Что такое вес разряда

Количественное значение одной единицы разряда называется весом разряда

Понятие веса разряда позволяет легко перейти от двоичного числа к десятичному с помощью полинома вида:

Обратный переход производится путём последовательного деления десятичного числа на 2 (основание системы счисления) до тех пор, пока частное не окажется меньше 2.

Правило преобразования покажем на примере десятичного числа 29.

Остаток от первого деления заносится в

1 1 1 0 1 29:2=14:2=7:2=3:2=1 младший разряд двоичного числа. Т.к. ча-

281462 стное больше 2, то деление продолжается.

1 0 1 1 Остаток второго деления заносится в сле-

дующий более старший разряд и т.д. На-

конец, последнее частное, меньшее основа-ния системы счисления, заносится в старший разряд двоичного числа.

В реальных системах и устройствах длина двоичных чисел ограничена разрядной сеткой.

Источник

Системы счисления

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

По определению веса разряда

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Источник

Системы счисления

Описание

Основные понятия

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Непозиционные системы счисления

Позиционные системы счисления

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

Перевод в десятичную систему счисления

По определению веса разряда

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

Примеры:

Перевод из десятичной системы счисления

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Примеры:

Системы счисления с кратными основаниями

При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений.

Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=2 4 ) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице.

Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=2 3 )

Арифметика

Сложение

Вычитание

Оглавление

1. Системы счисления

Основные понятия

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Непозиционные системы счисления

Позиционные системы счисления

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

Перевод в десятичную систему счисления

По определению веса разряда

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

Примеры:

Перевод из десятичной системы счисления

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Примеры:

Системы счисления с кратными основаниями

При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем осуществляется без вычислений.

Достаточно заменить каждый разряд шестнадцатеричной записи четырьмя (16=2 4 ) разрядами двоичной (и наоборот) по таблице.

Аналогично происходит и перевод между двоичной и восьмеричной системой, только разряд восьмеричной соответствует трем разрядам двоичной (8=2 3 )

Источник

Арифметические основы

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦВМ

1.1. Системы счисления

Разделяют системы счисления позиционные и непозиционные. Непозиционная система счисления задается перечислением изображаемых в ней значений. Позиционная система счисления характеризуется основанием и тем, что числа, как правило, представляются несколькими разрядами (являются многоразрядными), а вес любого разряда определяется его позицией в числе.

Oснование позиционной системы счисления определяет количество различных цифр (символов), допустимое в системе счисления. Это же число определяет, во сколько раз вес цифры данного разряда меньше веса цифры соседнего старшего разряда.

Общее правило определения веса разряда многоразрядного числа таково:

Если пронумеровать разряды целого числа справа налево, начиная от 0 для разряда единиц, то вес любого разряда получается возведением основания системы счисления в степень, значение которой равно номеру разряда.

Так, вес самого младшего разряда целых чисел равен 1, поскольку номер разряда равен 0, а любое число, в том числе и число 10, возведенное в нулевую степень, дает в результате единицу. Вес следующего слева разряда равен 10 в степени 1, т.е. равен десяти, и т.д.

Указанное правило можно проиллюстрировать следующим образом:

Как видно из примера, в позиционной системе счисления достаточно знать значение основания системы счисления, символы, изображающие отдельные цифры, и указанное правило, чтобы представить любое число.

В вычислительной технике широко применяют двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную систему счисления.

А (цифра, изображающая десять), D (цифра тринадцать),

В (цифра одиннадцать), E (цифра четырнадцать),

С (цифра двенадцать), F (цифра пятнадцать).

Проще всего сопоставить запись одних и тех же чисел в этих системах счисления можно с использованием таблицы 1, приведенной на следующей странице.

Мы уже говорили о том, что современные цифровые ЭВМ все используют в качестве основной двоичную систему счисления. К ее достоинствам относится:

К неудобствам двоичной системы счисления относится необходимость перевода чисел из десятичной в двоичную и наоборот, а также то, что запись числа в двоичной системе громоздка (требует большего числа разрядов, чем привычная для человека десятичная). По этой и ряду других причин, кроме двоичной применяются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

С и с т е м а с ч и с л е н и я

Совместное использование указанных систем обусловлено двумя причинами:

в восьмеричной и шестнадцатиричной системах любое число записывается более компактно, нежели двоичное;

простотой преобразования из двоичной в восьмеричную (шестнадцатирич-ную) систему счисления и наоборот.

Приведем правила перевода чисел из двоичной системы в восьмеричную (шестнадцатиричную) и наоборот.

При переводе многоразрядного числа каждую цифру исходного восьмеричного числа представить всегда точно тремя двоичными цифрами, взятыми из приведенной выше таблицы. При этом, если для записи соответствующей восьмеричной цифры в виде двоичной требуется менее трех двоичных цифр, двоичный эквивалент дополняется слева нулями (незначащие нули не исказят значения числа). Таким образом, например, при записи четырехразрядного восьмеричного числа должно получиться двенадцатиразрядное двоичное. После окончания такого преобразования можно отбросить старшие для всего числа незначащие двоичные цифры.

Если исходное число дробное, т.е. имеет целую и дробную часть, то в двоичном числе запятая ставится между триадами, представляющими соответствующие цифры исходного числа.

Преобразуем восьмеричное число 371,62.

Для этого запишем для каждой цифры соответствующую триаду:

Теперь можно записать число в двоичной форме (для наглядности между триадами поместим пробелы):

И, наконец, запишем полученное двоичное число так, как это принято в математике, без незначащих нулей, а также отбросив правые нули в дробной части числа:

Представить двоичное число 1101100,01111101 в форме восьмеричного.

Разобьем исходное число на группы по три цифры, приняв в качестве точки отсчета местоположение запятой (для наглядности между триадами поместим пробелы):

Теперь дополним до трех цифр нулями самую левую группу слева и самую правую группу справа:

И, наконец, заменим каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой:

При переводе многоразрядного шестнадцатиричного числа в двоичную форму каждую цифру исходного числа заменяют группой точно из четырех двоичных цифр (заменяют тетрадой двоичных цифр). Местоположение запятой сохраняется по тем же правилам, что и в правиле П1. В окончательной записи можно отбросить самые левые (незначащие) нули и самые правые нули дробной части.

Пример. Преобразовать шестнадцатиричное число “6C,7D” в двоичную форму.

Для этого запишем для каждой цифры соответствующую тетраду:

Теперь можно записать число в двоичной форме (для наглядности между тетрадами поместим пробелы):

И, наконец, запишем полученное двоичное число так, как это принято в математике, без незначащих нулей:

При переводе многоразрядного двоичного числа в шестнадцатиричную форму поступают следующим образом. Исходное число разбивают на тетрады. При этом для целой части числа разбиение проводят от местонахождения запятой влево, а для дробной части от этого же места вправо. Затем самая левая группа при необходимости дополняется незначащими нулями до образования тетрады, а самая правая группа только в дробной части дополняется нулями справа также до образования полной тетрады. После этого каждая тетрада заменяется соответствующей шестнадцатиричной цифрой. Местоположение запятой сохраняется по тем же правилам, что и в правиле П1.

Пример. Представить двоичное число 1101100,01111101 в форме шест-надцатиричного.

Разобьем исходное число на группы по четыре цифры, приняв в качестве точки отсчета местоположение запятой (для наглядности между тетрадами поместим пробелы):

Теперь дополним до четырех цифр нулями слева самую левую группу:

И, наконец, заменим каждую тетраду соответствующей шестнадцатиричной цифрой:

Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления используются для более компактной и удобной записи двоичных чисел.

Так, известность шестнадцатиричной системе принесло то, что с ее использованием удобно представлять программы в кодах большинства современных ЭВМ.

1.2. Перевод чисел из одной системы счисления

Поскольку в практической деятельности люди привыкли оперировать десятичной системой счисления, а в ЭВМ числа представляются в двоичной, необходимо научиться преобразовывать числа из одной системы счисления в другую. Рассмотренные выше правила перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатиричную и наоборот носят частный характер и не могут быть распространены на другие системы. Здесь же мы рассмотрим общие правила перевода, справедливые для любой пары систем счисления, хотя и более громоздкие и трудоемкие по сравнению с рассмотренными выше.

Правила перевода целых и дробных чисел не совпадают, поэтому приведем три правила перевода чисел из системы счисления с основанием R в систему счисления с основанием Q.

Правило 1. Перевод целых чисел

Для перевода целого числа N, представленного в системе счисления (с/с) с основанием R, в с/с с основанием Q необходимо данное число делить на основание Q по правилам с/с с основанием R до получения целого остатка, меньшего Q. Полученное частное снова необходимо делить на основание Q до получения нового целого остатка, меньшего Q, и т.д., до тех пор, пока последнее частное будет меньше Q. Число N в с/с с основанием Q представится в виде не упорядоченной последовательности остатков деления в порядке, обратном их получению (иными словами, старшую цифру числа N дает последнее частное).

Пример. Преобразовать десятичное число 67 в двоичную форму.

Основание исходной системы счисления R=107. Основание новой системы счисления Q=2.

Согласно приведенному правилу надо исходное число 67 делить на основание новой системы (на 2) по правилам десятичной системы счисления (исходная с/с).

67 1 При делении 67 на 2 получается частное 33 и остаток 1;

Обратите внимание, что для получения шести цифр дроби выполнено семь умножений

Это связано с необходимостью выполнить округление, чтобы представить дробь заданной длины более точно.

Из последнего примера, конечная дробь в одной системе счисления может стать бесконечной в другой. Это утверждение справедливо для всех случаев, когда одна система счисления не может быть получена возведением в целую степень основания другой.

Десятичная дробь 0,2 представляется бесконечной дробью 0,33333. в шестнадцатиричной системе счисления (основания с/с 10 и 16).

Шестнадцатеричная дробь 0,В1 представляется конечной дробью 0,10110001 в двоичной системе счисления (основания с/с 16 и 2).

Правило 3. Перевод неправильной дроби

Перевод неправильной дроби из одной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной части по правилам, изложенным выше.

1.3. Двоичные коды для десятичных цифр

В ряде случаев в вычислительной технике применяется не только двоичная, но и десятичная система счисления. Однако и в этом случае для представления десятичных цифр используется оборудование, разработанное для представления двоичных цифр. В этом случае говорят о двоично-десятичных кодах десятичных цифр.

Согласно формулы Хартли для представления 10 различных цифр требуется четыре бита информации:

3 бита Коды с избытком

Кроме рассмотренной системы кодирования достаточно широко используются также так называемые коды с избытком. Рассмотрим группу кодов “8421” с избытком”.

Код “8421” с избытком W” строится по следующим правилам:

При кодировании десятичной цифры, к ней вначале прибавляют W, и затем полученное число представляют как двоичное в коде “8421”.

Значение W может быть равным 1, 2, 3, 4, 5 или 6. При любом значении избытка W шесть из шестнадцати комбинаций останутся неиспользованными. Только для разных избытков эти значения будут разными.

Пример. Рассмотрим код “8421” с избытком 3”.

а)Представим цифру 8 в данном коде.

Вначале увеличим 8 на 3. Получится 11.

Затем запишем 11 в коде “8421”. Получится 1011.

Число 1011 и есть представление цифры 8 в данном коде.

б)Восстановим цифру, которая изображается комбинацией 0101.

Вначале представим десятичное число, рассматривая комбинацию 0101, как его изображение в коде “8421”. Получится число 5.

Затем вычтем из него (из 5) избыток 3. Получится 2.

Это и есть искомый ответ: Комбинация 0101 изображает десятичную цифру 2 в коде “8421” с избытком 3”.

в)Восстановим цифру, которая изображается комбинацией 1110.

Восстановим десятичное число. Получится 14.

Вычтем из него избыток 3. Получится 11.

Поскольку 11 не является десятичной цифрой (это двухразрядное десятичное число), делаем вывод, что комбинация 1110 не изображает никакой десятичной цифры и является запрещенной.

Кроме кодов с естественными весами разрядов применяются и другие. Одним из широко известных кодов является позиционный код, построенный с использованием тетрады двоичных цифр, веса которых слева направо равны соответственно : 2, 4, 2 и 1.

Представим коды цифр в таблице:

Как видно из таблицы, ряд десятичных цифр могут быть представлены двумя не совпадающими двоичными комбинациями.

Например, комбинации 0100 и 0010 изображают цифру 2, комбинации 1010 и 0100 изображают цифру 4 и т.д. Отличительной особенностью данного кода является то, что в нем нет неиспользованных (запрещенных) комбинаций.

Данный код принадлежит к непозиционным кодам. Как и все непозиционные коды он определяется табличным способом. Его название отражает принцип построения кода: любая десятичная цифра представляется комбинацией из 5 двоичных цифр, в которой точно две цифры 1 и, следовательно, три цифры 0.

Представим таблицу одного из возможных вариантов для данного кода:

Все остальные возможные комбинации, в которых число единиц не равно двум, являются запрещенными.

Также как и все коды на основе тетрады “8421”, последний код принадлежит к группе кодов, обладающих так называемыми диагностическими возможностями: Если известно, что некоторая комбинация должна изображать десятичную цифру, но попадает в область запрещенных, значит произошло искажение информации. Это свойство кодов активно используется в аппаратуре ЭВМ.

Для закрепления материала по переводу чисел из одной системы счисления в другую выполним несколько примеров.

Пример 1. Представить десятичное число 581 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления.

Задачу можно решить с минимальными затратами усилий, выполнив, например, перевод в двоичную с/с по общему правилу (т. е. делением на основание 2 по правилам десятичной системы счисления), а затем из двоичной в восьми- и шестнадцатиричную системы счисления, используя упрощенные правила (кодированием соответственно тетрад и триад).

Пример 2. Представить десятичное число 993,761 в двоичной и шестнадцатиричной системах счисления.

Задачу можно решить таким же образом, как и предыдущую.

Пример 3. Представить шестнадцатиричное число 8363 в десятичной системе счисления.

Воспользуемся общим правилом. Для этого надо исходное число делить на 10 по правилам шестнадцатиричной системы счисления.

Что же это за правила? Это такие же правила сложения, вычитания, умножения и деления, что и в десятичной с/с, но над числами в позиционной шестнадцатиричной с/с.

Искомое число в десятичной системе равно 33635.

1.4. Арифметика цифровых вычислительных машин

1.4.1. Представление чисел со знаками

При выполнении арифметических операций в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды.

Как уже говорилось выше, кодом называют такую запись числа, которая отличается от естественной и общепринятой. Так вот, в математике естественной формой записи числа является запись, при которой непосредственно перед старшей значащей цифрой числа помещается знак плюс(+) или минус(-), а длина записи определяется величиной числа (иначе, количество символов, использованных для записи разных чисел, как правило, не совпадает). В ЭВМ это не так. Одной из важнейших характеристик любой ЭВМ является длина слова в ней. Длина слова определяется количеством двоичных разрядов слова.

Поэтому в ЭВМ, вне зависимости от величины числа, его код всегда имеет фиксированное количество двоичных цифр.

Для того, чтобы более просто, и, следовательно, более экономично реализовать устройство АЛУ применяют несколько разных кодов чисел. Это связано с тем, что разные операции в ЭВМ более просто реализуются в разных кодах.

При выполнении арифметических операций в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды чисел.

При этом никакого символа, отделяющего эту цифру от старшей цифры, используемой при изображении его величины, не допускается. В таких случаях говорят о том, что назначение цифры в коде определяется его позицией.

Изображаемое число Код

+1101 (+13) 0000 1101 ( В примерах коды )

+1011101 (+93) 0101 1101 ( изображаются )

1101 (-13) 1000 1101 ( восемью цифрами )

Итак, прямой код почти не отличается от принятого в математике: для выявления абсолютной величины (модуля) числа, надо отбросить цифру, обозначающую его знак.

Однако применительно к операциям сложения и вычитания такой код неудобен: правила счета для положительных и отрицательных чисел различаются. Чтобы прояснить это обстоятельство, представим что длина кода (слова) равна 5 двоичным разрядам и запишем несколько чисел в нем:

Прямой код используется при хранении чисел в памяти ЭВМ, а также при выполнении операций умножения и деления.

Чтобы построить более простые схемы АЛУ предложены и активно применяются обратный и дополнительный коды.

Изображаемое число Код

+1101 (+13) 0000 1101 ( В примерах коды )

+1011101 (+93) 0101 1101 ( изображаются )

1101 (-13) 1111 0010 ( восемью цифрами )

Сопоставление этой записи с прямым кодом показывает, что непосредственно восстановить абсолютную величину (модуль) отрицательного числа непросто. Однако, в этом коде как к положительным, так и к отрицательным числам можно применять одни и те же правила, а операцию А-В можно заменить операцией сложения чисел А и “минус В”.

Посмотрим, как представляется последовательные числа при переходе через ноль:

Для восстановления прямого кода отрицательного числа из обратного кода надо все цифры, кроме цифры, изображающей знак числа, заменить на противоположные.

Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым, а код отрицательного числа образуется как результат увеличения на 1 его обратного кода.

Проиллюстрируем это на примере.

Изображаемое число Код

+1101 (+13) 0000 1101 ( В примерах коды )

+1011101 (+93) 0101 1101 ( изображаются )

1101 (-13) 1111 0011 ( восемью цифрами )

В дополнительном коде, в отличие от обратного, ноль изображается только одной комбинацией, и кроме этого, достаточно естественно получается переход через ноль, если иметь в виду, что любое число, большее другого на 1, получается при прибавлении к этому другому 1 по правилам сложения. Применительно к дополнительному коду это именно так, если принять к сведению, что разрядность слова фиксирована, и единица переноса из старшего разряда теряется, поскольку ее некуда записать:

Для восстановления прямого кода числа из дополнительного нужно полностью повторить (и именно в том же порядке!) действия, которые использовались при переводе из прямого в дополнительный код: сначала все цифры, кроме цифры, изображающей знак, заменить на противоположные, а затем прибавить 1.

Основным достоинством дополнительного кода является то, что в нем единообразно реализуются операции сложения чисел разных знаков (алгебраическое сложение), а операцию вычитания можно свести к операции сложения заменой знака вычитаемого на обратный. Вспомнив, что в памяти ЭВМ числа хранятся в прямом коде, станет ясно, что замена знака вычитаемого может быть выполнена чрезвычайно просто (заменой знака числа в прямом коде на обратный). Именно по указанной причине дополнительный код применяется чаще обратного.

Сложение и вычитание чисел в обратном и дополнительном кодах выполняется с использованием обычного правила арифметического сложения многоразрядных чисел. Общей для этих кодов особенностью (и очень удобной особенностью) является лишь то, что при поразрядном сложении чисел разряды, изображающие знаки чисел рассматриваются как равноправные разряды двоичного числа, которые складываются друг с другом и с единицей переноса из предыдущего разряда числа по обычным правилам арифметики. Различия же обратного и дополнительного кодов связаны с тем, что делается с единицей переноса из старшего разряда (изображающего, как неоднократно говорилось, знак числа).

При сложении чисел в дополнительном коде единица переноса из старшего разряда игнорируется (теряется), а в обратном коде эту единицу надо прибавить к младшему разряду результата.

Выполним сложение в столбик:

+ 1 (Добавление 1 переноса)

Итак, результат в обратном коде = 00000111.

Поскольку знаковый разряд равен 0, результат положительный, и, следовательно, запись кода числа совпадает с записью прямого кода. Теперь можно восстановить алгебраическую запись результата. Он равен +111 (незначащие нули отброшены), или в десятичной форме +7.

Проверка (+12-5=+7) показывает, что результат верный.

а) В дополнительном коде

Выполним сложение в столбик:

Итак, результат в дополнительном коде = 00000111.

Поскольку знаковый разряд равен 0, результат положительный, и, следовательно, запись кода числа совпадает с записью прямого кода. Теперь можно восстановить алгебраическую запись результата. Он равен +111 (незначащие нули отброшены), или в десятичной форме +7.

Проверка (+12-5=+7) показывает, что результат верный.

Умножение и деление двоичных чисел производится в ЭВМ в прямом коде, а знаки их используются лишь для определения знака результата. Также как и в математике, умножение сводится к операциям сложения и сдвига. Деление выполняется за счет комбинирования сдвигов, вычитаний (в этот момент могут использоваться обратный или дополнительный коды) и сложений.

1.5. Кодирование чисел в ЭВМ

В ЭВМ применяется чаще всего одна из двух форм представления чисел:

с фиксированной запятой;

с плавающей запятой.

Числа представляются в машинном слове, имеющем для конкретной ЭВМ всегда фиксированное число разрядов (битов). Это число является одной из важнейших характеристик любой ЭВМ и называется разрядностью машины. Разные разряды слова при кодировании команд и данных имеют несовпадающие функциональные назначения. При рассмотрении их функций используют также термин “разрядная сетка машины”.

1.5.1. Числа с фиксированной запятой

Определим диапазон представимых чисел.

Вначале рассмотрим пример, в котором положим, что мы имеем дело с десятичной (а не двоичной) системой счисления, и что для записи абсолютной величины числа (без учета его знака) в нашем распоряжении имеется шесть разрядов.

Тогда максимальное (по абсолютной величине) целое будет равно 999999 или иначе 10**6-1. А поскольку в разрядной сетке машины для записи знака числа всегда предусматривается один разряд, то для нашего случая диапазон представимых чисел составит все целые числа, начиная от

В общем случае, если разрядность машины составляет N битов. Тогда максимальное по абсолютной величине целое число, которое можно в ней записать, будет равно 2**(N-1)-1.

Особенности арифметических операций над числами

Иначе обстоит дело с операцией деления. При делении целого числа на другое целое результат совсем не обязательно должен быть целым. А поскольку и результат должен быть представлен целым числом, возникает коллизия, которую проиллюстрируем примером:

И в отличие от умножения, с позиций ЭВМ никаких ошибок при этом нет, и никакие флаги не устанавливаются, а указанные особенности деления целых должны учитываться программистом самостоятельно. В ряде языков программирования эти особенности отражаются набором допустимых арифметических операций. Так, например, в языке Паскаль для целых (integer) определены две операции:

Разрядная сетка машины в этом случае делится на несколько частей:

Тогда максимальное по абсолютной величине число будет равно

а минимальное по абсолютной величине число

Итак, число в форме с плавающей запятой представляется последовательностью битов без каких либо явно указанных разделителей, но функционально разбитой на три группы <(знак числа, мантисса числа, порядок числа) или (знак числа, порядок числа, мантисса числа)>.

Рассмотренная форма кодирования числа приводит к следующим последствиям:

Диапазон чисел, представимых в форме с плавающей запятой, определяется главным образом разрядностью порядка (Р).

Разрядность мантиссы (М) определяет точное количество значащих цифр в изображении числа.

Следовательно, большинство чисел в форме с плавающей запятой представляется приближенно и причиной этого является ограниченное число разрядов мантиссы. Величина же абсолютной погрешности при приближенном представлении числа зависит как от абсолютной величины числа, так и от разрядности мантиссы и порядка.

Пример 1. Пусть имеется число 12,42=0,1242*10**(+2).

В заданном формате оно представляется цепочкой символов

Тогда ближайшее большее этого число может быть задано цепочкой

и оно равно 0,1243*10**(+2)= 12,43.

Таким образом, ближайшие числа на числовой оси, которые различимы при кодировании их в форме с плавающей запятой для данного примера различаются на 0,01 (абсолютная погрешность представления всех чисел между 12,42 и 12,43 имеет верхнюю оценку 0,01).

Пример 2. Пусть имеется число 0,001242=0,1242*10**(-2).

В заданном формате оно представляется цепочкой символов

а ближайшее большее этого число представляется цепочкой

и равно 0,1243*10**(-2)= 0,001243.

Таким образом, абсолютная погрешность представления всех чисел между 0,001242 и 0,001243 имеет верхнюю оценку 0,000001.

Пример 3. Пусть имеется число 0,1242*10**(+12).

В естественной форме записи это число 124 200 000 000, а в заданном формате оно представляется цепочкой символов

а ближайшее большее этого число представляется цепочкой

и равно 0,1243*10**(+12)= 124 300 000 000.

Таким образом, абсолютная погрешность представления всех чисел между 124 200 000 000 и 124 300 000 000 имеет верхнюю оценку 100 000 000 = 10**8.

Обратите внимание, что в последнем примере невозможно записать ни одного числа в интервале размером 10**8.

Важный вывод, который следует из анализа формы кодирования чисел с плавающей запятой и иллюстрируется в рассмотренных примерах: числа в форме с плавающей запятой, несмотря на то что, эта форма предложена для представления в ЭВМ непрерывных величин, представляются дискретным множеством на числовой оси и располагаются на ней неравномерно.

Особенности арифметических операций над числами

При выполнении арифметических операций все четыре действия арифметики корректны. Следует однако иметь в виду, что дискретный характер представления чисел в форме с плавающей запятой и разбиение числовой оси на области, в ряде из которых невозможно представить ни одного числа, приводит:

Во-первых, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в области 2 или 5, но который нельзя закодировать в форме с плавающей запятой точно. В этом случае, результат заменяется ближайшим из множества допустимых значений с учетом правила округления (ошибка метода представления чисел, вызванная ограниченной разрядностью мантиссы).

Во-вторых, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в область 1 или в область 6. Этот случай является критическим, поскольку результат представить нельзя принципиально. Рассматриваемая ситуация называется “Переполнение с плавающей запятой” (Overflow), а при ее возникновении происходит аппаратное прерывание работы ЭВМ и выполнение программы аварийно прекращается. Причиной этого является ограниченная разрядность порядка.

В-третьих, к тому, что при выполнении арифметической операции теоретически возможно формирование результата, который попадает в область 3 или в область 4. Рассматриваемая ситуация называется “Потеря значимости”, а при ее возникновении результат заменяется ближайшим допустимым, как правило нулем. Выполнение программы после этого продолжается. В некоторых ЭВМ при этой ситуации вырабатывается предупредительное (информационное) сообщение. Причиной этой ситуации также является ограниченная разрядность порядка.

В заключении отметим, что при выполнении арифметических операций мантиссы чисел и их порядки обрабатываются по разным алгоритмам. При этом в операциях сложения и вычитания чисел порядки выравниваются за счет сдвига мантиссы меньшего операнда на число разрядов, равное разнице порядков операндов, а в операциях умножения и деления порядки чисел соответственно складывают или вычитают. Поскольку, как мы уже видели раньше, вычитание алгебраических чисел (т.е. с учетом их знаков) в прямом коде реализовать не просто, а порядки представляются как числа целые со знаком в прямом коде, в ряде ЭВМ при представлении числа с плавающей запятой порядок числа заменяется его характеристикой.

Рассмотрим еще одну ситуацию, типичную для операции над числами в форме с плавающей запятой.

Пусть необходимо вычислить разницу чисел

при условии, что они представлены в форме с плавающей запятой при разрядности мантиссы, равной 4, и порядка, равной 2. Для простоты операцию проиллюстрируем на примере десятичной системы счисления.

Запишем числа Х и Y в форме с плавающей запятой:

Как видно из этой записи, оба числа представлены в форме с плавающей запятой без искажения. Не воспроизводя логику вычитания, принятую в ЭВМ, выполним вычитание в столбик. Для этого представим оба операнда в естественной форме и так, чтобы соответствующие разряды операндов находились друг под другом :

Округлим результат, учитывая, что в нашем распоряжении для записи цифр числа имеется всего 4 разряда, и запишем его вновь в форме с плавающей запятой, в заданной разрядной сетке:

Сравнив результат с исходными операндами увидим, что хотя оба операнда были отличны от нуля, результат и уменьшаемое полностью совпадают!

Вывод. При вычитании двух чисел большое значение имеют соотношение их величин и разрядность мантисс, используемая для их кодирования. Так что программисты могут столкнуться с нежелательными последствиями выполнения указанных действий в некоторых критических местах алгоритма. Например, если подобное вычитание выполняется в условии прекращения цикла, имеющем вид “(X-Y)>0.01”, то данное условие может никогда не выполниться, т.е. произойдет так называемое зацикливание.

Источник