Что такое вершина и стороны треугольника

Треугольник

Треугольник — это замкнутая ломаная линия, состоящая из трёх звеньев:

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а её звенья — сторонами треугольника. Углы, образованные двумя сторона треугольника, называются углами треугольника:

В треугольнике ABC вершины A, B и C — это вершины треугольника, звенья AB, BC и CA — стороны треугольника. Три угла — ∠ABC, ∠BCA и ∠CAB — углы треугольника. Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C.

У каждого треугольника 3 вершины, 3 стороны и 3 угла.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание. Высота треугольника может быть опущена и на продолжение основания.

Отрезок BN — это высота ABC. Отрезок EL высота DEF, опущенная на продолжение стороны DF.

Длина высоты — это длина отрезка от вершины угла до пересечения с основанием.

Каждый треугольник имеет три высоты.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — прямая, делящая угол треугольника пополам. Длина отрезка этой прямой от вершины угла до точки пересечения с противоположной стороной называется длиной биссектрисы.

Отрезок BN — это биссектриса ABC.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длина этого отрезка называется длиной медианы.

Отрезок BN — это медиана ABC.

Источник

Геометрическая фигура: треугольник

В данной публикации мы рассмотрим определение, классификацию и свойства одной из основных геометрических фигур – треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Определение треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из трех сторон, которые образованы путем соединения трех точек, не лежащих на одной прямой. Для обозначения используется специальный символ – △.

Углы можно, также, обозначать с помощью специального знака “∠“:

Классификация треугольников

В зависимости от величины углов или количества равных сторон выделяют следующие виды фигуры:

1. Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°.

2. Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

3. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и AC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (BC).

4. Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

5. Равнобедренный – треугольник, имеющие две равные стороны, которые называются боковыми (AB и BC). Третья сторона – это основание (AC). В данной фигуре углы при основании равны (∠BAC = ∠BCA).

6. Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Свойства треугольника

1. Любая из сторон треугольника меньше двух оставшихся, но больше их разности. Для удобства примем стандартные обозначения сторон – a, b и с. Тогда:

Это свойство применяется для проверки отрезков на предмет того, могут ли они образовывать треугольник.

2. Сумма углов любого треугольника равняется 180°. Из этого свойства следует, что в тупоугольном треугольнике два угла всегда являются острыми.

3. В любом треугольнике напротив большей стороны находится больший угол, и наоборот.

Примеры задач

Задание 1
В треугольнике известны два угла – 32° и 56°. Найдите значение третьего угла.

Задание 2
Даны три отрезка длиной 4, 8 и 11. Выясните, могут ли они образовать треугольник.

Решение
Составим неравенства для каждого из заданных отрезков, исходя из свойства, рассмотренного выше:
11 – 4

Источник

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Треугольник

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки, образующие треугольник, называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла. Другими словами, треугольник — это многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Если три точки лежат на одной прямой, то «треугольник» с вершинами в трёх данных точках называется вырожденным. Все остальные треугольники невырожденные.

В неевклидовых пространствах в качестве сторон треугольника выступают геодезические линии, которые, как правило, являются криволинейными. Поэтому такие треугольники называют криволинейными.

Содержание

Элементы треугольника

Треугольник с вершинами A, B и C обозначается как (см. рис.). Треугольник имеет три стороны:

Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):

Треугольник имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

Признаки равенства треугольников

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Типы треугольников

Типы треугольников
Файл:Triangle-acute.svg Остроугольный	Файл:Triangle-obtuse.svg Тупоугольный	Прямоугольный
Разносторонний	Файл:Triangle-isosceles.svg Равнобедренный	Равносторонний

По величине углов

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше. Разность суммы углов треугольника и 180° называется дефектом. Дефект пропорционален площади треугольника, таким образом, у бесконечно малых треугольников на сфере или плоскости Лобачевского сумма углов будет мало отличаться от 180°.

По числу равных сторон

Определения, связанные с треугольником

Все факты, изложенные в этом разделе, из евклидовой геометрии.

Лучи, отрезки и точки

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведённая из неё, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — точку Лемуана.

Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — точки Аполлония. Точки и такие, что и называются точками Брокара.

Прямые

В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана. Основания внешних биссектрис углов треугольника лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис. На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью, она перпендикулярна прямой Эйлера.

Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек перпендикулярны.

Треугольники

Окружности

Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера. Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных. Точка касания вписанной окружности и окружности девяти точек называется точкой Фейербаха. Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, ортезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности — окружности Конвея. В любой треугольник можно вписать три окружности таким образом, что каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Такие окружности называются окружностями Мальфатти. Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.

В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна, а отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей — в точке Нагеля.

Эллипсы, параболы и гиперболы

В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке. [1]

В треугольник можно вписать эллипс, который касается сторон в серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника). [2] Описанный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины параллельно сторонам, называется описанным эллипсом Штейнера. Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести треугольник в правильный, то его вписанный и описанный эллипс Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина). Изо всех описанных эллипсов описанный эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь, а изо всех вписанных наибольшую площадь имеет вписанный эллипс Штейнера. [3]

Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана. [4]

Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. [5] Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр. [6] Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Если описанная гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны). [7] Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек. [7]

Преобразования

Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны). Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек: центр описанной окружности и ортоцентр, центроид и точка Лемуана, точки Брокара. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли, а центр вписанной окружности изогонально сопряжён сам себе. Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники — в прямые. Так, изогонально сопряжены гипербола Киперта и ось Брокара, гипербола Енжабека и прямая Эйлера, гипербола Фейербаха и линия центров вписанной о описанной окружностей. Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают. Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.

Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. Изотомически сопряжены точки Жергонна и Нагеля. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки ).

Кубики

Кубика — это кривая третьего порядка (задающаяся уравнением третьей степени). Многие замечательные кубики, связанные с треугольником, строятся следующим образом: фиксируется точка в плоскости (возможно, бесконечно удалённая). Тогда множество таких точек , что прямая проходит через эту точку, является описанной около треугольника кубикой (здесь — точка, изогонально сопряжённая ). Такие кубики проходят также через центры вписанной и вневписанных окружностей, а также через саму фиксированную точку и изогонально сопряжённую ей. [10]

Соотношения в треугольнике

Примечание: в данном разделе , , — это длины трёх сторон треугольника, и , , — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).

Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:

Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики.

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема синусов

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a Теорема косинусов

Источник