Что такое волновой пакет

Волновой пакет

Полезное

Смотреть что такое «Волновой пакет» в других словарях:

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ — занимающее ограниченный объем и перемещающееся в пространстве волновое поле. Волновой пакет может быть разложен на сумму монохроматических волн, частоты которых лежат в определенном интервале; чем уже волновой пакет, тем больше этот интервал. При … Большой Энциклопедический словарь

ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ — распространяющееся волн. поле, занимающее в каждый момент времени огранич. область пр ва. Возникновение В. п. возможно у волн любой природы (звуковых, эл. магн. и т. п.). Такой волн. «всплеск» в нек рой области пр ва может быть разложен на сумму… … Физическая энциклопедия

волновой пакет — цуг волн Последовательность непрерывных упругих волн, исходящих из одного источника и распространяющихся в одном направлении. [Система неразрушающего контроля. Виды (методы) и технология неразрушающего контроля. Термины и определения (справочное… … Справочник технического переводчика

Волновой пакет — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей … Википедия

волновой пакет — занимающее ограниченный объём и перемещающееся в пространстве волновое поле. Волновой пакет может быть разложен на сумму монохроматических волн, частоты которых лежат в определенном интервале; чем уже волновой пакет, тем больше этот интервал. При … Энциклопедический словарь

волновой пакет — bangų paketas statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. wave packet vok. Wellengruppe, f; Wellenpaket, n rus. волновой пакет, m pranc. groupe d ondes, m … Radioelektronikos terminų žodynas

волновой пакет — banginis paketas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. wave packet vok. Wellengruppe, f; Wellenpaket, n rus. волновой пакет, m pranc. paquet d’ondes, m … Fizikos terminų žodynas

волновой пакет акустической эмиссии — Механический сигнал, порождаемый единичным актом акустической эмиссии. [ГОСТ 27655 88] Тематики акустические измерения … Справочник технического переводчика

Источник

Начала физики. 32. Волновые пакеты. Неопределенности и принцип Гайзенберга на пальцах.

1. Корпускулярно-волновой антропоцентризм.
Наши мозги и язык всегда в той или иной степени идеализирует реальность. Когда мы говорим о волнах, то представляем себе, как правило, бесконечно длинную волну постоянной амплитуды с одинаковыми расстояниями между горбами волны. Но реальность не такова. Волны всегда образуют волновые пакеты (цуги волн). Примерно такие:

С большим или меньшим числом волновых горбов внутри пакета.

Кто и как будет воспринимать такой волновой пакет? В начале прошлого века связь и вещание велись на длинных (километры) и средних (сотни метров) электромагнитных волнах. И мы их назвали радиоволнами. Терминология не изменилась при переходе на короткие (десятки метров), ультракороткие (метры) и дециметровые (сотовая связь) волны. Но уже при переходе на диапазон длин волн от миллиметра до микрометра мы уже говорим об инфракрасном излучении, но не о волнах. А для обозначения более коротковолных диапазонов (начиная от видимого света на длинах волн

400-700 нанометров) пользуемся терминами фотоны и кванты. Подразумевая, тем самым, что пакеты таких волн мы воспринимаем как частицы.

Итак, понятие корпускулярно-волнового дуализма в немалой степени антропоцентрично. Поэтому вас не должен удивлять тот факт, что физики при описании многих коллективно-волновых явлений в сплошных стредах стали вводить понятия квазичастиц. Таких, как фононы, являющиеся по сути волновыми пакетами (квантами) колебаний кристаллических решеток в твердых телах.

2. Неопределенности и принцип Гайзенберга.
Тот факт, что волновой пакет имеет конечную длину Δ х, означает, что в таком пакете есть приличная примесь волн, длина которых отличается от основной, и которые в конечном счете гасят колебания ξ(x,t) на краях пакета. Это можно описать как наличие в пакете заметной примеси длин волн в диапазоне Δ λ в окрестности основной длины волны. Или примеси волн с волновыми числами k = 2 π/ λ в диапазоне Δk в пакете:

Но ведь это не что иное, как соотношение неопределенностей Гайзенберга! Надеюсь, такая проверка удовлетворит самых взыскательных читателей.

3. Наблюдение принципа неопределенности Гайзенберга с пригорка у моря.
Вытекающий из соотношения (3) принцип неопределенности Гайзенберга часто трактуют следующим образом. Если мы попытаемся своим прибором измерить пространственную координату частицы (пакета волн) с погрешностью в пределах Δ х, то в результате такого измерения компонента импульса частицы вдоль той же координаты (компонента волнового числа) станет неопределенной в рамках Δp

1 / Δ х). Продемострируем это утверждение картинкой, которую многие из нас могли наблюдать на берегу моря:

Из этой картинки видно, что если мы ограничиваем (измеряем) волну вдоль координаты, параллельной передней стенке мола, проходом ширины dx, то в том же направлении возникает неопределенность волнового вектора K на величину dk. Что выражается в искривлении фронта вошедшей внутрь мола волны.

4. Волны де Бройля.
Предтечей соотношения неопределенностей Гайзенберга явилась ничуть не противоречащая ему гипотеза де Бройля, предписывающая каждой имеющей массу частице длину волны

Его в качестве шутливого примера можно применить и к идущему по улице человеку. В системе отсчета домов, мимо которых он проходит, длина волны де Бройля человека λ дБ

Источник

Что такое волновой пакет

Итак, мы убедились, что излучение в некоторых условиях проявляет корпускулярные свойства. С другой стороны, дифракционная картина, наблюдаемая при рассеянии на кристаллах различных частиц — электронов, нейтронов и целых атомов — свидетельствует в пользу их волновой природы. Как совместить волновые и корпускулярные свойства объектов микромира? Ведь частица локализована в пространстве, а волна представляет собой протяжённое образование. Например, монохроматическая волна заполняет собой всё пространство и вопрос о её местонахождении лишён смысла. Тем не менее, волновой процесс можно локализовать. Для этого надо создать волновой пакет — сумму многих колебаний с разными частотами и длинами волн.

6.1 Фазовая скорость

Запишем уравнение монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси x:

где Y — любая физическая величина, описывающая волновое движение. Аргумент гармонической функции (в данном случае — косинуса) называется фазой:

Выразим координату через фазу и время:

Если мы зафиксируем фазу, то координата становится линейной функцией времени. Такая зависимость называется характеристикой. На рисунке 6.1.1 показаны три характеристики,

отвечающие различным значениям фазы. Множитель перед t называется фазовой скоростью волны:

6.2 Групповая скорость

Понятие групповой скорости связано с интерференцией колебаний, имеющих разные частоты и длины волн. Рассмотрим две волны с одинаковыми амплитудами и различающимися, но близкими частотами и длинами волн:

Сложим эти колебания :

В аргументе первого косинуса правой части мы пренебрегли слагаемыми Δω и D k по сравнению с 2 w и 2k. На рис.6.2.1 приведён график функции Y ( x ) в некоторый момент времени. Результирующее

колебание представляет собой волну практически с прежними значениями частоты и волнового числа, но с модулированной амплитудой. Мы можем добиться того, чтобы для нас стала неподвижной картина модуляции амплитуды. Для этого надо двигаться со скоростью

До сих пор мы рассматривали одномерный случай. На рис.6.2.2 представлена имитация сложения волн, распространяющихся в разных направлениях на плоскости. Из равноотстоящих точек под разными углами проведено по пять линий. Хорошо видно, как они образуют периодические

сгущения и разрежения по обоим направлениям.

Если сложить большое число волн, то получится более сложная картина биений с большей степенью локализации колебаний, но элементы периодической структуру будут многократно повторяться. Этот результат пока ещё отличается от наших представлений о частице, находящейся в определённой области пространства. Локализацию волнового пакета можно получить только при непрерывном распределении частот и волновых чисел. Тогда частоту можно представить как непрерывную функцию волнового вектора:

Зависимость (2.2) называется дисперсионным уравнением. Именно для такой функции вводится понятие групповой скорости как предела (2.1):

Групповая скорость есть скорость передачи любого сигнала, а также скорость переноса энергии, массы и аналогичных величин. Она никогда не превосходит скорости света в вакууме.

6.3 Сложение колебаний с непрерывной зависимостью w ( k )

При непрерывной зависимости (2.1) волновой пакет должен быть представлен не в виде суммы, а как интеграл от непрерывного распределения монохроматических колебаний:

Рассмотрим модуляцию колебаний в пакете волн с непрерывным распределением частот, ограничиваясь линейным разложением по малому параметру D k = k – k₀:

Подставив (3.2–3) в (3.1) и выполняя интегрирование, получим:

Мы снова пришли к уравнению для плоской волны с частотой w ₀ и волновым числом k₀, но с модулированной амплитудой. На этот раз модуляция осуществляется функцией

принимает наибольшее значение в центре волнового пакета:

Далее, вместе с sin x она имеет бесконечное число корней:

f ( x ) = 0 при x = ± p n n = 1, 2, ¼

Наконец, в промежутках между нулями, в точках

x = p /2 ± p n n = 1, 2,…

первом максимуме. Чёрная кривая изображает колебания на основной частоте w ₀. Им соответствует фазовая скорость

6.4 Локализация пакета и его длительность

Фиксируем момент времени t = 0. Тогда аргумент функции амплитудной модуляции равен

График функции на рис. 6.3.2 в данном случае представляет мгновенную фотографию волнового пакета. Повторим центральную часть рис. 6.3.1 с новыми обозначениями.

Размер пакета определяется шириной центрального максимума, где фаза x меняется на 2 p :

Знак неравенства напоминает, что часть пакета, хотя и небольшая, всё же выходит за пределы центрального максимума.

Теперь оценим, сколько времени волновой пакет тратит на прохождение через заданную точку, например, через начало координат.

Однозначную зависимость функции f ( x ) от времени отражает рис. 6.4.2.

Длительность волнового пакета, как и пространственная протяжённость, определяется изменением фазы на 2 p :

Неравенства (4.1) и (4.2) хорошо известны в теории колебаний и в радиотехнике. Например, так называемая почти монохроматическая волна (волновой пакет с очень узким интервалом волновых чисел) имеет большую протяжённость в пространстве. С другой стороны, для регистрации коротких ( D t → 0) импульсов необходим широкополосный приёмник.

Рассматриваемые неравенства отражают операции, необходимые для измерения длины волны l и частоты. Для определения λ необходимо фиксировать положения как минимум двух соседних «горбов». При этом точность определения l будет тем больше ( D l → 0 и D k → 0), чем большее число максимумов будет зафиксировано ( D x → ¥ ). Аналогично, для определения частоты колебаний маятника w измерение нужно проводить, по крайней мере, в течение одного периода колебаний. Точность измерения частоты будет возрастать ( D w → 0) с увеличением числа измеренных периодов ( D t → ¥ ).

6.5 Частица как волновой пакет

Последнее неравенство еще раз убеждает нас, что фазовая скорость не имеет прямого отношения к скорости частицы. Теперь определим групповую скорость частицы как волнового пакета:

Вычисление производной dE / dp можно выполнить следующим образом. Из формул (1.2) четвёртой главы вытекает полезное тождество, объединяющее скорость, импульс и энергию частицы:

Воспользуемся (5.3) и продолжим цепочку равенств (5.2):

Скорость перемещения огибающей волнового пакета есть скорость движения частицы.

6.6 Линейная и нелинейная дисперсионные зависимости

В случае линейной связи между частотой и волновым числом фазовая скорость равна групповой. Например, электромагнитные волны в вакууме, как известно, описываются линейным уравнением

Но при распространении в той или иной среде связь между частотой и волновым числом может оказаться нелинейной. Принято говорить, что такая среда обладает дисперсией. При нелинейной функции w ( k ) групповая и фазовая скорости различаются. Например, распространение электромагнитной волны в плазме описывается дисперсионным уравнением

Из последнего равенства вытекает связь между фазовой и групповой скоростями электромагнитной волны в плазме:

Сами скорости в единицах скорости света равны

6.7. Расплывание волнового пакета

Поскольку волновой пакет состоит из волн с различающимися фазовыми скоростями, то эти волны с течением времени должны расходиться, а волновой пакет — расплываться. Время расплывания пакета можно оценить, удержав в разложении (3.2) слагаемое со второй производной d 2 w / dk 2 :

Теперь показатель экспоненты в формуле (3.1) равен

Здесь мы воспользовались соотношением (4.1), которое связывает протяжённость волнового пакета с разбросом волновых чисел. Квадратичное слагаемое равно нулю при линейной зависимости частоты от волнового вектора. В этом случае эффект расплывания волнового пакета не имеет места, как, например у фотона в вакууме.

Следовательно, время расплывания волнового пакета по порядку величины составляет

В классическом пределе ( h → 0) эффект расплывания отсутствует.

Примеры

Пусть макроскопическое тело имеет массу M = 1г и размер D x

1 м (дробинка). Тогда из (7.1) получаем t

10 18 лет. Это значительно превышает возраст Вселенной. Таким образом, объекты макромира не успевают расплыться за время своего существования.

Электрон практически мгновенно «уплывет» в другое место. Классический радиус электрона численно близок к размерам ядра. Следовательно, мы показали также, что электрона в ядре быть не может.

Атомный электрон локализован внутри области D x

10 –8 см, откуда время расплывания 10 –16 с оказывается сравнимым с периодом обращения электрона на орбите вокруг ядра.

Мы рассмотрели два примера поведения микрочастицы на микроскопических расстояниях. Теперь обсудим движение электрона в масштабах домашнего телевизора и околоземной орбиты.

Электрон в кинескопе телевизора, пройдя разность потенциалов

20 кэВ, разгоняется до скорости

10 10 см/с. Пусть чёткость изображения удовлетворительна при его локализации на экране с точностью до D x

Космофизичекий эксперимент. В советско –французском эксперименте под кодовым названием «Аракс» с острова Кергелен в Южном полушарии вблизи северного магнитного полюса запускалась в атмосферу ракета с электронной пушкой, которая инжектировала в атмосферу пучок электронов с энергией примерно 10 кэВ. Электроны летели вдоль силовых линий магнитного поля Земли и были зарегистрированы в районе Архангельска. Длина пути была около 10 9 см. При скорости 10 10 см/с такое расстояние электрон проходит примерно за десятую долю секунды. Отсюда следует величина расплывания пакета порядка нескольких миллиметров — в 10 9 раз меньше длины пути электрона. Таким образом, в случае микроскопической частицы, двигающейся в макроскопических масштабах, расплывания волнового пакета не происходит.

Итак, расплывание волнового пакета может оказаться существенным только при движении микроскопической частицы в микроскопических масштабах, то есть там, где законы классической механики уже неприменимы.

Источник

В координатном представлении волны (например, в декартовой системе координат ) положение локальной вероятности физического объекта определяется положением пакетного решения. Более того, чем уже пространственный волновой пакет и, следовательно, чем лучше локализовано положение волнового пакета, тем больше разброс импульсов волны. Этот компромисс между спредом позиции и спредом импульса является характерной чертой принципа неопределенности Гейзенберга и будет проиллюстрирован ниже.

СОДЕРЖАНИЕ

Историческое прошлое

Идеи квантовой механики продолжали развиваться на протяжении всего ХХ века. Созданная картина представляла собой мир из частиц, в котором все явления и материя состоят из отдельных частиц и взаимодействуют с ними; однако эти частицы описывались волной вероятности. Взаимодействия, местоположения и вся физика были бы сведены к расчетам этих амплитуд вероятностей.

Базовое поведение

Недисперсионный

В качестве примера распространения без дисперсии рассмотрим волновые решения следующего волнового уравнения из классической физики

Для упрощения рассмотрите только волны, распространяющиеся в одном измерении (расширение до трех измерений не вызывает затруднений). Тогда общее решение

e ^ \, dk.>

e ^ <- ikx>\, dx.>

Бездисперсное распространение реальной или мнимой части этого волнового пакета показано на анимации выше.

Диспергирующий

Напротив, в качестве примера распространения теперь с дисперсией рассмотрим вместо этого решения уравнения Шредингера (с m и ħ, установленными равными единице),

что дает дисперсионное соотношение

\ psi (x, 0) = <\ sqrt [<4>] <2 >> \ exp ( <- x ^ <2>+ ik_ <0>x>)>

. \ end >>

Представление о дисперсионном поведении этого волнового пакета получается, если посмотреть на плотность вероятности:

.>

Профиль импульса A (k) остается неизменным. Тока вероятности является

Гауссовские волновые пакеты в квантовой механике

Вышеупомянутый дисперсионный гауссовский волновой пакет, ненормализованный и просто центрированный в начале координат, вместо этого, при t = 0, теперь может быть записан в 3D, теперь в стандартных единицах:

Каждая отдельная волна вращается только по фазе во времени, так что решение с преобразованием Фурье, зависящее от времени, имеет вид

Обратное преобразование Фурье по-прежнему гауссово, но теперь параметр a стал сложным, и есть общий коэффициент нормализации.

Интеграл Ф во всем пространстве инвариантен, потому что это скалярное произведение Ф с состоянием нулевой энергии, которая является волной с бесконечной длиной волной, с постоянной функцией пространства. Для любого собственного состояния энергии η ( x ) скалярное произведение

Интеграл ∫ | Ψ | 2 d 3 r также является инвариантом, что свидетельствует о сохранении вероятности. Ясно,

e ^ <- \ cdot \ mathbf \ над a ^ <2>+ (\ hbar t / m) ^ <2>>>,>

Поезд волн Эйри

В 2018 году совместными усилиями исследователей из израильских, немецких и американских университетов было проведено первое экспериментальное наблюдение кубической фазы ускоряющихся волновых пакетов Эйри.

Бесплатный пропагатор

Далее обратите внимание, что норма волновой функции бесконечна, что также верно, поскольку квадрат дельта-функции расходится таким же образом.

Фактор, включающий ε, является бесконечно малой величиной, которая нужна для того, чтобы убедиться, что интегралы по K определены правильно. В пределе ε → 0 K становится чисто осциллирующим, и интегралы от K не сходятся абсолютно. В оставшейся части этого раздела он будет установлен в ноль, но для того, чтобы все интегрирования по промежуточным состояниям были четко определены, предел ε → 0 должен приниматься только после вычисления конечного состояния.

В пределе, когда t мало, пропагатор, конечно, переходит к дельта-функции:

,>

но только в смысле распределений : интеграл от этой величины, умноженный на произвольную дифференцируемую пробную функцию, дает значение пробной функции в нуле.

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что интеграл по всему пространству K всегда равен 1,

поскольку этот интеграл является скалярным произведением K с однородной волновой функцией. Но фазовый множитель в показателе экспоненты имеет ненулевую пространственную производную везде, кроме начала координат, и поэтому, когда время мало, есть быстрые сокращения фазы во всех точках, кроме одной. Это строго верно, когда предел ε → 0 берется в самом конце.

она становится колебательной волной,

Теперь, поскольку каждую функцию можно записать как взвешенную сумму таких узких пиков,

Поскольку амплитуду, идущую от x к y по прошествии времени t + t ‘, можно рассматривать в два этапа, пропагатор подчиняется тождеству композиции,

,>

Аналитическое продолжение диффузии

,>

где множитель 2, который можно удалить, изменяя масштаб во времени или пространстве, используется только для удобства.

Решением этого уравнения является гауссиан растекания,

,>

и, поскольку интеграл от ρ _t постоянен, в то время как ширина сужается на малых временах, эта функция приближается к дельта-функции при t = 0,

опять же только в смысле распределений, так что

который является оператором бесконечно малой диффузии,

Матрица имеет два индекса, которые в непрерывном пространстве делают ее функцией от x и x ‘. В этом случае, из-за инвариантности перевода, матричный элемент K зависит только от разницы положения, и удобное злоупотребление обозначениями состоит в том, чтобы ссылаться на оператор, матричные элементы и функцию разности с тем же именем:

Трансляционная инвариантность означает, что непрерывное умножение матриц,

Экспонента может быть определена в диапазоне t s, который включает комплексные значения, при условии, что интегралы по ядру распространения остаются сходящимися,

который иллюстрирует вышеупомянутую эволюцию гауссианов во времени.

Исходя из фундаментальной сущности возведения в степень или интеграции путей,

составляет состояние, эволюционировавшее во времени,

Это иллюстрирует указанную выше диффузную форму комплексных гауссовских решений,

Источник