Что такое внешние углы многоугольника

Сумма внешних углов

Что такое внешний угол многоугольника? Сколько внешних углов у многоугольника? Чему равна сумма внешних углов многоугольника?

Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с его внутренним.углом.

Например, угол 1 — внешний угол при вершине A1 многоугольника

так как он смежный с его внутренним углом A2A1An.

Угол 2 также является смежным углу A2A1An.

А значит, ∠2 — внешний угол при вершине A1.

Таким образом, при каждой вершине многоугольника есть два равных между собой внешних угла.

У n-угольника n вершин, значит, всего внешних углов у n-угольника 2n.

Поскольку оба внешних угла при одной вершине равны, говоря о сумме внешних углов n-угольника, рассматривают внешние углы, взятые по одному при каждой вершине.

(о сумме внешних углов выпуклого многоугольника)

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º.

Дано :

∠1, ∠2, ∠3, …, ∠n — внешние углы при вершинах

Аналогично, сумма внешнего и внутреннего углов при каждой вершине n — угольника равна 180º.

Значит, сумма всех внутренних углов многоугольника и всех его внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) равна 180º∙n.

Следовательно, сумма всех внешних углов

2 Comments

Вроде бы ошибка в написании условия.Вы хотите доказать,что сумма внешних углов = 180 градусов.

Источник

Многоугольник

Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.

Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:

Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.

Виды многоугольников

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.

На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.

Обозначение многоугольника

Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).

Соседние вершины многоугольника

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)

Смежные стороны многоугольника

Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)

Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник

Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).

На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.

На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.

На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.

Правильный многоугольник

Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.

На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Звездчатый многоугольник

Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.

На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)

Периметр многоугольника

Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) периметр вычисляется из формулы:

Угол многоугольника

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).

Внешний угол многоугольника

Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.

На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)

Диагональ многоугольника. Количество диагоналей

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.

Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:

Сумма углов выпуклого многоугольника

Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) (Рис.11):

Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.

Угол правильного многоугольника

Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.

Источник

Работа с внешними углами многоугольника с помощью тригонометрии

Внешний угол многоугольника – угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом многоугольника.

Задания, в которых школьникам необходимо найти внешние углы многоугольника, в ЕГЭ по математике традиционно встречаются из года в год. Правильно решать подобные задачи должны уметь выпускники, сдающие как базовый, так и профильный уровень аттестационного испытания. Школьники, которые освоили задания из раздела «Работа с внешними углами многоугольника», смогут справиться с ЕГЭ и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам его прохождения.

Как подготовиться к экзамену?

Перед решением задач на нахождение внешних углов многоугольника в ЕГЭ стоит освежить в памяти определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике. Кроме того, для некоторых заданий могут потребоваться формулы основных тригонометрических тождеств.

Восполнить пробелы в знаниях, например, по теме «Вычисление синуса угла треугольника» и лучше усвоить информацию вам поможет образовательный проект «Школково». Для того чтобы выпускники могли успешно справляться с задачами на нахождение внешних углов треугольника в ЕГЭ, мы предоставляем возможность повторить определения и основные правила. Весь необходимый базовый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Наши специалисты подобрали соответствующую информацию.

Для закрепления теоретического материала мы предлагаем выполнить упражнения по теме «Работа с внешними углами многоугольника». Подборка простых и сложных заданий представлена в блоке «Каталог». Наши специалисты регулярно обновляют и дополняют упражнения.

Попрактиковаться в решении задач на нахождение внешних углов многоугольника, подобных тем, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.

Источник

Внешний угол

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения:

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Смотреть что такое «Внешний угол» в других словарях:

Внешний угол — угол, смежный с каким нибудь углом треугольника или многоугольника (например, ∠ BCD на рис.). В. у. треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним; ∠ BCD = ∠ CAB + ∠ АВС. Рисунок к ст. Внешний угол … Большая советская энциклопедия

ВНЕШНИЙ УГОЛ — треугольника (многоугольника) угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны … Большой Энциклопедический словарь

внешний угол — треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны (например, BCD на рис.). * * * ВНЕШНИЙ УГОЛ ВНЕШНИЙ УГОЛ треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением… … Энциклопедический словарь

внешний угол — išorinis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exterior angle vok. Außenwinkel, m rus. внешний угол, m pranc. angle extérieur, m … Fizikos terminų žodynas

ВНЕШНИЙ УГОЛ — треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны (например, BCD на рис.) … Естествознание. Энциклопедический словарь

угол наклона средней линии зуба (впадины) — (βn) Острый угол между пересекающимися в данной точке средней линией зуба и образующей однотипного соосного конуса, которому принадлежит эта средняя линия зуба (впадины). Примечания 1. Различают внешний (βne), средний (βnm),… … Справочник технического переводчика

угол нормального профиля зуба плоского колеса — (αn) Острый угол между касательной к нормальному профилю зуба плоского колеса в данной точке и прямой, параллельной оси плоского колеса, проходящей через эту точку. Примечания 1. Различают углы нормального профиля зуба плоского колеса:… … Справочник технического переводчика

ВНЕШНИЙ — ВНЕШНИЙ, внешняя, внешнее (ант. внутренний). 1. Наружный, находящийся на виду, снаружи. Внешние признаки. Внешний вид. Внешнее сходство. || Поверхностный, неглубокий. Его доброта носит внешний характер. Внешний лоск. 2. Имеющий отношение к… … Толковый словарь Ушакова

УГОЛ ПОВОРОТА — внешний угол между направлениями прямых участков жел. дор. пути при поворотах трассы. У. п. равен центральному углу, вершина к рого находится в центре круговой кривой, а стороны проходят через тангенсы. Технический железнодорожный словарь. М.:… … Технический железнодорожный словарь

Угол нормального профиля зуба плоского колеса — 84. Угол нормального профиля зуба плоского колеса an Острый угол между касательной к нормальному профилю зуба плоского колеса в данной точке и прямой, параллельной оси плоского колеса, проходящей через эту точку. Примечания: 1. Различают углы… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник

Внешний угол

Смотреть что такое «Внешний угол» в других словарях:

ВНЕШНИЙ УГОЛ — треугольника (многоугольника) угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны … Большой Энциклопедический словарь

внешний угол — треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны (например, BCD на рис.). * * * ВНЕШНИЙ УГОЛ ВНЕШНИЙ УГОЛ треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением… … Энциклопедический словарь

внешний угол — išorinis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exterior angle vok. Außenwinkel, m rus. внешний угол, m pranc. angle extérieur, m … Fizikos terminų žodynas

ВНЕШНИЙ УГОЛ — треугольника (многоугольника), угол, образованный одной из его сторон и продолжением смежной стороны (например, BCD на рис.) … Естествознание. Энциклопедический словарь

Внешний угол — Многоугольник это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения: Плоские замкнутые ломаные; Плоские замкнутые ломаные без самопересечений; Части плоскости, ограниченные ломаными. Вершины… … Википедия

угол наклона средней линии зуба (впадины) — (βn) Острый угол между пересекающимися в данной точке средней линией зуба и образующей однотипного соосного конуса, которому принадлежит эта средняя линия зуба (впадины). Примечания 1. Различают внешний (βne), средний (βnm),… … Справочник технического переводчика

угол нормального профиля зуба плоского колеса — (αn) Острый угол между касательной к нормальному профилю зуба плоского колеса в данной точке и прямой, параллельной оси плоского колеса, проходящей через эту точку. Примечания 1. Различают углы нормального профиля зуба плоского колеса:… … Справочник технического переводчика

ВНЕШНИЙ — ВНЕШНИЙ, внешняя, внешнее (ант. внутренний). 1. Наружный, находящийся на виду, снаружи. Внешние признаки. Внешний вид. Внешнее сходство. || Поверхностный, неглубокий. Его доброта носит внешний характер. Внешний лоск. 2. Имеющий отношение к… … Толковый словарь Ушакова

УГОЛ ПОВОРОТА — внешний угол между направлениями прямых участков жел. дор. пути при поворотах трассы. У. п. равен центральному углу, вершина к рого находится в центре круговой кривой, а стороны проходят через тангенсы. Технический железнодорожный словарь. М.:… … Технический железнодорожный словарь

Угол нормального профиля зуба плоского колеса — 84. Угол нормального профиля зуба плоского колеса an Острый угол между касательной к нормальному профилю зуба плоского колеса в данной точке и прямой, параллельной оси плоского колеса, проходящей через эту точку. Примечания: 1. Различают углы… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник