагаемое в скобках, это число является общим множителем для слагаемых 4 и 5

3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Если вычислить обе части полученного равенства, то получим тождество:

3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Как происходит вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки по сути является обратной операцией внесению общего множителя во внутрь скобок.

Если при внесении общего множителя внутрь скобок, мы умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках, то при вынесении этого множителя обратно за скобки, мы должны разделить каждое слагаемое в скобках на этот множитель.

Теперь мы можем детально увидеть, как происходит вынесение общего множителя за скобки:

Видно, что общий множитель 3 сначала вынесен за скобки, затем в скобках происходит деление каждого слагаемого на этот общий множитель.

Деление каждого слагаемого на общий множитель можно выполнять не только разделяя числитель на знаменатель, как это было показано выше, но и сокращая эти дроби. В обоих случаях получится один и тот же результат:

Мы рассмотрели простейший пример вынесения общего множителя за скобки, чтобы понять основной принцип.

Но не всё так просто, как кажется на первый взгляд. После того, как число умножено на каждое слагаемое в скобках, полученные результаты складывают, и общий множитель пропадает из виду.

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Обычно при решении задач встречаются именно такие выражения, в которых общий множитель сначала нужно найти, прежде чем его выносить.

Чтобы в выражении 12 + 15 вынести общий множитель за скобки, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) слагаемых 12 и 15. Найденный НОД и будет общим множителем.

Итак, найдём НОД слагаемых 12 и 15. Напомним, что для нахождения НОД необходимо разложить исходные числа на простые множители, затем выписать первое разложение и убрать из него множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся множители нужно перемножить и получить искомый НОД. Если испытываете затруднения на этом моменте, обязательно повторите этот урок.

НОД слагаемых 12 и 15 это число 3. Данное число является общим множителем слагаемых 12 и 15. Его и нужно выносить за скобки. Для этого сначала записываем сам множитель 3 и рядом в скобках записываем новое выражение, в котором каждое слагаемое выражения 12 + 15 разделено на общий множитель 3

Ну и дальнейшее вычисление не составляет особого труда. Выражение в скобках легко вычисляется — двенадцать разделить на три будет четыре, а пятнадцать разделить на три будет пять:

В коротком решении пропускают запись в которой показано, как каждое слагаемое разделено на общий множитель:

Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в выражении 15 + 20

Наибольший общий делитель слагаемых 15 и 20 это число 5. Данное число является общим множителем слагаемых 15 и 20. Его и вынесем за скобки:

Получили выражение 5(3 + 4).

Получившееся выражение 5(3 + 4) можно проверить. Для этого достаточно умножить пятёрку на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 15 + 20

Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 18 + 24 + 36

Найдём НОД слагаемых 18, 24 и 36. Чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно разложить эти числа на простые множители, затем найти произведение общих множителей:

НОД слагаемых 18, 24 и 36 это число 6. Данное число является общим множителем слагаемых 18, 24 и 36. Его и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 18 + 24 + 36

Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в выражении 13 + 5

Слагаемые 13 и 5 являются простыми числами. Они раскладываются только на единицу и самих себя:

Это значит, что у слагаемых 13 и 5 нет общих множителей, кроме единицы. Соответственно, нет смысла выносить эту единицу за скобки, поскольку это ничего не даст. Покажем это:

Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в выражении 195 + 156 + 260

Найдём НОД слагаемых 195, 156 и 260

НОД слагаемых 195, 156 и 260 это число 13. Данное число является общим множителем для слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 13 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 195 + 156 + 260

Выражение, в котором требуется вынести общий множитель за скобки, может быть не только суммой чисел, но и разностью. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении 16 − 12 − 4. Наибольшим общим делителем чисел 16, 12 и 4 это число 4. Данное число и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим четвёрку на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 16 − 12 − 4

Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении 72 + 96 − 120

Найдём НОД чисел 72, 96 и 120

НОД для 72, 96 и 120 это число 24. Данное число является общим множителем слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 24 на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 72+96−120

Общий множитель, выносимый за скобки, может быть и отрицательным. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении −6 − 3. Вынести общий множитель за скобки в таком выражении можно двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Способ 1.

Заменим вычитание сложением:

Теперь находим общий множитель. Общим множителем данного выражения будет наибольший общий делитель модулей слагаемых −6 и −3.

Модуль первого слагаемого это 6. А модуль второго слагаемого это 3. НОД(6 и 3) равен 3. Данное число является общим множителем слагаемых 6 и 3. Его и вынесем за скобки:

Выражение полученное таким способом получилось не очень аккуратным. Много скобок и отрицательных чисел не придают выражению простоту. Поэтому можно воспользоваться вторым способом, суть которого заключается в том, чтобы вынести за скобки не 3, а −3.

Способ 2.

Как и в прошлый раз заменяем вычитание сложением

В этот раз мы вынесем за скобки не 3, а −3

Выражение полученное в этот раз выглядит намного проще. Запишем решение покороче, чтобы сделать его ещё проще:

Разрешать выносить отрицательный множитель за скобки связано с тем, что разложение чисел −6 и (−3) можно записать двумя видами: сначала сделать множимое отрицательным, а множитель положительным:

во втором случае множимое можно сделать положительным, а множитель отрицательным:

А значит мы вольны выносить за скобки тот сомножитель, который захотим.

Пример 8. Вынести общий множитель за скобки в выражении −20 − 16 − 2

Заменим вычитание сложением

−20 − 16 − 2 = −20 + (−16) + (−2)

Наибольшим общим делителем слагаемых −20, −16 и −2 является число 2. Это число является общим множителем этих слагаемых. Посмотрим, как это выглядит:

Запишем приведенное решение покороче:

Пример 9. Вынести общий множитель за скобки в выражении −30 − 36 − 42

Заменим вычитание сложением:

Наибольшим общим делителем слагаемых −30, −36 и −42 это число 6. Данное число является общим множителем для этих слагаемых. Но за скобки мы вынесем не 6, а −6 поскольку числа −30, −36 и −42 можно представить так:

Вынесение минуса за скобки

При решении задач иногда может быть полезным вынесение минуса за скобки. Это позволяет упростить выражение и сделать его проще.

Рассмотрим следующий пример. Вынести минус за скобки в выражении −15 + (−5) + (−3)

Для наглядности заключим данное выражение в скобки, ведь речь идёт о том, чтобы вынести минус за эти скобки

Итак, чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые, но с противоположными знаками. Знаки операций (то есть плюсы) оставляем без изменений:

Поэтому между выражениями −15 + (−5) + (−3) и −(15 + 5 + 3) можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

На самом деле при вынесении минуса за скобки опять же срабатывает распределительный закон умножения:

Если поменять местами левую и правую часть этого тождества, то получится, что сомножитель a вынесен за скобки

Тоже самое происходит, когда мы выносим общий множитель в других выражениях и когда выносим минус за скобки.

Очевидно, что при вынесении минуса за скобки, выносится не минус, а минус единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 принято не записывать.

Поэтому и образуется перед скобками минус, а знаки слагаемых которые были в скобках меняют свой знак на противоположный, поскольку каждое слагаемое разделено на минус единицу.

Вернёмся к предыдущему примеру и детально увидим, как на самом деле выносился минус за скобки

Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении −3 + 5 + 11

Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение −3 + 5 + 11 с противоположным знаком у каждого слагаемого:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица. Подробное решение выглядит следующим образом:

Вынесение общего множителя за скобки в буквенном выражении

Выносить общий множитель за скобки в буквенном выражении намного интереснее.

Как и в случае с числовым выражением, здесь происходит деление каждого слагаемого на вынесенный общий множитель. Выглядит это так:

Например, если вместо переменной a подставить число 4, то конструкция примет следующий вид: . Тогда четвёрки в обеих дробях можно будет сократить на 4:

Поэтому не следует пугаться при виде сокращения переменных. Переменная это полноправный множитель, пусть даже выраженный буквой. Такой множитель можно выносить за скобки, сокращать и выполнять другие действия, которые допустимы к обычным числам.

Буквенное выражение содержит не только числа, но и буквы (переменные). Поэтому общий множитель, который выносится за скобки часто бывает буквенным множителем, состоящим из числа и буквы (коэффициента и переменной). К примеру, следующие выражения являются буквенными множителями:

Прежде чем выносить такой множитель за скобки, нужно определиться, какое число будет в числовой части общего множителя и какая переменная будет в буквенной части общего множителя. Другими словами, нужно узнать какой коэффициент будет у общего множителя и какая переменная будет в него входить.

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 5a на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то получим выражение 10a + 15a

Буквенный множитель не всегда можно вынести за скобки. Иногда общий множитель состоит только из числа, поскольку ничего подходящего для буквенной части в выражении не находится.

Пример 2. Вынести общий множитель выражении 3x + 9y + 12

Коэффициентами данного выражения являются числа 3, 9 и 12, их НОД равен 3. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 3. А среди буквенных сомножителей (переменных) нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 3

Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 8x + 6y + 4z + 10 + 2

Коэффициентами данного выражения являются числа 8, 6, 4, 10 и 2, их НОД равен 2. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 2. А среди буквенных сомножителей нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 2

Пример 4. Вынести общий множитель 6ab + 18ab + 3abc

Коэффициентами данного выражения являются числа 6, 18 и 3, их НОД равен 3. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 3. В буквенную часть общего множителя будут входить переменные a и b, поскольку в выражении 6ab + 18ab + 3abc эти две переменные входят в каждое слагаемое. Поэтому окончательный общий множитель это 3ab

При подробном решении выражение становится громоздким и даже непонятным. В данном примере это более чем заметно. Это связано с тем, что мы сокращаем множители в числителе и в знаменателе. Лучше всего делать это в уме и сразу записывать результаты деления. Тогда выражение станет коротким и аккуратным:

Как и в случае с числовым выражением в буквенном выражении общий множитель может быть и отрицательным.

Для удобства заменим вычитание сложением

−3 a − 2 a = −3 a + (−2 a )

Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении −6x − 6y

Заменим вычитание сложением

Вынесем за скобки −6

Запишем решение покороче:

Пример 7. Вынести общий множитель за скобки в выражении −2a − 4b − 6c

Заменим вычитание сложением

Вынесем за скобки −2

Запишем решение покороче:

−2a − 4b − 6c = −2(a + 2b + 3c)

Вынесение общего множителя за скобки это очень важная тема. В данном уроке рассмотрены только азы и простейшие примеры. Мы ещё вернемся к этой теме, когда будем изучать многочлены.

Обязательно изучите данный урок, поскольку при изучении многочленов потребуется выносить за скобки сложный множитель, состоящий из степеней.

Источник