Что такое вневписанная окружность
Вписанная окружность (ЕГЭ 2022)
Ну что, юнга, уверен, что знаешь все про окружности?
Пров вписанную точно знаешь. А про вневписанную слышал?
Ничего страшного, сейчас ты во всём разберешься!
Вписанная окружность — коротко о главном
Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности:
\( \displaystyle S=p\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac
Вневписанная окружность – окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (\( \displaystyle \angle A\)) и биссектрис двух внешних углов (\( \displaystyle \angle B\) и \( \displaystyle \angle C\)).
Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности:
\( \displaystyle <_<\Delta ABC>>=(p-a)\cdot r\), где \( \displaystyle p=\frac
Вписанная окружность — подробнее
Здесь мы будем говорить об окружностях, связанных с треугольником. Оставим пока в стороне страшное слово «вневписанная» и поговорим об окружности, вписанной в треугольник.
Итак, что же это такое?
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех(трёх) его сторон.
Для всякого ли треугольника можно подобрать такую окружность? И как найти ее центр?
На эти вопросы отвечает следующая теорема:
Во всякий треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
И повторим ещё раз то, что очень нужно запомнить:
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Если тебя заинтересовал вопрос о том, почему это все три биссектрисы обязаны пересечься, и какое отношение имеют биссектрисы к тому, что окружность касается сторон треугольника, то добро пожаловать к теме «Биссектриса».
Но для начала хватит просто запомнить то, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Теперь немножко о радиусе.
Радиус вписанной окружности
Посмотри, пусть у нас в \( \displaystyle \Delta ABC\) вписана окружность с центром \( \displaystyle O\).
Тогда отрезки \( \displaystyle OK\), \( \displaystyle OL\), и \( \displaystyle OM\) – радиусы этой окружности.
Поэтому они, конечно же, равны, но ещё – они все перпендикулярны сторонам. Это происходит оттого, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
Итак, запомни и используй:
Вписанная окружность и отрезки сторон треугольника
Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.
Можно ли найти как-то отрезочки \( \displaystyle AK\), \( \displaystyle KC\), \( \displaystyle BL\) и.д. —отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника?
Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные, касающиеся окружности»).
Посмотри внимательно: из точки \( \displaystyle A\) проведено две касательных, значит их отрезки \( \displaystyle AK\) и \( \displaystyle AM\) равны.
Мы обозначим их «\( \displaystyle x\)».
Далее, точно так же:
\( \displaystyle BM=BL=y\) (обозначили).
\( \displaystyle CK=CL=z\) (обозначили).
Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины «\( \displaystyle a\)», «\( \displaystyle b\)», «\( \displaystyle c\)» — смотри на рисунок. Что же теперь получилось?
А вот, например, отрезок «\( \displaystyle a\)» состоит из двух отрезков «\( \displaystyle y\)» и «\( \displaystyle z\)», да и отрезки «\( \displaystyle b\)» и «\( \displaystyle c\)» тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:
Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!
Сложим первые два уравнения и вычтем третье:
\( \displaystyle \left\< \begin
А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:
\( \displaystyle \left\< \begin
И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.
Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.
Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть «\( \displaystyle x\)» («\( \displaystyle b\)» и «\( \displaystyle c\)») будут с плюсом, а та сторона, где нет «\( \displaystyle x\)» (это «\( \displaystyle a\)»), будет с минусом.
Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же
На «\( \displaystyle a\)» и «\( \displaystyle c\)» есть «\( \displaystyle y\)» — они с плюсом, на «\( \displaystyle b\)» нет «\( \displaystyle y\)» — она с минусом
На «\( \displaystyle a\)» и «\( \displaystyle b\)» есть «\( \displaystyle z\)» — они с плюсом, на «\( \displaystyle c\)» нет «\( \displaystyle z\)» — она с минусом.
Вписанная окружность и площадь
Здесь скажем совсем коротко:
Есть такая формула:
\( \huge\displaystyle S=p\cdot r\),
где \( \displaystyle p\) — это полупериметр треугольника, то есть \( \displaystyle p=\frac
Вневписанная окружность
Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: «вневписанная окружность»? Сначала посмотри на картинку:
Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.
Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!
Захватывает дух? Насладись впечатлением.
А еще подумай над тем…
А сейчас вернёмся к одной какой-нибудь вневписанной окружности и узнаем всего один, но очень важный факт:
До дальней точки касания вневписанной окружности ровно полупериметр
или что то же самое: \( \displaystyle AK=AM=p\), где \( \displaystyle p\) — полупериметр.
Доказывать не будем, но ещё раз посмотри и запомни:
До «дальней» точки касания вневписанной окружности – ровно полупериметр треугольника.
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.
Слово лучшему ученику — тебе! 🙂
Навыки работы с окружностями показывают, насколько ты хорош в планиметрии. Это действительно сложная тема.
А сегодня ты с ней разобрался. Ты большой молодец!
Мы будем очень рады узнать твое мнение об этой статье. Для нас оно очень важно.
Напиши внизу в комментариях, что думаешь об этой статье. Помогла ли она тебе?
Нравится ли тебе работать с окружностями? И стало ли это делать легче после прочтения этой статьи? 🙂
Остались вопросы? Задай их! Там же, в комментариях.
Мы обязательно ответим тебе!
Добавить комментарий Отменить ответ
Один комментарий
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Андрей
11 июля 2018
Прекрасное обьяснение, спасибо большое!
Александр (админ)
12 июля 2018
И тебе спасибо, Андрей. За теплые слова.
Юлия
09 сентября 2018
все просто и понятно, спасибо большое!
Александр (админ)
09 сентября 2018
И тебе спасибо, Юлия! Очень приятно слышать!
Миша
28 сентября 2018
не подскажите, почему отрезок о3б перпендикулярен отрезку о1о2?
Александр
21 августа 2019
Это биссектрисы смежных углов.
Денис
24 февраля 2019
Божественные рисунки!) Мне в школе для урока по геометрии надо подготовить несколько рисунков. Подскажите, пожалуйста, какой программой вы пользуетесь для построения рисунков?
Александр (админ)
07 марта 2019
Денис, прошу прощения, пост твой пропустил. Только сейчас отвечаю. Но врядли чем-то помогу. Рисунки делались так: сначала их от руки делала Елена Евгеньевна (наш математик), а потом профессиональный дизайнер Настя их перерисовывала. По-моему в фотошопе.
Вневписанная окружность
Вневпи́санная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. Таких окружностей, в отличие от вписанной, для любого треугольника существует ровно 3.
Существование и единственность вневписанной окружности обусловлено тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности.
Свойства
Здесь используются обозначения: 
— радиусы вневписанных окружностей с центрами 
, касающиеся соответственно сторон 
треугольника; p — полупериметр треугольника; r — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности.
Литература
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Вневписанная окружность» в других словарях:
Вписанная окружность — Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектри … Википедия
Описанная окружность — многоугольника окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принят … Википедия
Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
касание — ▲ контакт ↑ (быть) в, один (только), точка касание примыкание в одной точке; фигуры касаются, если они имеют одну общую точку, через которую можно провести линию [поверхность] так, что касающиеся фигуры будут целиком находиться по разные ее… … Идеографический словарь русского языка
МАТЕМАТИКА
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису 
. Затем продолжим эту биссектрису за точку 
до пересечения в точке 
с биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.
Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.
Поскольку точка равноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром , касающаяся стороны ВС, касается также и продолжений сторон АВ и АС (рис.2).
Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника АВС. Ясно, что любой треугольник имеет три вневписанных окружности. (рис.3).
Положение центра вневписанной окружности можно охарактеризовать так: это точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Можно охарактеризовать его и совершенно иначе, если заметить, что точки , В и С и центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежат на одной окружности с диаметром 
(рис.4), – это следует из того, что углы 
и 
прямые.
Можно сказать, таким образом, что точка представляет собой точку пересечения прямой и окружности, описанной около треугольника ВОС.
Принимая во внимание замечание в конце статьи (Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности), из этого можно сделать еще один вывод:
Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.
В самом деле, пусть D – точка пересечения продолжения биссектрисы с описанной около треугольника АВС окружностью (рис.5). Тогда согласно упомянутому замечанию DB = DC = DO. Следовательно, D – центр окружности, описанной около четырехугольника 
. Проведем из точек O, D и перпендикуляры к стороне ВС и обозначим их основания буквами P, Q и R соответственно (рис.6). Точки P и R являются точками касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС, а точка Q – середина этой стороны. Но 
, значит, и PQ = QR, то есть точки P и R симметричны относительно точки Q.
Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника обладает еще одним замечательным свойством:
Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.
Можно убедиться в этом самостоятельно, используя рис. 7.
При решении задач, связанных с нахождением площади треугольника, часто полезной бывает следующая формула. Пусть 
– радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной а, р – полупериметр треугольника. Тогда
Обозначим эту формулу (1).
Действительно, если две другие стороны данного треугольника равны b и c (рис. 8), то
Замечание. Выпуклый четырехугольник может не иметь вписанной окружности, но он всегда имеет четыре вневписанные окружности.
Любопытно, что для площади S такого четырехугольника имеет место соотношение, похожее на формулу (1).
В самом деле, пусть стороны данного четырехугольника равны последовательно a, b, c и d; p – его полупериметр, 
и 
– радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с. Допустим, что две другие стороны не параллельны (случай параллельных сторон рассмотрите самостоятельно). Продолжим их до пересечения в точке М (рис.9).
Пусть 
и 
– точки, в которых продолжения одной из сторон касаются вневписанных окружностей, причем лежит на окружности, вписанной в маленький треугольник. Площадь S четырехугольника равна, очевидно, разности площадей большого и маленького треугольников. Периметр маленького треугольника равен 
, а периметр большого треугольника равен
Обозначим эту формулу (2)
С другой стороны, из подобия треугольников 
и 
( 
и – центры вневписанных окружностей) находим 
. Но отрезок 
равен полупериметру большого треугольника, то есть 
.
Поэтому из полученной пропорции можно найти 
:
Подставляя это выражение в равенство (2) получим:
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.