Что такое величина дроби
Дробь (математика)
| 8 | / 13 |  | числитель |
| числитель | знаменатель | знаменатель | |
| Две записи одной дроби | |||
Содержание
Виды дробей
Обыкновенные дроби
Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде 
или 
где 
Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.
Обозначения обыкновенных дробей
Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:
Правильные и неправильные дроби
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.
Например, дроби 
, 
и 
— правильные дроби, в то время как 
, 
, 
и 
— неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.
Смешанные дроби
Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.
Например, 
. В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.
Высота дроби
Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.
Например, высота дроби 
равна 
. Высота же соответствующего рационального числа равна 
, так как дробь сокращается на 
.
Составные дроби
Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:
или 
или 
Десятичные дроби
Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:
Пример: 
.
Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.
Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).
Значение дроби и основное свойство дроби
Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.
Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:
то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:
И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:
— здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.
Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, кроме 
Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:
— две разные дроби соответствуют одному числу.
Действия над дробями
В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.
Приведение к общему знаменателю
Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: 
и 
. Порядок действий:
После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.
Сравнение
Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.
Пример. Сравниваем 
и 
. НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.
Следовательно, 
Сложение и вычитание
Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:
+ 
= 
+ 
= 
НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.
Получилось . Приводим дробь к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:
— 
= 
— =
НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь 
к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем 
.
Умножение и деление
Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:
В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:
В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:
Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:
Преобразование между разными форматами записи
Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:
— бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.
Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:
История и этимология
Впервые в Европе данный термин употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).
В древней Руси дроби называли долями или ломаными числами. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.
В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585).
Обобщения
См. также
Литература
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Дробь (математика)» в других словарях:
Дробь — В Викисловаре есть статья «дробь» Наименование символа «⁄» (другое, распространённое по большей части в английском языке, название символа солидус (англ.), или слэш), например, в номерах домов. Так номер дома «5/17» читается «пять… … Википедия
Математика гармонии — Эта статья предлагается к удалению. Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/22 ноября 2012. Пока процесс обсуждени … Википедия
МАТЕМАТИКА — Математику обычно определяют, перечисляя названия некоторых из ее традиционных разделов. Прежде всего, это арифметика, которая занимается изучением чисел, отношений между ними и правил действий над числами. Факты арифметики допускают различные… … Энциклопедия Кольера
Периодическая дробь — Десятичная дробь дробь со знаменателем 10n, где n натуральное число. Имеет особую форму записи: целая часть в десятичной системе счисления, затем запятая и затем дробная часть в десятичной системе счисления, причём количество цифр дробной части … Википедия
Медианта (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Медианта. Медиантой двух дробей и с положительными знаменателями называется дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель сумме знаменателей, двух данных дробей:… … Википедия
Дробные числа и их свойства в математике с примерами
При решении задач по математике ученикам часто приходится иметь дело не только с целочисленными натуральными величинами, но и с дробными числами. Их свойства используются для оптимизации вычислений, которые применяются при точных расчетах некоторых величин (констант), физических процессов, явлений, а также в различных сферах человеческой деятельности, например, фармацевтика и проектирование устройств.
Общие сведения
Математика — наука, в которой точность расчетов имеет огромное значение. Для примера можно взять любую сферу человеческой жизни. Например, строительство моста. Он сначала проектируется, а затем рассчитывается прочность каждого его элемента. Если отнестись к расчетам несерьезно, то мост может не выдержать определенный вес и обрушиться, что приведет к печальным последствиям.
В математике для обозначения точности используются дробные величины. Дробь — определенное числовое значение, показывающее какую-то часть целого числа. На дробную величину распространяются определенные свойства, но перед тем как их разобрать подробно, нужно выяснить, какие бывают дроби и по какому критерию их классифицируют математики.
Следует отметить, что дробные числа еще называются нецелыми, поскольку принадлежат к множеству рациональных величин. Далее необходимо разобрать классификацию дробей.
Виды дробей
В зависимости от типа дроби обладают некоторыми свойствами, которые напрямую зависят от их классификации. Рациональные величины делятся на две группы:
Первые представляют незавершенную операцию деления, т. е. состоят из делимого (числителя) и делителя (знаменателя). Вторые являются частным, полученным при делении двух чисел. Следует отметить, что при работе с рациональными числами требуется определить группу, к которой они принадлежат.
Если этого не сделать, то можно при решении использовать не то свойство. Эти действия часто приводят к плохим оценкам и существенному отставанию от школьной программы.
Чтобы этого не произошло, необходимо разбираться в типах рациональных величин. Для начала необходимо разобрать виды обыкновенные дробные числа.
Типы обыкновенных дробных значений
В зависимости от величины, дробные компоненты делятся на два типа. К ним относятся следующие:
Чтобы понять суть этих величин и их отличие друг от друга, можно привести следующий пример: в каждую корзину положили по 20 яблок (всего 20 корзин). Если предположить, что корзина — это одно целое, состоящее из компонентов (яблок), то значит математическая формула выглядит таким образом: 20/20.
Следует обратить внимание, что величина 20/20 эквивалентна единице. Далее нужно забрать одно яблоко. После этого соотношение будет выглядеть таким образом: 19/20. Последняя величина является правильной дробью, поскольку числитель «19» меньше знаменателя «20». Это пример неправильного дробного тождества, а для демонстрации сути неправильного типа требуется выполнить операцию сложения двух корзин, из которых взяли по одному яблоку, т. е. 19/20 + 19/20 = 38/20 (числитель > знаменателя).
Чтобы не путаться в терминах, необходимо запомнить следующую фразу, вспоминая пример с яблоками и корзинами: в корзину можно положить не более 19 яблок (не 20, т. к. число должно быть нецелым) — это правильно, а больше 20 — не поместятся, поскольку это неправильно, т. к. корзина не рассчитана на такое количество. Далее нужно разобрать десятичные дроби.
Десятичные рациональные величины
Десятичной является произвольная дробь, представляющая законченную операцию деления. Последняя фраза может быть не совсем понятна для некоторых учеников. Следует отметить, что ничего сложного в ней нет. Чтобы объяснить ее, необходимо вспомнить, из каких элементов состоит деление. К ним относятся следующие: искомая величина (делимое), компонент, на который нужно делить (делитель) и результат операции (частное).
Следует отметить, что любая десятичная дробь состоит из целой и дробной частей, которые разделяются при помощи запятой. Однако в различных математических пакетах и калькуляторах может применяться символ точки. Иными словами, величины 4,25 и 4.25 эквивалентны между собой.
Для примера нужно взять обыкновенное числовое выражение «½». Оно является обыкновенной дробью, хотя тождество можно записать иначе: 1: 2. Если воспользоваться калькулятором и разделить единицу на двойку, то получится значение «0,5» (ноль целых пять десятых). Следует отметить, что десятичные дроби делятся на два вида:
К первому виду принадлежат любые десятичные дроби, у которых можно сосчитать количество знаков-разрядов в дробной части. Их можно записывать при решении задач с заданной точностью без операции округления.
Следующим видом являются бесконечные десятичные дробные величины. Они по типу разрядов делятся на два класса: периодические и непериодические. К первым принадлежат значения, знаки которых в дробной части повторяются по заданному закону (периоду). Для примера можно рассмотреть операцию деления единицы на тройку, т. е. 1/3. Если воспользоваться калькулятором, то частное будет состоять из нуля и множества троек, идущих после запятой. В этом случае величина записывается следующим образом: 0,(3) — ноль целых и три в периоде.
Однако при работе с бесконечной непериодической дробью необходимо учитывать особенность: невозможно написать ее точное значение на листе бумаги, поскольку количество разрядов в дробной части является бесконечной величиной.
Для этого используют операцию округления или оставляют в виде обыкновенной дроби. Далее необходимо разобрать смешанные формы чисел.
Смешанные числа
Смешанное число — форма, состоящая из целого и нецелого значений. Их можно условно разделить на два класса, который зависит от дробного основания:
К первым принадлежат все значения, состоящие из целого и дробного основания, которое является обыкновенной дробью. Вторые практически не отличаются от обыкновенных десятичных дробей, поскольку указывается только число в целой части, т. е. 6,28 (шесть целых двадцать восемь сотых). Для преобразования в обыкновенную дробную величину применяется очень простая методика, которая выглядит следующим образом:
Смешанная форма, у которой дробная часть представлена обыкновенной дробью, выглядит таким образом: T[m/n], где Т — целочисленное значение, m — числитель и n — величина знаменателя. Для преобразования в неправильное дробное тождество специалисты рекомендуют применять следующий алгоритм:
Чтобы проверить реализацию алгоритма на практике, специалисты рекомендуют составлять примеры. Одним из них является следующий: преобразовать смешанную форму «6[1/3]» в неправильную дробь. Решение задачи выглядит следующим образом:
Если нужно осуществить обратную конвертацию 19/3 в смешанную форму, то требуется просто выделить целое число делением числителя на знаменатель (19/3=6), а затем от числителя отнять произведение целого на знаменатель (1). После чего можно уже записывать результат преобразования: 6[1/3]. Далее необходимо перейти к основным свойствам десятичных и обыкновенных дробей.
Основные свойства
Для выполнения расчетов с рациональными числами необходимо знать определенные свойства. Они являются различными для каждого из типов дробных выражений. Десятичные дроби имеют следующие особенности:
Если рассматривать свойства дробей с числителем и знаменателем, то можно сделать выводы об их существенном отличии от десятичных. Особенности обыкновенных рациональных чисел имеют следующий вид:
Следует отметить, что знак плюс + можно не указывать перед положительным дробным числом как для десятичной, так и для обыкновенной формы. Кроме того, при решении примеров необходимо учитывать знаки при раскрытии скобок. Например, в числовом выражении «23,3 * 2 — 3[1/3] * (2,3 — 1/3)» порядок знаков очень важен, т. е. 23,3 * 2 — 3[1/3] * 2,3 + 3[1/3] * 1/3). При неправильном раскрытии скобки знак — может «потеряться». Это приведет к неверным вычислениям.
Таким образом, дроби в математике играют очень важную роль и применяются для увеличения точности вычислений, что существенно влияет не только на элементы какой-либо системы, но и на жизнь человека.