Что такое вторая значащая цифра

Значащие цифры и правила округления

Принято экспериментальные данные и результаты расчетов выражать только значащими цифрами. Значащими называют все достоверно известные цифры плюс первая из недостоверных, т.е. все результаты следует округлять до первой недостоверной цифры.

Для оценки достоверности результатов определений следует учитывать реальные возможности используемого метода или методики. В качестве статистических критериев при этом может служить, например, стандартное отклонение или доверительный интервал. Если такие сведения отсутствуют, недостоверность принимают равной ±1 в последней значащей цифре.

Если за первой недостоверной цифрой следует цифра 5, округление проводят в сторону ближайшего четного числа (по некоторым рекомендациям в сторону ближайшего большего числа). Например, число 17,465 следует округлить до 17,46, если цифра 6 недостоверна. Рекомендуется округлять конечный результат после выполнения всех арифметических действий.

Сложение и вычитание. Значимость суммы или разности определяется значимостью числа с наименьшим числом десятичных знаков. Например, при сложении чисел 50,1, 2 и 0,55 значимость определяется недостоверностью числа 2 и, следовательно, сумму чисел 52,65 следует округлить до 53.

Умножение и деление. Для оценки значимости произведения (или частного) часто пользуются следующим правилом: значимость произведения (или частного) определяется значимостью сомножителя с наименьшим числом значащих цифр. Например, перемножение чисел 1,5 и 2,35 дает произведение, содержащее две значащие цифры, т.е. 3,5.

Возведение в степень. При возведении числа в степень относительная недостоверность результата увеличивается в число раз, равное степени. Например, при возведении в квадрат она удваивается.

Литература

1. Закон РФ «Об обеспечении единства измерений» от 27.04.93 № 4871-1.

2. МИ 2091-90. Государственнная система обеспечения единств измерений. Измерения физических величин. Общие требования.- М.: ВНИИМС Госстандарта России, 1990.

4. В.Д.Крылова Основы стандартизации, сертификации, метрологии.- М.: ЮНИТИ., 2001.

Источник

Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры

Создатель теории приближенных вычислений А. Н. Крылов говорил: «При производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычислений должна соответствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисления производятся». Ему же принадлежат слова: «Помните, что каждая неверная цифра — это ошибка, всякая лишняя цифра — это пол-ошибки».

Приближенные числа записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Между записью приближенных и точных чисел есть различия. Если перед нами точное число, то вес его цифры являются верными, точными. Что же касается приближенного числа, то некоторые его цифры верны, а другие являются сомнительными.

Цифра десятичного разряда приближенного числа приближения называется верной, если в том же десятичном разряде чисел и стоит эта же цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Проверку на верные и сомнительные цифры нужно начинать слева направо с наивысшего разряда. Все цифры, стоящие правее первой найденной сомнительной цифры, автоматически считаются сомнительными.

Пример №45.4.

Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа .

Решение:

Поскольку , запишем диапазон возможных значений в виде двойного неравенства:

Начинаем проверку на верные и сомнительные цифры с наивысшего разряда — единиц. Видим, что цифры 3,45 одинаковы в левой и правой части двойного неравенства (т.е. в записи и ), следовательно, по определению в записи приближенного числа 3,4531 эти цифры являются верными.

Цифры в разряде тысячных в правой и левой части двойного неравенства отличаются (1 и 5), следовательно, в записи приближенного числа 3,4531 цифра 3, стоящая в разряде тысячных, и цифра 1, стоящая за ней, являются сомнительными.

Итак, точное число обязательно начинается с цифр 3,45. Какие цифры стоят в остальных разрядах числа, точно сказать невозможно.

Для записи приближенных чисел существуют следующие правила:

Проиллюстрируем применение данных правил на конкретных примерах.

1. Поскольку в записи числа следует оставлять только верные цифры, то в примере 45.4 точное значение будет записано следующим образом: . В этом случае граница абсолютной погрешности .

2. Если задано число , то нетрудно показать, что в записи приближенного числа 3,005 цифры 3,00 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем все его верные цифры, включая нули на конце: . Эта запись показывает, что граница абсолютной погрешности равна единице последнего разряда, т.е. 0,01. Если бы мы записали это число как , то граница абсолютной погрешности была бы равна 1, а это значительно более низкая точность, чем заданная в примере 0,01.

3. Пусть задано число . В записи приближенного числа 3005 цифры 300 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа выпишем вес его верные цифры 300, а вместо одной сомнительной цифры 5 запишем умножение на , поскольку заменяем только одну цифру. Тогда .

В науке принято записывать числа в стандартном виде, т.е. в виде , где — цифры, причем (в целой части числа стоит только одна цифра, отличная от нуля). Число в стандартном виде будет представлено как .

Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, за исключением нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.

Например, число 0,712 содержит три значащие цифры: 7, 1, 2. Число 0,00012 — две значащие цифры: 1 и 2. Число — три значащие цифры: 3, 0, 0.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Следующие цифры не являются значащими цифрами.

Далее предполагается основание системы счисления 10.

СОДЕРЖАНИЕ

Определение значащих цифр

Правила определения значащих цифр в числе

Обратите внимание, что идентификация значащих цифр в числе требует знания того, какие цифры являются надежными (например, зная разрешение измерения или отчетности, с которой число получено или обработано), поскольку только надежные цифры могут быть значимыми; например, 3 и 4 в 0,00234 г не имеют значения, если измеряемый наименьший вес составляет 0,001 г.

Способы обозначения значащих цифр в целых числах с завершающими нулями

Значение конечных нулей в числе, не содержащем десятичной точки, может быть неоднозначным. Например, не всегда может быть ясно, является ли число 1300 точным с точностью до ближайшей единицы (просто случайно оказывается, что оно является точным кратным сотне) или оно отображается только с точностью до ближайших сотен из-за округления или неопределенности. Для решения этой проблемы существует множество соглашений. Однако они не используются повсеместно и будут эффективны только в том случае, если читатель знаком с соглашением:

Поскольку приведенные выше условные обозначения не являются общедоступными, для обозначения значимости числа с конечными нулями доступны следующие более широко признанные варианты:

Округление до значащих цифр

Чтобы округлить число до n значащих цифр:

В финансовых расчетах число часто округляется до заданного количества знаков. Например, до двух знаков после десятичного разделителя для многих мировых валют. Это делается потому, что большая точность несущественна, и обычно невозможно погасить задолженность меньше наименьшей денежной единицы.

В налоговых декларациях Великобритании доход округляется до ближайшего фунта, а уплаченный налог рассчитывается до ближайшего пенни.

В качестве иллюстрации десятичная величина 12,345 может быть выражена различным количеством значащих цифр или десятичных знаков. Если доступна недостаточная точность, то число округляется каким-либо образом, чтобы соответствовать имеющейся точности. В следующей таблице показаны результаты для различной общей точности при двух способах округления («Н / Д» означает «Неприменимо»).

Подходящее приближение
Концепции
Порядок аппроксимации Масштабный анализ · Обозначение Big O Подгонка кривой · Ложная точность Значимые числа
Прочие основы
Аппроксимация · Ошибка обобщения Полином Тейлора Научное моделирование

Представление ненулевого числа x с точностью до p значащих цифр имеет числовое значение, которое задается формулой:

который может потребоваться написать с особой маркировкой, как описано выше, чтобы указать количество значащих нулей в конце.

Написание неопределенности и подразумеваемой неопределенности

Значимые цифры в письменной неопределенности

Подразумеваемая неопределенность

Арифметика

Поскольку существуют правила для определения значащих цифр в непосредственно измеряемых величинах, существуют также руководящие принципы (не правила) для определения значащих цифр в количествах, рассчитываемых на основе этих измеренных величин.

Приведенные ниже рекомендации предназначены для того, чтобы избежать получения более точного результата расчета, чем измеренные величины, но они не гарантируют, что полученная подразумеваемая погрешность достаточно близка к измеренным погрешностям. Эту проблему можно увидеть при преобразовании единиц измерения. Если в руководящих принципах подразумеваемая неопределенность слишком далека от измеренных, тогда может потребоваться определение значащих цифр, которые дают сопоставимую неопределенность.

Умножение и деление

Исключение

Сложение и вычитание

Правило вычисления значащих цифр для умножения и деления не то же самое, что правило для сложения и вычитания. Для умножения и деления имеет значение только общее количество значащих цифр в каждом из факторов при расчете; позиция последней значащей цифры в каждом множителе не имеет значения. Для сложения и вычитания имеет значение только позиция последней значащей цифры в каждом из членов вычисления; общее количество значащих цифр в каждом термине не имеет значения. Однако более высокая точность часто достигается, если в промежуточных результатах, которые используются в последующих вычислениях, сохраняются некоторые незначительные цифры.

Логарифм и антилогарифм

Основание 10 логарифм из нормализованного числа (то есть, × 10 б с 1 ≤ в б в виде целого числа), округляется таким образом, что его дробная часть ( так называемые мантиссы ) имеет столько же значащие цифры как значащие цифры в нормализованное число.

При вычислении антилогарифма нормализованного числа результат округляется, чтобы иметь столько значащих цифр, сколько значащих цифр в десятичной части числа, подлежащего антилогарифмической обработке.

Трансцендентные функции

f (x))>> \ приблизительно <\ rm <(

Округлить только по окончательному результату расчета

При выполнении многоэтапных расчетов не округляйте результаты промежуточных расчетов; сохраняйте столько цифр, сколько возможно (по крайней мере, на одну цифру больше, чем позволяет правило округления для каждого этапа) до конца всех вычислений, чтобы избежать кумулятивных ошибок округления при отслеживании или записи значащих цифр в каждом промежуточном результате. Затем округлите окончательный результат, например, до наименьшего числа значащих цифр (для умножения или деления) или до самой левой позиции последней значащей цифры (для сложения или вычитания) среди входных данных в окончательном вычислении.

Оценка дополнительной цифры

При использовании линейки сначала используйте наименьшую отметку в качестве первой оценочной цифры. Например, если наименьшая отметка линейки составляет 0,1 см, а считывается 4,5 см, то это будет 4,5 (± 0,1 см) или от 4,4 до 4,6 см как наименьший интервал между отметками. Однако на практике размер обычно можно оценить на глаз ближе, чем интервал между наименьшей отметкой линейки, например, в приведенном выше случае его можно оценить как от 4,51 см до 4,53 см.

Также возможно, что общая длина линейки может быть неточной до степени наименьшей отметки, и отметки могут быть несовершенно разнесены в пределах каждой единицы. Однако, если принять нормальную линейку хорошего качества, должна быть возможность оценить десятые доли между ближайшими двумя отметками, чтобы получить дополнительный десятичный разряд точности. В противном случае ошибка чтения линейки добавляется к любой ошибке калибровки линейки.

Оценка в статистике

При оценке доли лиц, несущих определенную характеристику в популяции, из случайной выборки этой популяции, количество значащих цифр не должно превышать максимальную точность, допускаемую этим размером выборки.

Отношение к точности и прецизионности измерения

В вычислениях

Источник

Представление аналитических данных. Значащие цифры

Самое слабое звено во всей цепи операций любого анализа – то измерение, которое выполняется с наименьшей точностью. Бессмысленно стремиться проводить другие измерения с большей точностью, чем лимитриующее. Число значащих цифр, необходимое для представления результата измерения с соответствующей точностью, называется числом значащих цифр.Поскольку неопределенность (неточность) любого измерения составляет по меньшей мере ±1 в последней значащей цифре, следует оставлять все цифры, которые известны точно, плюс одну нелостоверную. Последняя цифра результата измерения имеет неопределенное значение. Не следует писать после нее дополнительный цифры.

Правила округления

Если за первой недостоверной цифрой следует цифра меньше 5, округляемую цифру оставляют без изменения (округление с уменьшением), а если больше 5, округляемую цифру увеличивают на единицу (округление с увеличением).

Несколько сложнее правила округления, когда за последней округляемой цифрой стоит 5. Если за этой цифрой 5 нет более никаких цифр, то округляют до четной цифры.

Если за цифрой 5 имеется еще какая–либо отличная от нуля цифра, то округляют с увеличением, однако если 5 получено уже в результате округления, то округляют с уменьшением, т.е. 5 просто отбрасывают.

Обращение с нулями.Нуль в числах может быть значим и незначим. Нули, стоящие в начале числа, всегда незначимы и служат лишь для указания места запятой в десятичной дроби. Например, число 0,01 содержит лишь одну значащую цифру. Нули, стоящие между цифрами, всегда значимы. Например, в числе 0,508 три значащие цифры. Нули в конце числа могут быть значимы и незначимы. Нули, стоящие после запятой в десятичной дроби, считаются значимыми. Например, в числе 200,0 четыре значащие цифры.

Пример. Укажите, сколько значащих цифр содержат числа, записанные в приведенной ниже форме. Укажите нули, являющиеся значащими.

0,216; 90,7; 800,0; 0,0670

0,216……три значащие цифры

90,7; ……три значащие цифры, нуль значащий

800,0; …..четыре значащие цифры, все нули значащие

0,0670…..три значащие цифры, только последний нуль является значащим.

Сложение и вычитание.Значимость суммы или разности определяется значимостью числа с наименьшим числом десятичных знаков. Например, при сложении чисел 50,1 + 2 + 0,55 значимость определяется недостоверностью числа 2 и, следовательно, сумму чисел 52,65 следует округлить до 53.

Если при сложении и вычитании используют числа, содержащие положительные или отрицательные показатели степени, то эти числа следует преобразовывать таким образом, чтобы показатели степени у всех них были одинаковы.

Пример.Приведите результаты вычисления молярной массы HNO₃ по значениям относительных атомных масс, представленных в таблице 1.1, представив только значащие цифры, и укажите, какой из участников арифметических действий лимитирует точность результата.

а) М(HNO₃) = 1,00797 + 14,0067 +47,9982 = 63,01287 г/моль.

значимость суммы или разности определяется значимостью числа с наименьшим числом десятичных знаков; в данном примере точность лимитирует число 14,0067 (число десятичных знаков четыре), поэтому результат следует записывать 4-мя знаками после запятой: 63,0129.

Умножение и деление.Для оценки значимости произведения (или частного) часто пользуются следующим правилом: значимость произведения (или частного) определяется значимостью сомножителя с наименьшим числом значащих цифр. Например, перемножение чисел 1,5 и 2,35 дает произведение, содержащее две значащие цифры, т.е. 3,5.

Пример.Приведите результат вычисления молярной концентрации раствора HNO₃, имеющего плотность ρ=1,413 (кг/дм 3 ), если массовая доля раствора в процентах составляет ω=70 % с наибольшим возможным числом значащих цифр и укажите, какой из участников арифметических действий лимитирует точность результата.

Возведение в степень.При возведении числа в степень относительная недостоверность результата увеличивается в число раз, равное степени. Например, при возведении в квадрат она удваивается.

Извлечение квадратного корня.Относительная недостоверность результата извлечения корня вдвое меньше относительной недостоверности подкоренного числа, поэтому в некоторых случаях после извлечения корня число значащих цифр увеличивается.

При вычисление антилогарифмовчисло значащих цифр результата равно числу десятичных цифр мантиссы исходной величины

Пример. Чему равна концентрация Н + для раствора с рН 4,75?

Контрольное задание №3

Приведите результаты вычислений молярной массы (М) соединения (Х) и молярной концентрацию его раствора с наибольшим возможным числом значащих цифр и укажите какой из участников арифметических действий лимитирует точность результата. Плотность раствора ρ (кг/дм 3 ), массовая доля раствора в процентах (ω) приведены в таблице 2.

Таблица 2— Относительные атомные массы элементов, рассматриваемых в контрольном задании № 3

Таблица 3— Исходные данные по контрольному заданию № 3

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Источник