Что такое вектор в алгебре

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

Источник

Основы векторной алгебры, величины, векторы

векторная алгебра является разделом математики, ответственным за изучение систем линейных уравнений, векторов, матриц, векторных пространств и их линейных преобразований. Это связано с такими областями, как инжиниринг, решение дифференциальных уравнений, функциональный анализ, исследование операций, компьютерная графика и другие..

Другой областью, в которой была принята линейная алгебра, является физика, поскольку с ее помощью было разработано изучение физических явлений, описывающих их с помощью векторов. Это сделало возможным лучшее понимание вселенной.

устои

Векторная алгебра возникла из изучения кватернионов (расширение действительных чисел) 1, i, j и k, а также декартовой геометрии, предложенной Гиббсом и Хевисайдом, которые поняли, что векторы будут служить инструментом для представляют различные физические явления.

Векторная алгебра изучается через три основы:

геометрически

Векторы представлены линиями, которые имеют ориентацию, а такие операции, как сложение, вычитание и умножение на действительные числа, определяются с помощью геометрических методов..

аналитически

Описание векторов и их операций выполняется с помощью чисел, называемых компонентами. Этот тип описания является результатом геометрического представления, потому что используется система координат.

аксиоматически

Описание векторов производится независимо от системы координат или любого типа геометрического представления..

Изучение фигур в пространстве осуществляется через их представление в системе отсчета, которая может быть в одном или нескольких измерениях. Среди основных систем:

— Одномерная система, представляющая собой линию, в которой одна точка (O) представляет начало координат, а другая точка (P) определяет масштаб (длину) и ее направление:

— Прямоугольная система координат (двумерная), которая состоит из двух перпендикулярных линий, называемых осью x и осью y, которые проходят через точку (O) начала координат; таким образом, плоскость делится на четыре области, называемые квадрантами. В этом случае точка (P) на плоскости задается расстояниями, которые существуют между осями и P.

— Полярная система координат (двумерная). В этом случае система состоит из точки O (начала координат), которая называется полюсом, и луча с началом координат O, называемого полярной осью. В этом случае точка P плоскости, относительно полюса и полярной оси, задается углом (Ɵ), который образован расстоянием между началом координат и точкой P.

— Прямоугольная трехмерная система, образованная тремя перпендикулярными линиями (x, y, z), которые имеют точку начала O в пространстве. Формируются три координатные плоскости: xy, xz и yz; пространство будет разделено на восемь областей, называемых октантами. Ссылка на точку P пространства задается расстояниями, которые существуют между плоскостями и P.

магнитуды

Скалярная величина

Это те величины, которые определены и представлены численно; то есть модулем вместе с единицей измерения. Например:

г) температура: 40ºC.

Векторная величина

Это те величины, которые определены и представлены модулем вместе с единицей, а также смыслом и направлением. Например:

б) ускорение: 13 м / с 2 ; S 45º E.

Векторные величины представлены графически векторами.

Какие векторы?

Векторы являются графическим представлением величины вектора; то есть они представляют собой отрезки прямой линии, в которой их последний конец является острием стрелки.

Они определяются их модулем или длиной сегмента, их смыслом, который указывается кончиком их стрелки и их направлением в соответствии с линией, к которой они принадлежат. Происхождение вектора также известно как точка приложения.

Элементы вектора следующие:

модуль

Это расстояние от начала до конца вектора, представленного действительным числом вместе с единицей. Например:

адрес

Это мера угла, который существует между осью x (от положительного) и вектором, а также используются кардинальные точки (север, юг, восток и запад).

чувство

Он задается стрелкой в ​​конце вектора, указывающей, куда он направляется.

Классификация векторов

Как правило, векторы классифицируются как:

Фиксированный вектор

Это тот, чья точка приложения (происхождения) является фиксированной; то есть, что он остается привязанным к точке пространства, причина, почему он не может быть смещен в этом.

Свободный вектор

Он может свободно перемещаться в пространстве, потому что его начало перемещается в любую точку без изменения модуля, смысла или направления..

Скользящий вектор

Это тот, кто может перемещать свое происхождение по линии своего действия, не меняя модуль, смысл или направление..

Свойства векторов

Среди основных свойств векторов следующие:

Equipolentes векторы

Это те свободные векторы, которые имеют одинаковый модуль, направление (или они параллельны) и чувствуют, что скользящий вектор или фиксированный вектор.

Эквивалентные векторы

Это происходит, когда два вектора имеют одинаковый адрес (или параллельные), одинаковый смысл, и, несмотря на наличие разных модулей и точек приложения, они вызывают одинаковые эффекты.

Равенство векторов

Они имеют один и тот же модуль, направление и смысл, хотя их отправные точки различны, что позволяет параллельному вектору двигаться самостоятельно, не затрагивая его..

Противоположные векторы

Это те, которые имеют одинаковый модуль и направление, но их смысл противоположен.

Векторный блок

Это тот, в котором модуль равен единице (1). Это получается путем деления вектора на его модуль и используется для определения направления и смысла вектора, либо в плоскости, либо в пространстве, используя базовые или унифицированные нормализованные векторы, которые:

Нулевой вектор

Это тот, чей модуль равен 0; то есть их точка происхождения и крайность совпадают в одной точке.

Компоненты вектора

Компоненты вектора являются действительными числами, которые могут быть положительными, отрицательными или даже нулевыми (0).

примеров

Первый пример

У нас есть вектор starts, который начинается с начала координат и задается координаты его концов. Таким образом, вектор Ā = (Ā_х;_и) = (4; 5) см.

Если вектор Ā действует в начале трехмерной треугольной системы координат (в пространстве) x, y, z, в другую точку (P), проекции на его оси будут Āx, Āy и Āz; таким образом, вектор будет выражаться как сумма трех компонентных векторов.

Второй пример

Векторы, которые имеют свои прямоугольные координаты, могут быть выражены через их базовые векторы. Для этого только каждая координата должна быть умножена на соответствующий ей единичный вектор таким образом, чтобы для плоскости и пространства они были следующими:

Операции с векторами

Есть много величин, которые имеют модуль, смысл и направление, такие как ускорение, скорость, перемещение, сила и другие..

Они применяются в различных областях науки, и для их применения в некоторых случаях необходимо выполнять такие операции, как сложение, вычитание, умножение и деление векторов и скаляров..

Сложение и вычитание векторов

Сложение и вычитание векторов считается одной алгебраической операцией, потому что вычитание может быть записано как сумма; например, вычитание векторов Ā и Ē может быть выражено как:

Существуют разные методы для сложения и вычитания векторов: они могут быть графическими или аналитическими..

Графические методы

Используется, когда вектор имеет модуль, смысл и направление. Для этого нарисованы линии, которые образуют фигуру, которая позже поможет определить результат. Среди наиболее известных выделяются следующие:

Метод параллелограмма

Для сложения или вычитания двух векторов выбирается общая точка на оси координат, которая будет представлять точку начала векторов, сохраняя ее модуль, направление и направление..

Метод треугольника

В этом методе векторы располагаются один за другим, сохраняя свои модули, направления и направления. Результирующий вектор будет объединением начала первого вектора с концом второго вектора:

Аналитические методы

Вы можете добавить или вычесть два или более векторов с помощью геометрического или векторного метода:

Геометрический метод

Когда два вектора образуют треугольник или параллелограмм, модуль и направление результирующего вектора могут быть определены с использованием законов синуса и косинуса. Таким образом, модуль результирующего вектора, применяя закон косинуса и методом треугольника, определяется как:

Напротив, методом параллелограмма результирующий векторный модуль имеет вид:

Направление результирующего вектора задается углом (α), который образует результирующий с одним из векторов.

По закону синуса сложение или вычитание векторов также может быть выполнено методом треугольника или параллелограмма, зная, что в каждом треугольнике стороны пропорциональны грудям углов:

Векторный метод

Это можно сделать двумя способами: в зависимости от их прямоугольных координат или их базовых векторов..

Это можно сделать путем переноса векторов, которые должны быть добавлены или вычтены, в начало координат, а затем все проекции на каждую из осей для плоскости (x, y) или пространства (x, и z); наконец, его компоненты добавляются алгебраически. Итак, для самолета это:

Модуль результирующего вектора:

Хотя для космоса это:

Модуль результирующего вектора:

При выполнении векторных сумм применяется несколько свойств:

— Ассоциативное свойство: результирующий не изменяется, сначала добавляя два вектора, а затем добавляя третий вектор.

— Коммутативное свойство: порядок векторов не меняет результирующего.

— Распределительное свойство вектора: если скаляр умножается на сумму двух векторов, он равен умножению скаляра для каждого вектора.

— Скалярное дистрибутивное свойство: если вектор умножается на сумму двух скаляров, он равен умножению вектора на каждый скаляр.

Умножение векторов

Скалярное произведение

Он также известен как скалярное произведение двух векторов. Когда модули двух векторов умножаются на косинус малого угла, который образуется между ними, получается скаляр. Чтобы поместить скалярное произведение между двумя векторами, между ними ставится точка, и это можно определить как:

Значение угла, существующего между двумя векторами, будет зависеть от того, параллельны они или перпендикулярны; Итак, вы должны:

— Если векторы параллельны и имеют одинаковый смысл, косинус 0º = 1.

— Если векторы перпендикулярны, косинус 90º = 0.

Этот угол также можно рассчитать, зная, что:

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

— Коммутативное свойство: порядок векторов не меняет скаляр.

-Распределительное свойство: если скаляр умножается на сумму двух векторов, он равен умножению скаляра для каждого вектора.

Векторный продукт

Умножение вектора, или перекрестное произведение двух векторов A и B, приведет к новому вектору C и будет выражено с помощью скрещивания между векторами:

Новый вектор будет иметь свои особенности. Таким образом:

— Направление: этот новый вектор будет перпендикулярен плоскости, которая определяется исходными векторами.

— Смысл: это определяется по правилу правой руки, где вектор A поворачивается в направлении B, указывая пальцем направление вращения, а большим пальцем отмечается смысл вектора.

— Модуль: определяется умножением модулей векторов AxB на синус наименьшего угла, который существует между этими векторами. Это выражается:

Значение угла, который существует между двумя векторами, будет зависеть от того, параллельны они или перпендикулярны. Тогда можно утверждать следующее:

— Если векторы параллельны и имеют одинаковый смысл, sin 0º = 0.

— Если векторы параллельны и имеют противоположные значения, синус 180º = 0.

— Если векторы перпендикулярны, синус 90º = 1.

Когда векторное произведение выражается через его базовые векторы, оно должно:

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

— Это не коммутативно: порядок векторов меняет скаляр.

— Распределительное свойство: если скаляр умножается на сумму двух векторов, он равен умножению скаляра для каждого вектора.

Источник