Что такое вычитание в математике 5 класс определение
Основные правила и свойства вычитания для 5 класса
Учащиеся средних образовательных школ изучают в 5 классе свойства вычитания и сложения. Они применяются для решения примеров, ускорения вычислений в устной форме и т. д. В высших учебных заведениях правила используются для упрощения выражений, нахождения корней дифференциальных уравнений и пределов, а также для выполнения других операций.
Общая информация
Вычитание — операция уменьшения числа на определенное значение. Для примера следует записать следующее выражение: p — t = v. Первая величина называется уменьшаемым, вторая — вычитаемым, а результат вычитания — разность. Очень часто в литературе с физико-математическим уклоном можно встретить связку «разность двух чисел», которая является синонимом вычитания.
Сложение — математическая операция, применяемая для увеличения числа на некоторое значение. Коэффициенты имеют такие названия (p + t = v):
Формулировка сочетательного закона сложения следующая: чтобы прибавить к сумме двух чисел, сгруппированных в скобках, третью величину, необходимо осуществить операцию сложения первого и третьего, а затем к результату прибавить второе слагаемое. В буквенном виде он записывается в таком виде: (t + v) + s = (t + s) + v. Справедлива будет и такая запись: (t + v) + s = (v + s) + t. Переместительный и сочетательный законы позволяют группировать слагаемые в любой последовательности.
Методы вычитания
Для выполнения операции разности чисел нужно придерживаться определенных свойств вычитания. В 5 классе изучаются все необходимые формулы и утверждения, к которым можно отнести следующие:
В шестом законе вычитания для 5 класса требуется просто раскрыть скобки без изменения знаков величин. Специалисты рекомендуют записать все правила в специальные таблицы-тренажеры, которые должны всегда быть под рукой.
Таким образом, для выполнения арифметических операций сложения и вычитания нужно знать все основные свойства и формулы, позволяющие оптимизировать вычисления.
Свойства вычитания
Всего получено оценок: 119.
Всего получено оценок: 119.
Вычитание всегда немного пугает учеников. Еще в начальной школе все немного боялись, что результатом вычитания окажется 1, 0 или отрицательное число, что по представлению многих учеников младших классов означает ошибку. Чтобы этот страх не превращался в неумение работать со столь простой операцией, поговорим кратко о свойствах вычитания, которые помогут ускорить расчеты.
Вычитание
Вычитание это уменьшение числа на некоторое количество единиц. В математике принято говорить, что вычитание это процесс переноса числа по числовой прямой влево.
По факту вычитание может перенести число не только влево, но и вправо. Так происходит при вычитании отрицательного числа, в этом случае минус на минус дает плюс и получается операция сложения. Но принято говорить так, а значит и на уроке у вас скорее всего спросят общепринятое определение.
Особые числа вычитания
Вычитание не имеет собственных свойств, в отличие от сложения. Может быть в целях приписать хоть какие-нибудь свойства, а может в силу других причин, свойствами вычитания называют не совсем свойства. Скорее это характерные черты.
Если отбросить все эти рассуждения, то свойства вычитания можно разделить на свойство раскрытия скобок и свойства чисел. Свойств чисел всего два:
Эти утверждения помогают вести быстрый счет, поэтому лучше выучить их наизусть.
Раскрытие скобок
Раскрытие скобок не является свойством, это просто следствие правильных действий. Таких свойств три:
Результаты
Чтобы не сомневаться в своих ответах, нужно уже в 5 классе принять тот факт, что результатом вычитания любых рациональных чисел может стать любое рациональное число, куда входит и ноль с 1. В Советском Союзе какое-то время использовали задачник, где каждый пример равнялся 0 или 1 вне зависимости от сложности вычислений.
Поэтому, если в результате вычислений у вас не возник знак радикала, то не нужно перепроверять по нескольку раз. Верьте в себя и свои силы: одной проверки вполне достаточно.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое вычитание. Поговорили о свойствах вычитания и разделили их на две большие группы. Объяснили, откуда взялись эти свойства, какие из них лучше выучить наизусть, а какие сами собой возникнут по ходу правильного решения примера. Сказали, что свойства вычитания нужны, прежде всего, для быстрого счета, поэтому пользоваться ими нужно, чтобы сэкономить время решения на другие задачи во время контрольной или экзамена.
Математика. 5 класс
Конспект урока
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— понятие разности двух чисел;
— вычитание натуральных чисел;
— проверка правильности вычитания – сложением;
— свойство прибавления к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа.
Разность чисел a и b – это такое число, которое при сложении с числом b даёт число а. Число а называют уменьшаемым, число b – вычитаемым.
Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности – второе слагаемое.
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое. Стоит помнить, что вычитаемое должно быть не больше слагаемого, из которого его вычитают.
Если к уменьшаемому и вычитаемому одновременно прибавить одно и то же число, то разность от этого не изменится.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Разностью чисел a и bназывают такое число, которое при сложении с числом b даёт число а. Число а называют уменьшаемым, число b – вычитаемым.
Разность чисел а и b обозначают а – b.
Таким образом, (а – b) + b = a или а – b + b = a.
Рассмотрим, как, используя числовую прямую, можно найти разность натуральных чисел а и b в случае, когда a>b.
Пусть нам надо найти разность 8 – 5. Отметим на числовом луче число 8 и отсчитаем от него влево пять делений. Получим число 3.
Мы видим, что сумма 3 и 5 равна 8.
Поэтому число 3 есть разность чисел 8 и 5, то есть 8 – 5 = 3.
Стоит отметить, что для любого числа a верны равенства:
а – 0 = а, потому что а + 0 = а
а – а = 0, потому что 0 + а = а
При действиях с натуральными числами уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого.
Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго, иными словами, на сколько второе число меньше первого.
Рассмотрим такой пример: 12 – (3 + 4) = 12 – 3 – 4 = 5.
Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а потом из полученной разности – второе слагаемое. Это свойство называют свойством вычитания суммы из числа.
Рассмотрим следующее выражение: (6 + 5) – 4 = 6 + 5 – 4 = 7
Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое. Стоит помнить, что вычитаемое должно быть не больше слагаемого, из которого его вычитают. Это свойство называют свойством вычитания числа из суммы.
Найдём разность двух сумм:
(7 + 2) – (4 + 2) = 9 – 6 = 3 или
(7 + 2) – (4 + 2) = 7 + 2 – 4 – 2 = 3.
Это свойство прибавления к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа: если к уменьшаемому и вычитаемому одновременно прибавить одно и то же число, то разность от этого не изменится, то есть (a + n) – (b + n) = a–b.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1.Чему равно значение выражения: 139 – 42 – 63? Выберите правильный ответ.
Варианты ответов: 34; 97; 90; 134.
Решение: чтобы решить данное выражение, надо вычесть 42 из 139, что даст 97, а затем ещё раз вычесть 63. В итоге получим 34.
№ 2. Путешественник должен пройти 56 км. В первый день он прошёл 27 км. Сколько км ему ещё осталось пройти?
Решение: чтобы узнать сколько километров осталось пройти путешественнику, необходимо из 56 вычесть 27: так получим 29 (км).
Урок 12 Бесплатно Вычитание натуральных чисел. Свойства вычитания натуральных чисел
На прошлых занятиях мы подробно рассмотрели арифметическую операцию сложения натуральных чисел, свойства и способы сложения натуральных чисел.
Сегодня на уроке мы рассмотрим еще одну математическую операцию, которая называется вычитанием.
Выясним, как с помощью координатной прямой можно найти разность натуральных чисел.
Определим, как взаимосвязаны между собой арифметические операции сложения и вычитания.
Подробно на примерах разберем основные свойства вычитания натуральных чисел.
Продемонстрируем свойства вычитания с помощью координатного луча.
Вычитание натуральных чисел
Арифметические операции сложения и вычитания неразрывно связаны между собой.
Сложение по своей сути представляет собой увеличение, добавление чего-либо, объединение в единое целое.
Вычитание подразумевает уменьшение, убавление.
Таким образом, вычитание есть действие, обратное сложению.
Рассмотрим данное утверждение на примерах.
В пенале лежали 5 цветных карандашей, к ним добавили еще 3 карандаша.
Общее количество карандашей в пенале стало равным 8 шт.
В пенале лежало 8 цветных карандашей, взяли 3 карандаша.
В пенале осталось 5 карандашей.
Мы можем заметить, что в первом примере в пенал добавили карандаши, а во втором примере из пенала взяли (отняли) часть карандашей.
Сложением называют арифметическую операцию, в результате которой происходит объединение исчисляемых объектов в единое целое.
Вычитанием называют арифметическую операцию, в результате которой происходит уменьшение общего количества исчисляемых объектов.
Таким образом, сложение и вычитание по своему действию противоположные, обратные.
Результат вычитания называется разностью (остаток при вычитании).
В общем виде операция вычитания выглядит так:
Для записи вычитания используют математический знак минус «-», он располагается между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое располагается всегда слева от знака минус, а вычитаемое справа.
Данная запись читается так: «Три минус два равно один» или «Разность трех и двух равняется одному».
Рассмотрим пример №1.
В данном примере нам известно первое слагаемое (2 ягоды малины) и известна сумма (общее количество ягод, равное 5).
Чтобы найти второе слагаемое, необходимо от суммы (от числа 5) отнять известное слагаемое (число 2).
Рассмотрим пример №2.
Пусть нам известно второе слагаемое (3 ягоды ежевики) и известна сумма (общее количество ягод, равное 5).
Чтобы найти первое слагаемое, необходимо от суммы (от числа 5) отнять известное слагаемое (число 3).
Слово «разность» близко по значению со словами «различие, разница».
Действительно, разность показывает количественное различие между двумя значениями.
Разность двух чисел показывает, насколько уменьшаемое больше вычитаемого или насколько вычитаемое меньше уменьшаемого.
Для того чтобы при вычитании получилось натуральное число или нуль, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого или равным ему.
Например, в коробке лежат 9 шоколадных конфет; съесть получится или все 9 конфет, или меньше 9.
Съесть больше конфет, чем было первоначально в коробке просто невозможно.
Вычитание небольших натуральных чисел легко представить на координатном луче.
Например, найдем разность чисел 6 и 3.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Известно, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка.
Отметим точку А(6) на координатном луче, отложив 6 единичных отрезков вправо от точки О(0).
Найдем разность чисел 6 и 3, т.е. переместим точку А( 6) на 3 единичных отрезка влево (против направления координатного луча), получим точку В (3), следовательно,
Ответ: 3
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Свойства вычитания натуральных чисел
Вычитание обладает рядом свойств, рассмотрим их.
1. Если из числа вычесть это же самое число, то в результате получится нуль.
Рассмотрим данное свойство на примере.
В корзине лежало 10 яблок, все 10 яблок съели.
В корзине не осталось ни одного яблока.
Иными словами, в корзине осталось 0 яблок.
Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Отметим точку А (10) на координатном луче (количество яблок в корзине).
Полученная точка О (0) является разностью чисел 10 и 10.
2. Свойство вычитания нуля из натурального числа.
Если из числа вычесть нуль, то число не изменится.
Приведем пример поясняющий данное утверждение.
Представим, что в копилке лежит 6 монет.
Из копилки не взяли ни одной монеты.
В результате в копилке осталось прежнее количество монет, равное 6.
Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Из 6 вычесть 0, значит, точку с координатой 6 переместить на 0 единичных отрезков, т.е. оставить точку на том же месте.
3. Свойство вычитания суммы из натурального числа.
Чтобы лучше понять свойство вычитания суммы из числа, рассмотрим пример.
Найти количество несъеденных пирожков.
Рассмотрим два варианта решения данной задачи.
Решение №1.
Из семи пирожков взяли 2 пирожка с капустой и 1 пирожок с мясом, затем пирожки эти съели.
Общее количество съеденных пирожков определяется суммой 2 + 1.
Решение №2
Из семи пирожков сначала съели 2 пирожка с капустой, спустя некоторое время съели 1 пирожок с мясом.
В первом и во втором решении мы имеем 4 несъеденных пирожка.
Сформулируем свойство вычитания суммы натуральных чисел из натурального числа.
Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала выполнить сложение, а затем вычесть полученную сумму из уменьшаемого числа.
Справедливо также следующее правило:
Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала из уменьшаемого вычесть одно из слагаемых, а затем из полученной разности вычесть другое слагаемое.
Проиллюстрируем полученные решения задачи на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Отметим точку А(7) на координатном луче (общее количество испеченных пирожков).
Первый вариант решения задачи: из семи вычесть сумму 2 + 1 = 3 (общее количество съеденных пирожков), т.е. отложить на координатном луче 3 единичных отрезка влево от точки А(7).
Остановимся в точке В(4). Полученная точка показывает количество несъеденных пирожков.
Второй вариант решения задачи: из семи вычесть число 2 (количество съеденных пирожков с капустой), т.е. на координатном луче влево от точки А(7) отложить 2 единичных отрезка.
Получим точку С с координатой 5.
Остановимся в точке В(4), полученная точка показывает количество несъеденных пирожков.
В первом и во втором варианте в результате всех производимых действий останавливались в точке В(4), т.е. при решении задачи первым и вторым способом ответ получился одинаковый.
Следовательно, вычесть сумму из числа- это все равно что вычесть из числа каждое слагаемое этой суммы по отдельности.
4. Свойство вычитания натурального числа из суммы натуральных чисел.
Рассмотрим пример демонстрирующий данное свойство вычитания.
В магазине было 4 ящика с яблоками.
Привезли еще 2 ящика.
Три ящика с яблоками продали.
Определим оставшееся количество ящиков с яблоками.
Продать три ящика с яблоками можно разными способами, рассмотрим два решения данной задачи:
Решение №1.
Так как в магазине было 4 ящика с яблоками, привезли еще 2 ящика, то общее количество ящиков с яблоками будет определятся суммой 4 + 2.
Из них продали 3 ящика с яблоками.
Ответ: 3 ящика.
Решение №2.
В магазине было 4 ящика с яблоками, привезли еще 2 ящика.
Из тех четырех ящиков с яблоками, которые уже были в магазине, продали 3 ящика с яблоками.
Общее количество ящиков с яблоками, оставшееся в магазине, будет определятся суммой:
Ответ: 3 ящика.
Можно заметить, что в первом и во втором случае получили одинаковое количество ящиков с яблоками, которые остались в магазине после продажи трех ящиков.
Сформулируем свойство вычитания натурального числа из суммы натуральных чисел.
Чтобы вычесть число из суммы, можно сначала определить сумму чисел, а из полученного результата вычесть число.
Если хотя бы одно из слагаемых больше числа, вычитаемого из суммы, то возможен другой способ вычитания.
Чтобы из суммы вычесть число, можно его вычесть из первого (второго) слагаемого, затем к полученной разности прибавить второе (первое) слагаемое.
Проиллюстрируем полученные решения задачи на координатном луче.
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).
Отметим на координатном луче точку А(4)— количество ящиков с яблоками, которые были в магазине.
Найдем сумму чисел 4 и 2. Для этого необходимо отложить на координатном луче от точки А(4) вправо 2 единичных отрезка, получим точку С(6).
Из 6 вычесть 3, значит от точки С(6) влево отложить 3 единичных отрезка, в результате окажемся в точке В(3).
Полученная точка В(3) показывает количество непроданных ящиков с яблоками.
Найдем разность 4 и 3.
Для этого необходимо от точки А(4) на координатном луче влево отступить 3 единичных отрезка.
Получим точку Е(1).
Чтобы найти сумму чисел 1 и 2, нужно на координатном луче вправо от точки Е(1) отступить 2 единичных отрезка, в результате окажемся в точке В(3).
Полученная точка В(3) показывает количество непроданных ящиков с яблоками.
В первом и во втором варианте решения задачи в результате всех производимых действий оказались в точке с координатой 3, т.е. при решении задачи первым и вторым способом ответ получился одинаковый.
Следовательно, оба способа решения равносильны:
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Необходимо помнить, что вычитание натуральных чисел имеет смысл только тогда, когда уменьшаемое больше вычитаемого.
Следовательно, из числа можно вычесть сумму только в том случае, когда сумма не больше, чем уменьшаемое натуральное число.
Из суммы вычесть число представляется возможным только тогда, когда сумма натуральных чисел больше, чем вычитаемое натуральное число
Вычитание используют для сравнения двух чисел.
Разность показывает на сколько одно число больше другого, т.е. показывает разницу между двумя числами.
Чтобы узнать разницу двух натуральных чисел, надо из большего числа вычесть меньшее.
Маша прочитала 4 сказки, а Саша 5 сказок.
На сколько сказок больше прочитал Саша, чем Маша?
На сколько меньше Маша прочитала сказок, чем Саша?
Ответ: Саша прочитал больше Маши на одну сказку, следовательно, Маша прочитала меньше на одну сказку, чем Саша.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Дополнительная информация
Совсем еще недавно самые простейшие калькуляторы и вычислительные машины были предметом роскоши, и были они далеко не у каждого.
С помощью данного устройства можно было легко выполнить простые арифметические операции, в частности, сложение и вычитание.
Этот счетный инструмент широко применяли во многих странах всего мира.
Первое название деревянного вычислительного устройства было «абак», в переводе с латинского означает «счетная доска».
Абак представлял собой доску с полосами-углублениями и счетными метками (косточки, камешки), которые передвигали по этим углублениям.
Позже стали использовать прямоугольную рамку, вместо углублений натягивали проволочки или веревочки, на которые нанизывали камешки или костяшки-косточки.
Действительно, на веревочки первое время нанизывали косточки из ягод вишни или сливы.
У разных народов абак изготавливался из различных материалов, но имел схожую форму.
Китайские счеты суаньпань представляют собой прямоугольную рамку, в которой расположены горизонтальные палочки.
На палочки нанизано по 7 бусин, разделенных перегородкой: 5 бусин с одной стороны от перегородки и 2 бусины с другой.
Японские счеты- соробан- представляют собой рамку, разделенную перекладиной.
В верхней части расположена одна линия косточек, каждая косточка в ней означает «пять».
Внизу расположены ряды косточек, в каждом по 4 косточки, каждая из них обозначает «один».
Японский соробан используют активно и по сей день, методы и приемы счета на соробане применяют в школьной программе для обучения детей.
Счет на соробане популярен как вид развлечения или вид спорта (подобно шахматам).
Десятичный абак (русские счеты) представляют собой деревянную рамку, с горизонтально закрепленными металлическими спицами, на каждую из них нанизаны деревянные или пластмассовые костяшки по 10 штук, только на одной из спиц находится 4 штуки.
Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд.
Вверх от спицы с четырьмя костяшками возрастают ряды от единиц до сотен тысяч.
Число формируется передвижением костяшек из правого края в левый, соответственно разрядной единице числа.
При наборе слева десяти костяшек, они обнуляются (убираются в исходное состояние), а в следующем разряде в левое положение переводится одна костяшка.
Принцип пользования счетами прост.
Располагают счеты так, чтобы ряд с четырьмя костяшками был внизу.
Сложение с помощью счет осуществляется так:
Набирается первое слагаемое, потом к нему добавляются костяшки, обозначающие второе слагаемое и т.д.
Важно помнить, что при нехватке костяшек для отсчета числа (передвижения костяшек влево), ряд данного разряда обнуляют (весь передвигают вправо) для дальнейшего донабора суммы, а одну костяшку на спице выше передвигают влево (таким образом добавляют единицу высшего разряда).
Так одна костяшка верхнего ряда заменяет 10 костяшек нижнего.
Складывают только равные разряды в числах (единицы с единицами, десятки с десятками и т.д.).
Окончательный результат читается сложением всех значений, начиная с верхнего заполненного разряда.
Вычитание с помощью счет осуществляется так:
Вычитание проводится сверху вниз (от более высоких разрядов к низшим).
Процесс происходит подобно сложению, но в обратном порядке: справа налево.
На соответствующей спице отсчитывается вправо необходимое количество костяшек.
Если их не хватает, то одна костяшка переносится вправо в старшем разряде (т.е. на спице выше), а на данной проволочке все обнуляется (переносится влево) и из них уже набирается вправо необходимое оставшееся количество костяшек.
Занятия на счетах увлекательны, занимательны и очень полезны: тренируют память и внимательность, развивают логическое мышление
Заключительный тест
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации