Что такое внутренние накрест лежащие углы

Углы при пересечении двух прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.

При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.

На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).

Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:

Соответственные углы: ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8.
Внутренние накрест лежащие углы: ∠3 и ∠6, ∠4 и ∠5.
Внешние накрест лежащие углы: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.
Внутренние односторонние углы: ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6.
Внешние односторонние углы: ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8.

Углы при пересечении параллельных прямых

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Признаки параллельности прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности двух прямых:

1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что при пересечении двух прямых секущей образуются углы:

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим и докажем признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.

В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.

2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°

1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH₁, равный отрезку AH и проведем отрезок OH₁.

2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH₁ по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH₁B по первому признаку равенства треугольников.

Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.

3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H₁ лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H₁, O, H лежат на одной прямой.

4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН₁, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.

∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.

Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.

∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.

∠1 + ∠2 = 180 ° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.

Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK.

Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Источник

Что такое внутренние накрест лежащие углы

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 3 Параллельные прямые.

В геометрии нельзя «на глазок» определить, параллельны прямые или нет. Это может быть либо дано, либо доказано. Вы уже знаете, что на плоскости справедлива теорема: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой».

Есть еще три признака параллельности прямых, которые можно объединить в одну теорему, она так и называется: «Признаки параллельности прямых». Данные признаки связаны с углами, которые образуются при пересечении двух прямых третьей прямой. Это так называемые накрест лежащие углы, соответственные углы и односторонние углы.

Оказывается, что если накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые будут параллельны.

Справедливы и обратные утверждения. Если даны две заведомо параллельные прямые, которые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°.

Ранее мы доказали, что через точку вне прямой можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. Можно также доказать, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной. А вот доказать, что такая прямая — единственная, нельзя! Утверждение «Через точку, не лежащую на прямой, можно провести ЕДИНСТВЕННУЮ прямую, параллельную данной» называется аксиомой параллельных прямых. У Евклида эта аксиома называлась пятым постулатом.

На протяжении двух тысячелетий это утверждение вызывало захватывающие и драматичные споры между такими знаменитыми учеными, как Лобачевский, Гаусс и другие. Споры состояли в том, можно или нельзя доказать этот пятый постулат Евклида на основании уже известных теорем. В конце концов работы в этом направлении привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.

При пересечении двух прямых третьей, которая называется секущей, образуется 4 пары накрест лежащих углов, 4 пары соответственных и 4 пары односторонних.

3 и 5; 4 и 6 — внутренние накрест лежащие углы;
1 и 7; 2 и 8 — внешние накрест лежащие углы;
1 и 5; 2 и 6; 4 и 8; 3 и 7 — соответственные углы;
3 и 6; 4 и 5 — внутренние односторонние углы;
2 и 7; 1 и 8 — внешние односторонние углы.

Признаки параллельности прямых. Если накрест лежащие углы равны, ши соответственные углы равны, ши сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. В первую очередь нужно доказать, что если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Доказательство опирается на уже доказанное нами свойство: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Из середины отрезка секущей опускают перпендикуляр на одну из параллельных прямых. Затем перпендикуляр продляют до пересечения со второй прямой. Из равенства полученных треугольников следует, что прямая, проходящая через перпендикуляр, будет перпендикулярна и второй прямой. Дальнейшее просто.

Через точку, не лежащую на данной прямой, МОЖНО провести прямую, параллельную данной. Опустив перпендикуляр из точки на прямую, а затем, восставив перпендикуляр к проведенной прямой, получим две прямые, перпендикулярные третьей, которые будут параллельны. А вот доказать, что такая прямая единственная, нельзя. Поэтому справедлива АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ЕДИНСТВЕННАЯ прямая, параллельная данной».

Теорема о двух прямых, параллельных третьей. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Если бы они пересекались, то через одну точку проходили бы две прямые, параллельные третьей.

Теорема о пересечении параллельных прямых. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Если бы эта прямая не пересекала вторую прямую, то она была бы ей параллельна. Но тогда через одну точку проходили бы две прямые, параллельные третьей. А это невозможно.

Свойства углов при параллельных прямых и секущей. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°. В первую очередь нужно доказать, что если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны. Пусть прямые параллельны, а накрест лежащие углы 1 и 2 не равны. Отложим угол, равный углу 2, как показано на рисунке. Получим еще одну прямую, параллельную нижней прямой (если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны). Но через точку нельзя провести две прямые, параллельные третьей. Значит, наше предположение неверно, и накрест лежащие углы равны. Остальное несложно.

Из указанных свойств параллельных прямых вытекает важное следствие: перпендикуляр к одной из параллельных прямых будет перпендикуляром и к другой. Доказательство следует из равенства соответственных углов.

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами. Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они одновременно острые ши одновременно тупые, и в сумме составляют 180°, если один из них острый, а другой — тупой. Продлив стороны данных углов, получим две пары равных соответственных углов, откуда ∠1 = ∠2. Продлив сторону угла 1 за его вершину, получим доказательство второй части теоремы.

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если они одновременно острые или одновременно тупые, и в сумме составляют 180°, если один из них острый, а другой — тупой. Проведя перпендикулярные лучи из вершины угла 1, получим, что углы 2 и 3 равны и углы 3 и 1 дополняют один и тот же угол 4 до 90°. Значит, ∠1 = ∠3, ∠1 = ∠2. Продлив сторону угла 2 за его вершину, получим доказательство второй части теоремы.

Это опорный конспект № 3 по геометрии в 7 классе «Параллельные прямые (опорный конспект)». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Виды и отношения углов

Развёрнутый угол и угловой градус

Развёрнутый угол — это угол, образованный двумя дополнительными полупрямыми. Развёрнутый угол принимаем равным 180°. Таким образом один угловой градус — это 1/180 часть развёрнутого угла.

AB и AC — это две дополнительные полупрямые, образующие развёрнутый угол BAC. Двигай луч AB.

Виды углов

Острый угол больше 0°, но меньше 90°. Тупой угол больше 90°, но меньше 180°. Прямой угол равен 90°.

Угол ABC — острый. Двигай точки A, B и C. Угол DEF — тупой. Двигай точки D, E и F. Угол GHI — прямой. Двигай точки G, H и I.

Смежные углы

Смежные углы это такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие — дополнительные полупрямые.

Здесь углы BAC и CAD — смежные. У них сторона AC — общая, а стороны AB и AD — дополнительные полупрямые.

Вертикальные углы

Вертикальные углы — это углы, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.

Здесь углы BAC и DAE — вертикальные. У них сторона AB — дополнительная полупрямая к стороне AD, а сторона AC — дополнительная полупрямая к стороне AE. Двигай точки A, B и C.

Соответственные углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, сонаправлены, и стороны, лежащие на секущей, сонаправлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и соответственный ему угол.

Односторонние углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей односторонние углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, сонаправлены, а стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и односторонний с ним угол.

Накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей.

При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы — это углы, у которых стороны, лежащие на параллельных прямых, противоположно направлены, и стороны, лежащие на секущей, противоположно направлены.

Через точку C проходит прямая, параллельная прямой AB. Двигай точки A, B и C. Тронь внутреннюю область угла, чтобы выделить этот угол и накрест лежащий с ним угол.

Источник

Углы при параллельных прямых и секущей — виды и свойства

Изучаемый геометрический объект

Прежде чем рассматривать углы, которые образуются в результате различного взаимного расположения прямых на плоскости, следует подробно изучить сам геометрический объект. Любая прямая линия представляет собой набор точек в пространстве любой мерности, каждая из которых может быть получена из предыдущей путем ее переноса на вектор, имеющий конкретное направление.

Рассматриваемый объект является одномерным, то есть он имеет лишь один единственный размер, который отличен от нуля. Прямая — это бесконечная линия, любые две точки на которой отсекают отрезок определенной длины.

Векторное представление

Определение прямой говорит о том, что для универсального ее математического описания следует воспользоваться понятием вектора. Под ним в математике подразумевают направленный отрезок, имеющий начало и конец. В двумерном пространстве любой вектор представляется набором двух чисел, например, a (a1, a2). Построить его можно следующим образом:

Самостоятельно вектор не может задать прямую, поскольку существует бесконечное множество объектов a (a1, a2), которые получаются с помощью параллельного переноса их по всей плоскости. Необходима фиксированная точка, чтобы привязать начало направленного отрезка. Так образуется прямая линия. Ее векторное уравнение может быть записано в следующем виде:

A (x, y) = A0 (x0, y0) + alfa*(a1, a2).

Здесь A (x, y) — произвольная точка линии, A0 (x0, y0) — фиксированная точка на ней, (a1, a2) — координаты вектора, который называется направляющим, alfa — любое рациональное число, которое показывает, на какую долю направленного отрезка (a1, a2) следует переместить A0 (x0, y0), чтобы попасть в A (x, y).

Другие формы уравнений

Векторное уравнение прямой является неявным по отношению к координатам x и y. Для одних задач его удобно использовать, для других же следует применять иные формы записи. Одной из них является параметрическая. Ее можно записать так:

Этой формой удобно пользоваться для определения конкретных координат x и y. Если из этой системы равенств выразить параметр alfa, то можно получить симметричное уравнение прямой:

Наконец, если представить это выражение таким образом, чтобы y был выражен, как функция от x, то получится общее представление прямой линии в двумерной системе координат:

y = a2/a1*x + (y0-a2/a1*x0).

Эта формула известна любому школьнику, поскольку основное внимание при изучении геометрических свойств рассматриваемого одномерного объекта в школах уделяется именно ей. Зная, как перевести один вид уравнения прямой в другой, можно выполнять соответствующие преобразования для решения конкретных задач.

Взаимное расположение

Рассматривая вопрос параллельных углов, следует изучить все возможные варианты расположения на плоскости прямых линий. Количество ситуаций зависит от числа присутствующих геометрических объектов, а также от размерности координатной системы.

Две прямые

На плоскости существует три разных варианта расположения двух прямых относительно друг друга. К ним относятся следующие:

Три прямые

Когда на плоскости имеются три прямых, то количество вариантов их взаимного расположения возрастает. Возможные следующие случаи:

Для определения всех этих ситуаций следует проводить геометрический анализ с применением уравнений разных форм представления прямых. Случай номер 2 является наиболее интересным, поскольку в результате такого взаимного расположения образуется набор специальных углов.

Секущая и углы

В школьном курсе геометрии изучение прямых и секущей имеет особый интерес. В результате такого расположения одномерных объектов получаются несколько углов, обладающих специальными свойствами. Полученные выводы используются для решения не только теоретических, но и практических вопросов.

Выделяют три типа углов, образующихся при пересечении секущей двух параллельных линий:

Один из накрест лежащих углов расположен во внутренней области параллельных линий с одной стороны от секущей, второй же лежит во внешней области с другой стороны. Поскольку секущая пересекает каждую параллельную, образуется четыре пары рассматриваемых углов, которые лежат друг относительно друга накрест. Попарно эти углы равны. Две пары из них являются тупыми, а две — острыми. Особый случай составляют вертикальные прямые углы.

Односторонние — это такие углы, которые бывают между параллельными линиями и только с одной стороны от секущей (отсюда их название). Причем один из них образован одной параллельной прямой, а другой относится к другой параллельной линии. Они в общем случае не равны друг другу, поскольку один является острым, а другой тупым. Однако если секущая перпендикулярна параллельным прямым, то односторонние углы будут составлять 90 градусов. Их важное свойство состоит в том, что в сумме всегда получается 180 градусов. В рассматриваемом расположении одномерных объектов существует лишь две пары этих углов.

Соответственные углы при параллельных прямых лежат по одну сторону от секущей, но по разные стороны от каждой параллельной прямой. Они также являются смежными. Их существует четыре пары, которые попарно одинаковы. Их сумма в каждой паре всегда равна 180 градусам.

Следует запомнить, что соответственные углы всегда лежат по одну сторону от секущей. В указанном расположении прямых можно найти еще четыре пары смежных углов, которые, однако, будут располагаться по разные стороны от секущей и по одну сторону от параллельной линии. Они соответствующими не являются.

Методы вычисления

Зная значение любого из накрест лежащих, односторонних и соответственных углов, можно найти величины всех остальных, воспользовавшись их свойствами. Для проведения вычислений проще всего воспользоваться векторной формой представления прямых.

Пусть существует две параллельных линии, которые заданы следующим образом:

Секущая задается векторным уравнением: C (x, y) = С0 (x3, y3) + l*(c1, c2). Для расчета угла пересечения любых двух прямых необязательно искать их общую точку, достаточно воспользоваться свойствами умножения направляющих векторов. Они могут перемножаться двумя различными способами:

Пусть следует найти угол пересечения прямых A и C. Для скалярного произведения можно записать: ((a1, a2)*(c1, c2)) = a1*c1 + a2*c2 = ((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5*cos (teta). Откуда получается неизвестный угол teta:

teta = arccos ((a1*c1 + a2*c2)/(((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5)).

Другой способ определения teta заключается в применении векторного произведения. Получается следующее выражение: [(a1, a2)*(c1, c2)] = a1*c2 — a2*c1 = ((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5*sin (teta). Тогда teta может быть вычислен по формуле:

teta = arcsin ((a1*c2 — a2*c1)/(((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5)).

Вычислить соответствующие функции арксинуса или арккосинуса можно с использованием инженерного калькулятора. Как только известен угол пересечения секущей и параллельной прямых, остальные углы находятся с помощью добавления или вычитания его из 180 градусов, согласно их свойствам.

Пример решения задачи

Прежде чем перейти к использованию скалярного или векторного произведения, следует найти направляющие отрезки для каждой из прямой. Сначала каждую из них нужно записать в параметрической форме:

Откуда получаются координаты направляющего вектора: (-0,5, 1). Проведение аналогичных преобразований для второй линии приводит к ее направляющему отрезку с координатами (1, 1).

Воспользовавшись формулой для угла teta через скалярное произведение, можно получить следующий результат:

teta = arccos ((-0,5*1 + 1*1)/(((-0,5)^2+(1)^2)^0,5*((1)^2+(1)^2)^0,5)) = 71,6 градуса.

Тогда накрест лежащие углы составят 71,6 градуса, а односторонние и соответствующие будут равны 71,6 и 108,4 градуса (180−71,6).

Знание уравнений прямых и умение производить операции умножения векторов позволяет вычислять любые типы углов, которые образуются при пересечении параллельных прямых секущей линией. Подобные расчеты можно проводить не только в двумерном, но также в трехмерном пространстве.

Источник