Что такое вершина куба в математике
Куб — свойства, виды и формулы
Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.
Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:
многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
прямая призма, все грани которой есть квадраты;
прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.
Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.
Элементы куба
Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.
Грань
Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.
Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.
Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.
Ребро
Линии пересечения сторон называются рёбрами.
Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.
Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.
Вершина
Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.
Центр грани
Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.
Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.
Центр куба
Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.
Это есть центр симметрии куба.
Ось куба
Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.
Диагональ куба
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.
Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:
Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.
Диагональ куба — одна из осей симметрии.
Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ грани куба
Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:
Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.
Объем куба
Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:
Периметр куба
Сумма длин всех рёбер равна:
Площадь поверхности
Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:
Сфера, вписанная в куб
Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.
Радиус равен половине ребра:
Сфера, описанная вокруг куба
Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:
Координаты вершин куба
В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.
Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:
Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).
Свойства куба
Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.
Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.
у куба все грани равны, являются квадратами;
у куба все рёбра равны;
один центр и несколько осей симметрии.
Урок математики в 3-м классе «Куб. Элементы куба: грани, ребра, вершины. Развертка куба»
1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний
Появляется на экране мультимедийная презентация.
Рассмотрите геометрические фигуры. В них записаны математические выражения. Вычислите значение числового выражения, которое находится:
а) на пересечении круга и прямоугольника?
— Какое правило применили? (Деление числа на произведение)
в) Выражение, которое находится на пересечении квадрата и прямоугольника?
г) Выражение, которое находится в левом полукруге?
— Каким правилом пользовались?
(Умножение числа на произведение)
д) Выражение, которое содержится в ромбе, но не содержится в квадрате.
8 дм 4 см * 3= 84 см *3= 252см= 25 дм 2 см
— У каких этих фигур мы можем найти периметр?
— У каких фигур можем определить периметр несколькими способами?
На экране появляются слайд с формулами.
— Как найти периметр квадрата?
— А как найти площадь у прямоугольника?
— Как найти площадь у квадрата?
Обобщение: Вы хорошо знаете геометрические фигуры и вычисляете выражения. Знаете правила нахождения площади и периметра. Это нам необходимо для решения задач.
3. Постановка учебной задачи.
— Что общего у этих фигур (Плоские)
— Какие еще могут быть фигуры, кроме плоских? (Объемные)
— С каким геометрическим телом уже знакомы? (Параллелепипедом)
4. Закрепление изученного
А сейчас решим задачу из учебника.
— Можем сразу найти площадь квадрата? (Нет)
— Почему? (Не знаем сторону квадрата)
— Как узнать? ( 36:4=9 мм)
— Какой формулой мы будем пользоваться для нахождения площади квадрата?
— Решим эту задачу с комментированием?
— Начертите этот квадрат.
— Что вы знаете о прямоугольнике?
*Противоположные стороны равны.
*Диагонали прямоугольника равны.
*Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
— Решите задачу следующую задачу.
— Можем сразу ответить на вопрос? (Да)
— Как? ( площадь разделить на ширину)
Д/в. Что вы знаете о квадрате?
*Диагонали квадрата равны.
*Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
*Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
— Составьте обратные задачи данной.
5. Самостоятельная работа
— Можем сразу ответить на требование задачи? (Да)
— Как? (площадь разделить на длину)
— Эту задачу решит 1 вариант.
Кто выполнит задачу, решит дополнительно. Задание по своим силам, по выбору?
— Составим вторую задачу.
Длина участка прямоугольной формы 86 метров, ширина 40 м. Найдите площадь участка?
— Какой формулой будем пользоваться?( S квадрата = a * b)
— Дополнительно решите еще карточку по выбору
На каждой парте лежат дифференцированные задания.
Проверка самостоятельной работы.
В момент ответа учеников на экране появляются названные фигуры.
— Что такое трапеция?
*Это четырехугольник, у которого параллельны только 2 стороны.
— Что такое параллелограмм?
* Это четырехугольник, у которого все противоположные стороны равны и параллельны.
6. Физминутка.
Немного отдохнем, поработаем устно с геопланами. (У каждого ученика на парте) Нужно узнать фигуру по описанию. Прежде, чем начнем работать, используя таблицу, оцените свои знания, выберите круг нужного цвета. Будьте внимательны, мы учимся самоконтролю!
(На экране появляется таблица )
(Один ученик работает на магнитной доске, остальные с геопланами)
Проверка на магнитной доске
— Какая фигура здесь лишняя. не относится к многоугольникам? (Угол)
— Какие бывают углы? (Остроугольные, тупоугольные, прямоугольные)
— У кого сошлась самооценка?
— Кто ошибся в оценке себя?
— В чем допустили ошибки?
ВЫВОД: Будьте внимательны, мы учимся самоконтролю.
8. Графический диктант
Новые понятия появляются на экране.
— Сейчас мы выполним графический диктант и узнаем с каким геометрическим телом мы познакомимся на уроке.
— Поставьте точку, обозначьте ее латинской буквой А, затем отсчитайте 5 клеточек вправо, обозначьте буквой B, от В пять клеточек вверх, обозначьте буквой С, от этой точки 5 клеточек влево, обозначьте буквой Д; от А 3 клеточки по диагонали вправо вверх обозначьте Е; от В по диагонали вправо вверх 3 клеточки, обозначьте F, от Д вправо вверх 3 клеточки по диагонали обозначьте К, от С вправо вверх по диагонали 3 клеточки, обозначьте М.
9. Знакомство с кубом.
— Как называется это геометрическое тело? (КУБ)
*Это слово иностранное, иначе его называют шестигранник.
— Где вы встречали куб? (игра «Кубик Рубика», кубики для игры, кубики конструктора.)
Вот каркас куба из проволоки
(Помощники раздают кубики)
— Возьмите куб. положите его на левую руку.
Какой фигурой является грань куба? (Квадрат)
Поверхность каждого куба состоит из квадратов, которые называются ГРАНЬ.
— Почему он называется правильным шестиугольником?
— Сосчитайте грани куба. Сколько их? (6)
— Две соседние грани квадрата (многогранника) называются РЕБРОМ.
— Покажите ручкой (указкой) ребро
— Сосчитайте сколько у куба ребер? (12)
— Равны ли ребра по длине? (да)
— Сколько ребер пересекается (сходится) к одной вершине? (3)
— Сосчитайте сколько вершин у куба? (8)
Работа в тетради на печатной основе (стр. 8, зад. 12,13)
Изготовление развертки куба по технологической инструкции.
Появляется на экране:
— Сейчас мы сами изготовим развертку куба. Что такое развертка?
*Это как бы разрезанный куб на бумаге. (Показать)
НАПОМНИТЬ об осторожном обращении с ножницами, клеем, экономии бумаги.
— Покажите на кубе его вершины, ребра, грани.
Конструирование из кубов группами
Давайте вспомним правила работы в группах (внимательно слушай товарища, говори по очереди, не перебивай друга, помоги товарищу.
— Как вы думаете от кого зависит успех нашего урока? (От работы каждого из нас)
Варианты работ учащихся
10. Итог урока (на электрифицированном стенде)
— Сколько у куба вершин? (8)
— Сколько к куба ребёр? (12)
— Как называется правильный шестигранник? (куб)
— Что является гранью куба? (квадрат)
б) Рефлексивно-оценочная деятельность
Оцените свою работу на уроке. (Лесенка успеха)
11. Домашнее задание.
Выполнить задание по карточкам по выбору,
Раскрасить ту фигуру, которая является разверткой куба.
Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.
Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:
многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
прямая призма, все грани которой есть квадраты;
прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.
Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.
Элементы куба
Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.
Грань
Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.
Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.
Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.
Ребро
Линии пересечения сторон называются рёбрами.
Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.
Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.
Вершина
Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.
Центр грани
Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.
Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.
Центр куба
Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.
Это есть центр симметрии куба.
Ось куба
Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.
Диагональ куба
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.
Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:
Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.
Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ грани куба
Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:
Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.
Объем куба
Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:
Периметр куба
Сумма длин всех рёбер равна:
Площадь поверхности
Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:
Сфера, вписанная в куб
Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.
Радиус равен половине ребра:
Сфера, описанная вокруг куба
Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:
Координаты вершин куба
В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.
Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:
Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).
Свойства куба
Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.
Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.
у куба все грани равны, являются квадратами;
у куба все рёбра равны;
один центр и несколько осей симметрии.
Сколько вершин у куба
Содержание статьи
Куб как многогранник
В случае с кубом каждая грань этой фигуры действительно является правильным многоугольником, поскольку она представляет собой квадрат. Он, безусловно, удовлетворяет условию о равенстве всех его углов и сторон между собой. При этом каждый куб состоит из 6 граней, то есть 6 правильных квадратов.
Каждая грань куба, то есть каждый квадрат, входящий в его состав, ограничен четырьмя равными между собой сторонами, которые носят название ребер. При этом смежные между собой грани имеют смежные ребра, поэтому общее количество ребер куба не равно простому произведению количества граней на количество окружающих их ребер. В частности, каждый куб имеет 12 ребер.
Место схождения трех ребер куба принято называть вершиной. При этом любые ребра, которые пересекаются между собой, сходятся под углом 90°, то есть являются перпендикулярными друг другу. Каждый куб имеет 8 вершин.
Свойства куба
Поскольку все грани куба равны между собой, это дает широкие возможности по использованию этих сведений для вычисления различных параметров данного многоугольника. При этом большинство формул основано на простейших геометрических характеристиках куба, включая те, которые перечислены выше.
Так, например, пусть длина одной грани куба принята за величину, равную a. В этом случае можно без труда понять, что площадь каждой грани можно найти посредством нахождения произведения его сторон: таким образом, площадь грани куба составит a^2. При этом общая площадь поверхности этого многоугольника будет равна 6a^2, поскольку каждый куб имеет 6 граней.
Математика. 4 класс
Конспект урока
Математика, 4 класс
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Как распознавать и называть куб, его грани, ребра, вершины.?
Грани куба – это стороны куба, которые представляют собой квадрат.
Ребра куба – это стороны граней куба.
Вершина куба— это точка, где сходятся три грани или точка, в которой сходятся три ребра куба.
Площадь фигуры – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной или кривой линией.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Подумайте, на какие две группы можно разделить фигуры?
Верно, на плоские и объемные.
Назовите плоские геометрические фигуры.
Верно, квадрат, треугольник, прямоугольник.
Объемные фигуры называются – геометрическими телами.
Вы видите геометрическое тело «шар» и геометрическое тело «куб».
Внимательно посмотрите и скажите, из какой фигуры состоит поверхность куба?
Верно, поверхность куба состоит из квадратов, их называют гранями куба.
Посчитайте, сколько граней у куба.
Правильно, у куба 6 граней.
Стороны граней (квадратов) называют ребрами куба.
Посчитайте, сколько ребер у куба?
Верно, у куба 12 ребер.
Вершины граней – это вершины куба.
Посчитайте, сколько вершин у куба.
Правильно, у куба 8 (восемь) вершин.
Таким образом, у куба 6 граней, 12 ребер, 8 вершин.
Для того чтобы изготовить модель куба необходимо построить развертку куба.
И какого бы куб ни был роста, сшить костюм для него очень просто. Для начала же, сделав разметку, изготовьте раскройку – развертку. Шесть квадратов! Нехитрое дело. Но расклеить их надо умело.
Куб в жизни человека.
Где можно встретить куб? Здания чаше всего имеют кубическую форму, так что можно просто выглянуть в окно, и вы сразу увидите куб.
Самая знаменитая игрушка-головоломка «кубик-рубик».
Кристаллы поваренной соли имеют форму куба.
Выполним несколько тренировочных заданий.
1. Найдите и напишите номер того куба, который сделан из данной развёртки.
Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов): 4
2. Выберите правильное утверждение.
а) площадь круга больше площади квадрата;
б) площадь круга меньше площади квадрата;
в) площади фигур равны.
Правильные варианты: б) площадь круга меньше площади квадрата.