Что такое верное неравенство и неверное неравенство
Неравенства. Виды неравенств
Неравенства – выражения вида \(a>b\), \(a 5\).
Виды неравенств:
Переменная только в первой степени
Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)
Что такое решение неравенства?
Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.
Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.
Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\). И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют равносильные преобразования неравенств . Для нашего случая имеем:
Когда в неравенстве меняется знак?
В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:
При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, знак сравнения меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)
Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:
Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:
Запишем ответ в виде интервала
Неравенства и ОДЗ
Что такое числовые выражения, равенства, неравенства и уравнения
Выражение
Числовое выражение — это числа, соединённые знаками арифметических действий: сложение, вычитание, умножение и деление.
Найти значение числового выражения — это значит выполнить все указанные арифметические действия и получить конкретное число.
Кроме арифметических действий выражения могут содержать скобки, которые влияют на порядок действий при решении выражения.
Пример 1:
Равенство
Равенства — это числа или выражения, соединённые знаком = (равно).
Равенство считается верным, если числа или числовые выражения слева и справа от знака =, имеют равное значение.
Равенство считается неверным, если числа или числовые выражения слева и справа от знака =, не равны (≠).
При решении равенств соблюдается следующий порядок действий:
Пример 2:
1) 5 = 7 — равенство неверно, так как 5 ≠ 7.
2) 36 : 2 = 6 • 3 — равенство верно, так как:
3) 48 + 9 = 54 — 1 — равенство неверно, так как:
Неравенство
Пример 3:
1) 5 > 7 — неравенство неверно, так как 5
3) 4 + 5 • 6 > (4 + 5) • 6 — неравенство неверно, так как:
Уравнение
Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное какой-либо латинской буквой: x, y, a, b, z, d и т.д.
Корень уравнения — это число, при подставлении котрого вместо буквы в равенство делает это равенство верным.
Решить уравнение — это значит найти все возможные корни уравнения.
Порядок и правила решения уравнений зависят от того, к какому типу они относятся:
Верные и неверные равенства и неравенства
Презентация к уроку
Планируемые результаты (универсальные учебные действия).
(96) Неявное сравнение. Выделение существенных признаков понятий “верное равенство”, “неверное равенство”.
(97) Составление новых объектов (свободное конструирование). Нахождение значений выражений.
(94) Сравнение текстов с целью подведения под понятие “задача”. Решение задачи.
1. Организационный момент.
Долгожданный дан звонок,
Начинается урок!
Начинаем мы опять:
Решать, отгадывать, считать!
Пожелаем всем удачи –
За работу, в добрый час!
Встанем, повернёмся, наклоном головы поприветствуем наших гостей.
Введение в тему урока.
Учитель.
— Ребята, чтобы в очередной раз нам попасть в страну математика, мы должны отгадать загадку:
Стоит трёхглавый великан
Он правила расскажет нам,
Кому куда идти и ехать,
Чтоб не создать затор, помехи.
Если загорелся красный,
Стой! Движение опасно!
Загорелся жёлтый свет,
Ожидай, движенья нет!
Свет зелёный на табло,
Движение разрешено.
— Что это? ( Светофор).
-Светофор задаёт вопрос: На какой свет разрешено переходить дорогу?
— Переходим, когда загорается зелёный свет, дорогу переходим аккуратно, особенно в зимний период. Зимой на дорогах очень скользко.
— Но загорелся красный свет, светофор не пропускает нас в страну математика, он хочет проверить, как мы знаем таблицу сложения, как мы умеем считать устно. Давайте покажем светофору. Готовы? Да.
2. Актуализация знаний. Повторение пройденного материала.
— В стране математика на небе появились тучки, они мешают нам познакомиться с новыми жителями страны. Чтобы их разогнать, нужно выполнить задание – найти значения выражений, а поможет вам знание таблицы сложения. Готовы? Да.
— Посмотрите ребята на доску, кто нас встречает в стране математика? Как называются эти знаки? (больше, меньше, равно)
— Как мы называем математические записи с такими знаками? (РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА)
— Так какую математическую запись называем равенством или неравенством? (Математическую запись, в которой есть знаки = называем равенством или неравенством).
— Ребята, посмотрите, загорелся зелёный свет, мы верно выполнили задание, правильно ответили на вопросы. Смело отправляемся в страну математика.
— Все ваши умения пригодятся сегодня на уроке, а внимание – особенно. Скажите, какое сегодня число? ( 25 февраля)
— Вспомним всё, что знаем о числах 2 и 5.Какие это числа – однозначные или двузначные?
– Это числа однозначные, т.к. при их записи используется одна цифра.
— Какие это числа: натуральные или ненатуральные?
– Эти числа натуральные, т.к. стоят в натуральном ряду чисел.
— О каком числе мы говорим, что оно ненатуральное? Почему?
— Число 0 ненатуральное число. Число ноль ничего не обозначает.
— Правильно. В переводе с латинского слово “нулус” означало ничто, а в Древней Индии отсутствие чего-либо обозначали пустым кругом.
— Какие числа являются предшествующими для чисел 2 и 5? (1 и 4)
— Какие следующие за числами 2 и 5. (3 и 6)
— Какое из этих чисел (2 и 5) больше, и на сколько? (3)
— Как узнал? Как узнать на сколько одно число больше или меньше другого?
(Чтобы узнать, насколько одно число больше или меньше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее.)
— Пропишем числа “в воздухе”.
— Молодцы! Закрываю презентацию, открываю доску.
– Запишем сначала предшествующие числа в соседних клеточках 1 4, запишем следующие числа 3 6 в соседних клеточках (показываю указкой всё на доске).
— Кому трудно, можно поработать фломастером на волшебной страничке.
— Запишите все числа, которые встретились нам в чистописании в порядке возрастания, на новой строчке, через клеточку.
— Что у вас получилось? Прочитай (Учитель записывает на доске). Можем мы назвать эту запись натуральным рядом чисел? Нет, почему? 0 – не натуральное число.
— Пойти к доске, составить с числами 2 и 5 равенства и неравенства. Где нужно вставь число два, где нужно, число 5!
— Какую математическую запись мы называем равенством или неравенством?
— Почему записи на доске мы не можем назвать выражением? Что такое выражение?
— Правильно. Выражение – запись, в которой числа соединены знаками действий. Знаков сравнения в выражениях нет. Садись, молодец.
ЗАКРЫВАЮ ДОСКУ, ОТКРЫВАЮ ПРЕЗЕНТАЦИЮ
Работа над новым материалом. Проблема: Неявное сравнение.
-Ребята, внимание на доску. Сегодня в страну математика с нами отправились Саша и Катя. Посмотрите на задания, которые они выполняли. Как называются такие математические записи?
— Равенства и неравенства.
— Верно, мы видим знаки сравнения. Прочитайте задание.
— Хочу обратить ваше внимание, вам было сделано предупреждение ещё в начале урока, чтобы вы были предельно внимательными. Катя и Саша выполняли ОДИНАКОВЫЕ задания, но знаки сравнения (показываю указкой на доске) в первой и второй строчках у них разные. Значения выражений не совпадают. Почему так произошло?
— Исправьте у себя на листочках Катину ошибку.
— Вторая строчка, кто допустил ошибку? (Ошибку допустил Саша, 8-5=3, а 3 больше двух)
— Исправим. Проверим. Слайд.
— Третья строчка, кто допустил ошибку? Ошибку допустила Катя. 7-2=5, а 5 больше четырёх на один. Исправим. Проверим. Слайд.
— Четвёртая строка – ошибку допустил Саша. 4+4=8, а 8 больше 7. Проверим.
— Посмотрите внимательно, что у нас получилось. Равенства и неравенства у нас остались? (да)
— Но какие-то из них верные, а какие-то нет! Выпишите в тетрадь ВЕРНЫЕ равенства и ВЕРНЫЕ неравенства – т.е. те, в которых ребята не допустили ошибок.
3. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА в тетрадях
СЛАЙД с выполненным заданием.
— Встаньте те, у кого запись совпадает с записью на доске. Какие равенства и неравенства вы выписывали? Верные.
— Без ошибок, без несоответствий, то есть ВЕРНЫЕ! А почему не записали остальные равенства и неравенства? Там есть ошибки.
— Т.е. мы не выписывали те, которые ребята выполнили неверно!
— Верные мы выписали, неверные нет (показываю на доске). Так какие бывают равенства и неравенства?
Вывод: Равенства и неравенства бывают верные и неверные.
— Правильно. Равенства и неравенства без ошибок, без несоответствий называют ВЕРНЫМИ, а равенства и неравенства, где левая часть не соответствует правой (или её значение), о таких неравенствах говорят, что это неравенства неверные.
Вы молодцы, вы хорошо поработали, давайте отдохнём.
4. ФИЗМИНУТКА (СЛАЙД).
5. Закрепление материала. Работа по учебнику:
— Ребята откройте учебники на странице 38, найдите номер 94 ( Сравнение текстов с целью подведения под понятие “задача”. Решение задачи.).
— Сравните тексты. Какой из них является задачей? Вспомним, какой текст мы называем задачей?
— Текст, в котором есть условие, вопрос, числовые данные для ответа на него, мы называем задачей.
— Так какой из текстов является задачей, докажи?
— Второй текст является задачей, так как в нём есть вопрос, есть числовые данные для ответа на него.
— Прочитай вслух ещё раз ЗАДАЧУ. (СЛАЙД С ЗАДАЧЕЙ)
— О чём говорится в задаче? (О игрушках на полке – куклах и мишках).
ЧИТАЕТ УЧЕНИК: Сколько игрушек на полке?
— Сможем ли мы ответить на вопрос в задаче? (да)
— Докажи. Что мы должны знать, чтобы ответить на вопрос в задаче?
(Количество мишек, количество кукол)
— Известно сколько плюшевых мишек стояло на полке? (да, 3)
— Известно сколько кукол стояло на полке? (да, 3)
— Нас просят решить задачу, записав выражение. После найти его значение.
— Какое действие запишем в выражении, чтобы узнать, сколько всего игрушек стояло на полке? (действие сложения)
— Выйди к доске и запиши выражение, с помощью которого мы ответим на вопрос в задаче.
ЗАКРЫВАЮ ПРЕЗЕНТАЦИЮ, ОТКРЫВАЮ ДОСКУ
ВЫХОД УЧЕНИКА К ДОСКЕ
— Эти числа обозначают количество мишек и количество кукол. Складываем эти числа. Действие сложения записываем с помощью знака +.
— Найдите значение этого выражения: 3+3=6.
— Что обозначает число 6? (количество всех игрушек, сколько игрушек всего)
— Давайте проверим себя, правильно ли мы ответили на вопрос в задаче – пересчитаем все игрушки на рисунке. Поставили пальчики в учебник – считаем. Мы решили верно. 6=6
— Запиши на доску, а вы ребята в тетрадь это равенство: 6=6.
— Ребята, посмотрите внимательно на нашу запись – там, где записано решение задачи. Мы записали выражение, нашли его значение, что у нас получилось? Как называется такая математическая запись? РАВЕНСТВО
— Какое это равенство? ВЕРНОЕ РАВЕНСТВО
ЗАКРЫВАЮ ДОСКУ И ОТКРЫВАЮ ПРЕЗЕНТАЦИЮ: 3+3=6
— Поменяйте значение выражения так, чтобы получилось неверное равенство. Перечислите свои неверные равенства ( дети называют с мест).
— Поменяйте знак сравнения так, чтобы получилось верное неравенство. Назовите своё неравенство. Сверим с доской:
— Так какие бывают равенства и неравенства? (Полный ответ: равенства и неравенства бывают верные и неверные.)
— Там, где есть несоответствия между сравниваемыми записями слева и справа, мы говорим о неверном сравнении – неверных равенствах и неравенствах.
— В нашей стране математика давно закончился дождь. А после дождя, что мы обычно видим на небе? Красивую радугу. Если будете внимательно следить за жителем страны Математика – Котёнком Квадратиком – глазками – вы увидите красивую радугу.
6. ФИЗМИНУТКА для глаз.
7. Составление новых объектов, свободное конструирование.
— Найдите в учебнике номер 97. СЛАЙД
— Кроме млекопитающих животных на рисунке изображены насекомые и птицы. Относим ли мы их к царству животных или мы их относим к царству растений или грибов?
— Да, мы их относим к царству животных. Значит все объекты на рисунке – это животные.
Читаю по учебнику задание: запиши столько сумм, сколько на рисунке животных обитающих в воде. Запиши столько разностей, сколько животных обитающих на суше. Мы разделимся, задание будем выполнять по вариантам.
— Первый вариант запишет столько сумм, сколько на рисунке животных, обитающих в воде. Второй вариант запишет столько разностей, сколько животных, обитающих на суше. Хочу обратить ваше внимание на животное – гусь. Где он может находиться? И в воде, и на суше. Значит и первый, и второй вариант будут его учитывать.
— Давайте определим, сколько животных, обитающих в воде?
Первый вариант?(4) Перечисли – МОРЖ, ДЕЛЬФИН, КИТ, ГУСЬ. Проверим! Слайд.
— Давайте определим, сколько животных, обитающих на суше? Второй вариант?(5) Перечисли – БЕЛКА, БАБОЧКА, ГУСЬ, ЁЖИК, ОСА. Проверим! Слайд.
— Следовательно первый вариант самостоятельно записывать 4 суммы, не находя их значение. Второй – 5 разностей, не вычисляя их. Помните, что вы записываете выражения, не находя их значений. Найдите на листочках номер 97 – подписан. Вставьте в окошки нужные числа, любые.
8. Оценка и самооценка.
— Обменяйтесь листочками, проверьте, правильно ли выполнил задание ваш сосед по парте. Найдите значения выражений вашего соседа, запишите их простым карандашом. Обменяйтесь, проверьте. Можно стереть ластиком, записать свой вариант ответа, если нашли ошибку.
— Прочитаем, что у вас получилось. Первый вариант. Второй вариант.
— Ребята, вы записали выражения, нашли их значения, что у вас получилось, как мы называем такие математические записи? РАВЕНСТВА
— Равенства, в которых мы не допустили ошибок, какие они – верные или неверные? ВЕРНЫЕ.
— Надеюсь, что неверных равенств у нас в этом задании нет, или если есть, то очень мало. Листочки вложите в тетрадь, а я проверю, как справились с заданием.
9. Итог урока: Вывод. Самооценка универсальных учебных умений, действий. Презентация.
— Ребята, какие математические записи называем равенством и неравенством? Записи, в которых есть знаки сравнения, называем равенствами и неравенствами.
— Какие бывают равенства и неравенства? Равенства и неравенства бывают верными и неверными.
— Какие равенства и неравенства называем неверными? Это математические записи, где знаки сравнения поставлены неверно.
— Ребята, у вас на партах у каждого есть по два билета. Вам нужно выбрать и один из них взять в руки. Возьмите в руки цветной билет, если вы поняли, что такое верные и неверные равенства и неравенства. С этим билетом вы можете смело дальше путешествовать по стране Математика. Если вы не поняли, как различить верные и неверные равенства и неравенства, возьмите в руки черно-белый билет. С этим билетом на следующих уроках математики нужно быть внимательнее. Поднимите, покажите, все ли у нас с билетами. Молодцы! Урок закончен, идите отдыхать.
Что такое неравенство? Как решать неравенства?
Для начала неплохо бы разобраться, что же такое неравенство вообще, как оно устроено и что с ним можно (и нужно) делать. Разбираемся?
Что такое неравенство?
Говоря простым языком, берём любое уравнение и значок «=» (равно) заменяем на другой значок (>,
Уравнения бывают всякими — линейными, квадратными, дробными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими, иррациональными и т.д.
Соответственно, и неравенства также бывают линейные, квадратные и… в общем, всякие.)
Теперь поговорим о значках неравенств. Что о них нужно знать? Неравенства со значками «>» (больше) или «
Сам значок обычно не оказывает существенного влияния на ход решения. Зато в самом конце решения, при оформлении окончательного ответа, смысл значка проявляется в полную силу! В чём мы с вами и убедимся на конкретных примерах.
Что ещё нужно знать о неравенствах? Неравенства, как и равенства, бывают верные и неверные. Здесь всё предельно ясно. Например, 2>1 — верное неравенство. А вот неравенство 2
Неравенства — ближайшие родственники уравнений. Стало быть, проблемы при решении уравнений будут автоматически приводить к полному провалу и в неравенствах. Срочно повторите решение основных типов уравнений, у кого проблемы! Я серьёзно.) Иначе в неравенствах будете тормозить нещадно… И не надейтесь, что при изложении, скажем, материала по решению квадратных неравенств я буду отдельно разжёвывать, что такое дискриминант или как рисовать график параболы.) Прошу быть к этому готовыми! Так что по ссылочкам-то гуляйте, гуляйте.)
Зачем нужны неравенства?
Вопрос резонный. Затем же, зачем нам нужны и уравнения. Для жизни.)
В обычной жизни неравенства вы видите повсюду. Причём не только видите, но и… решаете их! Сами того не замечая. Сомневаетесь?) Пожалуйста! Вот вам зашифрованные житейские примеры неравенств. Хранение при такой-то температуре (скажем, от 0°С до +25°С) — неравенство. Штраф за превышение скорости — неравенство. Распределение призовых мест в соревновании — тоже неравенство. Срок действия проездного на метро — неравенство. Опоздание на урок (поезд, самолёт) — и тут неравенство!
Одним словом, с неравенствами мы с вами сталкиваемся всякий раз, как только нам нужно оценивать или сравнивать какие-то величины. Совершенно любые. Это может быть температура в помещении, скорость автомобиля, время в пути, расходы в магазине, баланс денег на телефоне, рост, вес — да всё что угодно. Всё что мы можем выразить числом, как-то количественно оценить или с чем-то сравнить, приводит нас к понятию неравенства. Верного или неверного.)
Как решать неравенства?
Решение любого неравенства состоит из двух ключевых пунктов.
1. Тождественные преобразования неравенств.
2. Работа с числовой прямой.
Оба эти пункта — основы. Каждый из них одинаково важен. Если есть проблемы хотя бы в одном из них, то попытка решения любого, даже самого простенького неравенства, обречена на провал. Оно нам надо? Согласен, не надо.
Про первый пункт (тождественные преобразования) подробненько поговорим в этом уроке. Тут всё просто. Второй пункт (работа с числовой осью) поинтереснее будет. Его рассмотрим в следующем уроке.
Тождественные преобразования неравенств.
Тождественные преобразования неравенств очень похожи на тождественные преобразования уравнений. Собственно, именно в этом и таится основная засада в решении неравенств! Отличия проскакивают мимо головы и… приплыли.) Поэтому я особо выделю эти отличия.
1. Первое тождественное преобразование неравенств:
К обеим частям неравенства можно прибавить (или отнять) любое (но одинаковое!) число или выражение (в том числе и с переменной). Знак неравенства от этого не изменится.
На практике это преобразование выглядит как знакомый всем старый добрый перенос членов из одной части неравенства в другую со сменой знака. Со сменой знака члена, а не неравенства! Знак самого неравенства сохраняется.
Например, надо решить такое линейное неравенство:
Знак неравенства при переносе не трогаем!
Осталось слева привести подобные, а справа посчитать. Получим:
Это правильный ответ.
Если вы — новичок и пока не знаете, как решать линейные неравенства, не беда. В отдельном уроке порешаем. Я сейчас не об этом. А о том, что первое тождественное преобразование неравенств полностью совпадает с аналогичным преобразованием для уравнений! Один в один. А вот второе тождественное преобразование в неравенствах резко отличается от такового в уравнениях. К нему и переходим.
2. Второе тождественное преобразование неравенств:
2.1. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же положительное число. На любое положительное число. Знак неравенства при этом сохраняется.
2.2. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число. На любое отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
Вы ведь помните, что уравнение мы имеем право умножать или делить на что попало. И на число, и на выражение с иксом. Лишь бы не на ноль. Ему, уравнению, от этого хоть бы хны. Не меняется оно. А вот неравенства более чувствительны к умножению/делению.
Вот вам наглядный пример на долгую память. Возьмём неравенство, не вызывающее сомнений:
Умножим обе части на положительное число +2, получим:
А вот это уже откровенная ахинея! Бред! Ибо минус шесть никак не больше минус четырёх. Но… стоит только изменить знак неравенства на противоположный, как всё сразу становится на свои места:
Про бред и ахинею я не просто так ругаюсь. «Забыл(а) сменить знак неравенства…» – это самая распространённая ошибка в решении неравенств. Именно на этом несложном преобразовании столько учеников сыпется! Которые забывают… Вот и ругаюсь. Авось, запомнится…)
Самые внимательные, возможно, уже заметили, что неравенство нельзя умножать на выражение с иксом. Что ж, респект, как говорится.) А почему нельзя, как вы думаете? Очень просто. Мы же ничего не знаем про знак этого самого выражения с иксом! Оно может быть положительным, может быть отрицательным. Следовательно, мы понятия не имеем, какой знак неравенства ставить после умножения. Менять его или нет? Непонятно… Конечно, это ограничение (запрет на умножение/деление неравенства на выражение с иксом) можно и обойти. Если очень уж припрёт.) Но это — отдельная тема.
Зачем нужно второе преобразование? Да всё за тем же, зачем оно нужно и в уравнениях! Избавляться от коэффициентов. На которые, напоминаю, перенос влево-вправо не распространяется. Например, что-нибудь крутое типа:
С девяткой-то всё ясно. Переносим вправо по первому преобразованию, получаем:
Знак неравенства сохраняется!
Знак неравенства меняется на противоположный!
Ещё раз. В этом уроке мы с вами пока что не решаем неравенства. Мы всего лишь тренируемся правильно применять базовые преобразования! Просто на конкретных примерах гораздо нагляднее демонстрировать сам процесс.) Стало быть, если запись окончательного ответа x
Итак, с первым пунктом — тождественными преобразованиями — разобрались (надеюсь…). Но для успешного решения неравенств одних только тождественных преобразований, чаще всего, недостаточно. Именно этим неравенства и отличаются от уравнений. Поэтому пора переходить ко второму пункту. К работе с числовой осью.